Композиция из геометрических тел на вступительных экзаменах в мархи. Геометрия комбинаторная

К комбинации геометрических тел следует отнести расположенные рядом друг с другом или сочленённые между собой различные геометрические объекты (плоскости, призмы, конусы, цилиндры и т. д.), за исключением опорной поверхности.

Рассмотрим построение тени, падающей от выступающей части предмета на поверхность того же предмета. На рис. 5.14 задана призматическая поверхность в прямоугольной изометрии, которую можно рассматривать, как комбинацию из двух сочленённых между собой призм. Построение тени призмы на плоскость x Oy было показано ранее (рис. 5.7).

В данном примере показано ещё построение тени на плоскость четырёхугольника BEE 1 B 1 . Точка, принадлежащая тени бокового ребра, является тенью искомой точкиK .

Значит, для определения положения точки K надо провести обратный луч (его направление противоположно лучам света) из точкиK 0 параллельноr до пересечения с ребромEE 1 . Соединив точкиB иK , получим границу собственной тени на плоскости четырёхугольникаBEE 1 B 1 .

В результате выполненных построений границей собственной тени является ломаная линия ABKEMCC 1 M 1 E 1 B 1 A 1 , а падающей тени - многоугольникA 1 A 0 K 0 E 0 M 0 C 0 C 1 M 1 E 1 B 1 A 1 .

На рис. 5.15 задан конус в прямоугольной изометрии, направление световых лучейr и их вторичных проекцийr 1 , а также задана плоскостьP xOy , на которую должна падать тень от конуса.

Чтобы построить падающую и собственную тень от конуса, сначала находим тень C 0 от точкиC на плоскостьx Oy . Затем через точкуC 0 проводим касательныеC 0 D иC 0 B к контуру основания конуса. Отмечаем точкиE иF . ОтрезокEF определяет линию перегиба падающей тени.

Как видно, тень от точкиC на плоскостьP находится на линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, в которую заключается световой луч, и плоскости P .

Соединив точкиE иF с точкой , получим контур части тени, падающей на плоскость P . Границы собственной тени конуса определяются образующимиCD иCB .

На рис. 5.16 рассмотрен пример построения тени, падающей от горизонтально-проецирующе-го стержня AB на конус. По ортогональным проекциям стержняAB и конуса построим их изображения в прямоугольной изометрии. Затем определяем падающую и собственную тени конуса при заданном направлении светового лучаr и его вторичной проекции r 1 . Потом строим тень отAB на плоскость х Oy . Световые лучи, проходящие через AB , образуют горизонтально-проецирущую плоскостьΣ , которая пересекает коническую поверхность по гиперболеEMKT .

Гиперболу можно построить, используя вторичные проекции точек, принадлежащих гиперболе. Например, взяв на следе Σ 1 точкуM 1 (вторичная проекция), проведём через неё линиюOD (проекция образующейCD ). Соединим точкуC с точкойD и на образующейCD отметим точкуM , принадлежащую гиперболе (см. рис. 4.8), причём точкаK , лежащая на границе собственной тени конуса, определена с помощью обратного лучаK 0 K .

На рис. 5.17 представлено построение тени от фигуры, состоящей из двух сочленённых поверхностей – цилиндра и конуса.

Сначала можно построить собственную и падающую тени от конуса по заданному направлению светового луча r и его вторичной проекции r 1 , а затем - собственную и падающую тени от цилиндра (см. построение).

Необходимо отметить, что границы собственных теней конуса и цилиндра на линии их общего основания не совпадают.

___________________________________________

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ………………………………………...………3

В В Е Д Е Н И Е………………………………………………………………...4

1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ……………………………………………...………...6

1.1. Основные понятия и определения…………………………………..……6

1.1.1. Геометрические фигуры. ………………………………………….6

1.1.2. Элементы и особенности метода проекций………………………6

1.2. Системы проецирования………………………………………..….……...7

1.2.1. Центральная система проецирования…………………….……….7

1.2.2. Параллельная система проецирования……………………………8

1.2.3. Свойства изображений……………………………………………..8

1.2.4. Свойства параллельных проекций………………………………...9

1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры…………………..……12

1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа…………………………..12

2.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР…...…14

2.1. Проекции точки…………………………………………………………..14

2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки…………………...14

2.1.2. Замена плоскостей проекций…………………………….……….16

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки……………………18

2.2. Проекции прямых линий………………………………………………...22

2.2.1. Прямые общего положения………………………………………22

2.2.2. Прямые уровня……………………………………….……………23

2.2.3. Проецирующие прямые…………………………………………..24

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой

общего положения……………………………………………………….25

2.2.5. Взаимное положение прямых…………………………………….26

2.3. Проекции кривых линий………………………………………………....29

2.3.1. Плоские кривые линии……………………………………………29

2.3.2. Пространственные кривые линии……………………………..…31

2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже……….…..34

2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя………….……..34

2.4.2. Каркас поверхности………………………………………….……36

2.4.3. Задание поверхности, не имеющей определителя…….………..36

2.4.4. Очерк поверхности………………………………………..………37

2.4.5. Проекции плоскостей……………………………………………..38

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве…….….39

2.4.7. Примеры на инцидентность………………………………………43

2.4.8. Параллельность прямой и плоскости… ………………………….45

2.4.9. Параллельные плоскости…………………………………….…...45

2.4.10. Построение проекций плоскости при замене плоскостей

проекций………………………………………………………….………46

2.4.11. Классификация поверхностей…………………………………..48

2.4.12. Многогранные поверхности и многогранники………………...48

2.4.13. Поверхности вращения………………………………………….52

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.………………………………………...…….60

3.1. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта проецирующие………….………………………...60

3.1.1. Построение линии пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей ……………………………………………..60

3.1.2. Виды линий пересечения прямого кругового цилиндра

с плоскостями…………………………………………………………….60

3.1.3. Определение проекций линии пересечения двух круговых

цилиндров………………………………………………………………..62

3.2. Пересечение геометрических объектов, когда один из

геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий…..62

3.2.1. Построение линии пересечения двух плоскостей …………...…62

3.2.2. Линии пересечения конической поверхности с плоскостями….63

3.2.3. Построение проекций и натуральной величины линии

пересечения конической поверхности с плоскостью …………………63

3.2.4. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения сферы с плоскостью …………………………………………….….64

3.2.5. Построение проекций линии пересечения конуса и призмы…..65

3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба

геометрических объекта – непроецирующие…….…………………………65

3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей...65

3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего

положения………………………………………………………………..66

3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых

поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей…..67

3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения…………………68

3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей

вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических)…..69

3.4. Пересечение линии с поверхностью………………………..…………..71

3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта проецирующие………………………………71

