Как решать сложение и умножение числовых неравенств. Конспект урока по алгебре "сложение и умножение числовых неравенств"

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Цель: рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств.

Оборудование : проектор, учительский компьютер, интерактивная доска, компьютеры для учеников.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домащнего задания

Решение показывается на интерактивной доске с помощью проектора и компьютера. (слайды № 3-5)

1. Если x > – 3, то (слайд 6)






– 4x – 1

2. Если – 2 < x < 4, то (слайд 7)

– 10
		– 5 + x

		3x – 5
		– 3x + 5
		5 – 3x

4. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств. (слайд № 8)

Теорема 5. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если a < b и c < d , то a + c < b + d

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске).
a < b число c , получим a + c < b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c < d число b , получим b + c < b + d
Из неравенств a + c < b + c и b + c < b + d следует, что a + c < b + d.

Пример 1.

3 < 7
+
6 < 9
9 < 16

Теорема 6. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если a < b и c < d , где a , b, c , d – положительные числа, то aс < bd .

Доказательство (проводится с помощью обучающихся на интерактивной доске)

a < b на положительное число c , получим a с < bd . Умножим обе части неравенства c < d на положительное число b , получим b с < b d . Из неравенств ac < bc и bc < bd , следует, что a с < bd

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

3 < 7
x
6 < 9
18 < 63

Следствие. Если a > b и a , b – положительные числа, то > , где n – натуральное число.

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a > b и c > d, то a + c > b + d ;
если a > b, c > d и a, b, c, d – положительные числа, то ac > bd ;
если a > b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число .

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы , между которыми находится точное значение.
Пусть, например, в результате измерения ширины x и длины y прямоугольника было установлено, что 2,5 см < x < 2,7 см и 4,1 см < y < 4,3 см. Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника. Имеем:

2,5 см < x < 2,7 см
х
4,1 см < y < 4,3 см
10,25 см 2 < xy < 11,61 см 2 .

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

5. Физкультминутка (видеофизкультминутка)

6. Закрепление изученного материала

Обучающиеся решают на доске с комментариями.
Задания из дидактического материала: С-34, стр.84

1. Сложите почленно неравенства:

3. Перемножьте почленно неравенства:

7. Самостоятельная работа (с выставлением оценки) (слайд №10)

Самостоятельна работа проводится в виде сопоставления правильных решений с заданием в программе MyTestX за компьютером. (Приложение 1 )

8. Итоги урока (слайд №11)

Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств.
Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств.
Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?
Что значит оценить значение выражения?

9. Домашнее задание

Д.м. С-34, стр.35: №№1, 2, учебник: №769.(слайд № 12)

10. Рефлексия

Ученикам предлагается закончить предложения: (слайд №13)

Я сегодня познакомился с...
У меня сегодня получилось...
Но, хотелось бы...

План-конспект урока по алгебре в 8 классе

Учителя математики МБОУ «Гимназии №1 им. К.Д.Ушинского»

Совер Татьяны Юрьевны

Тема урока: Сложение и умножение числовых неравенств

Тип урока : урок изучения нового материала, первичного закрепления знаний и формирования умений и навыков.

Учебник: Алгебра 8, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Оборудование: тетради, учебники, интерактивная доска, карточки для выполнения групповой работы.

Цель урока: рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств, сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений, закрепить свойства неравенств.

Задачи урока:

образовательная : способствовать совершенствованию полученных знаний при работе с задачами на оценку выражений, закрепить свойства неравенств;

развивающая : развитие внимания, логического мышления, памяти;

воспитательная : способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся, развитие положительной мотивации к изучению предмета;

Универсальные учебные действия :

Личностные – осознание учащимися важности применения изученного материала к решения задач на оценку выражений, умение оценивать себя.

Познавательные – умение извлекать нужную информацию из прочитанного текста.

Коммуникативные - через диалоги умение слушать и грамотно излагать свое мнение.

Регулятивные – взаимный контроль (работа у доски), самоконтроль (анализ, причины ошибок), контроль со стороны учителя.

Планируемый результат:

Знать:

свойства числовых неравенств изученные на прошлых уроках

теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств;

Уметь:

применять теоремы о сложении и умножении числовых неравенств при решении простейших задач на оценку выражений,

применять свойства числовых неравенств на практике,

использовать различные источники знаний,

Используемые технологии: уровневой дифференциации, проблемно поисковой, ИКТ.

Ход урока

Организационный момент

Проверка учителем домашнего задания (учащиеся отвечают по тетрадям).

Формулировка учителем целей урока.

Актуализация знаний

Повторение свойств числовых неравенств.

Заполнение таблицы «Свойства числовых неравенств»

Пример

Задания выведены на мультимедийной доске.

1. Поставьте знак неравенства > или < так, чтобы получилось верное неравенство, если известно, что a > b .

А. a – 5 > b - 5

Б. 4 a > 4 b

В. a + 2 > b + 2

Г. – 6 a < -6 b

Д. <

2. Запишите верное неравенство, которое получится, если

А. К обеим частям неравенства 4 > - 6 прибавить число 10 (14 > 4)

Б. Из обеих частей неравенства 7 < 12 вычесть число – 8 (15 < 20)

В. Из обеих частей неравенства 6 > 2 вычесть число 9 (-3 > -7)

Г. Обе части неравенства 10 > -4 умножить на 5 (50 > -20)

Д. Обе части неравенства 0 > -7 умножить на -2 (0 < 14)

Изучение нового материала

Теорема 1.

Если а < b и c < d , то а+с < b + d .

Доказательство: Прибавив к обеим частям неравенства а< b число с , получим a + c < b + c . Прибавив к обеим частям неравенства c < d число b , получим b + c < b + d

a + c < b + d

Вывод: Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Например:

3<13 -1>-17

+7<12 + 7 > 6

4< 25 верно 6 > -11 верно

Теорема 2.

Если а< b и c < d и a , b , c , d –положительные числа, то ас < bd .

Доказательство : Умножив обе части неравенства а < b на с >0 , получим ac < bc . Умножив обе части неравенства c < d , на b >0 , получим bc < bd .

Отсюда следует, по свойству транзитивности ac < bd .

Вывод: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части, которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Например:

7<15 10>6 -3<-5

*3<10 *7 > 2 – 4< 6

21< 150 верно 70>12 верно 12< -30 неверно

Следствие: Если числа а и b положительные и а < b , то a n < b n

( n – натуральное число)

Например: 3 > 2, значит 3 3 > 2 3

27 > 8 верно

Пример: 7< x <9

2 < y < 5

Конспект урока по математике (8 класс).

Тема: «Сложение и умножение числовых неравенств».(2 урок)

Тип урока: повторение пройденного и закрепление опорных знаний.

Цели:

1) образовательная: закрепить теоремы о свойствах числовых неравенств, почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения теорем о почленном сложении и умножении числовых неравенств к решению простейших задач, связанных с оценкой значений выражений.

2) развивающая: развивать умения и навыки при сложении и умножении числовых неравенств; развивать математическое мышление.

3) воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду; воспитывать внимательность.

Оборудование: учебник «Алгебра 8» под редакцией С.А. Теляковского, 2007 г.,

мултимедийный проектор, индивидуальные карточки для самостоятельной

План урока:

Орг. момент (2 мин.)

Проверка домашнего задания (5 мин.)

Повторение опорных знаний (15 мин.)

а) работа у доски,

б) индивидуальная работа с учётом уровневой дифференциации,

в) самостоятельная работа в парах,

г) самостоятельная работа в группах (у доски).

Постановка домашнего задания (2 мин.)

Итог урока (2 мин.)

Выставление оценок (2 мин.)

Ход урока:

1 . Войти в класс, проверить готовность класса к уроку: спросить кто дежурит, кто отсутствует; настроить детей на работу на уроке. Объяснить значимость темы.

2 . а) Проверить письменные задания, при помощи мультимедийного проектора. Если у кого–то есть ошибки, они в процессе этой работы их исправляют.

б) Теоретический материал о свойствах числовых неравенств проверяем с помощью мультимедийного проектора. На экране проецируется задание:

1. Известно, что c > d . Объясните, на основании каких теорем можно утверждать, что верны следующие неравенства:

а) – 7 c < - 7d ; (если а < в и с - отрицательное число, то ас > вс ) Т4: если обе части верного неравенства неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

б) c /8 > d /8 (если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство).

в) 2c +11 > 2d +11 (если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство: и еще если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство).

