ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ – символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «∨»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака «⊃» и различного рода стрелок), отрицание («неверно, что...», обозначается: , ~ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика, Логика высказываний) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что «А в случае В, и С в случае не-B» или формально: (B⊃A)&(B⊃C) (Сидоренко Е.А. Пропозициональное исчисление с условной дизъюнкцией. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977).

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А&В значение 1 только в случае, когда как А, так и В истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А&В равно 0. Дизъюнкция Α ∨ В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А, так и В. Импликация А ⊃ В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А ⊃ В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А – истинно, A – ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А&В)≡(А∨В) и (A∨B)≡(А&B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α⊃Β)≡(Α∨В), (А&В)≡(А⊃B), (Α∨В)≡((А⊃В)⊃A). Любая эквивалентность вида A ≡ В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А⊃В)&(В⊃A).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как (А∨В) и (А&В), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч.Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X.Шеффером (H.M.Sheffer). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А∣В и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B». Ж.Нико (J. G.P.Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и B») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т.о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то B» даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В – истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В» и «Если В, то А», по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики, напр., релевантные (см. Релевантная логика), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Е.А. Сидоренко

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 439-440.

Литература:

Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;

Карри Х. Основания математической логики. М., 1969.

ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ – символы логических языков, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Обычно используются такие логические связки, как конъюнкция (союз «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которые часто опускают, записывая конъюнкцию А и В как AB ), дизъюнкция (нестрогий союз «или», обозначается как «∨»), импликация («если..., то», обозначается с помощью знака «⊃» и различного рода стрелок), отрицание («неверно, что...», обозначается: , ~ или чертой над отрицаемым выражением). Из перечисленных отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (Логика , Логика высказываний ) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл дает использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания А, В и С и означающей, что «А в случае В , и С в случае не-B » или формально: (B ⊃A )&(B ⊃C ) (Сидоренко Е.А. Пропозициональное исчисление с условной дизъюнкцией. – В кн.: Методы логического анализа. М., 1977).

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания А и В могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению А &В значение 1 только в случае, когда как А , так и В истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение А &В равно 0. Дизъюнкция Α ∨ В, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как А , так и В. Импликация А ⊃ В является ложной только при истинном (антецеденте) А и ложном (консеквенте) В. В остальных случаях А ⊃ В принимает значение 1. Из четырех одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда А – истинно, A – ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, ее называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счет эквивалентностей (А &В )≡(А ∨В) и (A∨B)≡(А &B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α⊃Β)≡(Α ∨В ), (А &В )≡(А ⊃B), (Α ∨В )≡((А ⊃В )⊃A). Любая эквивалентность вида A ≡ В имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (А ⊃В )&(В ⊃A ).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как (А ∨В) и (А &В ), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч.Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 г.) и было переоткрыто X.Шеффером (H.M.Sheffer). Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают А ∣В и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B ». Ж.Нико (J. G.P.Nicod) употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно А и B ») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Т.о., штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придает им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, дает возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты (см. Металогика ). Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если А, то B » даже в том случае, когда между высказываниями А и В (и, соответственно, событиями, о которых в них идет речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы А было ложным или В – истинным. Поэтому из двух предложений: «Если А, то В » и «Если В, то А », по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, напр., математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики , напр., релевантные (см. Релевантная логика ), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Литература:

1. Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;

2. Карри Х. Основания математической логики. М., 1969.

Е.А.Сидоренко

Аграрная и земельная реформы как неотъемлемое звено экономических реформ: понятия, исторические, идеологические и социально-экономические предпосылки

Адаптивные биологические ритмы. Циркадный и цирканный ритмы. Фотопериодизм.

Акцентологические нормы – умение правильно ставить ударение.

Аналогично вышеприведенному необходимо описать все основные геологические процессы, которые происходят на заданном участке).

Анатомо-морфологические и физиологические особенности лиц зрелого (среднего) и пожилого возраста

С грамматической точки зрения, высказывание – это повествовательное предложение.

Сложные предложения строятся из выражений, обозначающих некоторые понятия, и логических связок. Слова и обороты НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, СУЩЕСТВУЕТ, ВСЕ и некоторые другие называются логическими связками (операторами) и обозначают логические операции, с помощью которых из одних предложений строятся другие.

Предложения без логических связок являются элементарными, их нельзя расчленить на части так, чтобы при этом каждая из частей была также предложением. Элементарные высказывания называются также высказываниями (суждениями). В высказываниях содержится информация о предметах, явлениях, процессах.

Элементарное высказывание состоит из субъекта (логического подлежащего) – того, о чем идет речь в высказывании, и предиката (логического сказуемого) – того, что утверждается или отрицается в высказывании о субъекте.

Таким образом, высказывание – это форма мышления, в которой утверждается или отрицается логическая связь между понятиями, выступающими в качестве субъекта и предиката данного высказывания. Соответствие или несоответствие этой связи реальности делает высказывание (суждение) истинным или ложным.

Логическая связь между субъектом и предикатом высказывания выражается обычно в виде связки ЕСТЬ или НЕ ЕСТЬ, хотя в самом предложении эта связка может отсутствовать, а лишь подразумеваться. При этом субъект высказывания может выражаться не обязательно только подлежащим в предложении, так же как и предикат – не только сказуемым (это могут быть и другие члены предложения). Что считать в предложении субъектом, а что предикатом высказывания определяется логическимударением. Логическое ударение связано со смыслом, содержащимся в предложении для говорящего или слушающего.

По форме высказывания делятся на простые (имеющие логическую форму «S есть P » или «S не есть P », где S – субъект, P – предикат) и сложные (грамматически выражающиеся сложными предложениями).

Пример простого высказывания: «Все медведи любят мед», сложного – «Некоторые медведи любят мед и молодые побеги бамбука».

Простые высказывания позволяют выразить следующие типы высказываний:

· атрибутивные высказывания – выражают принадлежность или не принадлежность свойства объекту или классу (например, Земля есть планета);

· высказывания об отношениях– говорят о наличии отношения между объектами (например, 3<5 );

· высказывания существования (экзистенциональные высказывания)– говорят о существовании или не существовании объекта или явления.

Операции на множестве высказываний.

Из элементарных высказываний можно составлять сложные высказывания с помощью логических операций. Элементарные высказывания, входящие в состав сложного высказывания, связываются логическими операторами не по смысловому описанию, а только по их истинностным значениям. Следовательно, сложные высказывания являются функциями от входящих в них элементарных высказываний. Все операции в логике высказываний описываются только таблицей истинности.

К операциям на множестве высказываний относятся:

· Отрицание. Для него таблица истинности:

В естественном языке она чаще всего интерпретируется союзом «и».

· Дизъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из элементарных высказываний. Ее иногда называется логическим сложением или логическим максимумом. Таблица истинности дизъюнкции выглядит так:

· Операция «исключающего или» задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

§ 6. Деление понятий. Классификация

§ 7. Ограничение и обобщение понятий

§ 8. Операции с классами (объемами понятий)

Глава III суждение

§ 1. Общая характеристика суждения

§ 2. Простое суждение

§ 3. Сложное суждение и его виды

§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

§ 5. Отношения между суждениями по значениям истинности

§ 6. Деление суждений по модальности

Глава IV основные законы (принципы) правильного мышления

§ 1. Понятие о логическом законе

§ 2. Законы логики и их материалистическое понимание

§ 3. Использование формально-логических законов в обучении

Глава V умозаключение

§ 1. Общее понятие об умозаключении

§ 2. Дедуктивные умозаключения

§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования

§ 4. Простой категорический силлогизм1

I. Правила терминов

§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема)

§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)

§ 7. Условные умозаключения

§ 8. Разделительные умозаключения

§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения

§ 10. Непрямые (косвенные) выводы

§ 11. Индуктивные умозаключения и их виды

§ 12. Виды неполной индукции

I вид. Индукция через простое перечисление (популярная индукция)

II вид. Индукция через анализ и отбор фактов

III вид. Научная индукция

§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей

§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе

§ 15. Умозаключение по аналогии и его виды. Использование аналогий в процессе обучения

Глава VI логические основы теории аргументации

§ 1. Понятие доказательства

§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательство

§ 3. Понятие опровержения

I. Опровержение тезиса (прямое и косвенное)

II. Критика аргументов

III. Выявление несостоятельности демонстрации

§ 4. Правила доказательного рассуждения.

II. Правила по отношению к аргументам

III. Правила к форме обоснования тезиса (демонстрации) и ошибки в форме доказательства

§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах

§ 6. Доказательство и дискуссия

Глава VII гипотеза

§ 1. Гипотеза как форма развития знаний

§ 2. Построение гипотезы и этапы ее развития

§ 3. Способы подтверждения гипотез

§ 4. Опровержение гипотез

§ 5. Примеры гипотез, применяющихся на уроках в школе

Глава VIII роль логики в процессе обучения

§ 1. Логическая структура вопроса

§ 2. К. Д. Ушинский и в. А. Сухомлинский о роли логики в процессе обучения

§ 3. Развитие логического мышления младших школьников

§ 4. Развитие логического мышления учащихся в средних и старших классах на уроках литературы, математики, истории и других предметов

Глава IX этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики

§ 1. Краткие сведения из истории классической и неклассической логик

§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики

§ 3. Многозначные логики

§ 4. Интуиционистская логика

§ 5. Конструктивные логики

§ 6. Модальные логики

§ 7. Положительные логики

§ 8. Паранепротиворечивая логика

§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и слож­ными суждениями, образуемыми из простых посредством логи­ческих связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имп­ликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Про­анализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л » соединяет простые выска­зывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (ab), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», - так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (ab)(ba). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тро­нулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В раз­деле «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами « Л » или «&». Формула А ^ В в естествен­ном языке может выражаться так:

«Не только А , но и В. Как А, так и В.

