Многое из физики иногда остаётся непонятным. И дело не всегда в том, что человек просто мало прочитал по этой теме. Иногда материал дан так, что понять его человеку, не знакомому с основами физики, просто невозможно. Одним довольно интересным разделом, который не всегда люди понимают с первого раза и способны осмыслить, являются периодические колебания. Прежде чем объяснить теорию периодических колебаний, поговорим немного об истории обнаружения этого явления.

История

Теоретические основы периодических колебаний были известны ещё в древнем мире. Люди видели, как равномерно двигаются волны, как вращаются колёса, проходя через определённый промежуток времени через одну и ту же точку. Именно из этих простых, на первый взгляд, явлений пошло понятие колебаний.

Первых свидетельств описания колебаний не сохранилось, однако доподлинно известно, что один из самых распространённых их видов (а именно электромагнитные) теоретически предсказал Максвелл в 1862 году. Через 20 лет его теория получила подтверждение. Тогда провёл серию опытов, доказывающих существование электромагнитных волн и наличие определённых свойств, присущих только им. Как оказалось, свет также является электромагнитной волной и подчиняется всем соответствующим законам. За несколько лет до Герца нашёлся человек, который продемонстрировал научному обществу генерацию электромагнитных волн, но в силу того, что он не был силён в теории так же, как Герц, не смог доказать, что успех опыта объясняется именно колебаниями.

Мы немного отошли от темы. В следующем разделе рассмотрим основные примеры периодических колебаний, которые мы можем встретить в повседневной жизни и в природе.

Виды

Эти явления происходят везде и постоянно. И кроме уже приведённых в пример волн и вращения колёс, мы можем заметить периодические колебания в нашем организме: сокращения сердца, движение лёгких и так далее. Если увеличивать масштаб и переходить к более крупным объектам, чем наши органы, можно увидеть колебания и в такой науке, как биология.

Примером могут служить периодические колебания численности популяций. В чём смысл этого явления? В любой популяции всегда происходит то её увеличение, то уменьшение. И связано это бывает с разными факторами. В силу ограниченности пространства и многих других факторов популяция не может бесконечно расти, поэтому с помощью естественных механизмов природа научилась уменьшать численность. При этом и происходят периодические колебания численности. То же самое происходит и с человеческим обществом.

Теперь обсудим теорию этого понятия и разберём немного формул, касающихся такого понятия, как периодические колебания.

Теория

Периодические колебания - очень интересная тема. Но, как и в любой другой, чем дальше погружаешься - тем больше непонятного, нового и сложного. В этой статье мы не будем углубляться, лишь расскажем кратко об основных свойствах колебаний.

Основными характеристиками периодических колебаний являются период и частота показывает, какое время требуется волне, чтобы вернуться в исходное положение. Фактически это время, за которое волна проходит расстояние между её соседними гребнями. Есть ещё одна величина, которая тесно связана с предыдущей. Это частота. Частота обратна периоду и имеет такой физический смысл: это количество гребней волн, которые прошли через определённую область пространства за единицу времени. Частота периодических колебаний, если представить её в математическом виде, имеет формулу: v=1/T, где T - период колебаний.

Перед тем как перейти к заключению, расскажем немного о том, где наблюдаются периодические колебания и как знания о них могут быть полезны в жизни.

Применение

Выше мы уже рассмотрели виды периодических колебаний. Если даже руководствоваться перечнем того, где они встречаются, легко понять, что они окружают нас везде. излучают все наши электроприборы. Более того, связь телефона с телефоном или прослушивание радио были бы невозможны без них.

Звуковые волны также представляют собой колебания. Под действием электрического напряжения специальная мембрана в каком-либо генераторе звука начинает вибрировать, создавая волны определённой частоты. Вслед за мембраной начинают колебаться молекулы воздуха, которые в конце концов и доходят до нашего уха и воспринимаются как звук.

Заключение

Физика - очень интересная наука. И даже если кажется, что вы вроде как знаете в ней всё, что может пригодится в повседневной жизни, всё равно найдётся такая вещь, в которой будет нелишним разобраться получше. Мы надеемся, что эта статья помогла вам понять или вспомнить материал по физике колебаний. Это действительно очень важная тема, практическое применение теории из которой сегодня встречается повсеместно.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

2. Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осциллятор.

