Вывод формулы сферического зеркала

Рассмотрим узкий приосевой пучок световых лучей (u - малый угол), падающий на вогнутое сферическое зеркало. В этом случае можно положить: h/r « 1 и h/a « 1 , тогда имеем:

по закону отражения: i = i" (1)

из треугольника ΔSMC: i + u = α (2)

из треугольника ΔCMS": u" + α = i" (3)

Из (1), (2) и (3), находим: u + u" = 2α (4)

Для малых углов можем написать соотношения:

u ≈ sin u = h/a

u" ≈ sin u" = h/a" (5)

α ≈ sin α = h/r

Подставляя (5) в (4) и сокращая на h, получаем формулу сферического зеркала:

(6)

То, что h и u не входят в (6) означает, что любой луч, выходящий из S (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку S" на расстоянии a" от полюса. Таким образом, точка S" есть изображение точки S. Точки S и S" сопряжены между собой, т. е. поместив источник в точку S", мы получим изображение в точке S (правило обратимости световых лучей).

Для выпуклого сферического формула (6) остается в силе, однако a" < 0 и 2/r < 0, тогда

(6")

Фокус и фокусное расстояние

Фокусом F называется точка на главной оптической оси зеркала, в которой сходится параллельный пучок лучей, отраженных от зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называется фокусным расстоянием f.

Для вычисления фокусного расстояния f, в (6) полагаем a = ∞ и находим a" = r/2 = f

Подставляя (7) в (6), получим формулу сферического зеркала в виде:

(8)

В случае выпуклого зеркала фокус f < 0, т. е. является мнимым.

Увеличение

Отношение линейных размеров изображения y" к линейным размерам предмета y называется линейным или поперечным увеличением β.

Из подобия треугольников Δ S 1 PS и Δ S" 1 PS" , находим поперечное увеличение сферического зеркала.

Сферическое зеркало представляет собой сферический сегмент, зеркально отражающий свет. 

Сферические зеркала бывают вогнутые (рис. 16.13, а) - у них отражающее покрытие нанесено на внутреннюю поверхность, и выпуклые (рис. 16.13, б) - у них отражающее покрытие нанесено на внешнюю поверхность.

Геометрический центр О сферической поверхности зеркала радиусом R называется центром зеркала , а точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмента - полюсом зеркала . Любая прямая (например, ОМ и ОР), проходящая через центр О зеркала, называется оптической осью . Оптическая ось ОР, проходящая через полюс зеркала, называется главной оптической осью , все остальные оси - побочными оптическими осями . Ясно, что любая оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала является нормалью к последней (любой радиус перпендикулярен к касательной к поверхности сферы). Точка F на главной оптической оси, через которую проходят после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно главной оптической оси, называется фокусом зеркала . У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого зеркала фокус мнимый. Расстояние от фокуса сферического зеркала до его полюса PF называется фокусным расстоянием . Его принято обозначать также буквой F. Плоскость KL, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью . В фокальной плоскости пересекаются после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно какой-либо побочной оптической оси.

Определим положение фокуса сферического зеркала. Пусть на зеркало (рис. 16.14) падает луч NM, параллельный главной оптической оси. Отраженный от зеркала луч MF пройдет через фокус F. Луч NM составляет с радиусом ОМ угол \(~\alpha\). Угол отражения \(~\ang OMF=\alpha\) и \(~\ang MOF=\alpha\) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и РО и секущей МО. Следовательно, \(~\Delta MOF\) - равнобедренный (FO = MF). Угол MFE = 2\(~\alpha\) (угол внешний по отношению к \(~\Delta MOF\)).

Будем рассматривать только так называемые параксиальные пучки, т.е. узкие пучки, составляющие с оптической осью зеркала очень малые углы (в широком пучке три луча, образующие значительные углы друг с другом, не пересекаются в одной точке). Тогда \(PE \ll R, EF \approx PF\) и \(tg \alpha \approx \sin \alpha = \alpha \).

