Логический подход к построению систем ии

В этом уроке мы, наконец, переходим к теме, которая составляет ядро любого рассуждения и любой логической системы - умозаключениям. В четвёртом уроке мы говорили, что рассуждение - это совокупность суждений или высказываний. Очевидно, что такое определение не полно, ведь оно ничего не говорит о том, почему вдруг какие-то разные высказывания оказались рядом. Если дать более точное определение, то рассуждение - это процесс обоснования какого-либо высказывания с помощью его последовательного вывода из других высказываний. Этот вывод чаще всего осуществляется в форме умозаключений.

Умозаключение - это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний А 1 , А 2 , …, А n к высказыванию В. А 1 , А 2 , …, А n называют посылками. Посылка может быть одна, их может быть две, три, четыре, в принципе - сколько угодно. В посылках содержится известная нам информация. В - это заключение. В заключении находится уже новая информация, которую мы извлекли из посылок с помощью специальных процедур. Эта новая информация уже содержалась в посылках, но в скрытом виде. Так вот задача умозаключения сделать это скрытое явным. Кроме того, иногда посылки называют аргументами, а заключение - тезисом, а само умозаключение в этом случае называют обоснованием. Разница между умозаключением и обоснованием состоит в том, что в первом случае, мы не знаем, к какому заключению мы придём, а во втором - тезис нам уже известен, мы просто хотим установить его связь с посылками-аргументами.

В качестве иллюстрации умозаключения можно взять рассуждения Эркюля Пуаро из «Убийства в восточном экспрессе» Агаты Кристи:

Но я почувствовал, что он перестроился на ходу. Предположим, он хотел сказать: «А разве ее не сожгли?» Следовательно, Маккуин знал и о записке, и о том, что ее сожгли, или, говоря другими словами, он был убийцей или пособником убийцы.

Над чертой располагаются посылки, под чертой - заключение, а сама черта обозначает отношение логического следования.

Критерии истинности умозаключений

Также как и для суждений, для умозаключений существуют определённые условия их истинности. При определении, истинное умозаключение или ложное, нужно обращать внимание на два аспекта. Первый аспект - это истинность посылок. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и сделанное заключение тоже будет ложным. Поскольку заключение - это та информация, которая была скрыта в посылках и которую мы просто извлекли на свет, то из неверных посылок невозможно случайно получить верный вывод. Это можно сравнить с попыткой сделать бифштекс из моркови. Наверное, моркови можно придать цвет и форму бифштекса, но внутри всё равно будет морковь, а не мясо. Никакие кулинарные операции не преобразуют одно в другое.

Второй аспект - это правильность самого умозаключения с точки зрения его логической формы. Дело в том, что истинность посылок - это важное, но недостаточное условие для того, чтобы заключение было правильным. Нередки ситуации, когда посылки истинны, но заключение неверно. В качестве примера неправильного умозаключения при истинности посылок можно привести умозаключение голубки из «Алисы в стране чудес» Кэрролла. Голубка обвиняет Алису, в том, что она не змея. Вот как она приходит к этому выводу:

Змеи едят яйца.
Девочки едят яйца.
Значит, девочки - это змеи.

Хотя посылки правильные, заключение абсурдно. Умозаключение в целом сделано неверно. Чтобы избежать подобных ошибок, логики выявили такие умозаключения, логические формы которых при истинности посылок гарантируют истинность заключения. Их принято называть правильными умозаключениями. Таким образом, чтобы умозаключение было сделано верно, нужно следить за истинностью посылок и за правильностью самой формы умозаключения.

Мы рассмотрим различные формы правильных умозаключений на примере силлогистики. В этом уроке мы разберём самые простые однопосылочные заключения. В следующем уроке - более сложные заключения: силлогизмы, энтимемы, многопосылочные заключения .

Чтобы было легче запомнить, какие именно типы умозаключений возможны между категорическими атрибутивными высказываниями, логики придумали специальный логический квадрат, изображающий отношения между ними. Поэтому некоторые однопосылочные умозаключения также называют умозаключениями по логическому квадрату. Посмотрим на этот квадрат:

Начнём с отношений подчинения . Мы уже сталкивались с ними в четвёртом уроке, когда рассматривали условия истинности для частно-утвердительных и частно-отрицательных высказываний. Мы говорили, что из высказывания «Все S есть P» будет логичным вывести высказывание «Некоторые S есть P», а из высказывания «Ни один S не есть P» - «Некоторые S не есть P». Таким образом, возможны следующие типы умозаключений:

• Все S есть P
• Некоторые S есть P
• Все птицы имеют клюв. Следовательно, некоторые птицы имеют клюв.
• Ни один S не есть P
• Некоторые S не есть P
• Ни один гусь не хочет быть пойман и зажарен. Следовательно, некоторые гуси не хотят быть пойманными и зажаренными.

Кроме того, по правилу контрапозиции из отношений подчинения можно вывести ещё два правильных умозаключения. Правило контрапозиции - это логический закон, который гласит: если из высказывания А следует высказывание В, то из высказывания «неверно, что В» будет следовать высказывание «неверно, что А». Вы можете попробовать проверить этот закон с помощью таблицы истинности. Итак, будут верны и следующие умозаключения по контрапозиции:

• Неверно, что все S есть P
• Неверно, что некоторые автомобили не имеют колёс. Поэтому неверно, что все автомобили не имеют колёс.
• Неверно, что все S не есть P
• Неверно, что некоторые вина не являются спиртными напитками. Таким образом, неверно, что все вина не являются спиртными напитками.

Отношение контрарности (противоположности) означает, что высказывания типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ложными. Это хорошо видно из таблицы истинности для категоричных атрибутивных высказываний, которую мы построили в прошлом уроке. Отсюда можно вывести так называемый закон контрарного противоречия: Неверно, что все S есть P и в то же время ни один S не есть P.

По закону контрарного противоречия будут истинными следующие виды умозаключений:

• Все S есть P
• Все яблоки - это фрукты. Следовательно, неверно, что ни одно яблоко не является фруктом.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Ни один кит не умеет летать. Поэтому неверно, что все киты умеют летать.

Отношения субконтрарности (подпротивоположности) означают, что высказывания типа «Некоторые S есть P» и «Некоторые S не есть P» не могут быть одновременно ложными, хотя могут быть одновременно истинными. На этом основании может быть сформулирован закон субконтрарного исключённого третьего: Некоторые S не есть P или Некоторые S есть P.

