Формула расстояние изображения до выпуклого сферического зеркала. Оптические системы

18-06-2012, 13:01

Описание

Вогнутые зеркала . Замечательным свойством вогнутых зеркал является их способность давать следующие изображения: увеличенное, уменьшенное или равное по величине предмету, прямое или перевернутое, действительное или мнимое. Тот или иной характер изображение предмета приобретает в зависимости от того, как предмет расположен относительно оптической оси, фокуса и центра кривизны зеркала.

В настоящее время наиболее широкое распространение в практике имеют сферические и параболические вогнутые зеркала , которые могут быть применены и для создания некоторых оптических иллюзий.

Сферическое зеркало , тонкое стеклянное или металлическое, имеет единый центр кривизны, совпадающий с центром окружности, образующей отражающую поверхность, а фокус осевых лучей находится на половине радиуса, совмещенного с оптической осью зеркала.

Параболическое зеркало образуется чаще всего вращением ветви параболы вокруг оси, являющейся в этом случае оптической осью зеркала. На этой оси на расстоянии, равном половине параметра параболы от ее вершины, находится фокус отражателя. Если у сферического зеркала различные участки его поверхности или кольцевые зоны имеют фокус в разных точках (явление сферической аберрации), то у параболического зеркала (теоретически без-аберрационного) точка фокуса является единственной для всех элементов его поверхности.

Если перед сферическим зеркалом на расстоянии, большем, чем его фокусное расстояние, но меньшем, чем радиус кривизны, поместить какой-нибудь хорошо освещенный предмет, то на некотором удалении от зеркала в воздухе без экрана с определенного места можно будет видеть действительное, увеличенное, перевернутое изображение предмета . Это изображение будет тем дальше от зеркала и тем более увеличено, чем ближе будет находиться предмет к фокусу зеркала.

Простейшие сферические зеркала из металла умели изготовлять еще в Древней Греции и в древнем Риме и указанным выше свойством этих зеркал пользовались жрецы, показывая чудо «явления богов» народу.

Из исторических документов известно, что в 1700 г. имел распространение религиозный фокус - явление младенца Христа. Его описание гласит: «Перед вогнутым зеркалом, представлявшим собой большой сферический сегмент, была подвешена за ногу на волосе хорошо вылепленная восковая фигура младенца Христа таким образом, что она не была заметна для публики - для чего непосредственно за местом изображения фигуры (в пространстве) была установлена мраморная колонна. При рассматривании с известного места можно было видеть изображение младенца, стоящего на колонне. Однако при попытках дотронуться до изображения вместо фигуры ощущали воздух, что еще более увеличивало удивление непосвященных» .

На рис. 164

Рис. 164. Получение действительного изображения с помощью вогнутого зеркала. Цветок, «висящий в воздухе».

приведен случай применения вогнутого стекла для получения висящего в воздухе изображения цветка или букета цветов; пытаясь взять этот букет рукой, человек «хватается» за воздух.

На Выставке достижений народного хозяйства СССР в павильоне «Радиоэлектроника» можно видеть висящий в воздухе радиоприемник. Конструктор этой установки Я. А. Коробов для того, чтобы надежнее и менее заметно замаскировать приемник от наблюдателей, применил еще и полупрозрачное плоское зеркало . Здесь (рис. 165)

Рис. 165. Схема демонстрации «висящего в воздухе» радиоприемника на ВДНХ.

приемник помещен в нише, стенки которой обтянуты черным бархатом, сферическое зеркало находится сверху, а полупрозрачное зеркало расположено под углом в 45° к горизонту. Приемник хорошо освещается от арматур направленного излучения, и световой поток, отраженный от плоского зеркала, усиливает это освещение. Изображение приемника отчетливо видят все наблюдатели, а сам приемник, стенки ниши и осветительные арматуры сквозь полупрозрачное зеркало не видны.

Устройства подобного типа находят применение в рекламных установках . В этих случаях изображение рекламируемого предмета может появляться в витрине магазина и вдруг исчезать, когда освещение предмета выключается. По желанию изображение одного предмета может сменяться изображением другого, если основание, на котором укреплены рекламируемые предметы, будет поворачиваться.

