Распределение молекул газа по потенциальной энергии (распределение Больцмана)

Идеальный газ во внешнем силовом поле

В идеальных газах молекулы рассматриваются невзаимодействующими друг с другом посредством межмолекулярных силовых полей, и их потенциальная энергия не фигурирует в газовых законах. Однако во внешних силовых полях эта ситуация меняется - молекулы приобретают потенциальную энергию из-за действия на них внешних сил. Эта потенциальная энергия учитывается в законах термодинамики.

При отсутствии внешних воздействий из-за хаотического теплового движения газ равномерно заполняет предоставленный ему объем. Однако при внешних воздействиях картина меняется, и потенциальная энергия влияет на распределение молекул газа в пространстве заключающего газ объема.

Найдем распределение молекул идеального газа в однородном, консервативном, одномерном внешнем силовом поле (например, поле силы тяжести вблизи поверхности Земли). Ориентируем выделенную ось Z вдоль направления силового воздействия (вертикально вверх, в нашем примере) и будем искать распределение концентрации (и давления) молекул вдоль этого направления.

Выделим в газе две параллельные плоскости (пластины) площадью S каждая, ориентированные перпендикулярно оси Z с дифференциально-малым расстоянием-промежутком d.z между ними (рис. 4.4). Из-за действия на молекулы силы F (вес в гравитационном поле) давление на нижнюю пластину будет больше, чем на верхнюю. Разница давлений dp равна действующим на пластины силам со стороны всех молекул в объеме dV= отнесенным к их площади S:

где F(z) - сила, действующая со стороны силового поля, на одну молекулу, находящуюся на уровне z n(z) - концентрация молекул на уровне Z-

Согласно заданным условиям сила является консервативной; это значит, что силовое поле - потенциальное. Поэтому можно воспользоваться связью между силой F(z) и потенциальной энергией U(z)

в форме (соотношение (1.33) в подразделе 1.3.5). Теперь можем записать

Рис. 4.4.

Так как газ идеальный, его давление связано с концентрацией уравнением (4.25), а температура предполагается одинаковой в каждой точке, поэтому

Заменяя в (4.32) изменение давления на (4.33), получаем k^Tdn = = -ndU. Разделяя переменные, получим . Интегрирование

дает Это уравнение может быть переписано в виде

И далее Предполагая, что на уровне, принятом за нуль отсчета (z = 0) концентрация равна и 0 , получим С = п 0 . Поэтому окончательно

Полученное соотношение связывает между собой концентрацию молекул идеального газа n(z) и его давление p{z) с потенциальной энергией молекул U(z) в силовом поле с температурой Т. Это соотношение называется распределением Больцмана (или законом Больцмана). График закона Больцмана приведен для относительных концентраций n(z)/n 0 на рис. 4.5. Из него видно, что высокая концентрация молекул соответствует значениям координат z, где потенциальная энергия U(z) мала. С повышением потенциальной энергии концентрация молекул падает. При U(z ) = кьТ концентрация молекул в е раз меньше, чем на уровне, где U(z) = 0.

Рис. 4.5. Зависимость относительной концентрации частиц, находящихся в силовом поле, от величины потенциальной энергии U(z)

На рисунке 4.5 представлена совокупность кривых, соответствующих разным температурам газа. При возрастании температуры энергия хаотического движения молекул увеличивается и влияние температуры на концентрацию снижается. Поэтому при высокой температуре концентрация молекул выравнивается, газ равномерно заполняет весь объем. Наоборот, снижение температуры приводит к резкой зависимостью концентрации от потенциальной энергии. Влияние силового поля проявляется более резко.

Так как концентрация и давление пропорциональны друг другу для давления справедливо то, что говорилось ранее о концентрации. В частности, с учетом (4.25) формула (4.34) может быть переписана в виде:

в которой р 0 и p(z) есть давление в точках, где потенциальная энергия равна нулю и U(z), соответственно.

Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинœетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределœение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, всœе молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив - молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так какmgh - ϶ᴛᴏ потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределœение частиц по значениям потенциальной энергии:

,

15 Пове́рхностное натяже́ние - термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесии фаз, определяемая работой обратимого изотермокинœетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объём системы и химические потенциалы всœех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.

Поверхностное натяжение имеет двойной физический смысл - энергетический (термодинамический) и силовой (механический). Энергетическое (термодинамическое) определœение: поверхностное натяжение - это удельная работа увеличения поверхности при её растяжении при условии постоянства температуры. Силовое (механическое) определœение: поверхностное натяжение - это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости

Формула Лапласа[править | править вики-текст]

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и задаётся формулой Лапласа :

Здесь - радиусы главных кривизн в точке. Οʜᴎ имеют одинаковый знак, в случае если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскостив точке, и разный знак - если по разную сторону. К примеру, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, в связи с этим

Важно заметить, что для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем

Капиллярными явлениями называют подъем или опускание жидкости в трубках малого диаметра – капиллярах . Смачивающие жидкости поднимаются по капиллярам, несмачивающие – опускаются.

Капилля́рность (от лат. capillaris - волосяной ; отсюда происходит встречавшийся ранее в русскоязычной научной литературе термин воло́сность ), капиллярный эффект - физическое явление, заключающееся в способности жидкостей изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых телах. В поле тяжести (или сил инœерции, к примеру при центрифугировании пористых образцов) поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, к примеру воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п. Понижение жидкости происходит в трубках и каналах, не смачиваемых жидкостью, к примеру ртуть в стеклянной трубке.

Когезия (от лат. cohaesus - связанный, сцепленный), сцепление молекул (ионов) физического тела под действием сил притяжения.

сцепление частей одного и того же однородного тела (жидкого или твердого). Обусловлена хим. связью между составляющими тело частицами (атомами, ионами) и межмол. взаимодействием. Работой когезии наз. свободную энергию разделœения тела на части и удаления их на такое расстояние, когда нарушается целостность тела.

Адгезия (от лат. adhaesio - прилипание) в физике - сцепление поверхностей разнородных твёрдых и/или жидких тел. Адгезия обусловлена межмолекулярным взаимодействием (Ван-дер-Ваальсовыми, полярным, иногда - образованием химических связей или взаимной диффузией) в поверхностном слое и характеризуется удельной работой, крайне важно й для разделœения поверхностей. В некоторых случаях адгезия может оказаться сильнее, чем когезия, то есть сцепление внутри однородного материала, в таких случаях при приложении разрывающего усилия происходит когезионный разрыв, то есть разрыв в объёме менее прочного из соприкасающихся материалов.

Распределение больцмана - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Распределение больцмана" 2017, 2018.

- Распределение Больцмана для частиц во внешнем силовом поле

Молекулы идеального газа, свободные от внешних воздействий, вследствие теплового движения равномерно распределяются по всему занимаемому объему. Во внешнем поле на молекулы действует сила, и распределение частиц по объему становится неоднородным. Закон изменения... .

-

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул. Для вывода... .

- Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

- Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Учебно-материальная база УКП. Учебно-материальная база УМЦ ГОЧС. Структура УМБ ГО и РСЧС. Состав учебно-материальной базы для обучения различных групп населения в области безопасности... .

- Распределение молекул в силовом поле (распределение Больцмана). Барометрическая формула.

Барометрическая формула. – распределение Больцмана частиц во внешнем силовом поле. z – высота над поверхностью земли. – концентрация молекул в тех точках, где потенциальная энергия равна нулю. п0 – концентрация молекул у поверхности земли. – зависимость... [читать подробнее] .

- Распределение больцмана

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: (2.5.1) где n0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h. Так как... .

- Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа... .

Пусть идеальный газ находится в каком-либо силовом поле, например, в поле тяжести. Так как на молекулы газа в этом случае действуют внешние силы, то давление газа не будет всюду одинаковым, а будет меняться от точки к точке.

