Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов. Сложение и вычитание многочленов

Тема: Сложение и вычитание многочленов.

Цели урока:

Обучающая: изучить правила сложения и вычитания многочленов; познакомить с правилом сложения многочленов «в столбик»; ввести понятие «противоположного многочлена».

Развивающая: развивать у учащихся навыки преобразования многочленов; создавать условия для проявления познавательной деятельности и активности учащихся.

Воспитывающая: воспитывать целеустремленность, организованность, формировать интерес к изучению материала через различные виды деятельности.

Способствовать формированию компетенций: учебно-познавательной и информационно-коммуникативной.

Тип урока : урок усвоения нового материала.

Оборудование: интерактивная доска SmartBoard, мультимедийный проектор.

Структура урока:

Организационный этап. Мотивация.

Актуализация опорных знаний.

Изучение нового материала.

Физкультминутка.

Первичное закрепление полученных знаний.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Домашнее задание. Инструктаж.

ХОД УРОКА

1. Организационный этап. Мотивация.

На сегодняшнем уроке нам предстоит узнать, как выполняется сложение и вычитание многочленов. Познакомимся с алгоритмом сложения многочленов «в столбик» и понятием «противоположного многочлена».

2. Актуализация опорных знаний .

Ребята, на сегодняшнем уроке мы узнаем много нового. Но без знаний пройденного материала нам будет трудно, поэтому проведем небольшой устный опрос.

Фронтальный теоретический опрос.(Слайд 2)

Сумма одночленов называется (многочленом ).

Многочлен, представляющий собой сумму двух одночленов, называется (двучленом ).

Сумма (противоположных ) одночленов равна нулю.

При умножении многочлена на (единицу) в результате получится тот же самый многочлен.

Степенью многочлена стандартного вида называют (наибольшую из степеней ).

Устный опрос. (Слайд 3). Нажимая поочередно на «книгу», учащиеся приводят подобные слагаемые, и проводят самопроверку.

3. Изучение нового материала.

Учитель : Многочлены часто являются математическими моделями практических задач, поэтому нам надо уметь выполнять арифметические действия с многочленами и приводить такие выражения к максимально простому виду. Выясним, как складывать и вычитать многочлены. Фактически, мы это делать уже умеем.

Например, составим сумму и разность многочленов (Слайд 4 ) и в полученном алгебраическом выражении раскроем скобки.

(Раскрывают скобки, работая в тетрадях, в парах. Один ученик выполняет преобразования на обратной стороне доски. Проверяем ход работы и анализируем все ли операции выполнены верно?)

Мы видим, что полученные в результате преобразования сумма и разность также являются многочленами.

Делаем вывод: (Слайд 5 ). Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При этом, если перед скобкой стоит знак «+» , то знаки слагаемых, стоящих в скобках, не меняются . Если перед скобкой стоит знак «-» , то знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные .

Аналогичным образом можно найти сумму любого количества многочленов. Учащиеся выполняют задание (Слайд 6 ), и проверяют правильность выполнения задания (Слайд 7)

После выполнения последнего пункта задания 1 , вводится понятие многочлена, противоположного данному.

Многочлен противоположным данному - это исходный многочлен, умноженный на (-1). Учащиеся выполняют задание 2 (Слайд 8 ). (Стираем «ластиком» и проводим проверку ).

Другими словами, если его сумма с исходным многочленом равна нулю. Учащиеся выполняют задание 3 (Слайд 9 ). (Нажимаем на пропуски и проверяем !).

4. Физкультминутка.

Учитель . Предлагает упражнения для глаз и для улучшения мозгового кровообращения.

Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до пяти. Повторить 4-5 раз.

Вытянуть правую руку вперёд. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленным движением указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторить 4-5 раз.

В среднем темпе проделать 3-4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1-6. Повторить 1-2 раза.

Продолжаем…

Учитель . Но количество многочленов-слагаемых и их членов может быть достаточно большим, и тогда поиск и приведение подобных членов может оказаться весьма затруднительным. Чтобы упростить вычисления, мы можем использовать идею «записи в столбик», аналогичную той, которую мы использовали при сложении и вычитании многозначных чисел. При сложении многозначных чисел такая запись помогаем добиться близкого расположения цифр, стоящих в одинаковых разрядах, а при сложении многочленов – близкого расположения подобных членов.(Слайд 10).

(Нажимаем на противоположные одночлены, показывая тем самым их исключение, а также нажимает на место получаемого результата). В итоге мы приходим к следующему алгоритму сложения многочленов «в столбик». Язычок: Запомни ).

Учащиеся выполняют задание 4 по вариантам. (Слайд 11 ). Проводят взаимопроверку.