Вогнутое параболическое зеркало может быть применено для этих целей с еще большим успехом, так как оно является более точным в оптическом отношении и, как правило, амальгамируется чистым серебром.

Изображение предмета, удаленного от зеркала на значительное расстояние, как у сферического, так и у параболического зеркала получается уменьшенное, действительное и перевернутое между точкой фокуса и центром кривизны. Изображение бесконечно удаленного предмета теоретически должно получиться в фокальной плоскости зеркала.

Если предмет будет находиться близко к оптической оси и на двойном фокусном расстоянии от сферического или параболического зеркала, то изображение, равное по величине предмету, перевернутое и действительное, будет находиться в той же плоскости, что и предмет .

Если предмет находится на расстоянии менее двойного фокусного , то изображение у обоих типов зеркал (действительное, перевернутое, увеличенное) будет дальше двойного фокусного расстояния.

Если предмет ближе к зеркалу, чем фокус , то образуется увеличенное прямое и мнимое изображение (за зеркалом); поэтому небольшое сферическое или параболическое зеркало может быть использовано для бритья. Изображение будет более четким, если лицо, а не зеркало будет освещаться лучше.

Интересными случаями применения вогнутых зеркал являются различные трюковые киносъемки. Не имея возможности рассмотреть здесь множество известных и уже применявшихся оптических схем трюковых киносъемок с вогнутыми зеркалами, рассмотрим следующую схему.

Пусть АВ (рис. 166)

Рис. 166. Схема демонстрации или киносъемки миниатюрной балерины или другого артиста, танцующего «на клавишах рояля».

Предмет (или человек); перед ним находятся два плоских зеркала s1 и s2, расположенные под прямым углом друг к другу. Зеркало s1 дает изображение А"В"; от него лучи падают на зеркало s2 и образуют перевернутое изображение А "В". Далее лучи падают на вогнутое зеркало s, которое дает изображение А ""В"", вторично его переворачивая. Таким образом, изображение в вогнутом зеркале оказывается уже прямым. Оно находится около фокальной плоскости зеркала. Зрителю, от которого края вогнутого зеркала скрыты, кажется, что он видит предмет свободно реющим в воздухе.

Чтобы определить необходимый размер зеркал, надо построить лучи, идущие от изображения в глаз наблюдателя, т. е. «действующие» лучи. Это производится следующим образом : от конечных точек изображения А""В"" проведем лучи к крайним действующим точкам вогнутого зеркала.

Таким образом, мы получаем световой пучок z1z2. Изображение в зеркале будет видно лишь в том случае, если глаз наблюдателя находится внутри угла, стянутого дугой z1z2. Если глаз находится вне этого угла, отраженные от зеркала к изображению лучи не могут попасть в глаз, и поэтому изображение не будет видно.

Следовательно, расположение мест для зрителей или мест установки съемочного аппарата определяется расположением зеркал . Если крайние места для зрителей, которые могут быть еще использованы, заданы, можно путем построения лучей к вогнутому зеркалу и отраженных от него на плоские зеркала, определить необходимые размеры всех зеркал.

При помощи такого приспособления можно снимать, например, в любом уменьшении людей, находящихся среди предметов, имеющих натуральную величину . Очевидно, подобные оптические приспособления применены при съемках фильма «Кащей Бессмертный», а также короткометражного фильма «Яблочко» художников И. и В. Никитченко, где матрос танцует на клавишах и крышке рояля и даже на портсигаре в руках пианиста.

По схеме, которая аналогична приведенной на рис. 166, в Германии в начале нашего века устраивались зеркальные театры живых миниатюр.

Выпуклые зеркала . Выпуклые зеркала встречаются реже, так как находят менее широкое применение в практике. Они почти не используются в технике освещения, световой сигнализации и кинопроекции.

Изображение в этом случае (рис. 167)

Рис. 167. Схема образования изображения в выпуклом зеркале.

всегда находится за зеркало м, следовательно, оно мнимое, прямое и тем меньше, чем дальше предмет находится от зеркала.

Наиболее широкое применение выпуклые зеркала имеют в автотранспорте .

Водители автобусов и автомобилей с помощью выпуклого зеркала, обращенного назад, видят догоняющие их автомашины и могут не опасаться неожиданного обгона.