Из \(~\Delta MOC\) \(\sin \alpha = \frac{h}{R} \Rightarrow \alpha \approx \frac{h}{R} \) Из \(~\Delta MEF\) \(tg 2 \alpha = \frac{h}{EF} \Rightarrow 2 \alpha \approx \frac{h}{PF}. \)

Отсюда \(2 \frac{h}{R}=\frac{h}{PF} \Rightarrow PF=\frac{R}{2}.\) Таким образом, точка F лежит на главной оптической оси и делит радиус зеркала ОР на две одинаковые части. Значит, фокусное расстояние \(F=\frac{F}{2}.\)

Аналогично можно доказать, что фокус выпуклого сферического зеркала лежит на главной оптической оси за зеркалом и удален от полюса зеркала на расстояние, равное половине радиуса зеркала. Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным (так как увыпуклого зеркала фокус мнимый), т.е. у выпуклого зеркала \(F=-\frac{F}{2}.\)

Формула сферического зеркала. Пусть точечный источник света S (рис. 16.15) расположен на главной оптической оси зеркала на расстоянии SP = d . Угол падения луча SM на поверхность зеркала \(~\ang SMO = \alpha\). Отраженный луч пересекает главную оптическую ось в точке S". Угол отражения \(\ang OMS" = \alpha\) (по закону отражения). Обозначим угол наклона падающего луча к главной оптической оси \(\ang MSO = \varphi\), угол наклона отраженного луча \(\ang MS"P = \gamma\), угол наклона радиуса \(\ang MOP = \beta,\) расстояние от точки М до главной оптической оси через ME = h.

Угол \(~\beta\) - внешний по отношению к \(\Delta OMS\). Поэтому \(\beta = \alpha + \varphi\).

Угол \(~\gamma\) - внешний по отношению к \(\Delta S"OM\). Поэтому \(~\gamma = \alpha + \beta\).

Из этих равенств получаем

\(\gamma + \varphi = 2 \beta\)

Из \(\Delta S"EM\) находим \(tg \gamma= \frac{h}{ES"} \approx \frac{h}{f}\). Из \(\Delta OME\) имеем \(tg \beta=\frac{h}{OE} \approx \frac{h}{R}.\)

Из \(\Delta SEM\) имеем \(tg \varphi= \frac{h}{SE} \approx \frac{h}{d}\)

Так как мы рассматриваем только параксиальные лучи, то тангенсы углов можно заменить значениями самих углов в радианах. 

Следовательно, \(\gamma = \frac{h}{f};\) \(\beta = \frac{h}{R};\) \(\varphi = \frac{h}{d}.\) Подставим в (16.1), получим \(\frac{h}{f} + \frac{h}{d} = 2 \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R}. \)А так как \(F=\frac{R}{2},\) то можно записать

\(\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}\)

Это выражение называют формулой сферического зеркала. Формулу (16 2) можно применять и для выпуклых сферических зеркал, если использовать правило знаков: считать знаки величин d, f, R и F положительными, если эти расстояния измерены от полюса зеркала в ту сторону, откуда на зеркало падает свет от предмета, и отрицательными, если они отсчитаны от полюса за зеркало. Для выпуклых зеркал d>0, a R<0, F<0. Если изображение мнимое, то f<0.

Так как в формулу (16.1) не входят значения h и угла \(\varphi\), то это означает, что любой луч, выходящий из S, пройдет через точку S". Следовательно, точка S" является изображением точки S.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 461-464.

Сферические зеркала могут давать различные изображения предметов. Для построения изображения одной точки А, создаваемого сферическим зеркалом, пользуются любыми двумя из трех лучей , показанных на рис. 29.13. Луч 1 из точки А проводится параллельно главной оптической оси.

После отражения он проходит через главный фокус зеркала Ф. Луч 2 из точки А проводится через главный фокус Ф. После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала. Луч 3 проводится через сферический центр С зеркала. После отражения он идет обратно к точке А по т ой же прямой.

Примеры изображений предметов, создаваемых сферическими зеркалами, показаны на рис. 29.14. Заметим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение предметов.

Выясним, как найти положение изображения светящейся точки А, расположенной на главной оптической оси ОС зеркала (рис. 29.15). Ясно, что изображение точки должно быть на этой же оси (объясните, почему).

Проведем из точки А произвольный луч АВ. В точку его падения В проведем радиус СВ. Он является нормалью (перпендикуляром) к поверхности зеркала, поэтому <1 = <2, что и определяет положение отраженного луча BA1. В точке A1 и получится изображение точки А. Положение точки А1 однозначно определяется положением самой точки А. Поэтому точки А и А1 называют сопряженными.

Обозначим расстояние АО через d, А1О - через f и ОС - через R. Для зеркал, поверхность которых составляет малую часть поверхности сферы, приближенно можно считать, что BA ≈ ОA = d и ВА1 ≈ OA1 = f. Так как <1 = <2, то линия ВС в треугольнике ABA1 является биссектрисой угла АВА1, а это означает, что отрезки АС и А1С пропорциональны сторонам треугольника АВА1.