В, хотя и Л. А вместе с В.

В, несмотря на А. А , в то время как В» 7 .

Придумать примеры всех этих структур предоставляем чита­телю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная ab и ab) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспоз­воночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Тол­стого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативно­сти: (ab(ba) и (ab)(ba). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю ма­сло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AB) и эквиваленция (A ~B ).

(Буквами А и В обозначены переменные высказыва­ния.)

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения имплика­ции А -> В (где А - антецедент, В - ковсеквент).

1. Если А, то В.

Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выпол­нит свой производственный план.

2. Коль скоро А, то В.

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.

3. Когда А, имеет место В.

Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир.

6. А, только если В.

Студенты этого курса не приходили на субботник, только если они были больны.

7. В. если А.

Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.

1. А, если и только если В.

Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники.

2. Если А, то В, и наоборот.

Если студент сдал все экзамены и практику на «отлично», то он получает диплом с отличием, и наоборот.

3. А, если В, и В, если А.

Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окру­жности, если этот многоугольник является вписанным в круг.

4. Для А необходимо и достаточно В.

Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.

5. А равносильно В (иногда).

То, что площадь правильного многоугольника равна произ­ведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что пло­щадь правильного многоугольника равна произведению периме­тра на половину апофемы.

6. А тогда и только тогда, когда В.

Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказы­ваний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском) средства выражения импликации, эквиваленции и дру­гих логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках 9 .

Импликация (ab) не совсем соответствует по смыслу союзу «если... то» естественного языка, так как в ней может отсут­ствовать содержательная связь между суждениями а и b . В логике высказываний законом является формула:(ab)(ab).

Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например, «Если вче­ра было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой ab. Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности VP() обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р », а запись с квантором существования ЗхР (х ) чита­ется так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, 3x(x>100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумева­ются числа. Квантор общности выражается словами: «все», «вся­кий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выража­ется словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «ме­ньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в то­чности 10 .

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (след­ствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а -> b переменная а является основанием. Она называется антецедентом. Переменная b - след­ствием (заключением). Она называется консеквентом.

Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа 1-4, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно», либо «необходимо и достаточно»:

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15 ... чтобы оно дели­лось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х +2) (х - 5) было рав­но 0, ... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... чтобы все его углы были равны 11 .

Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания и , зная лингвистические значения истинности высказываний и . При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если - нечеткое подмножество универсального множества и , то два следующих утверждения эквивалентны:

Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания и , если заданы лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени принадлежности элемента множествам и ?»

Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не , а также связок и , или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.

В частности, если - точка в , представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где - элемент универсального множества , то значение истинности высказывания не (или) определяется выражением

. (6.7)

Предположим теперь, что - не точка в , а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

где - точки в , а - их степени принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для как нечеткого подмножества интервала , т. е.

В частности, если значение истинности есть истинно , т. е.

, (6.10)

то значение истинности ложно можно записать в виде

. (6.11)

Например, если

то значение истинности высказывания не имеет вид

Замечание 6.1. Следует отметить, что если

то согласно (3.33), имеем

Однако если

То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),

С другой стороны, значение истинности высказывания очень равно

Перейдем к бинарным связкам. Пусть и - лингвистические значения истинности высказываний и соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда и – точки в:

имея при этом в виду, что в случае, когда и - точки в , операции , и сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.

где и - точки в , а и - соответствующие им степени принадлежности множествам и , то, применяя принцип обобщения к , получим

Таким образом, значение истинности высказывания и есть нечеткое подмножество интервала , носитель которого состоит из точек вида

с соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.

Пример 6.2. Предположим, что

Тогда, используя (6.25), получаем

(6.28)

Аналогично, для значения истинности высказывания или получим

(6.29)

Значение истинности высказывания зависит от того, как определена связка для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда и - точки в , мы положим (см. (8.24))

то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)

(6.31)

для случая, когда и - нечеткие подмножества интервала .

Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом в высказывании истинный не истинный . В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный , и связка и определяется отношением

(6.32)

где - смысл терма (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный не истинный , которое получается из равенства (см. (6.19))

Таким образом, в (6.32)символ обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а и - нечеткие подмножества множества , определяемые следующим образом:

в то время как

Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отрицания не и операции , как указывалось в замечании 6.1.

Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению значений , и , мы молчаливо предполагали, что и - невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если и - взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между и возникает даже в том случае, когда и - точки в , а не нечеткие переменные.

Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , , и применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64))., от 0 до 1.истинный и ложный , можно заключить, что

что согласуется с (6.25).