3. Энергия гармонических колебаний.

4. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Биение. Метод векторной диаграммы.

5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

6. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Частота затухающих колебаний. Изохронность колебаний. Коэффициент, декремент, логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.

7. Вынужденные механические колебания. Амплитуда и фаза вынужденных механических колебаний.

8. Механический резонанс. Соотношение между фазами вынуждающей силы и скорости при механическом резонансе.

9. понятие об автоколебаниях.

Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

Колебания – движение или процессы, обладающие той или иной степенью повторности во времени.

Гармонические (или синусоидальные) колебания – разновидность периодических колебаний, которые могут быть заменены в виде

где a – амплитуда, - фаза, - начальная фаза, - циклическая частота, t – время (т.е. применяются со временем по закону синуса или косинуса).

Амплитуда (а) – наибольшее отклонение от среднего значения величины, совершающей колебания.

Фаза колебаний () – изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный процесс (величина t+ , стоящая под знаком синуса в выражении (1)).

Фаза характеризует значение изменяющейся величины в данный момент времени. Значение в момент времени t=0 называется начальной фазой ( ).

В качестве примера на рисунке 27.1 представлены математические маятники в крайних положениях с разностью фаз колебаний =0 (27.1.а) и = (27.1б)

Разность фаз колебаний маятников проявляется отличием в положении колеблющихся маятников.

Циклической или круговой частотой называется количество колебаний, совершаемое за 2 секунд.

Частотой колебаний (или линейной частотой ) называется число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота таких колебаний, период которых равен 1с. Эту единицу называют Герц (Гц).

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, а фаза колебания получает приращение, равное 2 , называется периодом колебания (рис. 27.2).

Частота связана с пе-

риодом Т соотношении-

t

		X

Поделив обе части уравнений на m

и перенеся в левую часть

Обозначив , получим линейное дифференциальное однородное уравнение второго порядка

(2)

(линейное – т.е. и сама величина х, и ее производная в первой степени; однородное – т.к. нет свободного члена, не содержащего х; второго порядка – т.к. вторая производная х).

Уравнение (2) решается (*) подстановкой х = . Подставляя в (2) и проводя дифференцирование

.

Получаем характеристическое уравнение

Это уравнение имеет мнимые корни: ( -мнимая единица).

Общее решение имеет вид

где и - комплексные постоянные.

Подставляя корни, получим

(3)

(Замечание: комплексным числом z называется число вида z = x + iy, где x,y – вещественные числа, i – мнимая единица ( = -1). Число х называется вещественной частью комплексного числа z.. Число у называется мнимой частью z).

(*) В сокращенном варианте решение можно опустить

Выражение вида можно представить в виде комплексного числа с помощью формулы Эйлера

аналогично

Положим и в виде комплексных постоянных = А , а = А , где А и произвольные постоянные. Из (3) получим

Обозначив получим

Используя формулу Эйлера

Т.е. получим решение дифференциального уравнения для свободных колебаний

где - собственная круговая частота колебаний, А – амплитуда.

Смещение х применяется со временем по закону косинуса, т.е. движение системы под действием упругой силы f = -кх представляет собой гармоническое колебание .

Если величины, описывающие колебания некоторой системы периодически изменяются со временем, то для такой системы пользуются термином «осциллятор ».

Линейным гармоническим осциллятором называется такой, движение которого описывается линейным уравнением .

3. Энергия гармонических колебаний . Полная механическая энергия системы, изображенной на рис. 27.2 равна сумме механической и потенциальной энергий.

Продифференцируем по времени выражение ( , получим

A sin( t + ).

Кинетическая энергия груза (массой пружины пренебрегаем) равна

E = .

Потенциальная энергия выражается известной формулой подставляя х из (4), получим

Полная энергия

величина постоянная. В процессе колебаний потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, но каждая энергия остается неизменной.