г) 0,01 c - 0,7> 0,01d - 0,7 (если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и тоже число, то получится верное неравенство: и еще если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство)

д)- c +1 <- d +1(если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число,

то получится верное неравенство и ещё если обе части верного неравенства

умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак

е) 2 - c /2 < 2 - d /2 (если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже

число, то получится верное неравенство и ещё, если обе части верного неравенства

умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак

неравенства на противоположный, то получится верное неравенство)

отвечая на задания а) – е), ученики проговаривают теоремы о свойствах числовых неравенств.

3. Теперь мы: повторим «Сложение и умножение числовых неравенств».

Т5: если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Чтобы было понятно, рассмотрим это на конкретном примере: дано 2 < a < 5 и 1 < b < 3, требуется оценить a + b .

Решение: 2 < a < 5

1 < b < 3

3 < a+b < 8

Т6: Если а < b и c < d , где a , b , c , d – положительные числа, то ac < bd .

если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые част которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Чтобы было понятно, рассмотрим это на конкретном примере: дано 5 < a < 8 и 2 < b < 4 требуется оценить – ab .

Решение: 5 < a < 8

2 < b < 4

10 < ab < 32

А сейчас приступим к решению упражнений, где необходимо практическое применение сформулированных теорем. Сначала выполним несколько устных упражнений для простых неравенств (задания с помощью мультимедиа проектора)

Верны ли утверждения:

1. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 16 (+)

2. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 15 (-)

3. если x > 2 и y > 14 , то x + y > 17 (-)

4. если x > 2 и y > 14 , то x y > 28 (+)

5. если x > 2 и y > 14 , то x - y > -12 (+)

6. если x > 2 и y > 14 , то x y > 27 (-)

7. если x < 2 и y < 14 , то x y < 28 (+)

А теперь выполним письменные задания № 765, .766.

5. Ученики решают у доски по очереди .

Сложите почленно неравенства:

а) 12 > -5 и 9 > 7 б) -2,5 < -0,7 и -6,5 < -1,3

12 > -5 -2,5 < -0,7 2,5 > 0,7

9 > 7 - 6,5 < -1,3 6,5 > 1,3

21 > 2 9 > 2

Перемножьте почленно неравенства:

а) 5 > 2 и 4 > 3

4 > 3

б) 8 < 10 и ¼ < 1/2

¼ < ½

Чтобы вы немного отдохнули, Физ. минутка

6. Самостоятельная, индивидуальная работа с учётом уровневой дифференциации

(всем детям раздаются карточки, где задания поделены по уровням и количеством баллов)

1)Число а больше числа в, если……………………………………………………… (1балл)

2)Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство: (3 балла)

(а – 8)(а + 7) < а(а – 1)

3)Сравнить эти числа. (1балл)

а) 36,581 и 36,573; б) 13/18 и 17/18;

в) -6 и -10; г) -5,5 и 4/9

4)Записать данные неравенства, обозначив левые числа буквой “а”, а правые – буквой “в”. (2 балл)

36,581>36,573;

5)Определить, что больше: яблоко или вишня. Записать без слов, на математическом языке. 1 (балл)

Яблоко больше вишни.

Вишня меньше яблока.

7. № 768 самостоятельно в тетрадях (самопроверка по мультимедиа проектору)

8. А теперь работа в группах (класс делится на две группы и от каждой группы к доске выходит ученик решать УПР № 773 а) и б) группа может помогать своему представителю)

9 . А теперь открыли все дневники и записали домашнее задание (№.769,774). После этого учитель поясняет домашнее задание.

10 . Подведем итог урока: что вы узнали сегодня на уроке?

этапах урока. Если нет вопросов, урок окончен.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

1.Устная работа: а) Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. в) Дано: а>в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2 в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2"> в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2"> в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2" title="1.Устная работа: а) Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. в) Дано: а>в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2"> title="1.Устная работа: а) Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. в) Дано: а>в. Сравните: 4а и 4в; 23а и 23в. г) Дано: 2">

Например: верное неравенство неравенство

Теорема 6. Если а

Например: 1) х 8>3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80> ,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство 3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80>6 3 10 0,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство"> 3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80>6 3 10 0,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство"> 3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80>6 3 10 0,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство" title="Например: 1) х 8>3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80>6 3 10 0,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство"> title="Например: 1) х 8>3 2) 0,9 >0,1 10>2 х 1 > 1 80>6 3 10 0,3 >0,01 Верное Верное неравенство неравенство">

Заметим: если в неравенствах а