Характеристики случайных процессов. Понятие случайной функции. Элементарные случайные процессы. Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный заранее конкретный вид. Обычно аргументом случайной функции (с.ф.) является время, тогда с.ф. называют случайным процессом (с.п.).

С.ф. непрерывно изменяющегося аргумента t называется такая с.в., распределение которой зависит не только от аргумента t=t1 , но и от того, какие частные значения принимала эта величина при других значениях данного аргумента t=t 2. Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем больше, чем ближе одни к другим значения аргументов. В пределе при интервале между двумя значениями аргумента, стремящемся к нулю, коэффициент корреляции равен единице:

т.е. t 1 и t1+Dt1 при Dt1 ®0 связаны линейной зависимостью.

С.ф. принимает в результате одного опыта бесчисленное (в общем случае несчетное) множество значений – по одному для каждого значения аргумента или для каждой совокупности значений аргументов. Эта функция имеет одно вполне определенное значение для каждого момента времени. Результат измерения непрерывно изменяющейся величины является такой с.в., которая в каждом данном опыте представляет собой определенную функцию времени.

С.ф. можно также рассматривать как бесконечную совокупность с.в., зависящую от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров t . Каждому данному значению параметра t соответствует одна с.в Xt. Вместе все с.в. X t определяют с.ф. X(t). Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем сильнее, чем ближе друг к другу.

Элементарная с.ф. – это произведение обычной с.в. Х на некоторую неслучайную функцию j(t): X(t)=X×j(t) , т.е. такая с.ф., у которой случайным является не вид, а только ее масштаб.

С.ф. - имеет м.о. равное нулю. p – плотность распределения с.в. Х (значения с.ф. X(t) ), взятой при произвольном значении t 1 аргумента t .

Реализация с.ф. X(t) – описывается уравнением x=f1(t) при t=t1 и уравнением x=f2(t) при t=t2 .

Вообще функции x=f1(t) и x=f2(t) – различные функции. Но эти функции тождественны и линейны тем более, чем более (t1 ®t2 ) t 1 ближе к t 2.

Одномерная плотность вероятности с.ф. p(x,t) – зависит от х и от параметра t . Двумерная плотность вероятности p(x1,x2;t1,t2) – совместный закон распределения значений X(t1) и X(t2) с. ф. X(t) при двух произвольных значениях t и t ¢ аргумента t .

. (66.5)

В общем случае функция X(t) характеризуется большим числом n -мерных законов распределения .

М.о. с.ф. X(t) - неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна м.о. ординаты с.ф. при этом аргументе t.

- функция, зависящая от x и t .

Аналогично и дисперсия - неслучайная функция.

Степень зависимости с.в. для различных значений аргумента характеризуется автокорреляционной функцией.

Автокорреляционная функция с.ф. X(t) Kx(ti,tj) , которая при каждой паре значений ti, tj равна корреляционному моменту соответствующих ординат с.ф. (при i=j корреляционная функция (к.ф.) обращается в дисперсию с.ф.);

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений с.ф.), взятых при двух произвольных значениях t 1 и t 2 аргумента t . При t1=t2=t получаем дисперсию D(t).

Автокорреляционная функция - совокупность м.о. произведений отклонений двух ординат с.ф. , взятых при аргументах t1 и t 2, от ординат неслучайной функции м.о. , взятых при тех же аргументах.

Автокорреляционная функция характеризует степень изменчивости с.ф. при изменении аргумента. На рис. видно, что зависимость между значениями с.ф., соответствующим двум данным значениям аргумента t - слабее в первом случае.

Рис . Корреляционно связанные случайные функции

Если две с.ф. X(t) и Y(t) , образующие систему не являются независимыми, то тождественно не равна нулю их взаимная корреляционная функция:

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений двух с.ф. X(t) и Y(t) ), взятых при двух произвольных аргументах (t 1 - аргумент функции X(t) , t 2 - аргумент функции Y(t) ).

Если X(t) и Y(t) независимы, то K XY(t1,t2 )=0. Система из n с.ф. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) характеризуется n м.о. , n автокорреляционными функциями и еще n (n -1)/2 корреляционными функциями .

Взаимная корреляционная функция (характеризует связь между двумя с.ф., т.е. стохастическую зависимость) двух с.ф. X(t) и Y(t) - неслучайная функция двух аргументов t i и t j, которая при каждой паре значений t i, t j равна корреляционному моменту соответствующих сечений с.ф. Она устанавливает связь между двумя значениями двух функций (значения - с.в.), при двух аргументах t 1 и t 2.