В быту иногда приходится встречаться с выпуклыми зеркальными поверхностями, например никелированные или хромированные поверхности кофейника, самовара, ложки, зеркального елочного шара, шарообразного или цилиндрического графина с водой и т. п.

Рассматривая свое изображение в таком зеркале, мы видим его необычно искаженным и уродливым - то непропорционально вытянутым или расплюснутым, то с искривленными и размытыми чертами. Дело в том, что такие зеркальные поверхности, двойной и, как правило, неодинаковой кривизны, дают искаженные изображения предметов вследствие разной степени увеличения в разных плоскостях , различной резкости изображения, пространственного смещения изображения одних деталей относительно других и т. п. При этом оказывает свое влияние на качество изображения и низкая оптическая точность этих зеркальных поверхностей.

Многим известны «комнаты смеха», устраиваемые в парках культуры и отдыха или в домах культуры. В этих комнатах устанавливается ряд кривых зеркал , вогнутых и выпуклых, сферических, цилиндрических, конических, имеющих поверхности двойной кривизны (например, параболо-цилиндрические, параболо-эллиптические и др.), волнистые и составные. На рис. 168

Рис. 168. Несколько возможных форм кривых зеркал "комнаты смеха"

приведено несколько возможных форм кривых зеркал, которые могут быть, во-первых , вогнутыми или выпуклыми и, во-вторых , могут быть подвешены на стенах или установлены в рамах на полу так, что ось их может быть вертикальна или горизонтальна. Таким образом, на рис. 168 можно насчитать 16 типов кривых зеркал, кроме волнистых и составных. Посетители «комнаты смеха», медленно проходя вдоль фронта зеркал, видят, как их фигуры, изображенные в зеркалах, претерпевают самые удивительные превращения. Ваша фигура то чудовищно устремляется вверх, сужаясь и растягиваясь, то превращается в приземистого маленького человечка с брюшком и нелепо укороченными кривыми ногами. При переходе от зеркала к зеркалу весьма неожиданно и крайне причудливо меняется форма головы и черты лица. Неожиданность и нелепость этих превращений не могут не вызвать улыбки, и в комнате царит громкий смех.

Эти свойства кривых зеркал были известны достаточно давно и первые шаги к их изучению начались с получения так называемых анаморфоз , т. е. неправильных, искаженных определенным образом рисунков, изображения которых в некоторых кривых зеркалах представляют собой правильные по форме и известные всем фигуры.

Так, в 1657 г. профессор математики Каспар Шотт издал трактат по оптике, где, между прочим, привел ряд рисунков-анаморфоз и показал, как с помощью кривых зеркал можно получить отражение их в виде правильных фигур. В трактате особенно интересными были анаморфозы для конических зеркал . Например, некоторое непонятное сочетание линий на периферических участках (рис. 169)

Рис. 169. Анаморфоза бабочки.

в коническом зеркале, поставленном в центре рисунка, создает изображение красивой бабочки, видимое сверху. На рис. 170

Рис. 170. Анаморфоза ножниц в коническом зеркале (слева) и клоуна в цилиндрическом зеркале (справа).

слева приведен рисунок-анаморфоза, дающая в коническом зеркале изображение ножниц, а справа - анаморфоза, позволяющая в цилиндрическом зеркало видеть изображение клоуна.

Профессор К. Шотт, приводя анаморфозы, не мог изложить геометрическую теорию их образования. Только в результате развития оптики и начертательной геометрий в XIX в. появилась возможность производить теоретический анализ любой анаморфозы и получать их геометрическим построением для любых зеркал.

Так, например, нарисовав окружность несколько большего радиуса, чем радиус зеркального конуса (рис. 171,левый),

Рис. 171. Анаморфоза круга (слева) и квадрата (справа) в коническом зеркале.

пририсуем к ней извне восемь радиальных отрезков прямых. Поставив на этот рисунок зеркальный конус, мы увидим, что на изображении отрезки прямых будут направлены к центру окружности.

Изображение вывернулось наизнанку, как перчатка . Еще более интересное превращение получит квадрат в коническом зеркале. В этом случае (рис. 171, правый) каждая из сторон квадрата будет видна как правильная незамкнутая дуга окружности. Прямоугольник и ромб дадут на изображении несимметричные дуги. Если сегменты круга, описывающего квадрат или ромб, окрасить, то и внутренние области дугообразных изображений будут окрашены.