3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из

пересекающихся геометрических объектов проецирующий,

а другой – непроецирующий……………………………………………71

3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба

геометрических объекта непроецирующие……………………………72

3.5. Перпендикулярные геометрические объекты………………………….76

3.5.1. Перпендикулярные прямые………………………………………76

3.5.2. Перпендикулярные прямая и плоскость…………………………76

3.5.3. Перпендикулярные плоскости……………………………………77

4. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ…………………….…………...78

4.1. Образование и виды аксонометрических проекций…………………...78

4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции………………………...79

4.2.1. Прямоугольная изометрическая проекция………………………79

4.2.2. Прямоугольная диметрическая проекция……………………….81

4.2.3. Пространственные геометрические объекты в

прямоугольной аксонометрии…………………………………………..82

4.3. Косоугольные аксонометрические проекции…………………………..83

4.3.1. Косоугольная фронтальная изометрическая проекция…………83

4.3.2. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция……...83

4.3.3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция………….83

5. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ…………………….………………………...84

5.1. Основные понятия теории теней…………………………….…………..84

5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении……………………85

5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении……….………….86

5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры………………………86

5.3.2. Построение теней многогранников………………………………88

На рис. 1 каждый из шести кругов имеет общую точку с кругом, расположенным внутри; при этом никакие два круга не имеют общих внутренних точек. А на рис. 2 имеется восемь квадратов, каждый из которых также имеет общую точку с внутренним квадратом (и снова фигуры попарно не имеют общих внутренних точек). А можно ли вокруг некоторой выпуклой фигуры таким же образом расположить девять равных ей фигур, полученных из исходной с помощью параллельного переноса? Ответ отрицателен, хотя доказать это и непросто.

Рассмотренный вопрос относится к комбинаторной геометрии новой ветви математики, сформировавшейся лишь в XX в. Она занимается различными задачами, связанными с взаимным расположением нескольких фигур (чаще всего выпуклых), с разрезанием фигур на части, с освещением границы фигуры несколькими источниками света и т. п. При этом всегда ставится экстремальная задача: найти наибольшее число выпуклых фигур, расположенных так, как говорилось выше (рис. 1, 2), найти наименьшее число параллельных световых пучков, освещающих всю границу выпуклого тела (рис. 3), и т. п. Различных постановок комбинаторно-геометрических задач очень много, причем, как правило, они легко формулируются, но решение каждой из них требует огромных усилий.

В настоящее время в комбинаторной геометрии выделились несколько ведущих направлений. Одним из них является круг задач, связанных с теоремой Хелли (см. Выпуклые фигуры). Например, из теоремы Хелли следует, что для любого набора точек на плоскости, такого, что каждые три его точки можно покрыть кругом радиуса , найдется такой круг радиуса , который покроет все эти точки.

Вот еще пример утверждения, которое легко получить из теоремы Хелли. В параллелограмме (или иной центрально симметричной фигуре) имеется такая точка , что на любой прямой, проходящей через , высекаются отрезки , отношение которых равно 1 (рис. 4). В треугольнике такой точки нет, но можно выбрать такую точку , что отношение отрезков и заключено между и 2 (рис. 5). Оказывается, что внутри любой выпуклой фигуры на плоскости найдется такая точка , для которой отношение отрезков и (на любой прямой, проходящей через ) заключено между и 2. Треугольник в этом смысле самая несимметричная фигура.

Теорема Хелли и различные ее обобщения и применения составляют сегодня важный раздел комбинаторной геометрии. Причем применяется она не только в геометрии, но и во многих других областях математики. Например, в прошлом столетии русский математик П. Л. Чебышев установил ряд интересных свойств функций, «наименее уклоняющихся от нуля». А впоследствии оказалось, что свойства этих функций наиболее просто и геометрично выводятся именно с помощью теоремы Хелли.

Зарождение еще одного направления в комбинаторной геометрии связано с именем польского математика К. Борсука. Он исходил из интересного результата, полученною венгерским математиком Палом: всякая фигура диаметра (т. е. фигура, у которой наибольшее расстояние между двумя точками равно ) может быть вмещена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно (рис. 6). Этот шестиугольник (а вместе с ним и расположенная в нем фигура) может быть разбит на три части, каждая из которых имеет диаметр (рис. 7). Итак, любая плоская фигура диаметра может быть разбита на три части меньшего диаметра. Для некоторых фигур существует разбиение и на две части меньшего диаметра (рис. 8), но трех частей достаточно для любой плоской фигуры. Опираясь на этот факт, в 1930 г. Борсук сформулировал гипотезу: любая фигура диаметра в пространстве может быть разбита на 4 части, каждая из которых имеет диаметр . Для шара такое разбиение показано на рис. 9. Лишь в 1955 г. английский математик Эгглстон доказал, что эта гипотеза Борсука справедлива.

Вот интересная комбинаторная проблема, еще не решенная для пространства. На рис. 10 показано, что параллелограмм можно покрыть четырьмя меньшими параллелограммами, полученными из данного гомотетиями. А иные фигуры – даже тремя меньшими «копиями» (рис. 11). Ясно, что в пространстве надо разрешить иметь восемь меньших «копий»: ведь параллелепипед нельзя покрыть семью меньшими гомотетичными параллелепипедами (поскольку сразу две вершины одной меньшей «копией» не покрываются). Но можно ли любое выпуклое тело в пространстве покрыть восемью меньшими гомотетичными телами? Это неизвестно даже для выпуклых многогранников. Гипотеза швейцарского математика Хадвигера (любое выпуклое тело может быть покрыто 8 меньшими гомотетичными «копиями») еще ждет своего решения.

Удивительно, что проблема Хадвигера эквивалентна следующей проблеме, поставленной советским математиком В. Г. Болтянским: какое наименьшее число пучков параллельных лучей нужно взять, чтобы осветить всю границу выпуклого тела? В частности, границу любого ли выпуклого трехмерного многогранника можно осветить восемью параллельными пучками лучей? При этом лучи, проходящие по касательной, как на рис. 12, не считаются освещающими точку касания (т.е. луч, освещающий точку , должен после прохождения через эту точку войти внутрь тела, рис. 13). Интересно отметить, что теорема об эквивалентности указанных проблем справедлива лишь для ограниченных выпуклых фигур. На рис. 14 показано, что для параболической области любая меньшая гомотетичная фигура содержит лишь конечную дугу границы фигуры . Поэтому нужно бесконечное число «копий», чтобы покрыть всю фигуру , т.е. для этой фигуры число Хадвигера равно . А число освещающих параллельных пучков равно 1 (рис. 15).

Олимпиадные задачи этого раздела относятся к разнообразным оценкам, связанным с размещениями, покрытиями, упаковками и замощениями, различными комбинациями фигур. Здесь используются самые общие свойства, связанные с расположением фигур на плоскости и в пространстве. Отметим лишь следующие:

Теорема Жордана: любая несамопересекающаяся замкнутая ломаная делит плоскость на две области – внутреннюю и внешнюю, причём любой путь из точки внутренней области в точку внешней пересекает эту ломаную, а две точки каждой области можно соединить путём, не пересекающим ломаной.

Выпуклое множество – это множество, которое вместе с каждыми двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

Выпуклая оболочка фигуры – это наименьшее выпуклое множество, содержащее эту фигуру; выпуклая оболочка конечного множества – многоугольник (в пространстве – многогранник) с вершинами в некоторых из данных точек.

Вместе с данной фигурой бывает полезно рассмотреть её r-окрестность : множество точек, наименьшее расстояние от которых до точек фигуры меньше чем r .

Две фигуры (в частности, точки) находятся на расстоянии не меньшем 2r , если и только если их r- окрестности не пересекаются.

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру F, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры F. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться.

Упаковка – это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных.

В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части (например, на две одинаковые), или наоборот, из нескольких данных фигур составляется одна большая. Это – задачи на разрезание или замощение . Замощение является одновременно покрытием и упаковкой.

Задачи с решениями

1. Можно ли покрыть равносторонний треугольник двумя равносторонними треугольниками меньшего размера?

Каждый из меньших треугольников может покрыть только одну вершину большего, но вершин три, а треугольников только два.

Ответ: нельзя.

2. Из пяти данных окружностей любые четыре проходят через одну точку. Докажите, что найдётся точка, через которую проходят все пять окружностей.

1-я, 2-я, 4-я и 5-я окружности проходят через точку А;

1-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку В;

2-я, 3-я, 4-я и 5-я – через точку С.

Мы видим, что все три точки А, В и С не могут быть различными, так как они лежат на 4-й и 5-й окружностях, а две окружности имеют не больше двух точек пересечения. Значит, согласно принципу Дирихле, какие-то две из точек А, В и С совпадают.

Пусть, например, совпадают точки А и В. Тогда все окружности проходят через точку А. Доказательство завершено.

3. На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?

Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рисунке это тетраэдры АА"В"D", АВ"ВС, АСDD", В"С"D"С и АСD"В".

Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб с ребром а разбит на несколько тетраэдров. Имеются, по крайней мере, два из них, основания которых лежат на грани АВСD куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани А"В"С"D".

Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем 2а 3 /3, то есть меньше объёма куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.

4. На окружности отмечено n точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся (n–1)-звенных ломаных с вершинами в этих точках?

Первую точку можно выбрать n способами. Каждую из следующих n–2 точек можно выбрать двумя способами, так как она должна быть соседней с одной из ранее выбранных точек (иначе получится самопересекающаяся ломаная). Поскольку начало и конец при таком подсчёте не различаются, результат нужно разделить на 2. Следовательно, всего имеется

n·2 n–2 /2 = n·2 n–3

Ответ: n·2 n–3 .

5. а) Выбраны шесть цветов, и требуется раскрасить шесть граней куба в разные цвета. Сколькими различными способами можно это сделать? (Различными считаются те раскраски, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.)

б) Сколькими различными способами можно раскрасить грани додекаэдра в двенадцать цветов?

a) Куб можно повернуть так, чтобы грань, окрашенная первым цветом, заняла заданное положение. Для окраски противоположной ей грани есть пять различных вариантов; разные раскраски противоположной грани дают различные раскраски куба.

Среди оставшихся четырёх граней можно выбрать грань, окрашенную данным цветом, и перевести её в данное положение (не меняя при этом положение первых двух граней). Разные раскраски трёх оставшихся граней дают различные раскраски куба. Одну из этих граней можно окрасить тремя способами, одну из оставшихся – двумя. Всего получаем

5 · 3 · 2 = 30

различных раскрасок.

Ответ: 30 способами.

б) Количество всех возможных раскрасок додекаэдра равно 12! = 1 · 2 · ... · 12. Чтобы найти число различных раскрасок, нужно поделить 12! на число самосовмещений додекаэдра. Любую из 12 граней можно перевести в любую другую. Кроме того, есть пять поворотов (включая тождественный), сохраняющих данную грань. Всего получается 60 самосовмещений. Поэтому количество различных раскрасок додекаэдра равно

12! / 60 = 7983360.

Ответ: 7983360 способами.

6. В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что некоторая прямая пересекает все эти многоугольники.

Спроектируем все многоугольники на некоторую прямую. Проекция каждого многоугольника является отрезком, причём по условию любые два отрезка имеют общую точку. Отсюда следует, что все отрезки имеют общую точку (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть данную прямую как числовую ось и взять наименьший из правых концов этих отрезков). Прямая, перпендикулярная к данной и проходящая через отмеченную точку, пересекает все многоугольники.

7. Каждая точка плоскости окрашена в красный или голубой цвет. Докажите, что найдется прямоугольник, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

Согласно принципу Дирихле, из семи точек не меньше четырёх должны иметь одинаковый цвет. Выберем из семи точек на прямой p четыре точки Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , окрашенные в один цвет, скажем, в красный. Рассмотрим ещё две прямые q и r, параллельные прямой р, и две четверки точек на них (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4) и (R 1 , R 2 , R 3 , R 4), полученные ортогональным проектированием выбранной четвёрки на эти прямые. Рассмотрим прямоугольники с вершинами в этих точках и в точках Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 . Теперь, если две из точек, например, Q i и Q j – красные, то все точки прямоугольника Р i Q i Q j Р j также красные. Аналогично и для двух красных точек из R 1 , R 2 , R 3 , R 4 .

Если ни один из этих случаев не имеет места, то некоторые три (или более) точек на прямой q и три (или более) точек на прямой r должны быть голубыми. Но эти тройки голубых точек расположены так, что среди них обязательно найдутся по паре точек, лежащих одна под другой и, таким образом, образующие голубой прямоугольник, откуда и следует утверждение задачи.

Замечание: отметим, что этот результат справедлив для любой области на плоскости, заключённой внутри сколь угодно малой окружности.

8. Через фиксированную точку пространства проводим плоскости так, чтобы разделить пространство на возможно большее число частей. Одна плоскость разделит пространство на две части, две пересекающиеся плоскости – на четыре части, три пересекающиеся в некоторой точке плоскости и не имеющие другой общей точки делят пространство на восемь частей.

а) Какое максимальное число частей можно получить при четырех плоскостях?

б) Какое – при n плоскостях?

Вместо всего пространства будем делить шар, через центр которого проводим плоскости. На поверхности шара (на ограничивающей его сфере) возникнут взаимно пересекающиеся большие окружности. Примем одну из них за экватор и все эти окружности спроектируем из центра шара на плоскость, касательную к шару в полюсе. Проекциями наших окружностей (за исключением одной, являющейся экватором и вовсе ни во что не проектирующейся) будут прямые. Следовательно, нужно вычислить максимальное число областей плоскости, разделенной n–1 прямыми. Методом индукции можно получить (смотрите задачу 9 в разделе ), что оно равно

1 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n–1) = 1 + n(n–1)/2.

Так как на сфере имеется вдвое больше областей, чем на её плоской проекции (помним об экваторе, который присутствует на сфере и отсутствует на плоскости проекции), то искомое число будет вдвое больше вычисленного нами выше, следовательно, оно равно 2 + n(n–1).

В частности, при n = 4 искомым числом является 14.

Ответ: а) 14; б) 2+n(n–1).

9. Имеется несколько квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что такими квадратами всегда можно покрыть квадрат площади 1.

Если покрывать квадрат набором квадратов, сторона каждого из которых уменьшена до ближайшего меньшего числа вида 1/2 k , k = 1, 2, ... , то эти квадраты можно разместить без наложений (смотрите рисунок).

Поскольку площадь каждого квадрата уменьшилась менее чем в 4 раза, то сумма их площадей больше 1, так что они заведомо покроют весь квадрат.

10. Необходимо разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон. Число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?

Чтобы разделить треугольник на некоторое число треугольников так, чтобы в каждой вершине образованной фигуры сходилось одинаковое число сторон, воспользуемся правильными многогранниками, грани которых являются треугольниками. Это могут быть следующие многогранники: правильные тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, и только они.

Если внутри тетраэдра мы выберем точку, лежащую близко от центра одной из граней, и из этой точки спроектируем рёбра тетраэдра на плоскость, то получим первую фигуру, изображенную на следующем рисунке.

Она состоит из трех треугольников, соответствующих граням тетраэдра; четвертая грань при проектировании перешла в большой треугольник ABC. В каждой вершине фигуры сходятся три стороны, так как в каждой вершине тетраэдра сходятся три ребра.

Подобным же образом, при помощи центральной проекции, получим из правильного октаэдра вторую фигуру на рисунке, состоящую из семи треугольников, в каждой вершине которой сходится четыре стороны, а из правильного икосаэдра – третью фигуру, состоящую из 19 треугольников, в каждой вершине которой сходится пять сторон.

Не существует фигуры, отвечающей условиям задачи и отличающейся от изображенных трёх, так как ей соответствовал бы правильный многогранник, отличающийся от трёх упомянутых выше, а такого не существует.

Итак, возможное число треугольников, меньшее 19 – это 4 и 7.

Задачи без решений

1. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.

2. В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько имеется различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

3. В выпуклом n-угольнике (n > 3) проведены все диагонали, причём никакие три из них не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.

4. Докажите, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.

5. На плоскости проведено n прямых (n > 2), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причем никакие две окрашенные области не могут соприкасаться по границе. Докажите, что число окрашенных областей не превосходит n(n+1)/3.

Одним из перспективных методов формообразования является комбинаторика. Комбинаторика - это приемы нахождения различных соединений (комбинаций), сочетаний, размещений из данных элементов в определенном порядке. Комбинаторные (вариантные) методы формообразования применяются для выявления наибольшего разнообразия сочетаний ограниченного числа элементов. Сложность целостной формы, отвечающей множеству требований - функциональных, конструктивных, эстетических и др., затрудняет создание развитых комбинаторных систем «в чистом виде». При проектировании идея комбинаторики выступает лишь в качестве стимула - за основу формообразования берутся те элементы формы, из которых можно создать комбинаторную систему (геометрические, конструктивные, цветовые и др.). Принципиально важным обстоятельством для управления комбинаторным процессом является тот факт, что в комбинаторике всегда присутствуют два начала: постоянное и переменное. Постоянным началом комбинаторики служат идея, концепция или схема, направляющая комбинаторный поиск - концептуальная комбинаторика.

При поиске комбинаторного элемента должны решаться следующие основные задачи: неповторимость разнообразных композиционных приемов, декоративная и эстетическая ценность. Декоративный комбинаторный элемент должен вписываться в любую структуру, быть составной частью композиции. Поиск декоративного комбинаторного элемента на основе геометрических фигур с прямолинейными контурами является наиболее продуктивным. В природе встречаются самые разнообразные геометрические формы. Очень часто природа унифицирует геометрические конструкции - лепестки цветов, листья деревьев, семена злаков, чешуя рыб, панцири животных. Декоративный комбинаторный элемент на основе природного аналога с криволинейными контурами обладает меньшими формообразующими способностями. Формообразующие способности элементов зависят от их структурного типа (геометрических параметров), от степени регулярности его строения и уровня собственной симметрии. Наименьшие они у круга или криволинейного контура, велики у квадрата, правильного треугольника или прямоугольного контура.

В ряду идей программированного формообразования комбинаторика занимает одно из главных мест. Процесс создания комбинаторных систем может идти разными путями: совершенствование исходных элементов, чтобы получить ряд дискретных конструктивных или композиционных построений; поиск новых конструктивных построений на основе известных элементов и систем связей. Наиболее перспективным для автоматизации видом комбинаторики является формальная комбинаторика - всевозможные операции по изменению морфологических качеств объекта (формы, конфигурации, размеров, расположения частей и т.д.). К числу таких операций относятся:

· перестановки (размещение) частей или элементов целого;

· образование сочетаний элементов и их качеств;

· изменение количества элементов, образующих целое;

· изменение элементной базы (объемных и геометрических деталей);

· изменение материала, фактуры и цвета.

К основным приемам комбинаторного формообразования относятся: комбинирование элементов на плоскости при создании раппортных композиций; соединение типизированных стандартных элементов (модулей) в единой целостной объемно-пространственной форме; комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри формы. Главная специфика комбинаторного формообразования состоит в том, что это пространственная комбинаторика, которая подчиняется геометрическим законам, опирается на теорию симметрии и комбинаторную симметрию. Примером прикладного комбинаторного формообразования в полиграфии, колористическим прототипом которого в изобразительном искусстве был пуантализм, может быть применение принципа растра, позволяющего на основе различных комбинаций точек ограниченной разновидности и определенной (квадратной) сетчатой матрицы получать тональные изображения. В числе компьютерно-комбинаторных задач - автоматизированный способ создания и реализации паркет-орнаментов. Пример паркет-орнамента, составленного из треугольников. Ключевыми в программах такого рода являются применение режима графической компоновки, определенной номенклатуры исходных элементов переноса и поворота базисного графического элемента. Правила комбинаторной компоновки могут быть различными, в том числе допускающими наложение ячеек друг на друга. Однако для получения плотных плоских многокомплектных раскладок деталей изделий, в частности в швейной отрасли, необходимо добиться, чтобы на произвольно взятой плоскости отношение площади покрытых фигурами (лекалами) участков ко всей площади раскладки было бы максимальным.