В простейшем случае силы поля имеют неизменное направление, характеризуемое осью z. Пусть две площадки единичной площади ориентированы перпендикулярно оси z и находятся друг от друга на расстоянии dz. Если давления газа на обеих площадках равны р и p + dp, то разность давлений должна, очевидно, равняться суммарной силе, действующей на частицы газа, заключенные в объеме параллелепипеда с единичным основанием и высотой dz . Эта сила равна Fn dz , где n – плотность молекул (т. е. их число в единице объема), a F – сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой z . Поэтому

dp = nF dz .

Сила F связана с потенциальной энергией U(z) молекулы соотношением F = - dU/dz, так что

dp = – n dz dU /dz = – n dU .

Так как газ предполагается идеальным, то p = nkT . Если температура газа в различных точках одинакова, то

dp = kT dn .

Разность давлений dp в обоих случаях определяется разностью высот. Поэтому

и окончательно

Здесь n 0 – постоянная, представляющая собой плотность молекул в точке, где U = 0.

Полученная формула, связывающая изменение плотности газа с потенциальной энергией его молекул, называется формулой Больцмана. Давление отличается от плотности постоянным множителем kT , поэтому такое же уравнение справедливо и для давления

В случае поля тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия молекулы на высоте z равна U = mgz , где m – масса молекулы. Поэтому, если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление р на высоте z будет связано с давлением р 0 на поверхности Земли соотношением

Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде

где m – молекулярный вес газа, R – газовая постоянная.

Эту формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассматривать отдельно, т. е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них. Чем больше молекулярный вес газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами: кислород, например, убывает в атмосфере быстрее, чем азот.

Следует, однако, иметь в виду, что применимость барометрической формулы к реальной атмосфере весьма ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии и ее температура меняется с высотой.

Из формулы Больцмана можно сделать интересное заключение, если попытаться применить ее к атмосфере на любых расстояниях от Земли. На очень больших расстояниях от земной поверхности под U нужно понимать не mgz , a точное значение потенциальной энергии частицы

где g – гравитационная постоянная, М – масса Земли и r – расстояние от центра Земли. Справедливость этого выражения легко проверить дифференцированием по расстоянию (F = - dU/dr) и последующим сравнением с законом всемирного тяготения. Подстановка этой энергии в формулу Больцмана дает следующее выражение для плотности газа:

где через n ¥ теперь обозначена плотность газа в месте, где U =0 (т. е. на бесконечном расстоянии от Земли). Если r равен радиусу Земли R , получится соотношение между плотностью атмосферы на поверхности Земли n 0 и на бесконечности n ¥ :

Согласно этой формуле плотность атмосферы на бесконечно большом расстоянии от Земли должна была бы быть отлична от нуля. Такой вывод, однако, абсурден, так как атмосфера имеет земное происхождение, и конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Полученный вывод объясняется тем, что атмосфера предполагалась находящейся в состоянии теплового равновесия, что не соответствует действительности.

Данный результат показывает, что гравитационное поле вообще не может удержать газ в состоянии равновесия, а потому атмосфера должна непрерывно рассеиваться в пространстве. В случае Земли это рассеяние чрезвычайно медленно, и за все время своего существования Земля не потеряла сколько-нибудь заметной доли своей атмосферы. Но, например, в случае Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения потеря атмосферы происходила гораздо быстрее, и в результате Луна в настоящее время атмосферы уже не имеет.

Подборка по базе: 416_3- Контр. и самост. раб. по физике. 8кл. к уч. Перышкина_201 .

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:
з

десь n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М = m 0 N A , где m 0 – масса одной молекулы , а R = k N A , то мы получим П = m 0 gh – это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. Поскольку kT‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›
Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

П
остоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функцию f(), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равные d, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от  до + d. Это число - dN()/N= f()d. Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f()

Данное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям. Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f()=0 при =0 и достигает максимума при некотором значении  в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN()/N, скорости которых лежат в интервале d и равное f()d, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f() и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости , то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость  в, при которой функция f() достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функции f(v) ′ = 0 следует, что

Н

а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.
2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