Таким образом, в настоящее время можно, пользуясь известными законами оптики и начертательной геометрии, заранее определить анаморфозу любого графика или фигуры с целью использования этого интересного явления не только для развлечения, но и для практики.

При съемках широкоэкранных кинофильмов пользуется иногда той же киносъемочной аппаратурой, что и в обычных условиях. В этом случае с помощью особого оптического прибора - анаморфозной приставки (основой которой является плоско-цилиндрическая линза) - изображение сужается до размеров обычного кадра. При демонстрации фильма (рис. 172)

Рис. 172. Пример применения анаморфозной приставки при съемках Большого театра и при демонстрации его изображения на экране.

подобная же приставка устанавливается на кинопроекционный аппарат и развертывает кадр по ширине, доводя его до требуемых размеров.

Выпуклые и особенно вогнутые зеркала имеют широкое применение в практике театрального освещения и киносъемок , где в очень многих случаях от формы зеркала зависит форма светового пятна на сцене или на декорации. Из элементарной оптики известно, что выпуклое гиперболическое зеркало является идеальным рассеивателем светового потока.

Получение различных по очертанию пятен возможно благодаря применению именно двухпрофильных зеркал . Так, например, для получения веерообразных пучков лучей, простирающихся в горизонтальной плоскости от 90 до 120° и более и относительно узких в вертикальной плоскости, лучше всего применять параболо-цилиндрические отражатели (см. рис. 168) с софитными или трубчатыми лампами, расположенными вдоль фокальной линии. Для получения горизонтальных или вертикальных полос большой яркости удобнее всего применять параболо-эллиптические отражатели (см. рис. 168).

Для образования еще более сложных форм световых пятен используют специальные линзы или призмы , так как применение любых по форме диафрагм на световых отверстиях приборов прожекторного типа с рефлекторами не может принести желаемых результатов. Таковы особые законы формирования изображения источника света оптической системой этих приборов.

Любую окраску световому пятну или изображению, сформированному кривым зеркалом, можно придать, если между предметом и его изображением в зеркале поместить соответствующий цветной светофильтр .

Пример изображения в выпуклом зеркале.
Художник Пармиджанино. Автопортрет в выпуклом зеркале.
1524г. Вена

В жизни вы часто видели своё искаженное отражение на выпуклой поверхности, например, никелированного чайника или кастрюли. Интересно наблюдать за изменением своего отражения в обыкновенной полированной ложке, если поворачивать ее то вогнутой, то выпуклой стороной.

Сферическое зеркало представляет собой часть поверхности шара и может быть вогнутым или выпуклым. Хотя принято считать, что зеркала должны быть стеклянными, на практике сферические зеркала чаще делают металлическими.

Как же формируется изображение предмета в сферических зеркалах?

Изображение предметв в вогнутом зеркале.

Точка фокуса зеркала (F)расположена в середине отрезка, соединяющего центр кривизны сферической поверхности зеркала (O) и вершину зеркала точку M. Фокусное расстояние зеркала равно f = R/2.

Пучок лучей, падающий на вогнутое зеркало параллельно оптической оси, после отражения собирается в точке фокуса.

Если предмет находится на расстояниях от вогнутого зеркала, превышающих фокусное расстояние, изображение предмета действительное и перевернутое.

Если предмет расположен между фокусом и вершиной зеркала, то его изображение получается мнимым, прямым и увеличенным. Оно будет находиться за зеркалом.

Изображение предмета в выпуклом зеркале.

Пучок лучей, падающий на выпуклое зеркало параллельно оптической оси, отражается так, как будто все лучи выходят из точки фокуса, находящейся за зеркалом на расстоянии R/2 .

Независимо от расположения предмета его изображение в выпуклом зеркале является мнимым, уменьшенным и прямым.

Примеры применения сферических зеркал.

В оптических приборах применяются зеркала с различной отражающей поверхностью: плоские, сферические и более сложных форм. Неплоские зеркала подобны линзам, имеющим свойство увеличивать или уменьшать изображение предмета по сравнению с оригиналом.

Вогнутые зеркала.

