Конспект урока "умножение натуральных чисел и его свойства". Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения

Образовательные цели урока:

совершенствовать навык умножения натуральных чисел;
учить использовать свойства умножения при вычислениях;
продолжить работу над текстовыми задачами.

Развивающие цели:

развивать логическое мышление;
активизировать мыслительную деятельность с помощью информационных технологий.

Воспитательные цели:

развивать память, внимание, навык самостоятельной и творческой деятельности;
прививать интерес к предмету, используя на уроке ИКТ.

Оборудование:

интерактивная доска,
компьютеры,
презентация к уроку,
раздаточный материал (кроссворд)
карточки “Мир растений”,
сигнальные карточки.

Ход урока

I. Организационный момент. Рефлексия. (Приложение 1 . Слайд 1. )

Сообщение темы и цели урока. (Слайд 2.)

Вступительное слово учителя:

“Сегодня мы будем не просто учениками 5 класса, а членами открытого акционерного общества. А кто из вас знает, что такое открытое акционерное общество?” Информация об ОАО. (Слайд 3.)

Учитель формулирует свое понимание этого термина вместе с учениками. Открытое акционерное общество (ОАО) – это организация, созданная для получения прибыли. Члены этой организации объединяют свои средства для приобретения некоторого предприятия, а взамен получают акции – ценные бумаги, которые свидетельствуют о том, что их держатели имеют право на часть имущества предприятия. Когда предприятие начинает приносить прибыль, владелец может получить часть этой прибыли (дивиденды). Каждое ОАО имеет свое название. Как будет называться акционерное общество, учащиеся узнают, выполнив следующее задание.

II. Фронтальный устный опрос с использованием интерактивной доски.

Учащиеся устно находят значения выражений и заполняют таблицу ответов. Узнают название ОАО, которое они будут создавать сегодня на уроке. (Слайд 4.)

На следующем этапе урока выясняется, кто может стать акционером. В него может вступить каждый, кто купит акцию нашего предприятия. В качестве платы берутся заполненные кроссворды. Учащимся раздаются кроссворды. (Приложение 3.)

III. Индивидуальная работа. Учащиеся разгадывают кроссворд. Взаимопроверка. (Слайд 5.)

IV. Историческая справка. Учитель делает сообщение о создании первых акционерных обществ. (Слайд 6.)

На следующем этапе урока учащиеся, чтобы открыть акционерное общество, в первую очередь должны приобрести помещение. Перед ними два дома. Один явно занят, а второй под вопросом. Необходимо рассмотреть внимательно первый дом, чтобы разрешить вопрос о приобретении второго дома.

V. Решение примеров. (Слайд 7.)

Второй дом раскрыл тайну своего вопроса, что позволяет начать свое дело в этом доме. Что нужно нам для этого сделать?

Ученики предлагают план действий:

Учащимся предлагаются задачи, с которыми все сталкиваются, кто собирается делать ремонт.

VI. Решение задач у доски . (Слайд 8–9.)

Проблема с ремонтом решена и даже с приобретением мебели. В нашем кафе будет уютно, если в нем будет звучать музыка.

VII. Музыкальная пауза. Учащиеся исполняют частушки. (Слайд 10.)

Хочешь здания построить иль машины создавать,
Постарайся лучше в школе математику познать.
Если в школе на уроках ты потратишь время зря,
То серьезным бизнесменом стать не сможешь никогда.
Чтобы стать предпринимателем знай ты обязательно
На уроках должен быть очень ты старательным.
Чтобы прибыль потекла к тебе сплошным потоком
Нужно быть внимательным в школе на уроках.
Мы подружки – хохотушки с вами распрощаемся.
Приглашаем вас в кафе там и повстречаемся.

С музыкальным оформлением вопрос решен, а теперь следует подумать, что будет в меню. Кафе называется “Сладкоежка”, то в нем должны быть сладкие продукты. Их изготовление требует большой изобретательности. Учащиеся тренируют изобретательность на следующем математическом задании.