2.1. Внутренняя энергия. @

Важной характеристикой любой термодинамической системы является ее внутренняя энергия – энергия хаотического теплового движения частиц системы - молекул, атомов и энергия их взаимодействия. К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия системы в определенном состоянии не зависит от того , как система пришла в это состояние (т.е. от пути перехода), а определяется только значениями термодинамических параметров в этих состояниях. В термодинамике имеются и другие функции, удовлетворяющие этим условиям, их называют функциями состояния системы. Таким образом, внутренняя энергия – это функция состояния.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится понятие числа степеней свободы – это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. Например, молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, обладающую тремя степенями свободы поступательного движения (координаты x,y,z) (рис.2.1. а). Молекула двухатомного газа, рассматриваемая в классической механике как совокупность двух материальных точек, жестко связанных между собой, имеет уже 5 степеней свободы. У нее имеется 3 степени свободы поступательного движения центра масс и 2 степени вращательного, связанного с поворотами на углы  и  (рис. 2.1. б). Эти углы полярный угол θ и азимутальный угол φ, определяют ориентацию оси молекулы. В данном случае, на первый взгляд кажется, что необходимо также задавать угол поворота ψ молекулы относительно собственной оси. Но вращение двухатомной молекулы вокруг своей собственной оси ничего не меняет в положении молекулы, так как структуры у материальных точек атомов нет и, поэтому, этот угол не нужен для задания положения такой молекулы в пространстве. Трехатомные молекулы (рис. 2.1.в), в которых атомы связаны жестко между собой, имеют 6 степеней свободы, так как здесь уже необходим дополнительный угол ψ.

Если расстояния между атомами меняются , т.е. атомы в молекуле колеблются, то для задания этих расстояний необходимы дополнительные координаты - колебательные степени свободы и общее число степеней свободы будет больше 6. Для много-атомных молекул число степеней может быть намного больше 6.

Р

Рис.2.1. Степени свободы: а) одноатомной молекулы;б) двухатомной молекулы;в) трех- и многоатомной молекулы.

анее мы получили формулу для средней кинетической энергии поступательного движения одно-атомной молекулы идеального газа следующее выражение: ‹ε 0 › = 3kT/2. Но у одно-атомной молекулы имеется 3 степени свободы поступательного движения и ни одна не имеет преимущества перед другими. Поэтому на каждую степень в среднем должна приходиться одинаковая энергия, равная 1/3 общей: ‹ε 1 › = kT/2. Так как, очевидно, что все степени свободы равноценны, то в классической статистической физике существует закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Он формулируется так: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная кТ/2, а на каждую колебательную степень свободы – кТ. Колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергией, так как на нее приходится не только кинетическая, но и потенциальная энергия взаимодействия. Таким образом, средняя энергия любой молекулы ‹ε› = ikT/2, где i - это сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы.

Из этого закона получаем, что внутренняя энергия U М одного моля идеального газа равна U М =ikTN A /2 = iRT/2, а внутренняя энергия U газа массы m равна U = ikTN/2 = iRTm/2M (здесь мы учитываем, что потенциальная энергия взаимодействия молекул равна 0, общее число молекул в одном моле равно N A , N= mN A /M и kN A =R).
2.2. Первое начало термодинамики. @

Обмен энергией между термодинамической системой и внешней средой может осуществляться двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена.

Изменение энергии системы, происходящее под действием сил измеряется работой. Если термодинамическая система совершает работу против внешних сил, то работа считается положительной (А>0). Если работу над системой совершают внешние силы , то она считается отрицательной (А
Изменение энергии системы, происходящее в результате теплообмена, определяется количеством переданной или отнятой теплоты Q. При теплообмене тела систем должны находится в тепловом контакте, т.е. молекулы этих систем должны иметь возможность сталкиваться при своем движении и обмениваться своей кинетической энергией. Если энергия (теплота) передается системе, то Q>0, если она от системы отнимается, то Q
ΔU = Q – A или Q = ΔU + A

В дифференциальной форме (для малых изменений величин) это запишется следующим образом:

δQ = dU + δA ,

где δQ - бесконечно малое количество теплоты, dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии, δA – элементарная работа. Это уравнение выражает первое начало термодинамики: теплота, подводимая к системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. Знак δ в δQ и δА означают, что данные элементарные приращения не являются полными дифференциалами и, следовательно, А и Q не являются функциями состояния.

Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый легко скользящим поршнем площадью S. Найдем работу газа при расширении его объема δA = Fdl = pSdl = pdV , где F – сила, с которой газ действует на поршень, dl – перемещение поршня. Если зависимость р(V) изобразить графически , то общая работа при изменении объема от V 1 доV 2 равна площади фигуры, ограниченной кривой р(V), осью абсцисс и прямыми V= V 1 и V= V 2 (рис.2.2.). Графически можно изображать лишь равновесные процессы, и все количественные выводы термодинамики строго применимы только к равновесным процессам. При достаточно медленном протекании реальные процессы можно приближенно считать равновесными. Первое начало термодинамики выполняется во всех процессах, связанных с обменом энергией и совершением работы.
2. 3. Теплоемкость. @

Одним из основных свойств тел, которое широко используется в термодинамике, является теплоемкость. Теплоемкостью тела называется физическая величина, численно равная отношению теплоты δQ, сообщаемой телу, к изменению температуры тела в рассматриваемом термодинамическом процессе. Теплоемкость тела зависит от его химического состава, массы и термодинамического состояния, а также от вида процесса, в котором поступает теплота. Тепловые свойства однородных тел характеризуются понятиями удельной и молярной теплоемкостей.

Удельная теплоемкость вещества – величина, численно равная количеству теплоты, необходимому для нагревания единицы массы вещества на 1 Кельвин при данном процессе , единица измерения – Дж/(кг∙К)

М



олярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на 1К, т.е. С =сМ, где М – молярная масса вещества. Теплоемкости одного и того же вещества при разных термодинамических процессах нагревания различаются.

Найдем молярную теплоемкость системы в изобарном процессе, для этого возьмем один моль газа и сообщим ему количество теплоты δQ М. Согласно определению молярной теплоемкости и первому началу термодинамики можем

записать (здесь δА М - работа одного моля газа)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то dV=0 и δА М =0. Сообщаемая газу теплота идет только на увеличение его внутренней энергии и теплоемкость для изохорного процесса

Откуда следует, что

И

з уравнения Менделеева – Клапейрона для изобарного процесса можно получить pdV М = RdT. Таким образом, pdV М /dT = R. Из этой формулы следует физический смысл газовой постоянной: она численно равна работе (δА М = pdV М), совершаемой одним молем идеального газа, при его изобарном нагревании на 1 К. После замены получаем:

Э

то выражение называется уравнением Майера, оно показывает, что молярная теплоемкость при постоянном давлении С р всегда больше, чем теплоемкость при постоянном объеме C v на величину, равную молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при постоянном объеме все подводимое тепло идет только на увеличение внутренней энергии, т.е. повышение Т, а при постоянном давлении кроме этого требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы газом против внешних сил при его расширении.

Заменив в Барометрической формуле p через nkT получим закон изменения концентрации газа с высотой:

Где n 0 – концентрация газа на высоте h=0

Преобразуем, заменив M/R равным ему отношению m 0 /k

Где m 0 - масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана

С уменьшением температуры концентрации газа на высотах отличных от нуля, убывает, обращаясь в ноль при температуре T=0

При абсолютном нуле все молекулы воздуха расположились бы на земной поверхности.

При больших температурах наоборот концентрация слабо уменьшается с высотой.

Распределение молекул газа получается в результате действия двух «конкурирующих» тенденций: 1. притяжение к земле, 2. тепловое движение

На разной высоте молекула обладает разной потенциальной энергией => распределение молекул газа по высоте, является в тоже время распределением их по значениям потенциальной энергии.

Таким образом получаем:

Из этого => что молекулы располагаются с большей концентрацией (плотностью) тела, где их потенциальная энергия меньше, и наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул .

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул .

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости , и если - среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега

Для определения представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:

где n - концентрация молекул, V = pd2 - средняя скорость молекулы или путь, пройденным ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул