Как проверить являются ли векторы линейно зависимыми. Линейная зависимость и независимость, свойства, исследование системы векторов на линейную зависимость, примеры и решения. Свойства линейно зависимых векторов

Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.

Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов

Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.

Базис, координаты

Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .

Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.

Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.

Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .

Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.

Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .

Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .

Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.

Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:

Это соотношение является разложением вектора из по базису
с координатами .

Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).

Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .

20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.

30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.

Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.

40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.

50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.

60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.

Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы

(21)

Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

Примеры:

1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.

2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.

3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.

4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.

5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются

а) 1, х, х2, … , хn, … ;

б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …

6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .

Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают

Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

где - любые действительные числа. Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам.

Например, пусть даны три вектора: , , . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор

Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы.

Определение. Система ненулевых векторов называется линейно зависимой , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же последнее равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой .

Например, система двух векторов , линейно независима; система двух векторов и линейно зависима, так как .

Пусть система векторов (19) линейно зависима. Выберем в сумме (20) слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые:

Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (19) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).

Свойства линейно зависимой системы векторов

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.

Геометрический смысл линейной зависимости в случае двухмерных векторов на плоскости: когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны, или что то же самое, находятся на параллельных прямых.

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны . Достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.

Теорема. В пространстве любая система, содержащая векторов, линейно зависима при .

Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Решение . Составим векторное равенство . Записывая в виде вектор-столбцов, получаем

Таким образом, задача свелась к решению системы

Решим систему методом Гаусса:

В результате получим систему уравнений:

которая имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдется одно ненулевое, следовательно, векторы линейно зависимые.

Определение. Линейной комбинацией векторов a 1 , ..., a n с коэффициентами x 1 , ..., x n называется вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n .

тривиальной , если все коэффициенты x 1 , ..., x n равны нулю.

Определение. Линейная комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n называется нетривиальной , если хотябы один из коэффициентов x 1 , ..., x n не равен нулю.

линейно независимыми , если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору .

Тоесть вектора a 1 , ..., a n линейно независимы если x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогда и только тогда, когда x 1 = 0, ..., x n = 0.

Определение. Вектора a 1 , ..., a n называются линейно зависимыми , если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору .

Свойства линейно зависимых векторов:

Для 2-х и 3-х мерных векторов.

Два линейно зависимые вектора - коллинеарные. (Коллинеарные вектора - линейно зависимы.) .

Для 3-х мерных векторов.

Три линейно зависимые вектора - компланарные. (Три компланарные вектора - линейно зависимы.)

Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Пример 1. Проверить будут ли вектора a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} линейно независимыми.

Решение:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми.

Решение:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1 , x 2 , x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:

A + b + c = 0

а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.

Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.

Пример 3. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую.

В данной статье мы расскажем:

что такое коллинеарные векторы;
какие существуют условия коллинеарности векторов;
какие существуют свойства коллинеарных векторов;
что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Определение 1

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter