Как посчитать дисперсию случайной величины. Что означает в этой формуле P? Чему равна сумма противоположных событий

Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения.

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
- Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
- Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
- s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
- s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
- x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
- n – количество значений в выборке.
Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
  Выборочное среднее x̅ = 14.
- Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
- В нашем примере:
  x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
  x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
  x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
  x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
  x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
  x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1
- Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
- В нашем примере:
  ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
  (x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
  9 2 = 81
  (-7) 2 = 49
  (-5) 2 = 25
  (-1) 2 = 1
- Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.
Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
- В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
  Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2
Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .
- В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.
Вычисление дисперсии совокупности
1. Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
  - В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
    x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
    x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
    x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
    x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
    x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
    x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
2. Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
  - σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
  - σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
  - x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
  - Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
  - μ – среднее значение совокупности.
  - n – количество значений в генеральной совокупности.
3. Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
  - Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
  - В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5
4. Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
  - В нашем примере:
    x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
    x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
    x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
    x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5
5. Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
  - В нашем примере:
    ( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
    (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
    (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
  - Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
  - Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.

Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Пусть событие А={1,2,3},а событие В={1,2,3,4,5,6}. Укажите верное высказывание.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X)
При обследовании отдельного региона фирмой , предоставляющей интернет-услуг, выявлено, что (в среднем) из каждых 100 семей, 80 имеют компьютер, подключенный к интернет. Оценить вероятность того , что из 400 семей данного микрорайона, от 300 до 360 семей имеют компьютер, поключенный к интернет.
Рассматриваются две случайные величины X и Y. Их математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М (X) =3; D (X) =2; M (Y) =2; D (Y) =1. Укажите верные соотношения.

Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещения?

Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется дисперсия D (X).
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X)

Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа образует полную группу событий?

Монета бросается 2 раза, какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?

На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их математического ожидания.
На рисунке представлены графики нормальных распределений N1, N2, N3.Расположите эти распределения в порядке возрастания их дисперсии.
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения

Различаются ли понятия «перестановки из трех элементов» и «размещения из трех элементов по три»?

Установить последовательность ответов
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, соответственно,равны М (Х) =3; D (X) =2. Расположите следующие выражения в порядке возрастания их значений.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1)
Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y,а если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) =3; M (Y) =4?
Укажите названия вероятностей, входящих в формулу Байеса.
Пусть событие А={1,2.3.4,5}, а событие В={5,4,3,2,1}. Укажите верное высказывание.
Что значат записанные ниже формулы.
Дисперсия случайной величины Х равна 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6)

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (Х-1) ?

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (-2Х) ?

В серии из n независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли , наблюдается наступление события А. Что означают указанные ниже компоненты формулы Бернулли? Pm,n=Cmnpmqn-m, где q=1-p. Что означают в этой формуле: 1) Pm,n 2) Cmn 3) p
Пусть А –случайное событие, вероятность которого отлична от нуля и 1; ? –достоверное и O – невозможное событие. События B, C, и D определены как: B=A+A; C=A+ ?; D=A* O

Чему равно значение среднего квадратического отклонения числа 4?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) =5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

Математическое ожидание случайной величины Х равна 5: M (X) =5. Чему равно значение математического ожидания М (3Х+6) ?

Понятие факториала. Какое из следующих выражений неверно?

Сравните два числа и укажите правильный ответ. Сравните два числа. Какое из них больше? Какое из чисел больше 10! или 1010?

Сравните два числа и укажите правильный ответ.
Охарактеризуйте событие: 2х2=5

Чему равна сумма противоположных событий?

Чему равно произведение противоположных событий?

Брошены две игральные кости. Какая из следующих совокупностей полученного числа очков образует полную группу событий?

События образуют полную группу если они:

Чему равна сумма случайных событий, образующих полную группу?

Пусть событие А=1, 2, 3, а событие B=1, 2, 3, 4, 5, 6. Укажите верное высказывание.
Пусть событие А=1,2,3,4,5, а событие B=5,4,3,2,1. Укажите верное высказывание.

Сколько элементов содержит множество элементарных событий, описывающих результат бросания игрального кубика?

