Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала . Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА . Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎR и BÎR . Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П А , показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П В , показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П А Ç В , показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек . Функция m A , являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества (m a:X®), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Конкретное значение m A (x) , заданное для элемента x , называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX , содержащее те элементы xÎX , для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3, ...,x max } , предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x max >}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m A (x)=1} . Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m A (x)>1} . Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m A (x)=0,5} . Уровень a , или a –разрез (сечение) нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)³a} . a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a -cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : a ={xÎX/m A (x)>a} . Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x 1 ,x 2 ,x 3 ÎX:x 1 £x 2 £x 3 ®m A (x 2)³min(m A (x 1),m A (x 3)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий : А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1 ), m А (x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A ) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно определение.

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A , функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ, m A (w)³min(m A (u), m A (v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметровМ= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x min =x, x m ax =x,0,0), где x imin - нижнее модальное значение , а x m ax - верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m A (x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x min , x m ax =x min ,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В] . Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x min ,В=x m ax ,0,0) , где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменнойx ), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменнойx .

Вариант 4. Значение входной переменнойx i может быть получено из интервала значений [А,С] [А,В] (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде =(А=x min ,В=x max ,0,b) . Пример задания показан на рис. 2.12, гдеb=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменнойq i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде =(B=x min ,C=x max ,a,b) . Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, гдеa=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М i =() и М j =(), записываемая в виде М i М j , также есть нечеткий интервал М i М j = , где a=a i + a j ; b=b i + b j ; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

.

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0) . Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числуА производится по формулам:

А , если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А , если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Функции принадлежности

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности .

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m A (x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством .

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m A (x) , которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X . Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m A (x) .

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n 1 человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n 2 =m-n 1 ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m A (x)=n 1 /m .

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a i Î . Коэффициенты a i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p i =1 при положительном ответе и p i =0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m A (x) , xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m ij ½½ , в которой элементы m ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x i ÎX подмножеству по сравнению с элементами x j ÎX . Функция принадлежности m a (x) определяется из матрицы M . Предположим, что известны значения функции принадлежности m A (x) для всех значений xÎХ . Пусть m A (x)=r i , Тогда попарные сравнения определяются m ij =r i /r j . Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R , где R=(r 1 ,r 2 ,...,r n), n - собственное значение матрицы M , по которому восстанавливается векторR с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l max , где l max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R , который удовлетворяет уравнению

M*R=l max *R . (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l max , деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m ij , приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значению
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительны.
	Существенно или сильнее значимее	Существует хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен
	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другим
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс
Обратные величины ненулевых значений	Если оценка m ij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента r i с элементом r j , то m ij имеет обратное значение 1/m ij .

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m A (x i) превышает величину m A (x i) , т.е. насколько элемент x i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x j . Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r i ÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r i =1/k i .

Определив все величины k j , получим значения элементов вектора R . Исходя из того, что матрица M , как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

,

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m A (x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a , b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m A (x)=e -kx , x>0; m A (x)=1-a x , 0£x£a -1/k ; m A (x)=(1+kx 2) -1 , k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m A (x) принято называть нечетким множеством первого рода .

Существуют нечеткие множества второго рода , для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A 1 ´A 2: m A (x 1 ,x 2)) , где A 1 ´A 2 - декартово произведение, m A (x 1 ,x 2)=min{a-k 1 |x 1 -b| - k 2 |x 2 -c|; (x 1 =0, x 2 =0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a , b , c - заданные числа, k 1 , k 2 - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.

Двухмерная функция принадлежности колоколообразного вида определена формулой:

где m 1 , m 2 - заданные числа, d 1 , d 2 - показатели нечеткости.