Мера эффективности комбинаторного формообразования зависит от структуры геометрии типоэлемента, способа компоновки заданных типоэлементов; от состава серии-номенклатуры типоэлементов; относительных размеров, в том числе от модульности. Композиционная и геометрическая сочетаемость орнаментальных элементов зависит от взаиморасположения изобразительных мотивов, степени регулярности их строения, уровня собственной симметрии. Однако к комбинаторным можно отнести только такие элементы, которые обладают свойством универсальности и высокой формообразующей способностью. Образование различных комбинаторных форм из набора общих и повторяемых исходных элементов осуществляется всей поверхностью (или контуром), частью поверхности, линией, точкой или вообще без примыкания.

Орнамент в общем случае - это типичная форма-структура, то есть одна из разновидностей комбинаторных форм. Когда группа разных орнаментов образуется на основе общих элементарных узоров, налицо пример наиболее активного комбинаторного формообразования. Построение модульных, комбинаторных, кинетических систем базируется на законах симметрических преобразований. Наиболее разработанными в этом плане являются программы, получаемые на основе симметрических сеток, поворотной, переносной и зеркальной симметрии, симметрии подобия. Создание группы комбинаторных орнаментов возможно на основе асимметричной фигуры только одной разновидности. Все возможное структурное разнообразие комбинаторных орнаментов одного семейства на основе одного унифицированного типоэлемента определяется всеми возможными комбинациями видов симметрии и численно равно 17: квадратная, правильная треугольная, ромбическая, прямоугольная, косая параллелограмматическая сетки, 5- и 6-гранные сетки. «Рисунок, построенный сечением сотов, таит в себе больше возможностей разнообразия и гибкости, где дело касается движения людей» - Ф.Л. Райт .

В очень многих утилитарных рукотворных предметах орнамент прямо или художественно опосредованно выражает их технологические, конструктивные и иные свойства (например в формах переплетения тканей и циновок, швов каменной кладки, пластического узора на гончарных изделиях), справедливо называется в этих случаях структурным, или конструктивным и является, по существу, архитектоничным.

По критерию структурной и экономической эффективности сфера и круг - абсолютные образцы геометрического построения объемных и плоских форм. Эти структурно-эффективные формы оптимальны также в конструктивном и эстетическом отношениях. В 1915 г. Казимир Малевич (1878-1935 гг.) разработал свой стиль, явившийся новой ступенью художественного сознания - беспредметный «супрематизм». Малевич и его сторонники сводили живопись к нескольким формальным фигурам, имевшим символическое содержание. Регулярные геометрические фигуры, написанные чистыми локальными цветами, погружались в некоторое трансцендентное пространство, где господствовали законы комбинаторики, динамики и статики. Супрематизм на уровне проектно-композиционной стилистики сначала выплеснулся в виде орнамента и декора на стены домов, плакаты, ткань, посуду, предметы туалета, трамваи, трибуны и т.д. Развитие супрематизма в творчестве Малевича привело к усилению роли геометрических плоскостей в общей композиции картины, цвет начал отходить на второй план. Следующий шаг привел к формированию объемов, развитию пространственного искусства, включая архитектуру. Здесь вступали в силу новые архитектонические закономерности. В середине 20-х гг. Малевич делает новый шаг в процессе «выхода» супрематизма в архитектуру в виде реальных объемных композиций - архитектон. Таким образом, Малевич первый нашел предельно простые комбинаторные стилеобразующие элементы, которые получили дальнейшее развитие в XX-XXI вв.

Комбинаторный метод формообразования в дизайне основывается на поиске, исследовании и применении закономерностей вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов. Комбинаторика дает возможность осуществлять проектную деятельность в двух направлениях: создание новых структурных построений и варьирование исходных элементов.

Комбинаторика оперирует определенными принципами комбинирования: перестановкой, группировкой, переворотами, организацией ритмов. Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Они применяли программированные методы формообразования: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм; комбинирование различных видов декора на основе базовой формы; варианты трансформации одежды в процессе эксплуатации. Впоследствии программированные методы формообразования не только стали ведущими методами при проектировании промышленных коллекций, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы на сегодняшний день являются основными в проектировании костюма. К ним относятся: комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание одежды из целого плоского куска ткани. Комбинаторный метод проектирования применяется при создании безразмерной одежды.

Комбинаторный прием перестановки, или эвристическое комбинирование, предполагает изменение элементов, их замену. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений.

К частному приему в комбинаторике относится прием вставок (врезок) в определенную форму для создания сложной формы. Широко используются в современном дизайне костюма вставки в разрезы одежды из плоских кусков ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольники разной конфигурации, круг, полукруг, сектор, сегмент, трапеция).

Трансформация (от лат. transformatio - превращение) - метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Процесс трансформации определяется динамикой, движением превращения или небольшого изменения.

Комбинаторные методы вбирают некоторые элементы трансформации, модульного проектирования. Трансформация разделяется следующим образом: превращение одной формы в другую; трансформация деталей внутри одной формы. Процесс превращения может быть достаточно многовариантным.

Кинетизм (от греч. kinetiko"s - приводящий в движение) относится к комбинаторным методам проектирования, в частности к методу трансформации. Кинетизм - вид художественного творчества, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения. Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как создает необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Среди наиболее определенных и апробированных вариантов мобильного формообразования отмечаются такие, как вращение спирали, эффекты волнового колебания, муаровый эффект и т.д. Вращение спирали порождает впечатление бесконечного подъема или спуска элементов композиции. Прием волнового колебания связывают с возникновением иллюзорных пластических изменений неподвижной формы, которые создают иллюзию перетекания изгибов формы в пространстве.

Придание изделию современного вида за счет изменения внешней формы без изменения функции и конструктивных свойств относится к стайлингу, стилизации, модернизации с целью обновления внешнего вида. Однако стайлинг внешней формы в целях повышения эстетических качеств изделий зачастую противоречит сути индустриального формообразования.

Большую роль играет цвет и цветосочетания в дизайне.

Иногда мы воспринимаем предмет как цветовое пятно, а уже потом как объем. Цвет и цветовые сочетания могут быть очень активными, а могут быть и нейтральными, могут настораживать или расслаблять.

Восприятие цвета в какой-то степени субъективно и оно у разных людей, в общем, сходно. У цвета есть объективные качества, их нужно знать, чтобы анализировать свои ощущения и пользоваться цветом как средством создания гармонической предметной среды.

«Чистые» (хроматические) цвета спектра можно разделить на теплые (красный, оранжевый, желтый) и холодные (фиолетовый, синий, голубой). Желто-зеленые занимают промежуточное положение между этими двумя группами. Чистыми цветами практически почти не пользуются, к ним добавляют так называемые ахроматические тона (белый, серый, черный).

Цвет влияет на наше восприятие реального пространства: цвета «теплого» спектра зрительно приближаются. Поэтому плоскости, окрашенные оранжевым или красным, например, кажутся нам ближе, чем равноудаленные плоскости голубого цвета. Тёмные цвета делают предметы зрительно весомее, массивнее, чем светлые. Вместе с тем теплые цвета связываются с большим весом, чем холодные. Окраска влияет и на восприятие величины: светлое пятно на тёмном фоне кажется больше, чем равновеликое ему тёмное.

Мы воспринимаем цвет, как правило, в сочетании с другими смежными цветами. В результате этого складывается общая, воспринимаемая человеком картина. «Цветовая гармония», «красивый колорит», «удачное цветосочетание» выражения нам знакомые, и за ними кроется примерно одинаковое содержание.

Отношение цветов между собой могут быть контрастными, а могут быть и сближенными - нюансными. Гармонизировать нюансные цвета сравнительно легче, чем контрастные, но это не означает, что они всегда предпочтительнее.

Выбор цвета может быть и обусловленным. Существует понятие «функциональная окраска», т.е. окраска, связанная с определенной функцией, действием, основанная на объективных свойствах цвета, с одной стороны, и реальной ситуацией - с другой.

При помощи цвета решается и другая задача - снижение нервного напряжения. Здесь пользуются нейтральными тонами, избегая резких сопоставлений и цветовых контрастов.

Прежде чем приступить к окраске, намечают схему распределения цвета, а уже после этого подбирают сами цвета. Часто выбор цвета практически ничем не обусловлен и не ограничен.

Подбор цвета - трудная, а иногда и ответственная задача. Здесь имеет значение и «вкусовой» момент, особенно когда речь идет о жилище. Для колористического решения важно не только наименование цвета или ряда цветов, важна и мера : какой именно оттенок красного - разбеленный или с примесью черного, сине-зеленый или сине-фиолетовый - будет сочетаться со смежным тоном.

Зная объективные закономерности восприятия цвета, человек может сделать свое предметное окружение красивым. Он имеет возможность как бы со стороны оценивать цветосочетания, анализируя свои личные вкусы и пристрастия.

«Вкус цвета» будет определять цветовое комбинаторное решение внешнего вида графической продукции промышленного дизайна.

Все спектральные цвета тем или иным образом влияют на функциональные системы человека:

· Красный - возбуждающий, согревающий, активный, энергичный, проникающий, тепловой, активизирует все функции организма.

· Оранжевый - тонизирующий; действует в том же направлении, что и красный, но слабее; ускоряет пульсацию крови, улучшает пищеварение.

· Желтый (самый светлый в спектре) - тонизирующий, физиологически оптимальный, наименее утомляющий; стимулирует зрение и нервную деятельность.

· Зеленый (самый привычный для органа зрения) - физиологически оптимальный; на продолжительное время повышает двигательно-мускульную работоспособность.

· Голубой - успокаивающий; снижает мускульное напряжение и кровяное давление, успокаивает пульс и замедляет ритм дыхания.

· Синий - успокаивающее действие переходит в угнетающее; способствует затормаживанию функций физиологических систем человека.

· Фиолетовый - соединяет эффект красного и синего цветов; производит угнетающее действие на нервную систему.

Комбинаторные методы в проектировании одежды впервые применили в 1920-х гг. советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова. Освоив системный структурный анализ, а также занимаясь «формальными экспериментами» в области беспредметной живописи, конструктивисты использовали эти методы и при разработке образцов одежды. Основные принципы конструктивистов: конструктивность, функциональность, экономичность материалов и конструкций. При проектировании производственной одежды они применяли программированные методы формообразования нескольких уровней: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм (конструктивистские ткани), комбинирование различных видов декора на основе базовой формы, трансформацию одежды в процессе эксплуатации, комбинирование стандартных готовых объектов. А также упростить существующую вещь, т.е., снять с нее украшения, выявить конструкцию, убрать неработающие части. Улучшить существующую вещь – сделать ее более удобной, может быть многофункциональной, по-новому решить цвет и материал. Впоследствии программированные методы формообразования стали не только ведущими методами при проектировании костюма, но и легли в основу графических компьютерных программ.

Комбинаторные методы являются основными методами проектирования с применением комбинирования. К ним относятся комбинаторика, трансформация, кинетизм, создание безразмерной одежды, создание одежды из целого плоского куска ткани.

Комбинаторика (от лат. Combinare- соединять, сочетать, от com-bino – связанные по два) - метод формообразования в дизайне, основанный на поиске, исследовании и применении вариантного изменения пространственных, конструктивных, функциональных и графических структур, а также на способах проектирования объектов дизайна из типизированных элементов.

Комбинаторика – комбинирование различными способами форм и их элементов или вариантный поиск, который можно подразделить на ряд основных приемов:

Комбинирование элементов на плоскости при создании текстильных композиций, раппортных тканей или трикотажных полотен;

Комбинирование типизированных стандартных элементов (модулей) при создании целостной формы;

Комбинирование деталей, пропорциональных членений внутри определенной формы (по одной конструктивной основе или базовой форме);

Компьютерный поиск готовых вариантов организации готовых комплектов.

Математический смысл комбинаторного метода заключается в установлении определенного порядка следования элементов некоторого множества друг за другом.

Специфика комбинаторики близка к природному формообразованию: дает возможность наиболее экономично использовать элементы конструкций и имеет прямое отношение к унифицированному массовому производству.

Практическая задача метода состоит в выборе серии одного или нескольких объектов, имеющих функциональную значимость. Комбинаторика дает возможность дизайнеру совершенствовать свою деятельность в двух направлениях:

создавать новые структурные построения,

варьировать исходные элементы.

Ткани В. Степановой и Л. Поповой явились одним из немногих реализованных достижений производственников. Принципы создания этих тканей:

соответствие рисунка назначению ткани (для платья, для халата, занавески, скатерти)

соответствие его технологии производства (печать). Учитывались также особенности использования ткани при изготовлении массовой одежды. Следовательно, подход к рисунку ткани был глубоко функциональным, не только художественно, но и технически оправданным.