• Согласно этому закону правильными будут следующие умозаключения:
• Неверно, что некоторые S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что некоторые продукты полезны для здоровья. Поэтому некоторые продукты не полезны для здоровья.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что некоторые ученики из нашего класса не являются двоечниками. Таким образом, некоторые ученики из нашего класса являются двоечниками.

Отношения противоречия (контрадикторности) говорят о том, что высказывания, находящиеся в них, не могут быть одновременно истинными или ложными. На основании этих отношений можно сформулировать два закона противоречия и два закона исключённого третьего. Первый закон противоречия: Неверно, что все S есть P и некоторые S не есть P. Второй закон противоречия: Неверно, что ни один S не есть P и некоторые S есть P. Первый закон исключённого третьего: Все S есть P или некоторые S не есть P. Второй закон исключённого третьего: Ни один S не есть P или некоторые S есть P.

На этих законах строятся умозаключения следующих видов:

• Все S есть P
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все дети нуждаются в заботе. Следовательно, неверно, что некоторые дети не нуждаются в заботе.
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые книги не являются скучными. Поэтому, неверно, что все книги являются скучными.
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все сотрудники нашей фирмы усердно работают. Таким образом, некоторые сотрудники нашей фирмы не работают усердно.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все S есть P
• Неверно, что некоторые зебры не имеют полосок на коже. Следовательно, все зебры имеют полоски на коже.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни одна картина в этом зале не относится к XX веку. Поэтому неверно, что некоторые картины в этом зале относятся к XX веку.
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые студенты занимаются спортом. Таким образом, неверно, что ни один студент не занимается спортом.
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один учёный не интересуется искусством. Следовательно, некоторые учёные интересуются искусством.
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые коты курят сигары. Таким образом, ни один кот не курит сигары.

Как вы, скорее всего, заметили во всех этих умозаключениях, высказывания над чертой и под чертой несут одну и ту же информацию, просто поданную в разной форме. Важная деталь заключается в том, что смысл одних из этих высказываний воспринимается легко и интуитивно, в то время как смысл других тёмен, и над ними порой приходится поломать голову. Например, смысл утвердительных высказываний воспринимается легче, чем смысл отрицательных высказываний, смысл высказываний с одним отрицанием более понятен, чем смысл высказываний с двумя отрицаниями. Таким образом, основное назначение умозаключений по логическому квадрату состоит в том, чтобы привести сложные для восприятия, непонятные высказывания к наиболее простой и ясной форме.

Ещё одним видом однопосылочных умозаключений является обращение. Это такой тип умозаключений, при которых субъект посылки совпадает с предикатом заключения, а субъект заключения совпадает с предикатом посылки. Грубо говоря, в заключении S и P просто меняются местами.

Прежде чем перейти к умозаключениям через обращение, построим таблицу истинности для высказываний, в которых P встанет на место субъекта, а S - на место предиката.

Сравните её с той таблицей, которую мы строили в прошлом уроке. Обращение, как и другие умозаключения, может быть правильным, только когда посылка и заключение одновременно истинны. При сравнении двух таблиц, вы увидите, что таких комбинаций не так уж и много.

Итак, существует два вида обращения: чистое и с ограничением. Чистое обращение происходит тогда, когда количественная характеристика не изменяется, то есть если в посылке было слово «все», то и в заключении тоже будет слова «все»/«ни один», если в посылке слово «некоторые», то и в заключении «некоторые. Соответственно, при обращении с ограничением количественная характеристика меняется: были «все», а стали «некоторые». Для высказываний типа «Ни один S не есть P» и «Некоторые S есть P» правильным будет следующее чистое обращение:

• Ни один S не есть P
• Ни один P не есть S
• Ни один человек не может выжить без воздуха. Следовательно, ни одно живое существо, способное выжить без воздуха, не является человеком.
• Некоторые S есть P
• Некоторые P есть S
• Некоторые змеи ядовиты. Поэтому, некоторые ядовитые существа - это змеи.
• Для высказываний типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» верно обращение с ограничением:
• Все S есть P
• Некоторые P есть S
• Все пингвины - это птицы. Таким образом, некоторые птицы - это пингвины.
• Ни один S не есть P
• Некоторый P не есть S
• Ни один крокодил не ест зефир. Следовательно, некоторые существа, едящие зефир, не являются крокодилами.
• Высказывания типа «Некоторые S не есть P» вообще не обращаются.

Хотя обращения, как и умозаключения по логическому квадрату, это однопосылочные умозаключения, и мы точно также извлекаем всю новую информацию из имеющейся посылки, посылку и заключение в них уже нельзя назвать просто разными формулировками одной и той же информации. Полученная информация относится уже к другому субъекту, а потому она уже не кажется такой тривиальной.

Итак, в этом уроке мы начали рассматривать правильные виды умозаключений. Мы поговорили о самых простейших однопосылочных умозаключениях: умозаключениях по логическому квадрату и умозаключениях через обращение. Хотя эти умозаключения довольно просты и даже где-то тривиальны, люди повсеместно совершают в них ошибки. Понятно, что сложно удержать в памяти все виды правильных умозаключений, поэтому, когда вы будете выполнять упражнения или столкнётесь с необходимостью проверить или сделать однопосылочное умозаключение в реальной жизни, не бойтесь прибегать к помощи модельных схем и таблиц истинности. Они помогут вам проверить, всегда ли при истинности посылок заключение тоже истинное, а это главное для правильного умозаключения.

Упражнение «Подберите ключ»

В этой игре вам нужно создать ключ правильной формы. Для этого установите засечки нужной длины (от 1 до 3, 0 – быть не может), а затем нажмите кнопку «Попробовать». Вам будут даны 2 суждения, сколько засечек выбранной длины присутствуют в ключе (для простоты значение «наличие»), и сколько из выбранных находятся на своём месте (для простоты значение «на месте»). Скорректируйте своё решение и пробуйте, пока не подберёте ключ.

Упражнения

Сделайте все возможные умозаключения из следующих высказываний по логическому квадрату:

• Все медведи на зиму залегают в спячку.
• Неверно, что все люди завистливы.
• Ни один гном не достигает роста в два метра.
• Неверно, что ни один человек не был на Северном полюсе.
• Некоторые люди никогда не видели снега.
• Некоторые автобусы ходят по расписанию.
• Неверно, что некоторые слоны летали на луну.
• Неверно, что некоторые птицы не имеют крыльев.

Сделайте обращения с теми, высказываниями, с которыми это возможно:

• Никто ещё не построил машину времени.
• Некоторые официанты очень назойливы.
• Все профессионалы опытны в своём деле.
• Некоторые книги не имеют твёрдой обложки.

Проверьте, правильно ли сделаны следующие умозаключения:

• Некоторые кролики не носят белые перчатки. Следовательно, некоторые кролики носят белые перчатки.
• Неверно, что никто не был на Луне. Таким образом, некоторые люди были на Луне.
• Все люди смертны. Поэтому все смертные - это люди.
• Некоторые птицы не умеют летать. Следовательно, некоторые существа, не умеющие летать, это птицы.
• Ни один ягнёнок не имеет пристрастия к виски. Следовательно, ни одно существо, имеющее пристрастие к виски, не является ягнёнком.
• Некоторые морские животные млекопитающие. Таким образом, неверно, что ни одно морское животное не является млекопитающим.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Иллюстрирует так называемую безвозвратную процедуру. В этом случае на каждом шаге выбирается единственное решение - так, для слова РОЗА таким решением будет РОЗЫ , - проблема выбора решения не возникает. В общем случае неформальные процедуры являются многозначными, а правильность конкретного выбора, сделанного на некотором шаге, проверяется на следующих шагах. При этом используется так называемый режим возвратов.

МАТЬ ------> ЛЮБИТ ------> ? что делать? кого?

МАТЬ <------ ЛЮБИТ <------ ? кого? что делать?

Пусть предложение начинается со слов МАТЬ ЛЮБИТ.. . . Проанализировав эти слова в первоначальном предположении именительного падежа для слова МАТЬ , система вправе построить структуру, представленную в случае 1). Если следующее слово после слова ЛЮБИТ представляет собой существительное в винительном падеже, например, вся фраза имеет вид МАТЬ ЛЮБИТ СЫНА , то эта структура является окончательной. Если же фраза имеет вид МАТЬ ЛЮБИТ СЫН , то возникает противоречие или, как говорят, сигнал неуспеха - очередное слово СЫН противоречит ожиданию прямого дополнения. В этом случае система должна вернуться на ближайший из предыдущих шагов, где можно принять другую альтернативу анализа. В данном примере это шаг анализа слова МАТЬ - система должна принять теперь альтернативу винительного падежа для этого слова. Далее будет построена структура, указанная в случае 2).

Тривиальность рассмотренного примера убеждает в необходимости режима возвратов при реализации неформальных процедур.

Логический вывод

Важность логического вывода становится очевидной уже при рассмотрении простейших информационно-логических процедур. Предположим, что некоторая база данных содержит сведения об отношениях " х - ОТЕЦ у " и " х - МАТЬ у ". Чтобы обработать запросы типа:

ИВАНОВ А.И. - ДЕД ПЕТРОВА В.А. ?

ПЕТРОВ В.А. - ВНУК ИВАНОВА А.И. ?

необходимо либо ввести в базу данных также и сведения об отношениях " х - ДЕД у " и " х - ВНУК у ", либо объяснить системе, как из отношений ОТЕЦ, МАТЬ извлечь искомую информацию. Реализация первой возможности связана с неограниченным ростом избыточности базы данных. Вторая возможность при традиционном алгоритмическом подходе требует написания все новых и новых программ для реализации новых типов запросов.

Логический вывод позволяет расширять возможности "общения" наиболее просто и наглядно. Так, для приведенных типов запросов системе достаточно будет сообщить три правила:

1. х -ДЕД у если х -ОТЕЦ а и а -РОДИТЕЛЬ у ;
2. х -РОДИТЕЛЬ у если х -ОТЕЦ у или х -МАТЬ у ;
3. х -ВНУК у если у -ДЕД х .

Эти правила содержат естественные и очевидные определения понятий ДЕД, РОДИТЕЛЬ, ВНУК . Поясним, в чем состоит логический вывод для запроса " А -ДЕД В ?" в предположении, что в базе данных имеются факты: А -ОТЕЦ Б и Б -МАТЬ В . При этом для упрощения опустим тонкости, связанные с падежными окончаниями. Пользуясь определением 1, система придет к необходимости проверки существования такого индивидуума а, что факты А -ОТЕЦ а и а -РОДИТЕЛЬ В истинны. Если такой а существует, то А -ДЕД В , если не существует такого а , то А не является дедом В .

Зависимость продукций

Продукционные системы, содержащие аппарат логического вывода, отличает высокая степень общности правил обработки данных. Однако именно эта общность приводит к ухудшению динамических свойств соответствующих продукционных программ, к трудностям их модификации и развития. Чтобы понять, в чем тут причина, обратимся снова к Таблице 6 . Пока эта таблица содержит несколько строк, не представляет особого труда установление правильного порядка их следования, но если учесть, что реальное количество продукций в подобных задачах исчисляется сотнями и более, трудоемкость их правильного взаимного расположения становится очевидной. Практически, при программировании неформальных "человеческих" процедур, подобные таблицы можно вручную создавать и сопровождать для нескольких десятков продукций, максимум - для 100-200. Продукции зависимы, и за правильное выявление этой зависимости отвечает программист. Новые продукции необходимо вручную вставлять на нужное место.

Мы могли бы использовать в таблице решений только конкретные факты, например правила ДОМ -> ДОМА , МАМА -> МАМЫ и т. д., и динамичность соответствующей таблицы решений была бы восстановлена - подобные правила можно было бы вводить в произвольном порядке! Однако цена подобной "динамичности" окажется непомерно высокой - полный отказ от обобщенных правил.

Желательно восстановить динамичность продукционно-логических систем, сохранив при этом в полном объеме возможность использования обобщенных правил. Продукционная система должна взять на себя функции распознавания и интерпретации приоритета продукций - программист должен только описывать ситуации и соответствующие им действия.

Продукционные системы с исключениями

Если отношение "правило-исключение" встроено в систему, она сама может понять, что преобразование ПАЛКА -> ПАЛКЫ неверно. При этом система должна руководствоваться простым принципом: если применимо исключение, общее правило запрещено. Соответствующие системы будем называть системами с исключениями.

Отношение "общее правило - исключение" безусловно полезно для понимания системой уместности правил. Можно сказать, что это отношение устанавливает автоматически (по умолчанию) наиболее типичное для неформальных процедур взаимодействие правил:

Предположим, однако, что по условию конкретной задачи для слов, начинающихся с А , реакция р 1 также допустима. В этом случае введение нового правила снимает запрет на реакцию р 1 в ситуации Ах .