Классификация функций принадлежности нормальных нечеткихмножеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливоутверждение, что существует такой , при котором .

s

Функция принадлежности класса s определяется как:

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s :

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

Определим лингвистическую переменную (ЛП) как переменную, значение которой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства. Например, ЛП "возраст" может иметь значения

ЛП = МлВ, ДВ, ОВ, ЮВ, МВ, ЗВ, ПВ, СВ,

обозначающие возраст младенческий, детский, отроческий, юношеский, молодой, зрелый, преклонный и старый, соответственно. Множество M - это шкала прожитых человеком лет . Функция принадлежности определяет, насколько мы уверены, что данное количество прожитых лет можно отнести к данному значению ЛП. Допустим, что неким экспертом к молодому возрасту отнесены люди в возрасте 20 лет со степенью уверенности 0,8, в возрасте 25 лет со степенью уверенности 0,95, в возрасте 30 лет со степенью уверенности 0,95 и в возрасте 35 лет со степенью уверенности 0,7. Итак:

μ(X 1)=0,8; μ(X 2)=0,95; μ(X 3)=0,95; μ(X 4)=0,7;

Значение ЛП=МВ можно записать:

МВ = μ(X 1) / X 1 + μ(X 2) / X 2 + μ(X 3) / X 3 + μ(X 4) / X 4 = = 0,8 / X 1 + 0,95 / X 2 + 0,95 / X 3 + 0,7 / X 4 .

Таким образом, нечеткие множества позволяют учитывать субъективные мнения отдельных экспертов. Для большей наглядности покажем множество МВ графически при помощи функции принадлежности (рис. 2.7).

Рис. 2.7. График функции принадлежности

Для операций с нечеткими множествами существуют различные операции, например, операция "нечеткое ИЛИ" (иначе) задается в логике Заде , :

μ(x)=max(μ 1 (x), μ 2 (x))

и при вероятностном подходе так:

μ(x)=μ 1 (x)+μ 2 (x)-μ 1 (x) · μ 2 (x).

Рассмотрим эти операции в виде диаграмм. В ранней статье о нечетких множествах Заде предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Легко видеть, что эти операторы совпадают с четким объединением, и пересечением, если мы рассматриваем только принадлежность к 0 и 1.

Чтобы разъяснять это, рассмотрим несколько примеров. Допустим А есть нечеткий интервал между 5 и 8, а B - нечеткое число, приблизительно 4. Следующая диаграмма показывает нечеткое множество между 5 и 8 И (AND - пересечение) приблизительно 4 (синия линия).

Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR-объединение) приблизительно 4 показывается в следующей диаграмме (снова, синей линией).

Следующая диаграмма явкяется примером отрицания. Синяя линия - ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.

Существуют и другие операции над нечеткими числами, такие как расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел, определяемые через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения и т.д.

Baldwin J.F.. Fuzzy logic and fuzzy reasoning. - London, Academic Press, 1981.

Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно".

Введенное определение нечеткого множества (2.1) не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x , нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности , .

Треугольные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.:

• треугольная и трапецеидальная функции

Trimf x,a,b,c = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; c - x c - b , b ≤ x ≤ c ; 0 , c ≤ x ; trapmf x,a,b,c,d = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; 1 , b ≤ x ≤ c ; d - x d - c , c ≤ x ≤ d ; 0 , d ≤ x ;

Z-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «малое количество», «небольшое значение», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический Z-сплайны

Zm f 1 x,a,b = 1 , x ≤ a ; 1 - 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 0 , b ≤ x ; zm f 2 x,a,b = 1 , x < a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b ; 0 , x > b ;

• Z-сигмоидальная и Z-линейная функции

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a < 0 ; zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ < x ≤ c ; d - x b - c , c < x ≤ d ; 0 , x > d ;

S-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический S-сплайны

Sm f 1 x,a,b = 0 , x ≤ a ; 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 1 , b ≤ x ; sm f 2 x,a,b = 0 , x < a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ; 1 , x > b ;

• S-сигмоидальная и S-линейная функции

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a > 0 ; slinemf x,a,b = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a < x ≤ b ; 1 , x > b ;

П-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.:

• колоколообразная и гауссова функции

Gbellmf x,a,b,c = 1 1 + x - c a 2b ; gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2σ 2

Существует множество других функций принадлежности нечетких множеств, заданных как композиции вышеупомянутых базовых функций (двойная гауссова, двойная сигмоидальная и т.п.), либо как комбинации по участкам возрастания и убывания (сигмоидально-гауссова, сплайн-треугольная и т.п.).

Функция принадлежности μ A x – это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A . В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A x с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут R , который характеризует некоторую совокупность объектов X . Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством R , тем более близко к соответствующее значение μ A x . Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством R , то μ A x = 1 , если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством R , то μ A x = 0 . Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности - .

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный ) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом – наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений ) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x – расход теплоносителя, X 0; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ A x ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ A x = 0 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. При μ A x = 1 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Метод относительных частот. Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m - n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A x = n 1 n 1 + n 2 = n 1 m .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры, X - x max ; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.2.1.

Для непрерывного представления нечеткой переменной используем какую нибудь из П-образных функций принадлежности, например, Гауссову. Из множества гауссовых функций gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 через характерные точки функции принадлежности: точку перехода μ A 3 = 0,5 и максимум μ A 5 = 1 ; проходит функция с параметрами σ = 1,7 , c = 5 . В качестве альтернативного метода перехода от дискретного ряда точек к непрерывному заданию функции принадлежности можно предложить поиск параметров Гауссовой функции принадлежности, максимально близко аппроксимирующей дискретный ряд по критерию СКО (рис.2.4).

Рис.2.4. Аппроксимация дискретного ряда () непрерывной Гауссовой функцией принадлежности (– по характерным точкам, – – по СКО)

Функция принадлежности μ A (x) ∈ ставит в соответствие каждому числу

x ∈ X число из интервала , характеризующее степень принадлежности решения к подмножеству А.

Т.е. это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A. В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A (x) с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут, который характеризует некоторую совокупность объектов X. Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством, тем более близко к 1 соответствующее значение μ A (x). Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством, то μ A (x)=1, если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством, то μ A (x)=0.

Основные виды функций принадлежности

На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции.

1. Кусочно-линейные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.

Треугольная trimf

Трапецеидальная trapmf

2. S-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.

Квадратичный S-сплайн smf

3. Z -образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа «малое количество», «небольшое значении е», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.

Квадратичный Z -сплайн z mf

4. П-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.

К данному типу функций принадлежности можно отнести целый класс кривых, которые по своей форме напоминают колокол, сглаженную трапецию или букву "П".

Колоколообразная gbellmf

a - коэффициент концентрации функции принадлежности; b – коэффициент крутизны функции принадлежности; c – координата максимума функции принадлежности.

Гауссовская gaussmf

a – координата максимума функции принадлежности; b – коэффициент концентрации функции принадлежности.

Методы построения функций принадлежности

Прямые и косвенные

В зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые .

Прямые

В прямых методах эксперт либо группа экспертов просто задают для каждого

x ∈ X значение функции принадлежности μ A (x).

Как правило, прямые методы построения функций принадлежности используются для таких свойств, которые могут быть измерены в некоторой количественной шкале. Например, такие физические величины, как скорость, время, расстояние, давление, температура и другие имеют соответствующие единицы и эталоны для своего измерения.

При прямом построении функций принадлежности следует учитывать, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точного задания функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь наиболее характерные значения и вид функции принадлежности.

Так, например, если необходимо построить нечеткое множество, которое представляет свойство "скорость движения автомобиля примерно 50 км/ч", на начальном этапе может оказаться достаточным представить соответствующее нечеткое множество треугольной функцией принадлежности с параметрами а = 40 км/ч, b = 60 км/ч и с = 50 км/ч. В последующем функция принадлежности может быть уточнена опытным путем на основе анализа результатов решения конкретных задач.

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе некоторого известного заранее количественного значения измеримого признака получил даже специальное название - фаззификация или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что хотя иногда нам бывает известно некоторое значение измеримой величины, мы признаем тот факт, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньше мы уверены в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Следует помнить, что в большинстве практических случаев абсолютная точность измерения является лишь удобной абстракцией для построения математических моделей. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

Метод относительных частот (прямой групповой)

Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m – n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1 / m.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A, соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x, и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.

В качестве непрерывного представления данной нечеткой переменной можно использовать гауссовскую ФП gaussmf с максимумом функции принадлежности а=5 и коэффициентом концентрации функции принадлежности b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

Косвенные

Используются при решении задач, для которых свойства физических величин не могут быть измерены. Наибольшее распространение среди косвенных методов получил метод парных сравнений.