А1С/АС = ВА1/ВА, или (R-f)/(d-R) = f/d.

Преобразуем последнее соотношение:

Rd – fd = fd – Rf; Rf + Rd = 2fd.

После деления на Rfd получим 1/d + 1/f = 2/R. Заменяя R его значением, получим формулу сопряженных точек зеркала:

1/d + 1/f = 1/F. (29.2)

Эта формула справедлива как для вогнутых, так и для выпуклых зеркал, но числовые значения действительных величин следует подставлять с плюсом, а мнимых - с минусом. Например, главное фокусное расстояние вогнутых зеркал берется со знаком плюс, а выпуклых - со знаком минус. Отрицательный ответ показывает, что соответствующая ему величина - мнимая.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный медицинский университет Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»

(ГОУ ВПО СибГМУ Росздрава)

Кафедра___________________________

Утверждено

На заседании кафедры

Протокол №___от « «_______2009

Ст. преподаватель Колубаева Л.А.

ЛЕКЦИЯ №2

« Оптические системы»

Введение:

Используя законы геометрической оптики можно проектировать физический эксперимент. Получать изображения различных объектов, наблюдать которые невозможно, изменяя оптический ход лучей.

1.Оптические системы: отражательные и преломляющие

2.Сферические зеркала и их оптические характеристики.

3. Связь оптических и геометрических характеристик зеркал.

4.Зеркальное отражение, диффузное отражение

5.Построение изображений в зеркалах и их характеристика.

6.Формула зеркала и правило знаков. Увеличение изображений зеркалом

7.Линзы, оптические оси, фокусы, вершины, фокальные поверхности. Тонкие линзы, оптический центр.

8. Преломление на сферической поверхности.

Литература

1. Джанколи Д. Физика.Т.2; М. Мир, 1989г

2.Мякишев Т.Я. Физика, Оптика; М. Дрофа, 2002г

3.Савельев И.В. Курс общей физики т.3 М.изд. Дрофа,2003г.

Наглядные пособия

Компьютерные демонстрации

Презентации

Оптические системы

Тела или системы тел, преобразующие ход лучей света называются оптическими системами.

Если расходящийся пучок лучей преобразуется оптической системой в сходящийся пучок, изображение точки, получившееся в месте пересечения преобразованных лучей, называют действительным, а оптические системы – собирающими.

Если расходящийся пучок лучей, выходящий из светящейся точки, преобразуется оптической системой, так, что он остается расходящимся, изображение точки, получающееся на месте пересечения продолжений преобразованных лучей, называется мнимым, а система называется рассеивающей. Мнимые изображения представляют собой «оптические приведения», их невозможно наблюдать ни на каком экране, между тем как действительные изображения на самом деле существуют и легко наблюдаются.

Оптические системы, состоящие из зеркал – это отражательные системы.

Оптические системы, состоящие из линз – преломляющие системы. В практике используются сложные системы.

Лучевой метод нахождения расположения предмета.

Мы уже знаем, что в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно. Рассмотрим точечный источник света (точечным считается источник, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается его действие). Лучи света, исходящие из этого источника, направлены вдоль радиусов (см. рис.2.1а). Лучевой метод нахождения расположения предмета основывается на законе прямолинейного распространения света. Если известны направления нескольких лучей, выходящих из точечного источника, то всегда можно определить положение этого источника. Следует просто продолжить хотя бы два таких луча в направлении противоположном их распространению, до их пересечения. Точка их пересечения и является положением точечного источника (см. рис.2.1б).

Когда пучок расходящихся лучей попадает из источника в глаз, то хрусталик глаза автоматически меняет свою форму так, чтобы расходящиеся из точечного источника лучи собирались на сетчатке глаза, таким образом, мы получаем изображение точки. Этот процесс дает те же сведения, которые мы получаем, продолжая лучи до их пересечения.

Лучевой методнахождения расположения предмета используется при построении изображений.Изображением точечного источника называют точку, в которой пересекаются лучи или их продолжения от этого источника после прохождения ими оптической системы (зеркало, призма, линза)

Сферические зеркала и их оптические характеристики.