Аналогичный способ годится для пересечения правил.

Таким образом, аппарат исключений позволяет устанавливать произвольные способы взаимодействия правил, в том числе и отличные от взаимодействия по умолчанию.

При развитии продукционной системы с исключениями программист сосредотачивает свое внимание на выявлении новых правил и на обобщении уже имеющихся. Аппарат исключений освобождает программиста от решения трудоемких вопросов согласования правил - распознавание и интерпретация исключений осуществляется автоматически.

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

осуществляется переход по правилам от высказывания или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить следования логического (ту или иную его разновидность); 2) переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В современной логике логического вывода определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций. Стандартное логического вывода (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: вывод в S из множества формул Г есть такая последовательность Ai... A, формул языка исчисления S, что для каждой Ai (ÏSiSn) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трех условий: 1) А, есть формула из Г; 2) Αι есть исчисления S; 3) А, есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности Л ι...Лд формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по одному из правил вывода исчисления S. Если α есть вывод в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками a, a вывод α называется выводом в S из посылок Г; если при этом А есть последняя формула а, то а называется логическим выводом в S формулы А из посылок Г. Запись “Г ,А* означает, что существует логический вывод в S формулы А из посылок Г. Логический вывод в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись “ г,-4” означает, что существует в S формулы А. Формула А называется доказуемой в S, если -А. В качестве примера рассмотрим аксиоматическое Si со стандартным определением вывода, являющееся вариантом классической логики высказывании. Алфавит этого исчисления содержит только пропозициональные переменные pi, pi, ..., р„ ..., =>, 1 и круглые скобки. Определение формулы в этом языке обычное. Аксиомы?ι-ύто формулы следующих шести видов (и только эти формулы): I. (А^>А), II. ((Д55)э((Д=)С)э(^эС))), Ш. ((Л=?/”эО)эГДэ(ЛэС))), IV. ((Лэ(1Д))э(Дэ(1Д))), V. ((1(1Л)эЛ), М. (((А зВ)=,А)зА).

Определение логического вывода для Si является очевидной конкретизацией определения, данного выше. Следующая последовательность формул Ф1 - Ф6 является логическим выводом в Si формулы ((pi^pi)^) из посылок .

ΦΙ. ((Ρι^Ρι)^(Ρι^Ρι)), Ф2. Wpi-spî) э(р1 эра)) =>ό?ι =>((?, э^) з^))), ФЗ. (р1Э((р1=>й)э^)), Ф4.^, Ф5. ((pi Dpi)^pî).

Анализ: Ф1 есть аксиома вида 1, Ф2 есть аксиома вида III, ФЗ получена по правилу модус поненс из Ф1 и Ф2, Ф4 есть , Ф5 получена по правилу модус поненс из Ф4 и ФЗ. Итак, fßilhi ((р^рг)=)рг). Рассмотрев последовательность формул Ф1, Ф2 ФЗ, убеждаемся, что гл(р13р1)зрг)).

В ряде случаев логический вывод определяется так, что на использование некоторых правил накладываются ограничения. Напр., в аксиоматических исчислениях, являющихся вариантами классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода только модус поненс и правило обобщения, логический вывод часто определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение: любое применение правилам обобщения в α таково, что , по которой ироввдитея обобюение в этом применении правила обобщения, не входит ни в одну посылку, предшествующую в α нижней формуле этого применения правила обобщения. Цель этого ограничения обеспечить полезных с точки зрения логики свойств вывода (напр., выполнение для простых форм дедукции теоремы). Существуют определения логического вывода (как для аксиоматических, так и для исчислений других типов), которые (1) задают логический вывод не только из множества посылок, но допускают другие формы организации посылок (напр., списки или последовательности), (2) структурируют вывод не только линейно, но, напр., в форме дерева, (3) имеют явно выраженный индуктивный ; при этом индуктивное определение вывода может вестись как по одной переменной (напр., по длине вывода), так и по нескольким переменньм (напр., по длине логического вывода и по числу его посылок), (4) содержат формализацию зависимости между формулами в логическом выводе, и многие другие определения логического вывода, обусловленные иными способами формализации и аксиоматизации классических и неклассических систем логики. О некоторых из них см. в ст. Аналитических таблиц . Семиотика, Исчисление секвенций.

В. М. Попов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль . Под редакцией В. С. Стёпина . 2001 .

Смотреть что такое "ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ" в других словарях:

вывод логический - ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ рассуждение, в котором по определенным правилам осуществляется переход от высказываний или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К В. л. обычно предъявляются (разом или по отдельности) следующие… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

вывод (логический) - — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN inference …

Рассуждение, в ходе которого из к. л. исходных суждений посылок с помощью логических правил получают заключение новое суждение. Напр., из суждений Все люди смертны и Кай человек мы можем вывести с помощью правил простого категорического… … Словарь терминов логики

Логический формальный вывод в исчислении, содержащем логические правила и имеющем в качестве основных выводимых объектов формулы (интерпретацией к рых являются суждения;см. Логические исчисления. Логико математические исчисления). Поскольку… … Математическая энциклопедия

- (греч. logikos, от logos рассуждение). Согласный с логикою или основанный на законах мышления. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЛОГИЧЕСКИЙ греч. logikos, от logos, рассуждение. Согласный или… … Словарь иностранных слов русского языка

В (традиционной) логике рассуждение, в ходе которого из некоторых исходных высказываний (суждений), называемых посылками, с помощью логических правил получают новое высказывание, называемое заключением. Напр., из высказываний «Все полноправные… … Философская энциклопедия

логический вывод - — Тематики электросвязь, основные понятия EN inference … Справочник технического переводчика

Вывод процесс рассуждения, в ходе которого осуществляется переход от некоторых исходных суждений (предпосылок) к новым суждениям заключениям. Правила преобразования исходной системы предпосылок в систему заключений называются правилами вывода… … Википедия

ЛОГИЧЕСКИЙ, логическая, логическое (книжн.). 1. прил. к логика. Логические категории. 2. (в качестве кратк. употр. логичен, логична, логично). Основанный на правильном умозаключении, отвечающий требованиям логики. Логический вывод. Логическое… … Толковый словарь Ушакова

вывод - Логически выведенное положение, умозаключение. Важный, верный, глубокий, единогласный, закономерный, значимый, категорический, категоричный, конкретный, логический, логичный, ложный, малообоснованный, мудрый, научный, неверный, необоснованный,… … Словарь эпитетов