Метод парных сравнений

Интенсивность принадлежности определяют, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Для каждой пары элементов универсального множества эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:

,

где - уровень преимущество элементанад(), определяемый по девятибальной шкале Саати:

1 - если отсутствует преимущество элемента над элементом;

3 - если имеется слабое преимущество над;

5 - если имеется существенное преимущество над;

7 - если имеется явное преимущество над;

9 - если имеется абсолютное преимущество над;

2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки.

Пример. Построить функцию принадлежности нечеткого множества "высокий мужчина" на универсальном множестве {170, 175, 180, 185, 190, 195}, если известны такие экспертные парные сравнения:

абсолютное преимущество 195 над 170;

явное преимущество 195 над 175;

существенное преимущество 195 над 180;

слабое преимущество 195 над 185;

отсутствует преимущество 195 над 190.

Приведенным экспертным высказываниям соответствует такая матрица парных сравнений:

При согласованных мнениях эксперта матрица парных сравнений обладает следующими свойствами:

она диагональная‚ т. е. a ii =1 ‚ i=1..n ;

она обратно симметрична‚ т. е. элементы‚ симметричные относительно главной диагонали‚ связаны зависимостью a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

она транзитивна‚ т. е. a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

Наличие этих свойств позволяет определить все элементы матрицы парных сравнений:

После определения всех элементов матрицы парных сравнений, степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле:

Для нормализации нечеткого множества разделим все степени принадлежности на максимальное значение, т.е. на 0.3588.

μ высокий мужчина (u i) (субнормальное нечеткое множество)
μ высокий мужчина (u i) ((нормальное нечеткое множество)

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть X – универсальное (базовое) множество, x – элемент X , а R – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества X , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар
A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция, принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R , и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из X нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = μ A x / x , где μ A x – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности ), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = 0 ; 1 . Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = 0 ; 1 , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество. Степень принадлежности μ A x является субъективной мерой того, насколько элемент x ∈ X , соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A .

Носителем нечеткого множества A является четкое подмножество S A универсального множества X со свойством μ A x > 0 , т.е. S A = x ∣ x ∈ X ∧ μ A x > 0 . Иными словами, носителем нечеткого множества A является подмножество S A универсального множества X , для элементов которого функция принадлежности μ A x > 0 больше нуля. Иногда носитель нечеткого множества обозначают support A .

Если носителем нечеткого множества A является дискретное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , состоящего из n элементов, можно представить в виде объединения конечного числа одноточечных множеств μ A x / x при помощи символа ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . При этом подразумевается, что элементы x i упорядочены по возрастанию в соответствии со своими индексами, т.е. x 1 < x 2 < x 3 < … < x n .

Если носителем нечеткого множества A является непрерывное подмножество S A , то нечеткое подмножество A универсального множества X , рассматривая символ ∫ как непрерывный аналог введенного выше символа объединения для дискретных нечетких множеств ∑ , можно представить в виде объединения бесконечного числа одноточечных множеств μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x .

Пример. Пусть универсальное множество X соответствует множеству возможных значений толщин изделия от 10 мм до 40 мм с дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «малая толщина изделия», может быть представлено в следующем виде:

A = 1 / 10 ; 0,9 / 11 ; 0,8 / 12 ; 0,7 / 13 ; 0,5 / 14 ; 0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0 / 17 ; … ; 0 / 40 ,

A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40 ,

где знак суммирования обозначает не операцию арифметического сложения, а объединения элементов в одно множество. Носителем нечеткого множества A будет конечное подмножество (дискретный носитель):

S A = 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 .

Если же универсальное множество X является множеством действительных чисел от 10 до 40 , т.е. толщина изделия может принимать все возможные значения в этих пределах, то носителем нечеткого множества A является отрезок S A = 10 ; 16 .

Нечеткое множество с дискретным носителем может быть представлено в виде отдельных точек на плоскости, нечеткое множество с непрерывным носителем может быть представлено в виде кривой, что соответствует дискретной и непрерывной функциям принадлежности μ A x , заданным на универсальном множестве X (рис.2.1).

Рис.2.1. Функции принадлежности нечетких множеств с (а)-дискретным и (б)-непрерывным носителями

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … – множество целых неотрицательных чисел. Нечеткое множество ital малый можно определить как μ ital малый x = x 1 + 0,1 x 2 − 1 .

Рис.2.2. Графическое представление нечеткого множества малый

Нечеткое множество A называется конечным , если его носитель S A является конечным четким множеством. При этом, по аналогии с обычными множествами, можно говорить, что такое нечеткое множество имеет конечную мощность card A = card S A . Нечеткое множество A называется бесконечным , если его носитель S A не является конечным четким множеством. При этом счетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество с счетным носителем, имеющим счетную мощность в обычном смысле в терминах теории четких множеств, т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые однако можно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . . , причем достичь последнего элемента при нумерации принципиально невозможно. Несчетным нечетким множеством будет называться нечеткое множество со несчетным носителем, имеющим несчетную мощность континуума , т.е. если S A содержит бесконечное число элементов, которые невозможно пронумеровать натуральными числами 1,2 ,3 . . .

Пример. Нечеткое понятие «очень маленькое количество деталей» может быть представлено в виде конечного нечеткого множества A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + … с мощностью card (A) = 6 и носителем S A = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , который является конечным четким множеством. Нечеткое понятие «очень большое количество деталей» может быть представлено в виде A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – нечеткого множества с бесконечным счетным носителем S A ≡ N (множество натуральных чисел), который имеет счетную мощность в обычном смысле.

Пример. Несчетное нечеткое множество A , соответствующее нечеткому понятию «очень горячо», задано на универсальном множестве значений температур (в Кельвинах) температурой x ∈ [ 0 ; ∞) и функцией принадлежности μ A = 1 − e − x , с носителем S A ≡ R + (множество неотрицательных действительных чисел), который имеет несчетную мощность континуума.

Величина sup x ∈ X μ A x называется высотой нечеткого множества.

Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности sup x ∈ X μ A x = 1 . При sup x ∈ X μ A x < 1 субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым , если ∀ x ∈ X μ A x = 0 .

Непустое субнормальное множество всегда можно нормализовать, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение μ A x sup x ∈ X μ A x .

Нечеткое множество называется унимодальным , если μ A x = 1 только для одной точки x (моды ) универсального множества X .

Нечеткое множество называется точечным , если μ A x > 0 только для одной точки x универсального множества X .

Множеством α -уровня нечеткого множества A , определенного на универсальном множества X , называется четкое подмножество A α универсального множества X , определяемое в виде:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α , где α ∈ 0 ; 1 .

Пример. A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4 , где A 0,5 – четкое множество, включающее те элементы x упорядоченных пар μ A x / x , составляющих нечеткое множество A , для которых значение функции принадлежности которых удовлетворяет условию μ A x ≥ α .

Для множеств α -уровня выполняется следующее свойство: если α 1 ≥ α 2 , то мощность подмножества A α 1 не больше мощности подмножества A α 2 .

Элементы x ∈ X , для которых μ A x = 0,5 называются точками перехода нечеткого множества A .

Ядром нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество core A , элементы которого удовлетворяют условию core A = x ∈ X ∣ μ A x = 1 .

Границей нечеткого множества A , определенного на универсальном множестве X , называется четкое множество front A , элементы которого удовлетворяют условию front A = x ∈ X ∣ 0 < μ A x < 1 .

Пример. Пусть X = 0 ; 1 ; 2 ; … ; 10 , M = 0 ; 1 . Нечеткое множество несколько можно определить на универсальном множестве натуральных чисел следующим образом: несколько = 0,5 / 3 + 0,8 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 0,8 / 7 + 0,5 / 8 ; его характеристики: высота = 1 , носитель = 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 , точки перехода = 3 ; 8 , ядро = 5 ; 6 , граница = 3 ; 4 ; 7 ; 8 .

Нечеткое множество A , определенное на универсальном множестве X , называется выпуклым , если μ A x ≥ min μ A a ; μ A b ; a < x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

Рис.2.3. Функции принадлежности выпуклого и невыпуклого нечетких множеств