Сферическое зеркал о. Сферическое зеркало, это зеркало, образованное частью поверхности сферы. Существуют два типа таких зеркал. Если зеркальной является вогнутая сторона, то зеркало называется вогнутым. Если зеркальной является выпуклая поверхность, то зеркало называется выпуклым. Центр сферы, часть которой составляет поверхность зеркала, называется оптическим центром зеркала С, а радиус ее называется радиусом кривизны R зеркала (см.рис.2.2)

Вершина шарового сегмента О называется полюсом зеркала . Прямая линия, проходящая через оптический центр зеркала, называется его оптической осью. Оптическая ось, проходящая через полюс зеркала, называется главной, а прочие оптические оси побочными оптическими осями Согласно законам отражения, луч, падающей на сферическое зеркало, и луч, отраженный составляют с радиусом кривизны зеркала одинаковые углы и лежат с ним в одной плоскости. Главная оптическая ось выделена из всех других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что она является осью симметрии зеркала.

Вогнутое зеркало. Фокус .

Отражение параллельного пучка лучей от вогнутого сферического зеркала. Точки O – оптический центр, P – полюс, F – главный фокус зеркала; OP – главная оптическая ось, R – радиус кривизны зеркала.

Фокусом вогнутого зеркала называется точка, в которой пересекаются после отражения параллельные лучи, падающие на зеркало.

Фокус, лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом. Фокус, лежащий на побочной оси, называется побочным. Фокусы вогнутого зеркала действительные. Расстояние между полюсом и главным фокусом называется главным фокусным расстоянием F. Геометрическое место всех фокусов представляет часть сферической поверхности, называемую фокальной поверхностью.

Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Если на выпуклое зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после отражения в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения (рис.2.4).

Главное фокусное расстояние сферического зеркала связано с радиусом кривизны.

Найдем связь между оптической характеристикой и расстояниями, определяющими положение предмета и его изображения.

Пусть предметом служит некоторая точка А, располагающаяся на оптической оси. Используя законы отражения света, построим изображение этой точки (рис. 2.13).

Обозначим расстояние от предмета до полюса зеркала (АО), а от полюса до изображения(ОА).

Рассмотрим треугольник АРС, получаем, что

Из треугольника АРА, получаем, что
. Исключим из этих выражений угол
, так как единственный который не опирается на ОР.

,
или

(2.3)

Углы ,,опираются на ОР. Пусть рассматриваемые пучки параксиальны, тогда эти углы малы и, следовательно, их значения в радианной мере равно тангенсу этих углов:

;
;
, гдеR=OC, является радиусом кривизны зеркала.

Подставим полученные выражения в уравнение (2.3)

Так как мы ранее выяснили, что фокусное расстояние связано с радиусом кривизны зеркала, то

(2.4)

Выражение (2.4) называется формулой зеркала, которая используется лишь с правилом знаков:

Расстояния ,,
считаются положительными, если они отсчитываются по ходу луча, и отрицательными – в противном случае.

Выпуклое зеркало .

Рассмотрим несколько примеров на построение изображений в выпуклых зеркалах.

1) Предмет расположен на расстоянии большем радиуса кривизны. Строим изображение концевых точек предмета А и В. Используем лучи: 1) параллельный главной оптической оси; 2) луч, проходящий через оптический центр зеркала. Получим изображение мнимое, уменьшенное, прямое.(рис.2.14)

2) Предмет расположен на расстоянии равном радиусу кривизны. Изображение мнимое, уменьшенное, прямое (рис.2.15)

Фокус выпуклого зеркала мнимый. Формула выпуклого зеркала

.

Правило знаков для d и f остается таким же, как и для вогнутого зеркала.

Линейное увеличение предмета определяется отношением высоты изображения к высоте самого предмета

. (2.5)

Таким образом, независимо от расположения предмета относительно выпуклого зеркала изображение оказывается всегда мнимым, прямым, уменьшенным и расположенным за зеркалом. В то время как изображения в вогнутом зеркале более разнообразны, зависят от расположения предмета относительно зеркала. Поэтому вогнутые зеркала применяются чаще.

Рассмотрев принципы построения изображений в различных зеркалах, мы подошли к пониманию действия столь различных приборов, как астрономические телескопы и увеличивающие зеркала в косметических приборах и медицинской практике, мы способны сами спроектировать некоторые приборы.

Зеркальное отражение, диффузное отражение

Плоское зеркало.

Простейшей оптической системой является плоское зеркало. Если параллельный пучок лучей, падающий на плоскую поверхность раздела двух сред, после отражения остается параллельным, то отражение называется зеркальным, а сама поверхность называется плоским зеркалом (рис. 2.16).