Особое значение имеют стационарные случайные функции , вероятностные характеристики которых не меняются при любом сдвиге аргумента. М.о. стационарной с.ф. постоянно (т.е. не является функцией), а корреляционная функция зависит лишь от разности значений аргументов t i и t j.

Это четная функция (симметрично OY ).

При большом значении интервала времени t=t2-t1 отклонение ординаты с.ф. от ее м.о. в момент времени t 2 становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t 1. В этом случае функция KX(t), дающая значение корреляционного момента между X(t1) и X(t2), при ½t ½®¥ стремится к нулю.

Многие стационарные с.ф. обладают эргодическим свойством, которое заключается в том, что при неограниченно возрастающем интервале наблюдения среднее наблюденное значение стационарной с.ф. с вероятностью, равной 1, будет неограниченно приближаться к ее м.о. Наблюдение стационарной с.ф. при разных значениях t на достаточно большом интервале в одном опыте равноценно наблюдению ее значений при одном и том же значении t в ряде опытов.

Иногда требуется определить характеристики преобразованных с.ф. по характеристикам исходных с.ф. Так если

(70.5),

то т.е. м.о. интеграла (производной) от с.ф. равно интегралу (производной) от м.о. (y(t) - скорость изменения с.ф. X(t) , - скорость изменения м.о.).

При интегрировании или дифференцировании с.ф. получаем также с.ф. Если X(t) распределена нормально, то Z(t) и Y(t) распределены тоже нормально. Если X(t) – стационарная с.ф., то Z(t) уже не стационарная с.ф., т.к. зависит от t .

Примеры корреляционных функций.

1) (из (2) при b®0); 2) ;

3) ; 4) ;

5) (из (3) при b ®0); 6) (из (4) при b ®0).

На графиках a = 1, b = 5, s = 1.

a - характеризует быстроту убывания корреляционной связи между ординатами с.ф. при увеличении разности аргументов этих ординат t.

a/b - характеризует "степень нерегулярности процесса". При малом a/b ординаты процесса оказываются сильно коррелированными и реализация процесса похожа на синусоиду; при большом a/b (71.5).

Формула (71) для стационарной функции примет вид:

Корреляционная функция с.ф. и ее производной . Для дифференцируемого стационарного процесса ордината с.ф. и ее производной, взятая в тот же момент времени являются некоррелированными с.в. (а для нормального процесса и независимыми).

При умножении с.ф. на детерминированную получаем с.ф. Z(t)=a(t)X(t) , корреляционная функция которой равна

KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),

где a(t) - детерминированная функция.

Сумма двух с.ф. является тоже с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t) и ее корреляционная функция при наличии корреляционной связи между X(t) и Y(t):

KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2), (73.5)

где KXY(t1,t2) - см. (68.5) - взаимная корреляционная функция двух зависимых с.ф. X(t) и Y(t).

Если X(t) и Y(t) независимы, то KXY(t1,t2) =0. М.о. с.ф. Z(t): .

Мы имели много случаев убедиться в том, какое большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия - для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица - для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, - основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.

Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, предоставляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции при фиксированном . В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от , т. е. представляет собой некоторую функцию :

. (15.3.1)

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

На рис. 15.3.1 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией - ее математическое ожидание.

Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции.

Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция , значение которой для каждого равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

. (15.3.2)

Дисперсия случайной функции при каждом характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Очевидно, есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию - среднее квадратическое отклонение случайной функции:

. (15.3.3)

Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две случайные функции и , наглядно изображенные семействами реализаций на рис. 15.3.2 и 15.3.3.

У случайных функций и примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции (рис. 15.3.2) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке случайная функция приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке она также примет значение больше среднего. Для случайной функции характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных . Напротив, случайная функция (рис. 15.3.3) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по между ними.

Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо вести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе - автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным .

Пусть имеется случайная функция (рис. 15.3.4); рассмотрим два ее сечения, относящихся к различным моментам: и , т. е. две случайные величины и . Очевидно, что при близких значениях и величины и связаны тесной зависимостью: если величина приняла какое-то значение, то и величина с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями , зависимость величин и вообще должна убывать.

Степень зависимости величин и может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов и . Эта функция и называется корреляционной функцией.

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений , равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

, (15.3.4)

, .

Вернемся к примерам случайных функций и (рис. 15.3.2 и 15.3.3). Мы видим теперь, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции и имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции медленно убывает по мере увеличения промежутка ; напротив, корреляционная функция случайной функции быстро убывает с увеличением этого промежутка.

Выясним, во что обращается корреляционная функция , когда ее аргументы совпадают. Полагая , имеем:

, (15.3.5)

т. е. при корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Так как корреляционный момент двух случайных величин и не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:

. (15.3.6)

Если изобразить корреляционную функцию в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости , проходящей через биссектрису угла (рис. 15.3.5).

Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию системой случайных величин . При увеличении и соответственном уменьшении промежутков между аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в функцию двух непрерывно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции (15.3.6). По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично при корреляционная функция обращается в дисперсию .

На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции , обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости . Далее, путем интерполирования или аппроксимации можно построить функцию двух аргументов .

Вместо корреляционной функции можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:

, (15.3.7)

которая представляет собой коэффициент корреляции величин , . Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При нормированная корреляционная функция равна единице.

Основные задачи

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций.

Прямая задача {анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача {синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается.

Определение случайной функции

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X{t), Y{t) и т.д.

Например, если U - случайная величина, то функция Х{!)=С U - случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция является случайной величиной: при t { = 2

получим случайную величину Х х = AU, при t 2 = 1,5 - случайную величину Х 2 = 2,25 U и т.д.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t 2 U, приведенной выше, при значениях аргумента 7, = 2 и t 2 = 1,5 были получены соответственно случайные величины X { = AUn Х 2 = 2,2577, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную ф у н к ц и ю можно рассматр и - вать как совокупность случайных величин {Х(?)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.

Реализацией (траекторией , выборочной функцией) случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t , равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X(t) обозначают строчными буквами x t (t) t x 2 (t) и т.д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = (/sin t, где U - непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и { = 3, а во втором испытании и 2 = 4,6, то реализациями X(t) являются соответственно неслучайные функции х { (t ) = 3sin t и х 2 (t) = 4,6sin t.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.

Случайным (стохастическим ) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т.е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры - случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X{t) = sin Qf, где Q - случайная величина,

X(t) = Г/sin t, где U - случайная величина,

X(t) = Г/sin Qt, где О. и .

В частности, при Y==0 получим D z (t )= M [| (t )|] 2 =D x (t ), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D z (t )=M [| (t )| 2 ]= M {[ (t )] 2 + [ (t ) 2 ]}= M [ (t )] 2 +M [ (t ) 2 ]= D x (t )+D y (t ).

Итак,дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z (t )=D x (t )+D y (t ).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x (t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z (t , t ) была равна дисперсии D z (t ), т. е. чтобы выполнялось требование

K z (t , t )=D z (t ). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t ) называют корреляционный момент сечений (t 1)и (t 2)

K z (t 1 , t 2)= M .

В частности, при равных значениях аргументов

K z (t , t )= M =M [| | 2 ]= D z (t ).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х (t ) и Y (t )коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2)+ [R xy (t 2 ,t 1)]+ [ R xy (t 1 ,t 1)].

если Х (t ) и Y (t ) не коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2).

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 (t )=Х 1 (t )+ Y 1 (t )i и Z 2 (t )=Х 2 (t )+ Y 2 (t )i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X (t )=Ut 2 , где U- случайная величина, причем M (U )=5 ,

б ) Х (t )=U cos2t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M (U )=3 , M (V )=4 .

Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х (t 1 ,t 2) случайной функции X (t ). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y (t )=X (t )+t; б) Y (t )=(t +1)X (t ); в) Y (t )=4X (t ).

Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.

3. Задана дисперсия D x (t ) случайной функции Х (t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t )=Х (t )+e t б ) Y (t )=tX (t ).

Отв . a) D y (t )=D x (t ); б) D y (t )=t 2 D x (t ).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t )=Usin 2t , где U- случайная величина, причем M (U )=3 , D (U )=6 .

Отв . а)m x (t ) =3sin 2t; б) К х (t 1 ,t 2)= 6sin 2t 1 sin 2t 2 ; в) D x (t )=6sin 2 2t .

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ), зная ее корреляционную функцию К х (t 1 ,t 2)=3cos (t 2 -t 1).

Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t )=(t +1)U , и Y(t )= (t 2 + 1)U , где U- случайная величина, причем D (U )=7.

Отв . a) R xy (t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)(t 2 2 +l); б) ρ xy (t 1 ,t 2)=1.

7. Заданы случайные функции Х (t )= (t- 1)U и Y (t )=t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M (U )=2, M (V )= 3, D (U )=4 , D (V )=5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t )=X (t )+Y (t ).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t ) и Y (t ) не коррелированы.

Отв . а) m z (t )=2(t - 1)+3t 2 ; б) К z (t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)(t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; в) D z (t )=4(t - 1) 2 +6t 4 .

8. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +1 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание ее производной.

9. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +3 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )=tХ" (t )+t 3 .

Отв. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию ее производной.

11. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции Х (t ). Найти взаимные корреляционные функции.