Книги

• Искусственный интеллект. Современный подход. Руководство , Норвиг Питер. Первое издание этой книги стало классическим образцом литературы по искусственному интеллекту. Оно было принято в качестве учебного пособия больше чем в 600 университетах 60 стран мира и…

1

В работе приводится формальное описание задачи прогнозирования как задачи дедуктивного вывода, даётся содержательная постановка задачи логического вывода следствий и предлагается новый метод с построением схемы логического вывода. Применение метода иллюстрируется на примерах с использованием исчисления высказываний. Прогнозирование различных событий, происходящих в реальности, играет очень важную роль во всех сферах человеческой деятельности. Данный процесс особенно актуален в наши дни, так как развитие экономики, науки и техники, управления производством требуют очень продуманных решений. Ошибки могут стоить больших затрат ресурсов и времени. Прогнозирование представляет собой процесс разработки прогнозов – научно-обоснованных суждений о возможных состояниях объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках его существования. Многообразие видов прогнозов предполагает использование различных методов для их разработки. Математические методы параметрического программирования обычно применяются в случае, когда ни функция, ни структура объекта не изменяются во времени. В последние годы особый интерес вызывают методы логического прогнозирования. Подобные методы используются для анализа объектов, развитие которых либо полностью, либо частично не поддается предметному описанию или математической формализации. Также методы логического прогнозирования эффективны, когда либо время или средства, выделяемые на прогнозирование и принятие решений, не позволяют исследовать проблему с применением математических моделей, либо отсутствуют необходимые технические средства моделирования, например, вычислительная техника с соответствующими характеристиками. В отличие от методов прогнозирования, основанных на регрессионном анализе или на анализе временных рядов, методика прогнозирования на основе логического вывода требует меньших объемов статистической информации при выполнении условий на способ представления этой информации.

логическое прогнозирование

дедуктивный логический вывод

исчисление высказываний

схема вывода

1. Люгер Дж.Ф. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем. – 4-е изд. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 864 с.

2. Матвеев М.Г., Свиридов А.С., Алейникова Н.А.. Модели и методы искусственного интеллекта: применение в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 397 с.

3. Страбыкин Д.А. Логический вывод в системах обработки знаний. – СПб.: СПбГЭТУ, 1998. – 164 с.

4. Страбыкин Д.А., Томчук М.Н. Метод логического вывода модифицируемых заключений. // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 2. – С. 276–282.

5. Russel S., Norvig P. Artificial Intelligence: a modern approach. Third edition. New Jersey, Prentice Hall, 2010. 784 p.

Прогнозирование развития ситуаций представляет интерес в самых различных сферах деятельности человека. Для решения этой задачи известно большое число подходов и методов. Важное место среди них занимает логическое прогнозирование. К методам логического прогнозирования обычно относят создание прогнозного сценария, морфологический анализ, метод исторических аналогий, прогнозирование по образцу (эталону) и др . Перспективным подходом при построении методов логического прогнозирования является использование моделирования рассуждений, в частности, логического вывода заключений . В этом случае ситуация описывается средствами формальной системы (исчисления высказываний или исчисления предикатов), а ее развитие прогнозируется с помощью дедуктивного логического вывода . Дедуктивный вывод, при проведении которого новые утверждения выступают следствиями из уже имеющихся утверждений, хотя и имеет ограниченную область применения, но надежен при условии истинности посылок. В простейшем случае дедуктивный вывод состоит в установлении факта логического следования из посылок заданного заключения .

Постановка задачи

Задачу логического вывода следствий с построением схемы вывода можно сформулировать следующим образом. Имеются исходные непротиворечивые посылки, заданные в виде множества дизъюнктов M^ = {D1, D2, …, DI}. При этом каждый дизъюнкт содержит один литерал без инверсии. Множество M^ включает подмножество однолитеральных дизъюнктов MF - фактов. Также имеется множество новых фактов mF = {L1, L2,…, Lp,…, LP}. Схема вывода описывается множеством литералов с параметрами: S = {L(j, k); L ∈ A, j, k ∈ N}, где L - литерал из множества A различных литералов, используемых в посылках; N - номер посылки (дизъюнкта); j - номер посылки, из вершины которой на схеме выходит, а k - номер посылки, в вершину которой входит дуга, помеченная литералом L. Параметр j называется левым, а k - правым номером литерала L.

Тогда задачу вывода логических следствий (литералов без инверсий) можно сформулировать так:

1) определить множество следствий MS и семейство множеств следствий S = {s0, s1, …, sh, …, sH}, в котором множество следствий sh содержит следствия, выводимые с помощью множества посылок Mh (Mh ⊆ M^) из множества следствий sh-1: sh-1, Mh ⇒ sh и s0 = MF ∩ mF;

2) сформировать описание O схемы логического вывода, по которому может быть построена схема вывода следствий, в виде семейства множеств O = {g1, g2, …, gh, …, gH}, где gh - множество литералов, полученных при формировании описания схемы на h-м шаге вывода;

3) определить подмножество конечных следствий s+ ⊆ MS, из которых не могут быть выведены новые следствия.

Для осуществления логического вывода с формированием описания схемы используется специальная процедура - процедура логического вывода следствий, основанная на операции обобщенного деления дизъюнктов .

Метод вывода следствий основан на вышеуказанной процедуре и состоит из ряда шагов, на каждом из которых выполняется процедура вывода V″. Причем результаты выполнения процедуры i-го шага становятся исходными данными для процедуры i + 1-го шага. Процесс заканчивается в случае, если дальнейший вывод следствий невозможен (получено значение признака p = 1).

Обозначим через h номер шага вывода, а через P - общий признак продолжения вывода (P = 0 - продолжение вывода возможно, P = 1 - продолжение вывода не возможно). Тогда описание метода может быть представлено в следующем виде.

1. Определение начальных значений: h = 1, M^ ≠ ∅, mF ≠ ∅, M1 = M^-MF (исключение из исходного множества дизъюнктов однолитеральных дизъюнктов - фактов). Формируется выводимый дизъюнкт R1, состоящий из литералов множества mF, и вспомогательный дизъюнкт r, состоящий из литералов фактов исходных посылок MF. Определяется множество следствий s0, совпадающих с фактами MF, имеющимися в исходных посылках: s0 = MF ∩ mF, S0 = {s0}. Устанавливается начальное значение общего признака продолжения вывода P0 = 0 и семейства множеств частных, описывающих схему вывода следствий G0 = ∅.