Изображения в плоских зеркалах строятся на основании закона отражения света. Точечный источник S (рис.2.17) дает расходящийся пучок света, построим отраженный пучок. Восстановим перпендикуляр в каждую точку падения и отраженный луч изображаем из условияÐa=Ðb(Ða 1 =Ðb 1, Ða 2 =b 2 и т.д.) Получаем расходящийся пучок отраженных лучей, продолжаем эти лучи до пересечения, точка их пересечения S ¢ является изображением точки S, это изображение будет мнимым.

Изображение прямой линии AB можно построить, соединяя прямой изображения двух концевых точек А¢и В¢. Измерения показывают, что это изображение находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед зеркалом, и, что размеры его изображения такие же, как и размеры предмета. Изображение, обра­зующееся в плоском зеркале, обращенное и мнимое (см. рис.2.18).

Если отражающая поверхность шероховата, то отражение неправильное и свет рассеивается, или диффузно отражается (рис.2.19)

Диффузное отражение гораздо более приятно для глаза, чем отражение гладкими поверхностями, называемое правильным отражением.

Линзы.

Линзы, также как и зеркала являются оптическими системами, т.е. способны изменять ход светового луча. Линзы по форме могут быть различными: сферическими, цилиндрическими. Мы остановимся только на сферических линзах.

Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями, называется линзой .

Прямую линию, на которой лежат центры сферических поверхностей, называют главной оптической осью линзы. Главная оптическая ось линзы пересекает сферические поверхности в точках М и N – это вершины линзы. Если расстоянием MN можно пренебречь по сравнению с R 1 и R 2 , то линза называется тонкой. В этом случае (×)М совпадает с (×)N и тогда (×)М будет называться оптическим центром линзы. Все прямые, проходящие через оптический центр линзы, кроме главной оптической оси называются побочными оптическими осями (рис.2.20).

Собирающие линзы . Фокусом собирающей линзы называется точка, в которой пересекаются параллельные оптической оси лучи после преломления в линзе. Фокус собирающей линзы – действительный. Фокус, лежащий на главной оптической оси, называется главным фокусом. Любая линза имеет два главных фокуса: передний (со стороны падающих лучей) и задний (со стороны преломленных лучей). Плоскость, в которой лежат фокусы, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость всегда перпендикулярна главной оптической оси и проходит через главный фокус. Расстояние от центра линзы до главного фокуса называется главным фокусным расстоянием F (рис.2.21).

Для построения изображений какой- либо светящейся точки следует проследить ход любых двух лучей, падающих на линзу и преломленных в ней до их пересечения (или пересечения их продолжения). Изображение протяженных светящихся предметов представляет собой совокупность изображений отдельных его точек. Наиболее удобными лучами, используемыми при построении изображений в линзах, являются следующие характерные лучи:

1) луч, падающий на линзу параллельно какой-либо оптической оси, после преломления пройдет через фокус, лежащий на этой оптической оси

2) луч, идущий вдоль оптической оси, не меняет своего направления

3) луч, проходящий через передний фокус, после преломления в линзе пойдет параллельно главной оптической оси;

На рисунке 2.25 продемонстрировано построение изображения точки А предмета АВ.

Кроме перечисленных лучей при построении изображений в тонких линзах используют лучи, параллельные какой-либо побочной оптической оси. Следует иметь в виду, что лучи, падающие на собирающую линзу пучком, параллельным побочной оптической оси, пересекают заднюю фокальную поверхность в той же точке, что и побочная ось.

Формула тонкой линзы:

, (2.6)

где F - фокусное расстояние линзы; D - оптическая сила линзы; d - расстояние от предмета до центра линзы; f - расстояние от центра линзы до изображения. Правило знаков будет таким же, как и для зеркала: все расстояния до действительных точек считаются положительными, все расстояния до мнимых точек считаются отрицательными.

Линейное увеличение, даваемое линзой,

, (2.7)

где H - высота изображения; h - высота предмета.

Рассеивающие линзы . Лучи, падающие на рассеивающую линзу параллельным пучком, расходятся так, что их продолжения пересекаются в точке, называемоймнимым фокусом.

Правила хода лучей в рассеивающей линзе:

1) лучи, падающие на линзу параллельно какой-нибудь оптической оси, после преломления пойдут так, что их продолжения пройдут через фокус, лежащий на оптической оси (рис. 2.26):

2)луч, идущий вдоль оптической оси, не меняет своего направления.

Формула рассеивающей линзы:

(правило знаков остается прежним).

На рисунке 2.27 приведен пример построения изображений в рассеивающих линзах.