Теперь обсудим операцию вычитания многочленов. Мы знаем, что вычитание рационального числа можно заменить прибавлением противоположного числа. Аналогично мы можем поступить и при работе с многочленами.

Вычитание многочленов «в столбик» также сводится к сложению, предварительно лишь надо заменить многочлен-вычитаемое противоположным ему.

Итак, алгоритм вычитания многочленов «в столбик» отличается от соответствующего алгоритма сложения многочленов лишь тем, что в нем появляется один дополнительный шаг – замена многочлена-вычитаемого противоположным ему. (Слайд 12). (Нажимаем на противоположные одночлены, показывая тем самым их исключение, а также нажимает на место получаемого результата). В итоге мы приходим к следующему алгоритму вычитания многочленов «в столбик». Язычок: Запомни ).

5. Первичное закрепление полученных знаний.

Выполнение заданий на закрепление изученного материала.

Задание 5 (Слайд 13 ).

Задание 6 . С помощью кубика-генератора, нажимая поочередно на кубик и на стрелку, расположив многочлены столбиком, выполняем сложение. (Слайд 14 ).

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Что нового и интересного узнали на уроке?

Какое из правил сложения многочленов для вас наиболее приемлемо и удобно?

Какие испытывали трудности?

7. Домашнее задание. Инструктаж.

Учитель проводит инструктаж по выполнению домашнего задания.

Урок на тему:
"Сложение и вычитание многочленов. Правила и примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Электронное учебное пособие по учебнику Ю.Н. Макарычева
Электронное учебное пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Сложение многочленов

Ранее мы познакомились с понятием многочлена. Теперь научимся с многочленами работать. Это умение пригодится при решении сложных уравнений и других математических задач.

Вспомним определение: многочлен - это сумма одночленов!
Значит, чтобы сложить многочлены надо записать их как один многочлен, сохраняя знаки исходные членов.

Но, пока не наработан навык, будем складывать по определенному правилу:
1. Записываем многочлены в скобках и ставим между ними знаки "+".
2. Переписываем без скобок. Если в скобках у первого члена многочлена стоит знак минус, мы его пишем вместо плюса, который стоял перед скобкой. Остальные члены многочлена переписываем, сохраняя знаки.
3. Приводим получившийся многочлен к стандартному виду.

Примеры.
1) Сложить многочлены: a 3 + 2b + с и а 2 + 2b - 1.

Решение.

(а 3 + 2b + с) + (а 2 + 2b - 1).
2. Раскроим скобки: a 3 + 2b + с + а 2 + 2b - 1.

a 3 + 2b + с + а 2 + 2b - 1 = а 3 + 4b + с + а 2 - 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a 3 + а 2 + 4b + с - 1.

2) Сложить многочлены: a 3 + 2b + с и -а 2 + 2b - 1.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак плюс:
(а 3 + 2b + с) + (-а 2 + 2b - 1).
2. Раскроим скобки: a 3 + 2b + с - а 2 + 2b - 1.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
a 3 + 2b + с - а 2 + 2b - 1 = а 3 + 4b + с - а 2 - 1.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: a 3 - а 2 + 4b + с - 1.

Вычитание многочленов

Как при сложении, сначала записываем многочлены в скобках, но между скобками ставим знак "-". Просто убрать скобки, не получится. Нужно поменять знаки членов многочлена на противоположные. Это очень важно помнить, поскольку поможет избежать многих ошибок.

Попробуем решить пример 2 - (1 + 1). Сначала выполняем действия в скобках, потом - вычитание, получим ответ 0. Если просто убрать скобки, ответ будет 2. Если поменять знаки, ответ будет правильный 0.

Примеры.
1) Из многочлена а 3 b + 2ac - 5 вычесть многочлен 2a 3 b + ас + 5.

Решение.

(а 3 b + 2ac - 5) - (2a 3 b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а 3 b + 2ac - 5 - 2а 3 b - ac - 5.
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а 3 b + 2ac - 5 - 2а 3 b - ac - 5 = -а 3 b + ac - 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: -а 3 b + ac - 10.

2) Из многочлена a 3 b + 2ac - 5 вычесть многочлен -2a 3 b + ас + 5.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках и поставим между скобками знак минус:
(а 3 b + 2ac - 5) - (-2a 3 b + ac + 5).
2. Раскроим скобки: а 3 b + 2ac - 5 + 2а 3 b - ac - 5.
Обратите внимание, первый минус в вычитаемом поменялся на плюс! (Всегда внимательно смотрим: где ставить плюс, где - минус? Знак перед скобкой накладывается на знак в скобке: плюс на плюс дает плюс, плюс на минус дает минус, минус на минус дает плюс.)
3. Сложим все, что складывается (привести подобные):
а 3 b + 2ac - 5 + 2a 3 b - ac - 5 = 3a 3 b + ac - 10.
4. И запишем в красивом (стандартном) виде: 3a 3 b + ac - 10.

