Как решать систему графическим способом. Наши руки разминаем. а) нули функции

АЛГЕБРА 9 КЛАСС

Графический способ

решения систем уравнений

1. Найдите по графику:

а) нули функции;

б) область значений функции;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

с) промежутки, в которых у ≤0, у≥0.

d ) наименьшее значение функции.

1.Из предложенных формул выберите ту формулу,

которая задает функцию, представленную на графике

а ) у = - 3х+1; б) у = 2х+1;

в) у =3х+1 .

Из предложенных формул выберите ту формулу, которая

задает функцию, представленную на графике

б) у = - 2x 2 ; в) у = x 2 +1.

а) у = х 2 ;

Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике.

б) у = 2 х 3 ; в) y =х 3

а) у= 0,5х 3 ;

Из предложенных формул выберите ту формулу, которая задает функцию, представленную на графике

а) у= 4/х; б) у= - 4/х;

Линейное уравнение с

одной переменной

ax=b

• Линейное уравнение с

двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство

Уравнение

Выражаем у через х

3х+2у=6

2у-х 2 =0

Данной формулой задается …..

Графиком служит

2х+у=0

гипербола

квадратичная

функция

у= -1,5х+3

Линейная

функция

прямая

у=0,5 х 2

обратная

пропорц-ность

у= -2х

парабола

прямая, пр-я

через нач. коорд.

прямая

пропорц-ность

Эллипс

х 2 у= 4 (2-у),

у=8 /(х 2 +4)

Система уравнений и её решение

Определения

• Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
• Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
• Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Способ

подстановки

Способ

сложения

Методы решения систем уравнений

Способ

подстановки

Способ

сложения

Графический способ

решения систем уравнений

1.Выразить у через х в каждом уравнении.

2.Построить в одной системе координат график

каждого уравнения.

3.Выразить у через х в каждом уравнении.

4.Построить в одной системе координат график

каждого уравнения

5.Определить координаты точки пересечения

графиков.

6.Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы графическим способом

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график второго

уравнения -окружность с

центром в точке О(0;0) и

радиуса 2.

Решение системы графическим способом

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график второго

уравнения -окружность с

центром в точке О(0;0) и

радиуса 2.

х 2 +у 2 =4*

Система имеет 2 решения:

Ответ: (0;2), (-2;0)

1.Мы зарядку начинаем,

Наши руки разминаем,

Разминаем спину, плечи,

Чтоб сидеть нам было легче

2. Крутим-вертим головой.

Разминаем шею, стой!

Раз, два, три –наклон направо,

Раз, два, три- теперь налево.

3. А теперь остановись!

Поднимаем руки выше,

Вдох и выдох. Глубже дышим.

А теперь за парты сядем.

Рассмотрим следующие уравнения:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x 2 + y 2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .

График уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.

У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.

Графический способ решения систем уравнения

Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{ x 2 + y 2 = 25

{y = -x 2 + 2*x + 5.

Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.

Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.

Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система уравнений является набором математических уравнений, каждое из которых имеет определенное количество переменных. Систему принято обозначать фигурной скобкой и все, что под данной скобкой - члены системы. Для решения систем данного рода применяют множество разнообразных способов.

Решить систему уравнений означает найти все ее возможные корни или доказать то, что их не существует. Чтобы решить системы уравнений с двумя переменными обычно используют следующие методы: графический способ, способ подстановки и способ сложения.

Допустим, дана система, которую нужно решить графически методом:

\[ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]

Чтобы решить систему уравнений графическим методом нужно:

* построить графики уравнений в одной системе координат;

* определить координаты точек пересечения этих графиков, которые являются решением системы;

Выделяя полные квадраты, получаем:

Основываясь на этом получим:

\[\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end{matrix}\right.\]

Графиком первого уравнения \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] является окружность с центром \ и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 6.

Графиком второго уравнения \ является уравнение прямой, проходящей через точки \ и \ Строим окружность радиусом 5 с центром в точке \ и проводим прямую через точки \ и \ Эти линии пересекаются в двух точках \ и \

Исходя из этого решение системы: \

Ответ: \[(1;3); (-3;-5);\]

Где можно решить систему уравнений графическим методом онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Обобщить графический способ решения систем уравнений;
• Сформировать умения графически решать системы уравнений второй степени, привлекая известные учащимся графики;
• Дать наглядные представления, что система двух уравнений с двумя переменными второй степени может иметь от одного до четырех решений, или не иметь решений.

Структура урока:

1. Орг. момент
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Объяснение нового материала.
4. Закрепление изученного материала. Работа в табличном процессоре Excel с последующей проверкой..
5. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

Объявляется тема, цель, ход урока.

2. Актуализация знаний.

1) Повторить элементарные функции и их графики.

Учитель математики задает вопрос об изученных ранее элементарных функциях и их графиках и через проектор обобщает ответы учащихся.

2) Устная работа.

Учитель проводит устную работу с использованием проектора с целью подготовки учащихся к восприятию новой темы.

3. Объяснение нового материала.

1) Объяснение нового материала через проектор и разбор решения стандартной математической задачи.

2) Учитель информатики и ИКТ через проектор напоминает учащимся алгоритм решения системы уравнений графическим способом в табличном процессоре Excel.

4. Закрепление изученного материала. Работа в табличном процессоре Excel с последующей проверкой.

1) Учитель предлагает учащимся пересесть за компьютеры и выполнить задания в табличном процессоре Excel.

2) Решение каждой системы уравнений проверяется через проектор.

5. Домашнее задание.

Список используемой литературы:

1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений «Алгебра», авторы Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, «Просвещение», ОАО «Московские учебники», Москва, 2008 г.
2. Поурочное планирование по алгебре к учебнику Ю.Н.Макарычева и др. «Алгебра. 9 класс», «Экзамен», Москва, 2008 г.
3. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы к учебнику Ю.Н.Макарычева и др., автор-составитель С.П.Ковалева, Волгоград, 2007 г.
4. Тетрадь-конспект по алгебре, авторы Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф., ИЛЕКСА, Москва, 2006 г.
5. Учебник Информатика. Базовый курс. 9 класс, автор Угринович Н.Д., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 г.
6. Современные открытые уроки информатики 8-11 классы, авторы В.А. Молодцов, Н.Б. Рыжикова, Феникс, 2006 г.

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графический метод решения системы уравнений

Рассмотрим систему

Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

cистема имеет единственное решение - прямые пересекаются,

система не имеет решений - прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений - прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) - линейные выражения от x и y.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения - прямая, график второго уравнения - окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения - парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).

Графики имеют одну общую точку - т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).

Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).

Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции

Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).

Получаем три точки пересечения - т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.