К чему сходится ряд 1 n 2. Ряды для чайников. Примеры решений

План:

Введение

• 1 Сумма первых n членов ряда
  • 1.1 Некоторые значения частичных сумм
  • 1.2 Формула Эйлера
  • 1.3 Теоретико-числовые свойства частичных сумм
• 2 Сходимость ряда
  • 2.1 Доказательство Орема
  • 2.2 Альтернативное доказательство расходимости
• 3 Частичные суммы
• 4 Связанные ряды
  • 4.1 Ряд Дирихле
  • 4.2 Знакопеременный ряд
  • 4.3 Случайный гармонический ряд
  • 4.4 «Истончённый» гармонический ряд
Примечания

Введение

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

.

Ряд назван гармоническим , так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

1. Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

1.1. Некоторые значения частичных сумм

1.2. Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда :

,

где - постоянная Эйлера - Маскерони, а ln - натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших n:

- формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

1.3. Теоретико-числовые свойства частичных сумм

2. Сходимость ряда

при

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

.

2.1. Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

2.2. Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

3. Частичные суммы

n -ая частичная сумма гармонического ряда,

называется n -ым гармоническим числом .

Разница между n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме H 1 = 1 , не является целым .

4. Связанные ряды

4.1. Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1 .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

4.2. Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью . Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула - частный случай Ряд Меркатора (англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это известно как ряд Лейбница.

4.3. Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда

где s n независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10 −42 . Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

4.4. «Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ. )

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Необходимый признак сходимости рядов (доказать).

Теорема 1. (необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится , то .

Доказательство. Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1. Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1. Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 1. Числовой ряд a n +1 +a n +2 +…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n- м остатком данного ряда и обозначается R n .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток . Обратно : если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом для любого n ÎN выполняется равенство S =S n +R n .

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3. .

32. Признаки сравнения и признак для знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами , причем для каждого п ÎN выполнено условие а n £b n . Тогда :

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условие а n £b n выполняется с некоторого номера N ÎN .

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

33. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q <1 и расходится при q >1 .

Доказательство. Пусть q <1. Зафиксируем число р такое, что q < p < 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера N ÎN выполняется неравенство a n +1 /a n <p, т.е. a n +1 < p×a n . Тогда a N +1 < p×a N , a N +2 < p 2 ×a N . По индукции легко показать, что для любого k ÎN верно неравенство , a N + k < p k ×a N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p <1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q >1. Тогда с некоторого номера N ÎN верно неравенство a n +1 /a n >1, т.е. a n +1 >a n . Следовательно, с номера N последовательность (a n ) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию 2.1, вытекает расходимость ряда при q >1.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а >1, и расходится, если a £1. Ряд называется гармоническим рядом , а ряд с произвольным a ÎR называется обобщенным гармоническим рядом .

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где a n >0 для каждого n ÎN .

Теорема 1 (Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a n ) - невозрастающая последовательность ;

2) при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. |S |£ a 1 .

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называетсячисловым рядом . Числа называютсячленами ряда , а выражение
 общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда
.

при
,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся , если
, где числоназываетсясуммой ряда , и пишут
. Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд
.

Для того, чтобы вычислить n -ю частичную сумму представим общий член
рядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что
, а
.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна
.

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если
, то

2. Если
, то
, т.е. ряд расходится.

3. Если
, то ряд имеет види тогда
, т.е. ряд расходится.

4. Если
, то ряд имеет види тогда
, если частичная сумма имеет четное число членов и
, если нечётное число, т.е.
не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается
, т.е.
.

Так как для сходящихся рядов
, то
,

т.е. будет б.м.в. при
. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q , то сходится ряд , где
, а его сумма равнаA S + B Q .

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема . Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при
, т.е.
.

Действительно, имеем

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим .

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как
.

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, если
и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

Так как
и ограничена, то
, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда
.

Начиная с
, имеем
.

Так как ряд сходится
, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения . Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие

, то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
.

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится при
и расходится при
.

Гармонический ряд – числовой ряд

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

, , ,

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма членов гармонического ряда больше, чем . Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

А .

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности , т.е. .

Число в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку , следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича , то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на , 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на , -й относительно -го на , и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

.

Выражение в скобках есть частичная сумма гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то составит всего лишь 3,8 длины кирпича.