Методы сложения и вычитания многочленов очень похожи, только при вычитании меняются знаки. Поэтому эти действия объединили в одно правило.

Чтобы найти алгебраическую сумму многочленов надо записать их в скобках и расставить знаки. Потом раскрыть скобки следующим образом: если перед скобкой стоит знак плюс, то знаки членов многочлена не меняются, если перед скобкой стоит знак минус, то знаки членов многочлена меняются на противоположные.

Пример.
Найдите алгебраическую сумму многочленов: А + В – С, где:
А = а 2 b + аb + 4;
В = -5a 2 b + 6ab - 5;
С = -4a 2 b + 3ab + 8.

Решение.
1. Запишем многочлены в скобках: (а 2 b + аb + 4) + (-5a 2 b + 6ab - 5) - (-4a 2 b + 3ab + 8).
2. Раскроим скобки: а 2 b + аb + 4 - 5a 2 b + 6ab - 5 + 4a 2 b - 3ab - 8.
3. Приведем подобные:
а 2 b + аb + 4 - 5a 2 b + 6ab - 5 + 4a 2 b - 3ab - 8 = 4ab – 9.
4. И запишем в стандартном виде: 4ab – 9.
Обратите внимание, что исчезли некоторые члены многочленов.
Действительно а 2 b - 5a 2 b + 4a 2 b = 0.
В таких случаях принято говорить, что a 2 b, 5a 2 b, 4a 2 b взаимно уничтожились.

Примеры для самостоятельного решения

Найти алгебраическую сумму многочленов А – В + С, где:
1) А = х 2 у + 2ху 2 - 3;
В = - 5х 2 у + 3ху + 6;
С = 2х 2 у - 3ху + 6.

2) А = – 4х 2 у + ху – 8;
В = 6х 2 у + 8ху + у;
С = – 3ху + х.

3) А = ху 2 – 7ху – х;
В = 9ху 2 + ху + 6;
С = 5ху 2 + 8ху + х.

Презентация и раздаточный материал к уроку в 7 классе "Сложение и вычитание многочленов"

Цели и задачи учебного занятия:

Образовательные :
- познакомить учащихся с правилами сложения и вычитания многочленов;
- формировать умения и навыки сложения и вычитания многочленов, приведения подобных слагаемых и раскрытия скобок.
Развивающие :
- формировать умения осуществлять мыслительные операции: выделять главное, систематизировать, анализировать;
- развивать грамотность математического письма, память, умение слушать.
Воспитательная :
- прививать трудолюбие, усидчивость, аккуратность, точность;
- формировать положительное отношение к предмету и интерес к знаниям.

Оборудование: учебник, доска.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сложение, вычитание многочленов. МБОУ лицей №1, г.Волжский Волгоградской области. Учитель математики:Коротова И.В.

Схема урока. Теория Подготовка к УПД Практика Домашнее задание Изучение нового материала Индивидуальный опрос

Теория Одночлен. Одночлен стандартного вида. Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. Многочлен. Многочлен стандартного вида. Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду. Раскрытие скобок перед которыми стоит знак плюс (знак минус)

Выберите одночлены: 2 х + у; 3ху; 27ab 2 ; gh + 4; 2m+5n; 1 ; 1 + k . Теория

Приведите подобные слагаемые: -11ак + 8ак + 5ак; 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 Теория

Представьте многочлен в стандартном виде: 6 ab – 2 b 2 – 6 ba + 5 a 2 + 0,6 b 2 - 4 a · b a + 2 a 2 b + 0,2 a 2 b 2 – 2 a 2 b 2 Теория

Раскрыть скобки. – (32 – 2a 2 b – 5b + 4a) + (-7 х+ 8 у – 5ху + 7) Взаимопроверка

Взаимопроверка. Выберите одночлены: Отметка 2 3 6 Приведите подобные слагаемые: 2ак 5х 3 у 2 + 4х 2 у - 6 Представьте многочлен в стандартном виде -1,4 b 2 +5a 2 -1 ,8 a 2 b 2 - 2a 2 b Раскрыть скобки: -32+2a 2 b + 5b – 4a -7x + 8y – 5xy + 7 Итоговая отметка: Схема урока

Индивидуальный опрос. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Индивидуальный опрос. Низкий уровень 1 2 3 4 Средний уровень 1 2 3 4 Высокий уровень 1 2 3 4 Работа класса Схема урока

1. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

2. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

3. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

4. Низкий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: Индивидуальный опрос

1.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 16а(-а 2 b) + 18а 3 b - 12аа b + 14а 2 b Индивидуальный опрос

2.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 5 x (-4х 4) – 2 x 2 З x 3 + 27 x 5 - x 6 Индивидуальный опрос

3.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11 Индивидуальный опрос

4.Средний уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 23х 3 - 7 хх 2 у + 6х 2 x – 2 x 2 8у + 4 Индивидуальный опрос

1.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3 a 2 b n+2 + 5 a · 0,2 a b n+2 – 4 a 2 b n · 0,5 b 2 + 2 a 2 b n bb Индивидуальный опрос

2.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3,2x 2 x n x - 3,4 х n+1 2x 2 - 4,8x n+2 0,1x + x n+3 Индивидуальный опрос

3.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 0,3 у n+3 у 2 - 0,12y 2 y 0,1 у n+2 - 1,6 у n+2 yyy – 3 Индивидуальный опрос

4.Высокий уровень Представьте в стандартном виде многочлен: 3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2 Индивидуальный опрос

Записать сумму многочленов – 2 a + 5 b и – 2 b – 5 a 5y 2 + 2y - 3 и 7y 2 - 3y + 7. Записать разность многочленов – 2а + 5b и – 2b – 5а 8y 2 + 5y + 3 и 5y 2 - 3y + 7 .

Записать разность многочленов – 2 а + 5 b и – 2 b – 5 а 8y 2 + 5y + 3 и 5y 2 - 3y + 7 .

Упростить выражение. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = Проверка

Упростить выражение. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = Проверка

Упростить выражение. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b – 2 b – 5 a = – 3 b – 7 a

Упростить выражение. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = 5y 2 + 2y - 3 + 7y 2 - 3y + 7 = 12y 2 - y + 4

Упростить выражение (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = Проверка

Упростить выражение (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = Проверка

Упростить выражение (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b + 2 b + 5 a = 7 b + 3 a

Упростить выражение (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = 8y 2 + 5y + 3 - 5y 2 + 3y - 7 = 3y 2 + 8y - 4 Схема урока

Сложение и вычитание многочленов.

Правило сложения (вычитания) многочленов. Пусть даны два многочлена. Чтобы их сложить, их записывают в скобках и ставят знак «плюс» между ними. При вычитании мы ставим между скобками знак «минус». Для того, чтобы найти алгебраическую сумму нескольких многочленов, нужно раскрыть скобки по соответствующему правилу и привести подобные члены. В результате сложения (вычитания) многочленов получается многочлен. Схема урока

Практические задания. № 587 (а,г) № 588 (б) Схема урока

Домашнее задание: П.26 № 589 (а,в) № 595 (а) № 612 (б)

a - b b a - x - y 2 x - y 3 y 3 a 0

2 a a - b b b - a a - b - b b + a 0 - x - y 2 x - y - x + 2 y 3 y 0 - 3 y x – 2 y - 2 x + y x + y

Низкий уровень Средний уровень 3 a 2 b 3 + 5 a · 0,2 a b 2 – 4 a 2 b 2 · 0,5 b + 2 a 2 b 2 Высокий уровень 5 x n +4 2у - 10х n у 4х 4 –14 x n у 2 +18х n уу Проверка

Низкий уровень -a b 2 Средний уровень a 2 b 3 + 3 a 2 b 2 Высокий уровень -30x n +4 у + 4 x n у 2 Схема урока

Предварительный просмотр:

1 . Взаимопроверка.

2 . Работа класса

Ответ:	Отметка

1 . Взаимопроверка.

2 . Работа класса

Ответ:	Отметка

3 . Запишите в клетки каждого квадрата такие выражения, чтобы их сумма в каждом столбце, каждой строке и каждой диагонали была равна выражению, записанному в треугольнике:

Предварительный просмотр:

Представьте в стандартном виде многочлен:

16а(-а 2 6) + 18а 3 6 - 12аа6 + 14а 2 6

5 x (-4х 4 ) – 2 x 2 З x 3 + 27 x 5 - x 6

2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11

23х 3 - 7 хх 2 у + 6х 2 x – 2 x 2 8у + 4

3,2x 2 x n x - 3,4 х n +1 2x 2 - 4,8x n +2 0,1x + x n +3 .

0, 3 у n +3 у 2 - 0, 12 y 2 y 0,1 у n + 2 - 1,6 у n +2 yyy – 3

3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2

Предварительный просмотр:

Взаимопроверка.