2. Выполнение h-й процедуры вывода.

V″h = .

3. Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий Sh = Sh - 1 ∪ {sh} и семейство множеств частных Gh = Gh - 1 ∪ {gh}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода Ph = Ph - 1∨ph. Если Ph = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к п. 2, иначе вывод завершается.

Полученные следствия содержатся в семействе множеств S = Sh, а общее множество следствий образуется путем объединения множеств семейства Sh: MS = s0 ∪ s1 ∪ s2 ∪ … ∪ sh.

Описание схемы вывода следствий представляет собой семейство множеств частных O = Gh. Это множество состоит из множеств частных, содержащих литералы с параметрами. Литералом помечается дуга схемы, причем первый параметр литерала представляет собой вершину схемы, из которой выходит, а второй - вершину, в которую входит дуга. Таким образом, множество литералов Gh однозначно определяет схему логического вывода. Построение схемы осуществляется в соответствии с шагами логического вывода: в начале на схему наносятся вершины и дуги, описываемые во множестве литералов G1, затем к ним добавляются связи и вершины, описываемые во множестве литералов G2, и т.д.

Множество конечных следствий определяется следующим образом:

где Mg = g1 ∪ g2 ∪ … ∪ gh, а особенностью операции специального объединения множеств литералов является поглощение литерала L(j, +) ∈ MS литералом L(j, k) ∈ Mg.

Применение метода логического вывода

Применение метода вывода следствий рассмотрим на следующем примере. Пусть исходные посылки заданы множеством секвенций:

Необходимо определить, какие следствия можно вывести из фактов mF = {A, B, M}.

Представим посылки в виде дизъюнктов:

D1 = A(+ ,1)∨B(+ ,1)∨C(1, +);

D3 = C(+ ,3)∨D(+ ,3)∨E(3, +);

D4 = E(+ ,4)∨V(+ ,4)∨L(4, +);

D6 = L(+ ,6)∨R(6, +);

D7 = M(+ ,7)∨P(+ ,7)∨N(7, +);

D9 = R(+ ,9)∨U(9, +);

D10 = N(+ ,10)∨V(10, +);

D11 = S(+ ,11)∨R(+ ,11)∨X(11, +);

D12 = X(+ ,12)∨Z(12, +).

Представим в виде дизъюнктов факты, из которых требуется определить следствия:

D13 = A(13, +); D14 = B(14, +);

Определение начальных значений: h = 1, M^ = {D1, D2, D3, D4, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12}, mF = {D13, D14, D15}, M1 = M^-MF = {D1, D3, D4, D7, D9, D10, D11, D12}. Формирование выводимого дизъюнкта R1 = A(13, +)∨B(14, +)∨M(15, +), состоящего из литералов множества mF, и вспомогательного дизъюнкта r = D(2, +)∨P(5, +)∨S(8, +), составленного из литералов фактов исходных посылок MF. Определение множества следствий s0, совпадающих с фактами MF, имеющимися в исходных посылках: s0 = MF ∩ mF = ∅, S0 = {s0} = ∅. Формирование начального значения общего признака решений Q0 = 1, так как s0 = ∅. Установка начального значения общего признака продолжения вывода P0 = 0 и семейства множеств частных, описывающих схему вывода следствий G0 = ∅.

Выполнение процедуры вывода V″1 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов исходных посылок на дизъюнкт R1: Di %R1 = < ai, bi > , i = 1, ..., 12. При этом b1 = C(1, +), b7 = P(+ ,7)∨N(7, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g1* = a1∪a7, где a1 = {A(13,1),B(14,1)}, a7 = {M(15,7)}. Анализируются остатки bi, i = 1, ..., 12. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученные ранее остатки делятся на вспомогательный дизъюнкт r: b1 %r = , b7 %r = . В результате получается: a′1 = ∅, b′1 = 1, B1 = b′1 и a′7 = {P(5,7)}, b′7 = N(7, +), B7 = b′. Корректируется множество частных: g1 = g1*∪a′1∪a′7 = {A(13,1), B(14,1), M(15,7), P(5,7)}, и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s1. В это множество включаются литералы остатков B1 и B7: s1 = {C(1, +), N(7, +)}.

4. Формируется новое множество исходных секвенций

M2 = M1 ‒ M0 = {D3, D4, D6, D9, D10, D11, D12},

где M0 = {D1, D7} - подмножество дизъюнктов множества M1, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии.

5. Формируется новый выводимый дизъюнкт R2 = C(1, +)∨N(7, +) как дизъюнкция литералов множества следствий s1.

6. Устанавливается значение признака p1. Поскольку получено непустое множество s1, то p1 = 0 (возможно продолжение вывода).

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий

S1 = S0∪{s1} = {{C(1, +),N(7, +)}}

и семейство множеств частных G1 = G0 ∪ {g1} = {{A(13, 1), B(14, 1), M(15, 7), P(5, 7)}}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P1 = P0∨p1 = 0. Поскольку P1 = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к следующему шагу.

Выполнение процедуры вывода V″2 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов посылок множества M2 на дизъюнкт R2. При этом a3 = {C(1,3)}, b3 = D(+ ,3)∨E(3, +), a10 = {N(7,10)}, b10 = V(10, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g2* = a3 ∪ a10 = {C(1, 3), N(7, 10)}. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученные ранее остатки делятся на вспомогательный дизъюнкт r: b3 %r = , b10 %r = . В результате получается: a′3 = {D(2, 3)}, b′3 = E(3, +), B3 = b′3 и a′10 = ∅, b′10 = 1; B10 = b10. Корректируется множество частных: g2 = g2* ∪ a′3 ∪ a′10 = {C(1, 3), N(7, 10), D(2, 3)}, и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s2. В это множество включаются литералы остатков B3 и B10: s2 = {E(3, +),V(10, +)}.

4. Формируется новое множество исходных секвенций M3 = M2 - M0 = {D4, D6, D9, D11, D12}, где M0 = {D3, D10} - подмножество дизъюнктов множества M2, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии.

5. Формируется новый выводимый дизъюнкт R3 = E(3, +)∨V(10, +) как дизъюнкция литералов множества следствий s2.

6. Устанавливается значение признака p2. Поскольку получено непустое множество s2, то p2 = 0 (возможно продолжение вывода).