Примерно те же принципы были заложены и в проектах костюмов – прежде всего их целесообразность, их профессиональная оправданность и удобство для данной функции (работа, отдых, спорт), удобство и технологичность их массового пошива, их конструктивность.

Комбинаторика оперирует определенными приемами комбинирования: перестановкой, вставкой, группировкой, переворотом, организацией ритмов.

Прием перестановки , или эвристическое комбинирование , предполагает изменение элементов, их замену. Этот прием получил широкое применение в проектной практике как наиболее простой и дающий достаточно неожиданные результаты. Его можно охарактеризовать как комбинаторный поиск компоновочных решений. Этот прием часто используется при вариантном применении деталей изделия на одной конструктивной основе, при компоновке деталей одежды по всему изделию, при замене одних деталей другими. Например, замена воротников карманами, поясами, сумками, трансформирующимися полотнами в виде квадратов, треугольников, кругов. Авангардисты в моде с успехом используют этот метод проектирования, так как в процессе свою первоначальную идею можно довести до гротеска, абсурда, а потом найти в этом рациональное зерно решения.

Прием вставок (врезок) используется для создания сложной формы из простой. Для этого можно взять любую простую давно известную форму одежды: прямую, расширенную или зауженную книзу юбку, платье такого же силуэта, рукава, капюшоны, сумки, головные уборы. Другими словами, взять любую цилиндрическую или коническую форму, разрезать ее в определенном направлении (вертикально, горизонтально, диагонально или смешанно) по боковым швам, в других местах (можно соблюдать равные расстояния между разрезами или располагать разрезы в динамическом ритме). Вставить в разрезы плоские куски ткани простой геометрической формы (квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, сектор, трапецию и т.д.). Можно вставить любые сложные формы. Число вставок может быть любым.

Трансформация (от лат. – превращение) – метод превращения или изменения формы, часто используемый при проектировании одежды. Сам процесс трансформации определяется динамикой, движением, изменением. Трансформация осуществляется следующим образом:

Превращение одной формы в другую (например, была длинная юбка, стала короткой при помощи кулисок; шапка-ушанка, складная сумка);

Трансформация деталей внутри одной формы (например, концы воротника загибаются, складываются в гармошку, завязываются вокруг шеи, заплетаются в косичку).

Процесс превращения может носить бесконечный характер, т.е. вариантов изменений можно придумать много. В этом есть положительный момент, так как изделие вследствие своей многообразности не надоедает и срок его эксплуатации продлевается.

Кинетизм (от греческого – приводящий в движение) – комбинаторный метод проектирования, в основе которого лежит идея движения формы, любого ее изменения.

Метод кинетизма заключается в создании динамики форм, декора, рисунков тканей, а также демонстрация движения в естественном виде. Идея движущейся формы принадлежит художникам советского авангарда 1910-1920-х гг. – конструктивистам Татлину, Мельникову, Родченко. В Европе в 1920-1960-х гг. идеи кинетизма развивали Мохой-Надь, Дюшан, Сото, Шоффер. Первые опыты создания движущихся моделей проводились в Баухаузе и ВХУТЕМАСе

Исторически признаки кинетизма можно проследить в народных праздниках (движущиеся объекты, марионетки, игры с фейерверками), механических игрушках, часах, музыкальных шкатулках. Средневековые представления всегда использовали динамику света и динамику объектов.

Кинетизм как система эстетических взглядов сложился в условиях развития технического прогресса, когда художники использовали новейшие достижения технологии, инженерной мысли и науки, нашедшие отражение в дизайне, телевидении, театре, массовых праздниках, профессиональных дефиле, компьютерной графике, лазерных шоу, оформлении городской среды.

В дизайне одежды метод кинетизма используется все шире, особенно в профессиональных показах: в динамике трансформирующихся деталей костюма, в применении светящихся объектов, световодов, автономного освещения, крутящихся или движущихся элементов костюма. Особое место занимает создание моделей, даже целых коллекций, в стиле «оп-арт» с использованием графических иллюзий, например движения, в декоре или в рисунках тканей, трикотажных полотнах, украшениях.

Оп-арт возник как авангардистское течение в западноевропейском искусстве 1950-1960-х гг. Большинство оп-художников заранее составляли свои геометрические образы, используя научные теории, позволяющие создать ощущение подвижности. При этом достигался необычный в искусстве результат, вызывающий физический, а не эмоциональный или психологический отклик. Композиции оп-арта основывались на игре фигуры и фона, эффектах обмана зрения, использовании прозрачных материалов. Основатель течения – итальянских живописец и график В.Вазарели с 1930 г. жил и работал в Париже. Его произведения следуют оптическим закономерностям взаимодействия черного и белого. Оп-арт стал очень тенденциозным жанром и оказал большое влияние на моду.

Этот прием проник в современное моделирование промышленных изделий – орнаментальные графические работы переносятся один к одному на трикотажные или тканые полотна.

Идея кинетического рисунка стала чрезвычайно интересной для художников по текстилю, так как позволяет создать необыкновенные и парадоксальные эффекты графики. Кинетизм дает возможность создать мощную динамику внутри статичной формы. Таким образом, метод кинетизма как проектный метод – достаточно новый в дизайне одежды, но имеет устойчивую тенденцию к расширению его использования.

Применение модульного проектирования в производстве изделий дизайна есть высшая форма деятельности в области стандартизации. При этом стандартизация выявляет и закрепляет наиболее перспективные методы и средства проектирования. Этот метод способствует унификации структурных элементов изделий. В технике наличие унифицированных узлов и деталей и установка их в различных сочетаниях позволяют преобразовывать конструкции одних изделий в другие. Основной принцип унификации – разнообразие продуктов дизайна при минимальном использовании унифицированных элементов (модулей). Модульное проектирование предполагает конструктивную, технологическую и функциональную завершенность. Сам модуль может быть законченным изделием или являться составной частью изделия, в том числе другого функционального назначения.

Модуль – единица меры. Раньше части тела человека служили единицами измерения: дюйм – длина сустава большого пальца; фут – средняя длина стопы человека и др. Применение модуля в архитектуре прошлого несло в себе художественное начало, служило средством гармонизации целого и его частей.

Модуль – это исходная единица измерения, которая повторяется и укладывается без остатка в целостной форме (объекте). Кратность (укладываемость модуля без остатка) позволяет собирать различные формы и обеспечивает их взаимозаменяемость. Современный архитектурный модуль равен 10см, укрупненный строительный модуль – 30 ил 40 см, оборудование интерьера строится на модуле 5 и 15см.