4. Сложение одинаково направленных колебаний.. Обычно одно и то же тело участвует в нескольких колебаниях. Так, например, звуковые колебания, воспринимаемые нами при слушании оркестра представляют собой сумму колебаний воздуха, вызываемых каждым из музыкальных инструментов в отдельности. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Начальные фазы для упрощения задачи положим равными нулю. Тогдабиениями. За это время разность фаз изменяется на , т.е.

Таким образом период биений

Вступление

Изучая явление, мы одновременно знакомимся со свойствами объекта и учимся их применять в технике и в быту. В качестве примера обратимся к колеблющемуся нитяному маятнику. Любое явление «обычно» подсматривается в природе, но может быть предсказано теоретически, либо случайно обнаружено при изучении другого. Еще Галилей обратил внимание на колебания люстры в соборе и «было в этом маятнике что-то, что заставило его остановиться». Однако наблюдения обладают крупным недостатком, они пассивны. Для того чтобы перестать зависеть от природы, необходимо построить экспериментальную установку. Теперь мы можем воспроизводить явление в любое время. Но какова цель наших опытов с тем же нитяным маятником? Человек многое взял от «братьев наших меньших» и поэтому можно представить, какие опыты провела бы с нитяным маятником обыкновенная обезьяна. Она бы попробовала его «на вкус», понюхала, дернула за ниточку и потеряла к нему всякий интерес. Природа научила ее очень быстро изучать свойства объектов. Съедобно, несъедобно, вкусно, невкусно - вот краткий перечень свойств, которые изучила обезьяна. Однако человек пошел дальше. Он обнаружил такое важное свойство, как периодичность, которое можно измерить. Любое измеримое свойство объекта называют физической величиной. Ни один механик мира не знает всех законов механики! А нельзя ли путем теоретического анализа или тех же экспериментов выделить главные законы. Те, кому удалось это сделать, навсегда вписали свое имя в историю науки.

В своей работе мне бы хотелось изучить свойства физических маятников, определить в какой степени уже изученные свойства можно применить в практике, в жизни людей, в науке, а может применять их в качестве метода изучения физических явлений других областей этой науки.

Колебания

Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

С колебательными системами приходится иметь дело не только в различных машинах и механизмах, термин "маятник" широко используют в приложении к системам различной природы. Так, электрическим маятником называют цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности, химическим - смесь химикатов, вступающих в колебательную реакцию, экологическим маятником - две взаимодействующие популяции хищников и жертв. Этот же термин применяется к экономическим системам, в которых имеют место колебательные процессы. Мы также знаем, что колебательными системами является большинство источников звука, что распространение звука в воздухе возможно лишь потому, что сам воздух представляет собой своего рода колебательную систему. Более того, кроме механических колебательных систем, существуют электромагнитные колебательные системы, в которых могут совершаться электрические колебания, составляющие основу всей радиотехники. Наконец, имеется очень много смешанных -- электромеханических -- колебательных систем, используемых в самых различных технических областях.

Мы видим, что звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения - колебания почвы, приливы и отливы - изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета. Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Итак, колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики - теория колебаний - занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судостроителям и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания характеризуются амплитудой - наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T) или частотой (v). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T=1/v. Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1Гц - это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника. Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские - У.Томсон (лорд Кельвин) и Дж.Рэлей, русские - А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские - А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие.

Периодические колебания

Среди всевозможных совершающихся вокруг нас механических движений и колебаний часто встречаются повторяющиеся движения. Любое равномерное вращение является повторяющимся движением: при каждом обороте всякая точка равномерно вращающегося тела проходит те же положения, что и при предыдущем обороте, причем в такой же последовательности и с теми же скоростями. Если мы посмотрим, как раскачиваются от ветра ветви и стволы деревьев, как качается на волнах корабль, как ходит маятник часов, как движутся взад и вперед поршни и шатуны паровой машины или дизеля, как скачет вверх и вниз игла швейной машины; если мы будем наблюдать чередование морских приливов и отливов, перестановку ног и размахивание руками при ходьбе и беге, биения сердца или пульса, то во всех этих движениях мы заметим одну и ту же черту -- многократное повторение одного и того же цикла движений.