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий: S2 = S1 ∪ {s2} = {s1, s2} и семейство множеств частных: G2 = G1 ∪ {g2} = {g1, g2} = {{A(13, 1), B(14, 1), M(15, 7), P(5, 7)}, {C(1, 3), N(7, 10), D(2, 3)}}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P2 = P1∨p2 = 0. Поскольку P2 = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к следующему шагу.

Выполнение процедуры вывода V″3 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов посылок множества M3 на дизъюнкт R3. При этом a4 = {E(3, 4), V(10, 4)}, b4 = L(4, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g3* = a4. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученный ранее остаток делится на вспомогательный дизъюнкт r: b4 %r = < a′4, b′4 > . В результате получается: a′4 = ∅, b′4 = 1; B4 = b4. Принимается g3 = g3* = {E(3, 4), V(10, 4)} и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s3. В это множество включаются литерал остатка B4: s3 = {L(4, +)}.

4. Формируется новое множество исходных секвенций M4 = M3 - M0 = {D6, D9, D11, D12}, где M0 = {D4} - подмножество дизъюнктов множества M3, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии.

5. Формируется новый выводимый дизъюнкт R4 = L(4, +) как дизъюнкция литералов множества следствий s3.

6. Устанавливается значение признака p3. Поскольку получено непустое множество s3, то p3 = 0 (возможно продолжение вывода).

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий: S3 = S2 ∪ {s3} = {s1, s2, s3} и семейство множеств частных: G3 = G2 ∪ {g3} = {g1, g2, g3}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P3 = P2∨p3 = 0. Поскольку P3 = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к следующему шагу.

Выполнение процедуры вывода V″4 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов посылок множества M4 на дизъюнкт R4. При этом a6 = {L(4,6)}, b6 = R(6, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g4* = a6. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученный ранее остаток делится на вспомогательный дизъюнкт r: b6 %r = < a′6, b′6 > . В результате получается: a′6 = ∅, b′6 = 1; B6 = b6. Принимается g4 = g4* = {L(4, 6)} и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s4. В это множество включаются литерал остатка B6: s4 = {R(6, +)}.

4) Формируется новое множество исходных секвенций M5 = M4 - M0 = {D9, D11, D12}, где M0 = {D6} - подмножество дизъюнктов множества M4, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии.

5. Формируется новый выводимый дизъюнкт R5 = R(6, +), как дизъюнкция литералов множества следствий s4.

6. Устанавливается значение признака p4. Поскольку получено непустое множество s4, то p4 = 0 (возможно продолжение вывода).

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий: S4 = S3 ∪ {s4} = {s1, s2, s3, s4} и семейство множеств частных: G4 = G3 ∪ {g4} = {g1, g2, g3, g4}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P4 = P3∨p4 = 0. Поскольку P4 = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к следующему шагу.

Выполнение процедуры вывода V″5 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов посылок множества M5 на дизъюнкт R5. При этом a9 = {R(6, 9)}, b9 = U(9, +), a11 = {R(6, 11)}, b11 = S(+ ,11)∨X(11, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g5* = a9 ∪ a11. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученные ранее остатки делятся на вспомогательный дизъюнкт r: b9 %r = < a′9, b′9 >, b11 %r = < a′11, b′11 >. В результате получается: a′9 = ∅, b′9 = 1, B9 = b9; a′11 = {S(8, 11)}, b′11 = X(11, +), B11 = b′11. Принимается g5 = g5* ∪ a′9∪a′11 = = {R(6, 9), R(6, 11), S(8, 11)} и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s5. В это множество включаются литералы остатков B9, B11: s5 = {U(9, +),X(11, +)}.

4. Формируется новое множество исходных секвенций M6 = M5 - M0 = {D12}, где M0 = {D9, D11} - подмножество дизъюнктов множества M5, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии.

5. Формируется новый выводимый дизъюнкт R6 = U(9, +)∨X(11, +), как дизъюнкция литералов множества следствий s5.

6. Устанавливается значение признака p5. Поскольку получено непустое множество s5, то p5 = 0 (возможно продолжение вывода).

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий: S5 = S4 ∪ {s5} = {s1, s2, s3, s4, s5} и семейство множеств частных: G5 = G4∪{g5} = {g1, g2, g3, g4, g5}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P5 = P4∨p5 = 0. Поскольку P5 = 0, то вывод продолжается: h увеличивается на единицу и производится переход к следующему шагу.

Выполнение процедуры вывода V″6 = .

1. Производится обобщенное деление дизъюнктов посылок множества M6 на дизъюнкт R6. При этом a12 = {X(11, 12)}, b12 = Z(12, +), остальные остатки равны единице. Образуется начальное множество частных: g6* = a12. Так как есть остатки, отличные от единицы, то выполняется следующий пункт.

2. Проверяется наличие фактов. Полученный ранее остаток делится на вспомогательный дизъюнкт r: b12 %r = < a′12, b′12 >. В результате получается: a′12 = ∅, b′12 = 1; B12 = b12. Принимается g6 = g6* = {X(11, 12)} и выполняется следующий пункт.

3. Формируется множество следствий s6. В это множество включаются литерал остатка B121: s6 = {Z(12, +)}.

4) Формируется новое множество исходных секвенций M7 = M6 - M0 = ∅, где M0 = {D12} - подмножество дизъюнктов множества M6, для которых были получены остатки, представляющие собой литерал без инверсии. Поскольку из множества M6 исключаются все дизъюнкты: M7 = ∅, то принимается q6 = 1, p6 = 1 - дальнейший вывод невозможен.

Формирование семейств множеств следствий и множеств частных и проверка признаков. Формируется семейство множеств следствий: S6 = S5 ∪ {s6} = {s1, s2, s3, s4, s5, s6} и семейство множеств частных: G6 = G5∪{g6} = {g1, g2, g3, g4, g5, g6}. Вычисляется значение общего признака продолжения вывода P6 = P5∨p6 = 1. Поскольку P6 = 1, то вывод завершается.

Полученные следствия содержатся в семействе множеств S = S6, а общее множество следствий образуется путем объединения множеств семейства S6: MS = {C(1, +), N(7, +), E(3, +), V(10, +), L(4, +), R(6, +),U(9, +), X(11, +), Z(12, +)}.

Описание схемы вывода следствий представляет собой семейство множеств частных O = G6. содержащих литералы с параметрами. Построение схемы осуществляется в соответствии с шагами логического вывода: в начале на схему наносятся вершины и дуги, описываемые во множестве литералов G1, затем к ним добавляются связи и вершины, описываемые во множестве литералов G2, и т.д. (см. рисунок).