Какая из следующих формул используется для вычисления числа размещений?

Размещения и перестановки. Пусть P – число возможных перестановок из n элементов, и А- число размещений из n элементов по m (n>m). Каково соотношение между величинами P и А? Укажите верный ответ:

Различаются ли понятия "перестановки из трех элементов" и "размещения из трех элементов по три" ?

Свойства сочетаний. Пусть C – число сочетаний из n элементов по m

Монета бросается два раза. Какова вероятность P выпадения подряд двух гербов?

Монета бросается три раза. Какова вероятность P выпадения подряд трех гербов?

Пусть А и В - случайные события. Сравните величины P (A+B) и Р (А) +Р (В) и укажите правильный ответ.

Чему равна вероятность суммы противоположных событий?

Чему равна вероятность произведения противоположных событий?

Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность события Р (А+А) ?

Пусть А - случайное событие, вероятность которого - Р (А) =0,3. Чему равна вероятность произведения событий Р (А*А) ?

Вероятность произведения достоверного и случайного событий. Пусть
Вероятность суммы невозможного и случайного событий. Пусть
Вероятность произведения невозможного и случайного событий. Пусть

Чему равна вероятность Р суммы событий , образующих полную группу?

Вероятность суммы достоверного и случайного событий. Пусть
Формула Бернулли. Формула Бернулли имеет вид:

Каковы причины использования асимптотических приближений формулы Бернулли?

Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется дисперсия D (X):
Дискретная случайная величина Х имеет биноминальный закон распределения с параметрами n и P. Укажите, по какой формуле вычисляется математическое ожидание M (X):

Что означает в этой формуле P?

Законом редких явлений называют:

Что означает в этой формуле P?

Укажите свойство функции Гаусса. (см. ниже):
Укажите критерий использования интегральной теоремы (формулы) Муавра-Лапласа. Интегральная формула Муавра-Лапласа имеет вид:
Свойства функции Лапласа (см. ниже):

Какая характеристика случайной величины имеет смысл ее среднего значения?

Чему равно математическое ожидание M (X+Y) суммы двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?
Чему равно математическое ожидание M (X-Y) разности двух случайных величин X и Y, если известны значения математических ожиданий каждой из них: M (X) = 3 и M (Y) = 4 ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (X-1) ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (-2X) ?

Математическое ожидание случайной величины X равна 5: М (X) = 5. Чему равно значение математического ожидания М (3X+6) ?

Какая характеристика случайной величины определяет степень ее рассеяния?

Чему равна дисперсия суммы D (X+Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (X-1) ?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (-2X) ?

Дисперсия случайной величины X равна 5: D (X) = 5. Чему равно значение дисперсии D (3X+6) ?

Чему равно значение дисперсии числа 5: D (5) = ?

Среднее квадратическое отклонение равно:
Охарактеризуйте множество значений дискретной случайной величины (укажите наиболее полный ответ):
Задача: Случайная величина X принимает три возможных значения x=2; x=5; x=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p=0,4 и p=0,15. Найти вероятность значения x; p=?
Множество значений непрерывной случайной величины является:

Какое значение непрерывной случайной величины Х определяет ее медиана Ме (Х) ?

Мода Mo (X) случайной величины Х характеризует (укажите верный ответ):

Функция распределения. Вероятность какого события определяет функция распределения F (X) cлучайной величины X?

Наименьшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->
Наибольшее значение функции распределения. Непрерывная случайная величина X определена на всей числовой оси. Чему равно предельное значение ее функции распределения F (x) при x->-? (укажите верный ответ среди ниже перечисленных) ?

Каким из перечисленных ниже свойств обладает функция распределения случайной величины?

Какие значения может принимать биномиально распределенная случайная величина Х? P (X=m) =Cpq, где: 0
Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0
Чему равна дисперсия D (X) случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону: P (X=m) =Cpq, где: 0

Какие значения может принимать случайная величина Х, описываемая законом распределения Пуассона?