В действительности не всегда и не при всяких условиях повторение совершенно одинаково. В одних случаях каждый новый цикл очень точно повторяет предыдущий (качания маятника, движения частей машины, работающей с постоянной скоростью), в других случаях различие между следующими друг за другом циклами может быть заметным (приливы и отливы, качания ветвей, движения частей машины при ее пуске или остановке). Отклонения от совершенно точного повторения очень часто настолько малы, что ими можно пренебречь и считать движение повторяющимся вполне точно, т. е. считать его периодическим.

Периодическим называется повторяющееся движение, у которого каждый цикл в точности воспроизводит любой другой цикл. Продолжительность одного цикла называется периодом. Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки.

ГОСТ 24346-80 «Вибрация. Термины и определения» определяет вибрацию как «движение точки или механической системы, при котором происходят колебания характеризующих его скалярных величин». Колебания скалярной величины объясняются как «процесс поочередного возрастания и убывания во времени значений какой-либо величины».

Под это определение попадают множество колебательных процессов, начиная с вращения планет вокруг Солнца, заканчивая колебаниями электронов на орбитах движения вокруг ядра. Световые волны, которые позволяют нам видеть, имеют колебательную природу. Морские приливы также являются колебаниями. Окружающий мир, во многом состоит из колебаний.

Вибрация для механического оборудования может быть:

• полезной – для вибрационных грохотов, бетоноуплотнительных машин, разгрузочных вибраторов железнодорожных вагонов, вибрационных трамбовок, виброшлифовальных машин и другой вибрационной техники;
• разрушительной – для механизмов роторного типа, транспортной техники, двигателей внутреннего сгорания и электрических двигателей, металлообрабатывающего оборудования, металлургических машин, зданий и сооружений и др.;
• источником информации о техническом состоянии‑этот информационный аспект составляет основу вибрационной диагностики и данного учебника.

Необходимость измерения вибрации машин возникла во второй половине XIX века. Это связано с появлением паровых судов, имеющих лёгкие по сравнению с наземными сооружениями конструкции и мощные приводные машины. Возникновение вибрации всегда неприятно для экипажа и пассажиров. Последствия вибрации – аварии из-за поломок деталей механизмов, значительно снижали доверие к этому новому, в то время виду транспорта. Часто интенсивные колебания наблюдались в подвижном составе развивающегося железнодорожного транспорта.

Вначале, для регистрации вибрации использовались органолептические методы, основанные на визуальных или тактильных ощущениях. Значения параметров вибрации субъективно оценить затруднительно. При возможности сравнительного анализа точность оценки амплитуды вибрации не превышает 20%. Абсолютная оценка всегда содержит грубые ошибки из-за нераспознанного спектрального состава вибрации. В высокочастотном диапазоне возможности человека по восприятию вибрации ограничены. Надёжным виброметром человек служить не может.

Наибольшая чувствительность при воздействии вибрации на человека наблюдается при частоте 100…300 Гц. Распознать частоту колебаний практически невозможно, если эти колебания происходят с частотой свыше 5 Гц. Однако, человек ощущает дискомфорт, находясь рядом с машиной генерирующей частоты, совпадающие с резонансными частотами частей человеческого тела.

Если колебания настолько редки, что глаз различает каждое из них в отдельности, то частота определяется подсчётом полных колебаний за некоторый промежуток времени. С уменьшением размаха колебаний точность глазомерного восприятия уменьшается. Частота колебаний в диапазоне 25…100 Гц позволяет различить малые амплитуды до 0,1 мм.

Подтверждением присутствия вибрации становились различные методы визуализации механических колебаний. Размах больших колебаний (5 мм и выше) можно определить по отбрасываемой объектом тени на экран в пучке параллельных либо расходящихся лучей. Характер прямой линии, проведенной по бумаге, лежащей на корпусе механизма, позволяет качественно оценить частоту и интенсивность колебаний ( а). При этом регистрируются колебания в направлении перпендикулярном направлению движения карандаша. Скорость перемещения карандаша должна быть как можно более постоянной.