Множество конечных следствий определяется на основе множеств MS и Mg = g1 ∪ … ∪ g6 = {A(13, 1), B(14, 1), M(15, 7), P(5, 7), C(1, 3), D(2, 3), N(7, 10), E(3, 4), V(10, 4), L(4, 6), R(6, 9), R(6, 11), S(8, 11), X(11, 12)} следующим образом: s + = = {U(9, +), Z(12, +)}.

Схема вывода следствий (обозначения фактов множества MF выделены курсивом)

Таким образом, результатом вывода является следующее семейство множеств следствий: S6 = {{C, N}, {E, V}, {L}, {R}, {U, X}, {Z}}. В процессе вывода получено 9 различных следствий: MS = {C, N, E, V, L, R, U, X, Z}. Следствия U и Z являются конечными, так как дальнейший вывод из них невозможен.

Процесс логического вывода в данном примере требует шесть шагов. Формируемые на каждом шаге выводимые дизъюнкты Rh и соответствующие им множества следствий sh (h = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) приведены в таблице.

Выводимые дизъюнкты и множества следствий, формируемые в процессе логического вывода

Номер шага, h	Выводимый дизъюнкт, Rh	Используемые посылки, Mh	Множество следствий, sh
	A∨B∨M	1) AB → C; 5) 1 → P; 7) MP → N
		3) CD → E; 10) N → V
		9) R → U; 8) 1 → S; 11) SR → X

Заключение

Предложенный метод логического вывода позволяет находить следствия из заданных фактов для знаний, представленных формулами исчисления высказываний, и строить схему вывода логических следствий.

Метод обладает глубоким параллелизмом, что позволяет эффективно применять его для многопараметрического долгосрочного прогнозирования при реализации интеллектуальных систем на современных высокопроизводительных параллельных вычислительных платформах.

Рецензенты:

Пономарев В.И., д.т.н., профессор, директор закрытого акционерного общества «НПП «Знак», г. Киров;

Частиков А.В., д.т.н., профессор, декан факультета Прикладной математики и телекоммуникаций, ФГБОУ ВПО ВятГУ, г. Киров.

Работа поступила в редакцию 15.01.2014.

Библиографическая ссылка

Мельцов В.Ю., Страбыкин Д.А. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ С ПОСТРОЕНИЕМ СХЕМЫ ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 11-8. – С. 1588-1593;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=33384 (дата обращения: 27.03.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Когда говорят, что из высказывание P 1 следует P 2 (т.е. P 1 P 2), подразумевают, что всякий раз, когда истинно высказывание P 1 , истинно и высказывание P 2 .

Импликация P 1 P 2 ≡1 является общезначимой формулой (т.е. формула тождественно истинна).

«Я работаю в фирме»  «Я работаю в фирме или в корпорации».

A(AB) – соответствующая формула является тавтологией.

Предложение 1. «Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамен по математической логике», AB.

Предложение 2. «Если студент «провалился» на экзамене по математической логике, то он не занимался» .

Следует ли из первого предложения второе?

Здесь мы использовали формулы равносильных преобразований из дискретной математики.

Таким образом, из первого предложения следует второе предложение, – и это закон контрапозиции. Логический вывод подразумевает наличие посылок или гипотез и вывода или заключения.

Для проверки правильности логических выводов необходимо убедиться, что из конъюнкции посылок следует заключение.

15.3. Силлогизмы в логике высказываний

Если силлогизм условный, то одна из его посылок условная.

Если одна из посылок условная, а вторая посылка и вывод категоричное высказывание, то такой силлогизм условно-категоричный.

Если обе посылки и вывод условные высказывания, то такой силлогизм – условный.

Если одна из посылок условное высказывание, а другая разделительное («или-или»), то это условно-разделительный силлогизм.

Импликация отражает ту сущность нашего мира, когда следствие может иметь несколько причин.

Мир допускает переход от причины к следствию, но не обратно. (ПС).

Имеются четыре модуса условно-категоричных силлогизмов:

Такая запись в виде посылок и заключения называется аргументом . Для проверки аргумента необходимо проверить, чтобы из конъюнкций посылок следовало заключение. Такая проверка может быть проверкой правильности логического вывода .

Проверим аргумент по первому модусу условного силлогизма:

Проверим аргумент по второму модусу условного силлогизма:

Разделительно-категоричные силлогизмы.

AB – разделительное «или», или сумма по модулю 2 (или A, или B).

Альтернативы должны исключать друг друга. Должны быть перечислены все альтернативы

Условный силлогизм.

Условный силлогизм: обе посылки и вывод – условные суждения.

Условно-разделительный силлогизм.

Условно-разделительный силлогизм: одна из посылок – условное суждение, а другая – разделительное суждение.

В зависимости от числа альтернатив различают:

дилемму – 2 альтернативы;

трилемму – 3 альтернативы;

тетралемму – 4 альтернативы.

Конструктивная дилемма:

Совокупность произвольных посылок и произвольных заключений называется аргументом . Проверка правильности аргументов – это проверка следования из конъюнкции посылок заключения.

15.4. Получение следствий из данных посылок

Получение следствий из данных посылок можно осуществить, получив СКНФ данных посылок, тогда все возможные сочетания элементарных конъюнкций и будут всевозможными следствиями из данных посылок. Например:

Следствия данных посылок:

Нужно получить СКНФ и перебрать все возможные комбинации конъюнкций (в данном случае у нас, их 7), т.е. получается булеан от членов СКНФ без одного элемента (пустого множества).

15.5. Метод резолюций

Если имеются два высказывания:
которые имеют контрарные или инверсные (
) литералы, то следствием из этих посылок является (BC). Проверим это утверждение:

Такие следствия называются резольвентами (это дизъюнкция членов при контрарных литералах).

Метод основан на получении резольвент. Последовательно получаем резольвенты исходного множества формул, доказательство невыполнимости которого мы ведем, до тех пор, пока не получится  (пустое следствие). Здесь доказательство ведется от противного.

Для применения этого метода необходимо использовать КНФ. Например, для modus ponens:

Получили дерево доказательства. Взяты две посылки и отрицание заключения в КНФ. Следствием посылок
является резольвентаB, а следствием
является пустое множество. Это признак невыполнимости исходного множества членов КНФ. А т.к. доказательство проводилось от противного, стало быть, мы и доказали следование B из посылок AB,A.