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей Пуассоновский закон распределения, равно 4: M (X) = 4. Чему равна дисперсия D (X) этой случайной величины?
Геометрическое распределение дискретной случайной величины. Согласно распределению: случайная дискретная величина X, имеет геометрическое распределение с параметром p, принимает бесконечное (но счетное) множество значений 1,2, …, m, … с вероятностями: P (X=m) =pq, где 0
Равномерное распределение. Охарактеризуйте плотность вероятности случайной величины, равномерно распределенной на отрезке :
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Какова вероятность - P того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты?
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить математическое ожидание M (X) случайной величины X - времени ожидания поезда.
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке . Чему равно ее математическое ожидание M (X) ?
Смысловое значение параметра "a" нормального закона распределения случайной величины (см. ниже) это:
Смысловое значение параметра "сигма квадрат" нормального распределения (закона Гаусса).
Влияние математического ожидания (параметра "a") на график плотности вероятности нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) характеризуется:
Сравнение математических ожиданий. M (X) и М (Х) нормально распределенных случайных величин Х и Х (см. рисунок ниже).
Уменьшение дисперсии (параметра "сигма квадрат") нормального закона (закона Гаусса) распределения случайной величины (см. ниже) приводит к следующему изменению графика кривой распределения:
Сравнение дисперсий D (X) и D (X) нормально распределенных случайных величин X и X (см. рисунок ниже).
Стандартным (нормированным) законом распределения N (0; 1) называется:
Правило трех сигм.
Значение закона больших чисел.
Значение несобственного интеграла от плотности вероятности. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен:

К чему стремится частость наблюдаемого события при неограниченном увеличении числа испытаний в схеме Бернулли?

Из генеральной совокупности отобраны десять элементов по принципу: брался каждый восьмой по порядку элемент генеральной совокупности. Как называется такой способ отбора?

Как называется варианта, характеризующая наибольшую частоту в выборке?

Уровень значимости при проверке статистической гипотезы задан в 10%. Какова возможность ошибки первого рода?

Какая из следующих числовых характеристик выборки является смещенной оценкой?

К каким соединениям относится свойство симметрии?

Укажите, какое из перечисленных ниже свойств числовых характеристик случайной величины записано неправильно (предполагая, что X и Y - независимые случайные величины) ?

Чему равно значение математического ожидания числа 5: M (5) = ?

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:
Чему равна дисперсия разности D (X-Y) двух независимых случайных величин X и Y, если известны значения дисперсий каждой из них: D (X) =3 и D (Y) =4?
Распределение Пуассона. Математическое ожидание. Чему равно математическое ожидание M (X) случайной величины X
распределенной по закону Пуассона:
Распределение Пуассона. Дисперсия. Чему равно D (X) случайной величины X распределенной по закону Пуассона:
Укажите какова смысловая интерпретация такой случайной величины Х:
Найти моду для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
Найти генеральную среднюю генеральной совокупности , заданной следующим вариационным рядом:
Найти медиану для генеральной совокупности заданной вариационным рядом:
Определить выборочную среднюю для следующей выборки:
Найти выборочную среднюю следующей выборки из генеральной совокупности:

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D (X ) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = Х 1 + X 2 + …+ Х п,

где Х 1 - число наступлений события в первом испытании, Х 2 - во втором, ..., Х п - в п- м.

Величины Х 1 , Х 2 , ..., Х п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):

D (X ) = D (X 1) + D (X 2)+ ...+D (Х п ). (*)

Вычислим дисперсию X 1 по формуле

D (X 1)=M ( )- [M (X 1)] 2 . (**)

Величина Х 1 -число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х 1)=р .

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р и О 2 с вероятностью q:

M ( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

D (X 1)=p-p 2 =p (1-p )=pq

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим

D (X ) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1- 0, 6 = 0, 4.

Искомая дисперсия

D (X ) = npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X )совпадает сразмерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается влинейных метрах, то а (X )будет выражаться также влинейных метрах, a D (X )- в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X
p	0, 1	0, 4	0, 5

Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (Х ) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.

Найдем математическое ожидание X 2 :

М (Х 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.

Найдем дисперсию:

D (X )= М (X 2) - [М (X )] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

s(X)= =

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.