Часто, для измерения размаха виброперемещения машин и балансировочных станков применялись ручные виброметры с использованием индикатора часового типа ( б). Размах колебаний вибрирующей поверхности, с которой соприкасается стержень индикатора, определяется по размаху колебаний стрелки индикатора. При сильных вибрациях такие виброметры быстро выходят из строя.

В случае необходимости регистрации относительно больших амплитуд колебаний (0,5…10 мм) с точностью до 0,5 мм при малой частоте (10…20 Гц) возможно применение мерного клина. При вибрации, происходящей с частотой 8 Гц и выше в направлении перпендикулярном колебаниям ( а), глаз сохраняет способность зрительного восприятия всех положений клина и четко видит точку пересечения крайних положений клина на расстоянии l от начала треугольника. Если размах колебаний s , высота клина h и основание L , то из подобия треугольников:

(а)	(б)
(в)	(г)

а) схема измерения амплитуды колебаний при помощи мерного клина; б, в) пример установки мерного клина на оборудовании; г) контроль уровня вибрации гидроагрегата при помощи монеты

Виды колебательных процессов

Вибрация ‑ это механические колебания или повторяющееся движение объекта около положения равновесия. Вибрация тела вызывается силами возбуждения. Эти силы прикладываются к объекту извне или возникают внутри него.

Колебательные процессы следует разделить на стационарные и нестационарные. Нестационарные колебания разделяются на длительные, кратковременные и переходные. Пример переходного процесса ‑ вибрация механизма при разгоне или при остановке и выбеге. Кратковременные процессы – подъём груза мостовым краном или перемещение крана. Длительные нестационарные процессы соответствуют режиму работы прокатных клетей или скипового подъёмника доменной печи, когда нагрузка изменяется при выполнении технологических операций.

Стационарные процессы имеют постоянные во времени параметры. Общий уровень, распределение амплитуд и частот, составляющих вибрации для стационарных процессов остаются практически неизменными в кратковременном интервале – как минимум в течение нескольких часов. Данные процессы наиболее характерны для механизмов роторного типа.

Стационарные процессы подразделяются на периодические и случайные.

Периодические колебания представляют собой колебания, при которых каждое значение колеблющейся величины повторяется через равные интервалы времени – периоды ().

Одним из видов периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону синуса или косинуса (рисунок 61):

S(t) = А ·sin(w t + j ),
S(t) = А ·cos(w t + j ),

где А – амплитуда колебаний (мм); t – время (сек); j – начальная фаза колебаний (рад); w – угловая скорость (рад/сек); w t + j – фаза колебания (рад).

Амплитуда колебания А – максимальное отклонение колеблющегося параметра от среднего значения. Фаза w t+ j определяет состояние колебательного процесса в определенный момент времени t . Начальная фаза j характеризует состояние колеблющейся системы в начальный момент времени t = 0.

Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, через который колеблющаяся система возвращается к исходному состоянию.

Частотой колебаний f называется число колебаний за одну секунду. Если T - период колебаний, то f = 1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) – одно колебание в секунду. Одно полное колебание (2π радиан), синусоида совершает за период Т , следовательно, угловая скорость (или частота) w = 2π / Т = 2π f .

Формы представления гармонических колебаний приведены на .

x (t) = A × sin(w t + j 0 ) x (t) = A × cos(w t + j0 ) Математические зависимости	Временная форма
Спектральная форма	Векторная форма

При гармонических колебаниях: А, w , j = const .

При почти гармонических (квазигармонических) колебаниях: А, w , j – меняющиеся функции времени, некоторые из них могут быть постоянными, некоторые возрастающими или убывающими (). Например, амплитуда, угловая скорость при запуске либо при остановке механизма создают затухающие или возрастаающие колебания ‑ колебания с убывающей или возрастающей со временем амплитудой:

X(t)=A 0 e – β t cos(ω t+ φ 0 ) или X(t)=A 0 e β t cos(ω t+ φ 0 )

где β – коэффициент затухания.

При запуске	При остановке
Возрастающие колебания	Затухающие колебания

Полигармонические колебания – колебания, которые могут быть представлены в виде суммы двух или более гармонических колебаний (гармоник), частоты которых кратны основной частоте ().

