Как решать задания с процентами по егэ. Основные формулы в задачах на вклады и кредиты. Задачи на проценты

Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.

Необходимо запомнить

Процент - это \(\frac{1}{100}\) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ - \(\%\) . При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:

\

Как ее применить?

Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:

1. Разделить имеющееся число на \(100\) .
2. Умножить полученное значение на то количество \(\%\) , которое нужно найти.

Например, для того чтобы вычислить \(10\%\) от числа \(300\) , нужно найти \(1\) процент, разделив \(300:100=3\) . И полученное от предыдущего действия число \(3\cdot10=30\) . Ответ: \(30\).

Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например,

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теория по теме: «Решение задач на проценты».

Тип 1: Перевод процентов в десятичную дробь. проценты  дробь А%  А разделить на 100 Задачи:20%;75%;125%;50%;40%;1%;70%;35%;80%.... Заполните таблицу 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Тип 2:Перевод дроби в проценты. число  проценты А  А умножить на 100 % Переведите дроби в проценты: 3/4; 0,07; 2,4. (ГИА, тематические задания) Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты. А.1/4 ; Б)3/5 ; В) 0,5; Г) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Ответ: А Б В Г

Тип 3: Находим процент от числа. Х% от А 1)Х% представляем в виде десятичной дроби 2) Число А умножаем на десятичную дробь. Задача - образец. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества? Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20 % = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло контроль качества.

Тип 4: Находим число по его проценту. А это Х% : 1) Х% представляем в виде десятичной дроби 2) А делим на десятичную дробь. Задача - образец. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки? Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач это 25% от общего их количества. 25 %=0,25 38/0,25 = 152. 152 задачи в этом сборнике.

Тип 5: Находим процентное отношение двух чисел. А и В числа. Сколько % составляет В от А? 1)В/А 2) Полученное частное умножить на 100% Задача - образец. В классе 30 учеников. 15 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе? Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 1)15 /30=0,5 2)0,5*100%=50% Задача - образец. За 1 час станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка? Решение. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать, сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать, сколько процентов число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на 240 и результат умножить на 100%. 48/240 *100% =20% Ответ: производительность станка повысилась на 20%

Тип 6: Увеличиваем число на процент. Уменьшаем число на процент. А- число; увеличиваем на Х% то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. : 1)число А умножаем на 2) (1 + х /100) . Задача - образец. . На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году? Решение. 140 * (1 + 15/100) = 161. А- число; уменьшаем на Х% то оно уменьшилось в (1 - х /100) раз. : 1)число А умножаем на 2) (1 - х /100) . Задача - образец. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 % меньше. Сколько выпускников в этом году? Решение. 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип7: Концентрация раствора. Задача - образец. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг)(Петерсон 6 кл.) Решение 1)Масса растворенного вещества 1 кг 2)Масса всего раствора 1+9=10(кг) 9 кг - масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора) 3)1/10*100%=10% 10% - концентрация раствора

Тип 8:Процентное содержание металла в сплаве. Задача – образец 1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди? Решение.1)12 . 0,45= 5,4 (кг) - чистой меди в первом сплаве; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (кг)- вес нового сплава; 3) 13,5- 12= 1,5 (кг) олова. Ответ: надо 1,5 кг олова.

Задача – образец 2. Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалась 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве. Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%. 250*0,3= 75 (кг)- цинка во втором сплаве; 250 * 0,26= 65 (кг)- меди во втором сплаве; 250-(75+65)= 110 (кг) олова во втором сплаве; 150 . 0,4= 60 (кг)- олова в первом сплаве; 110+60= 170(кг)- олова в третьем сплаве. Ответ: 170 кг. 1 сплав 2сплав Новый сплав (3) Медь 26 % Цинк 30% 30% 30% Олово 40% ?кг масса 150кг 250кг 150+250=400

Тип 9: На «сухое вещество ». Практически любой продукт – яблоки, арбузы, грибы, картофель, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причём, воду содержат как свежие, так и сушёные продукты. В процессе высыхания испаряется только вода, а масса сухого вещества не изменяется. А.Г. Мордкович “Математика 6” Задача № 362 Задача - образец. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный – 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4кг сушеных? Решение. Составим таблицу: 1 часть задачи: вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание сухого вещества Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб 17кг 90% 10% 17*0,1=1,7 Сушеный гриб Х кг 15% 85% Х*о,85=0,85х Так как масса сухого вещества в сухих и свежих грибах остается неизменной, получим уравнение: 0,85х = 1,7, х = 1,7: 0,85, х = 2.

2 часть задачи: Вещество Масса вещества (кг) Процентное содержание воды Процентное содержание воды Масса сухого вещества (кг) Свежий гриб х 90% 10% 0,1х Сушеный гриб 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2,89 0,1х = 2,89, х = 2,89: 0,1, х = 28.9. Ответ: из 17кг свежих грибов получится 2кг сушеных; чтобы получить 3,4кг сушеных грибов, надо взять 28,9кг свежих.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?

Показать решение

Решение

Пусть процент годовых будет x , тогда через год вклад Елены составил:

5500 + 0, 01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.

Составим и решим уравнение:

5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Банк начислял 12% годовых.

Ответ

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12\,000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110\% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год?

Показать решение

Решение

В 2005 году прибыль составляла 12\,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110\% , то есть становилась 210\% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 рубля.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12\% железа, второй — 28\% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21\% . Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.

Составим и решим уравнение:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Третий сплав имеет массу 2 \cdot 7 + 2 = 16 (кг).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Показать решение

Решение

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6% , а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Показать решение

Решение

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6% , т.е. стало 106% , что равно 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110% ) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 человек.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Показать решение

Решение

В 3 литрах 14% -ного водного раствора содержится 3\cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7\cdot100=6 % .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.

$35%={35}/{100}=0.35$.

Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

$n%$ от $а={а⋅n}/{100}$

Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?

Развернутый угол равен $180°$.

Найдем $5%$ от $180°$, для этого ${180°⋅5}/{100}=9°$.

Ответ: $9°$.

Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.

Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:

${80⋅100}/{20}=400$.

Ответ: $400$.

Задачи на скидки

Скидка - это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

1. Из $100%$ вычесть процент скидки.
2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?

Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:

Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

${4500·80}/{100}=3600$ - стоимость куртки с учетом скидки.

Задачи на вклады, кредиты, наценки

Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:

1. К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
2. Найти полученный процент от изначального количества денег.

Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?

$100%+12%=112%$ - это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.

Найдем $112%$ от $150000$ рублей:

${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.

Ответ: $168000$.

В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:

Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?

Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):

Пусть $х%$ - столько процентов составляет новая цена относительно старой.

С этими данными составим и решим пропорцию:

${100%}/{х%}={200}/{250}$.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:

$200⋅х=100⋅250$.

$х={100⋅250}/{200}=125%$.

Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.

Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.

Ответ: $25$.

Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?

Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:

Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.

Ответ: $7$.

Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином "сложные проценты" , который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, "сложные проценты" возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.

Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X + X*{N/100} = X(1+{N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год. И теперь как бы сумма нашего "нового" вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1+{N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1+{N/100}) + X(1+{N/100})*{N/100} = X(1+{N/100})(1+{N/100}) = X(1+{N/100})^2$.
Если бы мы сделали вклад не на два, а на $Y$ лет, то в конце получили бы $X(1+{N/100})^Y$ рублей.

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.

Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:

\[\frac{20}{3}=6,....\to 7\]

Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:

Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

\[\begin{align}& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left(3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot {{1,15}^{3}}+3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left({{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} \right) \\\end{align}\]

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратите внимание: формула n -го элемента звучит следующим образом:

\[{{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}\]

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n- элементов, а сам n -й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1 \\& q=1,15 \\\end{align}\]

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}\]

Посчитаем числитель отдельно:

\[{{1,15}^{4}}={{\left({{1,15}^{2}} \right)}^{2}}={{\left(1,3225 \right)}^{2}}=1,74900625\approx 1,75\]

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{1,75-1}{0,15}=\frac{0,75}{0,15}=\frac{75}{15}=5\]

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

\[\text{Vklad}=\text{platezh}\frac{{{\text{%}}^{n}}-1}{\text{%}-1}\]

Сам по себе % считается по следующей формуле:

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:

\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Давайте решать:

\[\begin{align}& \left(2m\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}- x\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\cdot {{1,2}^{2}}+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\left({{1,2}^{2}}+1,2+1 \right) \\\end{align}\]

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1; \\& q=1,2 \\\end{align}\]

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

\[{{S}_{3}}=1\cdot \frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}\]

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left({{b}_{1}};q \right)$ считается по формуле:

\[{{S}_{n}}={{b}_{1}}\cdot \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\]

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Итак, первая задача:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

Мы можем составить уравнение:

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:

$\begin{align}& {{1,1}^{4}}={{\left({{1,1}^{2}} \right)}^{2}} \\& 1,1\cdot 1,1=1,21 \\& {{1,1}^{4}}=1,4641 \\\end{align}$

Теперь перепишем уравнение:

\[\begin{align}& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{1,4641-1}{0,1} \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{0,4641}{0,1}|:10000 \\& 9282000\cdot \frac{14641}{10000}=x\cdot \frac{4641}{1000} \\& \frac{9282\cdot 14641}{10}=x\cdot \frac{4641}{1000}|:\frac{4641}{1000} \\& x=\frac{9282\cdot 14641}{10}\cdot \frac{1000}{4641} \\& x=\frac{2\cdot 14641\cdot 1000}{10} \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end{align}\]\[\]

Все, наша задача с процентами решена.

Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

\[\]\

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2\cdot {{1,2}^{2}} \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac{1,728-1}{0,2} \\& 4004000\cdot \frac{1728}{1000}=x\cdot \frac{728}{200}|:\frac{728}{200} \\& x=\frac{4004\cdot 1728\cdot 200}{728} \\& x=\frac{4004\cdot 216\cdot 200}{91} \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end{align}\]

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

\[\begin{align}& 4004000\cdot {{1,2}^{2}}=x\cdot \frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \\& 4004000\cdot \frac{144}{100}=x\cdot \frac{11}{5}|\cdot \frac{5}{11} \\& x=\frac{40040\cdot 144\cdot 5}{11} \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end{align}\]

Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:

Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

\[\begin{align}& x\cdot \frac{12769}{10000}=5107600\cdot \frac{1,2769-1}{0,13} \\& x\cdot \frac{12769}{10000}=\frac{5107600\cdot 2769}{1300}|:\frac{12769}{10000} \\& x=\frac{51076\cdot 2769}{13}\cdot \frac{10000}{12769} \\& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end{align}\]

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.