VIII. Работа с учебником. (Слайд 11.)

№ 416 (стр. 69): повторение и закрепление свойств умножения.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Физкультминутка. (Слайд 12.)

X. Тест. Работа на компьютерах. (Слайд 13.) Учащиеся выполняют тесты на компьютерах. (Приложение 2.)

Подводятся итоги тестирования и выставляются оценки в дневники.

XI. Дополнительное задание. Найди ошибку и исправьее:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 · 6 ·13 = 390;
72 · 11 = 792;
8 · 8 · 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Учащиеся из набора слов составляют рекламу для своего кафе. (Слайд14.)

XIII. Итог урока.

Как называются числа при умножении?
Какие свойства умножения применяются для удобства вычислений?

XIV. Творческое домашнее задание. (Слайд 15.)

Карточки “ Из мира растений”.

XV. Рефлексия. (Слайд 16.)

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел .
Числа 7 и 12 называются множителями .

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅(b ⋅ c )

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Если сумма состоит из равных слагаемых, то ее можно записать короче: 25 + 25 можно записать, как 25 * 2.

Натуральное число m умножить на натуральное число n - это значит найти значение суммы, которая состоит из n слагаемых, каждое из которых равно m . m является первым множителем, n является вторым множителем, m * n является произведением (рис. 1).

Рис. 1. Умножение

Примеры: 1.

Произведение чисел 8 и x

2. Произведение суммы чисел a и b и числа 15

3. Произведение (m + 2) и (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Первый множитель - (m + 2), второй множитель - (k - 3)

4. Произведение 4ab состоит из трех множителей: первый множитель - 4, второй множитель - a, третий множитель - в.

5. Число 12 можно представить в виде произведения несколькими способами:

Если произведение содержит одинаковый множитель, то из них больше то, у которого второй множитель больше.

3. 195 * 12 > 190 * 8, так как первый множитель первого произведения больше первого множителя второго произведения. Второй множитель первого произведения, аналогично, больше второго множителя второго произведения. Очевидно, что первое произведение больше.

Если оба множителя первого произведения больше обоих множителей второго произведения, то первое произведение больше.

Эти свойства можно использовать при доказательстве следующего неравенства:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

При решении различных задач применяют свойства умножения.

1. Переместительное: от перестановки мест множителей значение произведения не меняется.

2. Сочетательное: чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

3. Умножение на единицу: если число умножить на единицу, то число не изменится.

4. Умножение числа на нуль: если число умножить на нуль, то получится нуль.

Т. е., при умножении любого числа на нуль, получится нуль.

Все эти свойства удобно применять при решении различных примеров.

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

Применим сначала переместительный закон в скобках, получим 125 умножить на произведение чисел 80 и 42. Теперь применим сочетательный закон и в итоге получим 10000 умножить на 42. Получаем 420000.

Произведение больших чисел удобнее находить в столбик. Вы этому учились в начальной школе.

После того, как мы изучили умножение, мы сможем решать более разнообразные задачи.

В первом ящике - 12 кг помидор, во втором ящике - в три раза больше, чем в первом. Сколько кг в обоих ящиках?

Первым действием мы узнаем, сколько кг помидор во втором ящике. 1. 12 * 3 = 36 (кг) - помидор во втором ящике; Вторым действие узнаем, сколько кг помидор в двух ящиках. 2. 36 + 12 = 48 (кг) - помидор в двух ящиках. Ответ: в обоих ящиках 48 кг помидор.

Список литературы

Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. - М.: Мнемозина, 2005.
Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5-6. - М.: Илекса, 2011. - 106 с.
Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5-6. - М.: Илекса, 2006. - 432 с.
Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5-9 классы. - М.: Илекса, 2011. - 248 с.

Тренажер ().
Презентация ().
Учебник Н.Я. Виленкина ().
Презентация ().

Домашнее задание

Учебник математики 5 класса. Н.Я. Виленкин

№ 405; 408; 413; 415; 416; 417; 435; 423; 459