Первый сигнал x(t) = sin(t)	Второй сигнал x(t) = 2×cos(3t)
Суммарный сигналx(t) = sin(t) + 2×cos(3t)	Спектральная форма

Форма полигармонических колебаний существенно зависит от сдвига начальных фаз складываемых гармоник, при этом в спектральном представлении отличия отсутствуют ().

x(t) = sin(t) + sin(2t)
x(t) = sin(t) + sin(2t + π/2)

Одним из видов полигармонических колебаний являются биения – сложение двух гармонических колебаний с близкими частотами ().

Исходные синусоиды
Возникновение «биений»
Tб = 2π / |ω1 – ω2|

Рисунок 66 – Биения

Время между точками А и В определяет момент когда число циклов колебаний одной частоты будет на единицу превышать число циклов колебаний другой частоты. Общая амплитуда колебаний в эти моменты равна нулю. Чем меньше разность частот двух составляющих, тем больше длина интервала АВ. В середине интервала общая амплитуда соответствует сумме амплитуд колебаний.

Случайные процессы – непредсказуемы по своему частотному составу и уровням амплитуд, но сохраняют свои статистические характеристики (среднее значения, дисперсию) на протяжении процесса наблюдения. Например: кавитация в проточной части насоса, повреждения подшипников качения, силы трения в подшипниках качения и скольжения, турбулентность в потоке газа или жидкости и др.

Колебательные процессы можно разделить на типы в зависимости от источников энергии в этих процессах:

• свободные или собственные колебания – определяются внутренними параметрами деталей, их массой и жёсткостью, возникающие за счёт однократного внешнего воздействия на систему (после выведения системы из состояния равновесия, за счёт сообщенной энергии из вне), в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие;
• вынужденные колебания – вызываются и поддерживаются переменным внешним воздействием (вибрация роторного механизма, вызванная дисбалансом), при периодическом поступлении энергии из вне к колебательной системе;
• параметрические колебания – вызываются изменением динамических параметров системы (жёсткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.), в результате внешнего воздействия ;
• автоколебания – незатухающие колебания в динамической системе, поддерживающиеся за счёт энергии непериодического внешнего воздействия;
• случайные колебания, возникают в результате случайных внешних воздействий и (или) из-за случайных параметров системы;
• крутильные колебания возникают при неравномерном вращении вала.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Например:

• колебания маятника часов за счёт действия тяжести заводной гири;
• колебания скрипичной струны под воздействием движущегося смычка;
• работа электрического звонка и др.

Вибрацию также классифицируют: по её природе (механическая, аэрогидродинамическая, электромагнитная, электродинамическая); по конструктивному узлу (элементу) её вызывающему (роторная, лопаточная, подшипниковая, зубчатая).

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Вибрационные характеристики механизма определяются параметрами внешнего нагружения и внутренней структуры взаимодействия узлов и деталей. Изучение вибрационной картины механизма начинается с универсальной расчётной модели отдельного элемента, показанной на .

Компонентами данной модели являются:

1. Сила F – векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на тело других тел, а также полей. Приложенная к телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём напряжений.
   Сила как векторная величина характеризуется модулем, направлением и точкой приложения силы. Для возникновения колебаний сила должна быть переменной по модулю или по направлению. Этому требованию отвечают:
   • силы механической природы: центробежные, кинематические, параметрические, динамические, силы трения, силы ударного взаимодействия;
   • силы электромагнитного происхождения: магнитные, электродинамические, магнитострикционные – определяемые изменением линейных размеров магнитного материала под действием магнитного поля;
   • силы аэродинамического происхождения: подъёмные силы, силы трения на границе потока и неподвижных частей машины, пульсации давления в потоке;
   • силы гидродинамического происхождения – имеют ту же природу, что и в газовой среде, но к ним добавляются пульсации давления из-за кавитации.

Сила упругости – сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное состояние (противодействует деформации).
Сила инерции – векторная величина, численно равная произведению массы m материальной тела на его ускорение и направленная противоположно ускорению.
Сила трения – это сила, возникающая при соприкосновении двух тел и препятствующая их относительному движению.