Выберите одночлены:

Пусть требуется сложить одночлены:

Полученное выражение является алгебраической суммой. Согласно введённому условию (§ 16) мы можем внак сложения везде опустить и написать короче:

В этом выражении имеется два подобных члена.

Приведём их и заодно расположим многочлен по убывающим степеням относительно х:

(Проверить подстановкой в данные одночлены и в полученную сумму значений:

Значит, мы можем вывести такое правило:

Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их (в виде алгебраической суммы) один за другим с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, то их надо привести.

2. Сложение многочленов.

Решим задачу. В одной корзине было х яблок, в другой на у яблок больше, чем в первой, а в третьей на 27 яблок меньше, чем во второй. Сколько яблок было во всех трёх корзинах?

1) В первой корзине было х яблок.

2) Во второй корзине было яблок.

3) В третьей корзине было яблок.

4) В трёх корзинах было яблок.

Полученный ответ представляет собой сумму одночлена и двух многочленов.

Упростим этот ответ. Мы знаем, что каждое из выражений является алгебраической суммой. Поэтому по правилу прибавления суммы можем записать:

После приведения подобных членов получим окончательно:

Определить, сколько было яблок в корзинах, если:

Значит, мы можем вывести такое правило для сложения многочленов:

Чтобы сложить многочлены, надо запасать последовательно (в виде алгебраической суммы) все их члены с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

3. Раскрытие скобок.

При решении предыдущей задачи пришлось раскрывать скобки, перед каждой из которых стоял знак плюо. Значит, можно сделать вывод:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками.

Примечание. Если выражение начинается со скобки, перед которой нет никакого знака, то подразумевается знак плюс, например:

4. Заключение в скобки.

Иногда бывает нужно, наоборот, заключить многочлен или часть его в скобки. Так мы поступали, делая приведение подобных членов (см. пример предыдущего параграфа). Возьмём такой пример. Пусть надо вычислить выражение:

Очевидно, что здесь выгоднее сначала вычесть 238 из 258 и разность 20 прибавить к 136. Вычисления легко и быстро выполняются в уме. Чтобы показать это, заключим второй и третий члены в скобки:

Пусть вообще нужно заключить в скобки многочлен или часть его и перед скобкой поставить знак плюс. Будем руководствоваться следующим правилом:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками:

Убедиться в верности этого равенства легко, раскрыв скобки по правилу, изложенному в п. 3.

5. Сложение расположенных многочленов.

Если многочлены расположены по степеням одной и той же буквы (оба по возрастающим или оба по убывающим), то их сложение удобнее производить следующим образом: подписывают один многочлен под другим так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу делают приведение подобных членов и записывают окончательный результат.

Так же производится сложение расположенных многочленов и тогда, когда они содержат более одной буквы.

Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

Например, каждое из выражений ,
,
является одночленом.

Говорят, что одночлен имеет стандартный вид , если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена . Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена .

Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена .

Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки : если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

Правило умножения многочлена на многочлен : чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степени называют выражение вида

где
– любые числа, которые называют коэффициентами многочлена , причем
,– целое неотрицательное число.

Если
, то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена
, одночлен
– его старшим членом , коэффициент – свободным членом .

Если вместо переменной в многочлен
подставить действительное число, то в результате получится действительное число
, которое называютзначением многочлена
при
.

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена
, если
.

Рассмотрим деление многочлена на многочлен, где
и- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимого
не меньше степени многочлена-делителя
, то есть
.

Разделить многочлен
на многочлен
,
,– значит найти два таких многочлена
и
, чтобы

При этом многочлен
степени
называютмногочленом-частным ,
– остатком ,
.

Замечание 3.2. Если делитель
– не нуль-многочлен, то деление
на
,
, всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда
при всех , то есть

говорят, что многочлен
нацело делится (или делится ) на многочлен
.

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется разделить многочлен

на двучлен
. Обозначим частное от деления как многочлен

а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов
,
и остатокзапишем в следующей форме:

В этой схеме каждый из коэффициентов
,
,
, …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

и результат деления, если
,

или ,

если
,

Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (

,

) была корнем многочлена
с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена
при
, то есть
.

При делении многочлена
на двучлен
имеем равенство

Оно справедливо, в частности, при
, то есть
.

Пример 3.2. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

Пример 3.3. Разделить на
.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

Пример 3.4. Разделить на
.

Решение.

В итоге получаем

Пример 3.5. Разделить
на
.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители . Рассмотрим основные способы такого разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

Пусть

, тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:





Для :
Если нечетное ( ):
Бином Ньютона: где – число сочетаний изпо.

Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

Пример 3.6. .

Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель
. Следовательно,.