Вариантность художественных форм, т.е. возможность из ограниченного числа типов создавать разнообразные произведения, - одна из особенностей народного творчества. Как правило, все народные орнаменты состоят из ограниченного числа элементов, с помощью которых создается бесчисленное число мотивов. Таким образом, использование модулей – это не новый прием, им пользовались всегда в архитектуре и прикладном искусстве.

Модули могут быть одинакового размера, который выбирается от размеров антропологии тела человека и оптимальных размеров готовой одежды. Модули, как правило, имеют простые геометрические формы. Технологически каждый модуль обрабатывается отдельно. Главная особенность модуля в дизайне одежды – он обрабатывается «чисто» с лица и с изнанки. Если модули сшиты из двух материалов или из одной ткани двух цветов, то их можно переворачивать и использовать для составления двухцветных или двухфактурных полос, клеток, орнаментов.

Модули могут быть в форме квадратов, прямоугольников, треугольников, кругов и ромбов.

Способы соединения модулей: с помощью завязок, ленточек, бантов, узлов – торчащие концы могут создать дополнительный декоративный эффект; незаметно с помощью крючков, «липучек», супатных застежек. Можно соединить модули кнопками, пуговицами, если применяется метод трансформации – изменения формы изделия, его назначения, ассортимента.

Причины изменения формы:

из маленькой формы сделать большую и, наоборот, из короткого – длинное и наоборот – прием модульного свертывания и модульного развертывания.

из простой формы составить сложную и наоборот (к жилету пристегнуть или привязать модули и получить длинное пальто с капюшоном, кокетками, карманами, сумками и головными уборами; из простых модулей составить сложный орнаментальный узор, который органично впишется в изделие).

изменяя форму, изменить назначение изделия (был жилет – стало пальто – верхняя одежда).

Можно из одинаковых модулей составлять разные изделия: жилеты разной длины и формы, сарафаны, юбки разной длины блузоны, полупальто, пальто и др.

Форма модулей может быть более сложная: в виде цветов, листьев, бабочек, зверей, птиц. Модули разной конфигурации могут создавать сложные варианты комплектования одежды, наслаиваясь друг на друга. Интересные формы получаются при моделировании из модулей семейства головных уборов или сумок.

Достоинство модульного проектирования состоит в том, что технологическая обработка модуля очень проста, ее может выполнить неквалифицированный специалист даже в домашних условиях. Проектирование и сборка фрагментов в разнообразные изделия таят огромные возможности. К сожалению, такой прием проектирования применяется редко.

Деструкция (от лат. – разрушение) – в истории искусства качество формы, противоположное конструктивности (построение) и тектоничности (строение, искусство построения), выражению внутренней конструкции на поверхности формы. К конструктивным стилям классического искусства относят произведения античной классики, архитектуры Классицизма, к деструктивным – Барокко, к атектоничным – произведения Модерна. В отношении искусства постмодернизма используют термин – «деконструкция».

Термин «деконструкция» означает, что мы разбирает одежду на составные части.

По одним данным метод был предложен японскими дизайнерами Е.Ямамото и Р.Кавакубо в начале 1980-х гг, а затем разработан представителями «бельгийской школы» в дизайне одежды, по другим - стиль зародился в Антверпене, Бельгия. Основоположники стиля Мартин Маржиела (родился в 1957г.), Анн Домельмейстер (родилась в 1959 г.), Дрис Ван Нотен (родился в 1958 г.) и Уолтер Ван Биерендонк. Все они – сторонники деконструкции, хотя прошли школу традиционного кроя и техники отшива изделий в ателье Парижа, Милана или лондонской Сэвайл-роу.

Несмотря на общее происхождение и воспитание, каждый из дизайнеров имеет свой почерк, который отражает мрачноватую североевропейскую эстетику, но сохранил собственную индивидуальность. Ключевыми для Дрисса Ван Нотена являются этнические мотивы и цвет в сочетании с дикой какофонией рисунка и текстуры на длинном слоистом силуэте. Демельмейстер известна своими необычными наложениями материалов и новаторскими формами. Мартин Маржиела радикально изменил представление о дизайне, перемещая по телу отверстия для рук, переворачивая силуэты вверх ногами и выставляя напоказ внутренние швы пиджаков и пальто.

Этот метод также использовали Ж.-П. Готье и Дж. Гальяно.

Метод деконструкции представляет собой свободное манипулирование формой и посадкой изделия на фигуре. Используются: асимметричный крой, неровные края одежды, разрывы, прорези и дырки, деление конструкции на правую и левую половины, инверсия (швы наружу, лацканы на спине, застежки в нетрадиционных местах, вытачки «налицо»), элементы незавершенности, нарушение традиционной технологии.

Метод инверсии довольно часто используется при деконструкции, так как разрушает привычные приемы моделирования одежды. Примеры применения этого метода в дизайне одежды:

одежда, сшитая швами наружу,

сумки с множеством внешних карманов, но пустые внутри,

двухсторонние пальто, плащи, костюмы, жилеты, которые можно носить на обе стороны,

превращение нижнего белья в одежду,

вынесение лейбла фирмы на лицевую сторону изделия.

Инверсия способствует всестороннему развитию гибкости мышления дизайнера и позволяет получить совершенно новые, порой парадоксальные решения.

В 2000-2001 гг. деконструкция изменилась в сторону большего разрушения привычных комплексов одежды:

блузы, майки, куртки с одним рукавом,

брюки с одной штаниной, половина юбки плюс одна штанина и др.

Изменились способы ношения одежды. Сказалось сильное влияние стиля «грандж»: нарочитая небрежность, наслоение вещей с разной длиной. Центральным образом, характеризующим этот стиль, стала маргинальная личность (бомж, бродяга, нищий), что дало основание для определения этой тенденции в массовой моде как «маргинальный шик». Стиль «грандж», сформировавшийся в начале 1990-х гг., утвердил право своих приверженцев выглядеть неряшливо. Его с восторгом приняли все принципиальные противники официальной моды – от уличных подростков до радикальных поп-звезд. «Грандж» - это поношенные, даже рваные вещи, которые явно малы или велики, не сочетаются друг с другом по цвету и по стилю. Первые адепты новой эстетики выискивали одежду в магазинах «сэконд-хэнда», но вскоре дизайнеры подхватили идею и манекенщицы, одетые в стиле «грандж», появились на подиумах.

Деконструкция стала отличительной чертой дизайна конца 1990-х – начала XXI в., часто применяемым приемом проектирования одежды. Она обусловила более свободное отношение к посадке одежды на фигуре, наличие заминов, пространства и воздуха между тканью и телом, что сделало одежду более комфортной. Деконструкция предложила разрушение устойчивых комплексов классического костюма и новые способы ношения одежды.