1. Масса – скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела и определяющая вес тела при взаимодействии с гравитационными полями.
2. Жёсткость – это способность конструктивных элементов сопротивляться деформации при внешнем воздействии. Основной характеристикой жёсткости является коэффициент жёсткости, равный силе, вызывающей единичное перемещение в точке приложения силы.
3. Демпфирование – способность к подавлению колебаний (способность к рассеиванию энергии колебаний).

Уравнение движения для данной модели выглядит следующим образом:

Первый компонент данного уравнения соответствует второму закону Ньютона, второй указывает на поглощение колебаний, а третий – закон Гука.

Основной характеристикой расчётной модели является частота собственных колебаний. Собственные колебания - это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Примером свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине ().

Частота собственных колебаний определяется массой и жёсткостью:

Поэтому, объекты большой массы имеют собственную частоту колебания на низких частотах, а объекты, имеющие высокую жёсткость, имеют собственную частоту колебания на высоких частотах.

При совпадении частоты собственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы возникает резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансные явления могут вызвать разрушения в механических системах. Для роторных машин важной характеристикой является критическая скорость – частота вращения вала двигателя, при которой возникает повышенная вибрация из-за совпадения частот вынужденных и собственных колебаний. Амплитуда колебаний при этом повышена, но не бесконечна из-за демпфирования колебаний элементами механической системы. При резонансе происходит изменение фазы на 90 0 между силой, вызвавшей резонанс, и реакцией системы.

Прикладывая периодическую силу постоянного значения, которая увеличивается по частоте и записывая амплитуду перемещения при различных значениях коэффициента затухания (коэффициент затухания δ= h /2 m ), получаем частотные характеристики классической системы ().

При низких частотах возбуждения (), амплитуда колебаний почти не изменяется. При совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний амплитуда достигает максимального значения, при малом демпфировании. При увеличении демпфирования значение амплитуды снижается. При максимальном демпфировании на частотной характеристике практически нет пика – система сильно демпфирована. С увеличением частоты возбуждения амплитуда уменьшается. Эти свойства частотных характеристик наблюдаются и на вращающихся системах.

Можно теперь ответить на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие определенной частоты у негармонического периодического колебания периода ?

Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следовательно, характеризуется не одной частотой, а набором частот и т. д., т. е. кратных наиболее низкой (основной) частоте .

Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинаковый период , но различных по своей форме. Пример таких осциллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота , и ее обертоны и т. д. у всех рассматриваемых периодических колебаний одинаковы, так как одинаков период .

Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано различие формы наших периодических колебаний?

Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гармонических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебании, которым мы будем сейчас пользоваться.

Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона

На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осциллограммы) двух гармонических колебаний - основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению равновесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке этой прямой линии, имеем отрезки и , изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок , изображающий результирующее отклонение в точке . Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс - вверх, минус - вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальная.

Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Результат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32 амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но добавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершенно различными по форме.

Рис. 31. То же, что на рисунке 30, но амплитуда обертона вдвое меньше

Итак, различие формы периодических колебаний связано с тем, сколько гармоник входит в их состав, с какими они входят амплитудами и фазами.

Рис. 32. То же, что на рисунке 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода

Мы брали для простоты всего две или три складываемые гармоники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить амплитуду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма результирующего периодического колебания в какой-то мере изменится.

Впрочем, очень часто изменения формы колебаний, обусловленные фазами гармоник, т. е. их сдвигами повремени, не играют роли в физическом явлении и поэтому не представляют интереса. Именно так, в частности, обстоит дело по отношению к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь частоты и амплитуды гармоник, входящих в состав данного сложного колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармоническим спектром (или просто спектром) данного колебания.

Рис. 33. То же, что на рисунке 30, но добавлен второй обертон

Рис. 34. Периодическое колебание в форме толчков и спектр такого колебания

Спектры можно изображать в виде очень наглядных графиков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси частоты (или номера) гармоник, а по вертикали - их амплитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, представляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соответствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии - амплитуду этой гармоники.