Основы теории комплексных чисел .

Числовые множества. Необходимость расширения понятия числа.

Одним из основных понятий математики является понятие числа. Это понятие прошло длительный путь развития, обогащаясь новым содержанием.

Исторически первыми возникли в практике и были введены в науку натуральные числа, которые являются инструментом для счета количества отдельных предметов. Они образуют бесконечное множество, которое обозначается N .

Затем возникла необходимость введения отрицательных чисел в ходе практической деятельности человека (понятие долга). Целые отрицательные числа вмести с натуральными и числом 0 образуют бесконечное множество Z.

Потребность практики, а также внутренние потребности самой математики, ее логического развития, показали недостаточность множества рациональных чисел для решения различных задач.

Например,

Такие числа получили название иррациональных.

Поэтому появилась необходимость создать новое расширенное множество чисел, в котором для каждой точки числовой прямой находилось бы числовое значение и в котором решалось бы любое уравнение вида x n = a. Такое множество получило название действительных или вещественных чисел R.

Каждое предыдущее множество содержится в последующем:

Развитие науки и практики показало недостаточность введенного множества R. На этом множестве неразрешимо простейшее уравнение

Чтобы избавиться от этого, было введено обозначение

Полученное число i было названо мнимой единицей.

Историческая справка.

1545 г. – итальянский математик Джироламо Кардано при решении кубических уравнений впервые случайно получил мнимые числа

1748 г. – русский математик Леонард Эйлер нашел соотношение е ix = cos x + i∙sin x

1803 г. – французский математик Лазар Никола Карно ввел понятие комплексного числа.

1835 г. – немецкий математик Карл Фридрих Гаусс обосновал существование комплексного числа.

Определение. Мнимой единицей i называется число, квадрат которого равен -1.

Определение . Комплексным числом называется число вида а + i∙b, где а и b – действительные числа. Число а называется действительной частью комплексного числа , b – мнимой частью комплексного числа . (НО НЕ i∙b !!!)

Существуют два частных случая:

Определение. Запись числа в виде а + i∙b называется алгебраической формой записи комплексного числа .

Определение . Два комплексных числа называются равными , если равны их мнимые и действительные части.

Определение . Комплексное число а - i∙b называется комплексно сопряженным к комплексному числу а + i∙b.

Определение . Комплексные числа а + i∙b и - а - i∙b называются противоположными .

Операции над комплексными числами

в алгебраической форме записи.

1. Сложение .

Правило . Чтобы сложить два комплексных числа в алгебраической форме записи нужно сложить их мнимые и действительные части.

(a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. Вычитание .

Правило . Чтобы вычесть два комплексных числа в алгебраической форме записи нужно вычесть соответственно их мнимые и действительные части.

(a 1 + ib 1 ) - (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. Умножение .

Правило . Чтобы умножить два комплексных числа в алгебраической форме записи нужно умножить их почленно и привести к алгебраической форме записи.

(a 1 + ib 1 ) ∙ (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. Деление .

Правило . Чтобы разделить одно комплексное число на другое нужно оба числа помножить на комплексно сопряженное к делителю и выполнить действия.

Задания.

1. Какие из следующих чисел равны?

0,3 + 0,2i

0,3 - 0,2i

0,6 + 0,4i

1. Какие из следующих чисел являются действительными? Чисто мнимыми?

2 + 0i

0 + 2i

3 – 5i

4 + 2i

1. Найти все сопряженные и противоположные к данным комплексным числам.

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

Так называют числа вида , где и - действительные числа, а - число особого рода, квадрат которого равен , т.е. . Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом заменяют на . Например:

;

;

.

Равенство означает, что и .

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применял в III в. н.э. древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII в. н.э. эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII в. н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений (см. Алгебраическое уравнение) содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения ), а если оно имело три действительных корня (например, ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более и более широкое распространение». Ф. Клейн

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , , не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII в. – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа («мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831).

В течение XVII в. продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII вв. была построена общая теория корней -й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

С помощью этой формулы можно также вывести равенства для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу

,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрическими. С помощью формулы Эйлера можно возводить число в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств». П. Карно

В конце XVIII в. французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.

Хотя в течение XVIII в. с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведения, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

В конце XVIII-начале XIX в. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой , а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами и , но также длиной и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , и число принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число называют модулем комплексного числа и обозначают . Число называют аргументом и обозначают . Заметим, что если , значение не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число в виде (показательная форма комплексного числа).

Очень удобно выполнять умножение комплексных чисел в показательной форме. Оно производится по формуле т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и B. C. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.