В наше время вогнутые зеркала чаще используются для освещения. В карманном электрическом фонарике стоит крошечная лампочка всего в несколько свечей. Если бы она посылала свои лучи во все стороны, то от такого фонарика было бы мало пользы: его свет не проникал бы дальше одного-двух метров. Но за лампочкой поставлено маленькое вогнутое зеркальце. Поэтому луч света от карманного фонаря прорезывает темноту на десять метров вперед. Однако, в фонаре имеется еще и маленькая линза - перед лампочкой. Зеркальце и линза помогают друг другу создавать направленный луч света.

Так же устроены и автомобильные фары и прожекторы, рефлектор синей медицинской лампы, корабельный фонарь на верхушке мачты и фонарь маяка. В прожекторе светит мощная дуговая лампа. Но если бы вынули из прожектора вогнутое зеркало, то свет лампы бесцельно разошелся бы во все стороны, она светила бы не на семьдесят километров, а всего на один-два...

Особенно сложно устроен фонарь маяка. В древности самым мощным маяком был Александрийский маяк - последнее из чудес света, связанное с именем Александра Македонского. Согласно легенде, на Александрийском маяке находилось огромное зеркало, при помощи которого можно было видеть корабли, отплывавшие из Греции. Маяк находился в городе Александрия, основанном в 332 году до н.э. в дельте Нила. На подходе к городу на острове Фарос было решено построить маяк. Маяк получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. На башне находилось множество остроумных технических приспособлений: флюгера, астрономические приборы, часы. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами ротонде, горел вечно громадный костер. Но и большой костер дает не так уж много света. К тому же свет его расходился бы во все стороны и должен был бы быстро терять свою силу. Можно предположить, что огонь костра отражался с помощью большого вогнутого металлического зеркала с линзой. Вогнутое зеркало отбрасывало все лучи в одном направлении, и благодаря этому свет маяка значительно усиливался. Дрова для костра доставлялись наверх по спиральной лестнице, такой пологой и широкой, что по ней на стометровую высоту въезжали повозки, запряженные ослами.
С падением римской империи он перестал светить, обвалилась верхняя башня, а стены нижнего этажа разрушились после землетрясения в 14 веке. Руины древнего маяка были встроены в турецкую крепость и в ней существуют поныне.

Английский ученый Исаак Ньютон использовал вогнутое зеркало в телескопе. И в современных телескопах также используются вогнутые зеркала.

А вот вогнутые антенны радиотелескопов очень большого диаметра состоят из множества отдельных металлических зеркал. Например, антенна телескопа РАТАН-600 состоит из 895 отдельных зеркал, расположенных по окружности. Конструкция этого телескопа позволяет одновременно наблюдать несколько участков неба

Выпуклые зеркала.

Такие выпуклые небьющиеся зеркала часто можно увидеть на улицах города и в общественных местах.

Установка дорожных зеркал на дорогах с ограниченной видимостью позволяет обезопасить автотранспорт и людей. Эти зеркала оснащены по контуру светоотражающими элементами и светятся в темноте, отражая свет фар автомашин.

Купольные зеркала для помещений представляют собой зеркальную полусферу, с углом обзора, достигающим 360 градусов. При этом зеркало крепится в основном на потолке.

Оптика

Раздел физики, изучающий световые явления, выясняющий природу света, устанавливающий свойства света, закономерности его излучения, распространения и взаимодействия с веществом, называется оптикой.

Оптика подразделяется на следующие разделы; фотометрия, геометрическая оптика, физическая оптика.

Основы фотометрии

Свет - это электромагнитное излучение, воспринимаемое глазом.

Световой поток

Для оценки световой энергии по зрительному восприятию используют понятие светового потока. Энергию светового излучения можно оценить визуально (глазом) или фотоэлементом.

Световой поток характеризует (по зрительному ощущению) световую энергиюW , переносимую через какую-либо поверхность за времяt .

Световой поток - это мощность, оцениваемая визуально.

Точечный источник света

Равномерно излучает свет по всем направлениям. Размеры его много меньше расстояния, на котором оценивается его действие.

Телесный угол

.

Угол, существующий вокруг точки и опирающийся на всю площадь сферы (
), называют полным телесным углом:

Если
, то
1 ср.

Сила света

- энергетическая характеристика источника света.

Е
диница силы света в СИ - кандела (кд).

Единица светового потока

.

Выражается в люменах.

Полный световой поток

, так как
ср.

Освещенность (Е )

Скалярная физическая величина, измеряемая отношением светового потока к площади S равномерно освещенной поверхности:

.

Единица освещенности

В СИ выражается в люксах.

Д
ля измерения освещенности используется люксомер.

Законы освещенности

1. Освещенность поверхности лучами, падающими перпендикулярно, пропорциональна силе света I и обратно пропорциональна квадрату расстоянияr 2 от источника до освещенной поверхности:

E =I /r 2 .

2. Освещенность поверхности пропорциональна косинусу угла падения луча на эту поверхность.

3
.
.

Сравнение силы света двух источников

Для практического определения силы света источника используют фотометр, схема которого показана на рисунке.

Если E 1 =E 2 то при расстоянияхr 1 иr 2

,
.

Яркость

Характеризует световой поток, который излучается единицей площади в перпендикулярном направлении в пределах единичного телесного угла:

,

так как
,
, гдеS п - светящаяся поверхность. Единица яркости в СИ - нит: 1 нт = 1 кд/м 2 .

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика изучает законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче.

Прямолинейное распространение света происходит в однородной среде.

Световой луч - линия, указывающая направление распространения световой энергии.

П
рямолинейностью распространения света объясняется образование тени и полутени.

П
ри малых размерах источника (светящаяся точка) получается только тень.

При больших размерах источника света создаются нерезкие тени (тень и полутень).

С
корость света

Астрономический метод измерения скорости света

М
етод Ремера (1676). Когда Земля очень близко подошла к Юпитеру (на расстояниеL 1), промежуток времени между двумя появлениями спутникаU 0 оказался 42 ч 28 мин; когда же Земля удалилась от Юпитера на расстояниеL 2 , этот промежуток времени увеличился на 22 мин. Объяснение Ремера: увеличение промежутка времени идет за счет того, что свет проходит дополнительное расстояние Δl =L 2 –L 1 . Он определил, что скорость света:
= 300 000 км/с.

Лабораторный метод измерения скорости света

Метод Физо (1849):

= 313 000 км/с, гдеZ - количество зубьев;ω - угловая скорость,L - расстояние от зубчатого колеса до зеркала.

По современным данным, в вакууме c = (299792456,2 ± 0,8) м/с.

О
птические явления на границе раздело двух сред

Отражение и поглощение падающего на тело излучения зависит от рода вещества, состояния поверхности, состава излучения и угла падения.

О
тражение света

Диффузное, или рассеянное, отражение позволяет нам видеть тела.

Зеркальное отражение.

Законы отражения света

1. Луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с перпендикуляром к отражающей поверхности.

2. Угол отражения луча равен углу его падения (α =γ ). Световые лучи обладают свойством обратимости.

И
зображение в плоском зеркале

И
зображение любого предмета в плоском зеркале (мнимое и прямое) равно по размерам самому предмету и расположено относительно зеркала симметрично предмету.

Из множества лучей, падающих из точки S на зеркалоMN , выделим для простоты три луча:SO ,SO 1 ,SO 2 . Каждый луч отразится от зеркала под таким же углом, под каким падаем на зеркало. Если продолжить отраженные лучи за зеркалоMN , то они сойдутся в точкеS" . Глаз воспринимает их как бы исходящими из точкиS" и видит там точкуS .

Сферическое зеркало

С
ферическое зеркало представляет собой поверхность шарового сегмента, зеркально отражающего свет. Если отражение идет от внутренней поверхности сегмента, то зеркало вогнутое; если-от внешней, то зеркало выпуклое.

Вогнутое зеркало собирающее, выпуклое рассеивающее.

Центр О сферы -оптический центр зеркала. ВершинаС -полюс .

OB -OC -R - радиус кривизны сферического зеркала.

Любую прямую, проходящую через оптический центр, называют оптической осью. Оптическая ось, проходящая через полюс зеркала,- главная оптическая ось.

Диаметр КМ окружности, ограничивающей зеркало, называют отверстием зеркала.

Главный фокус сферического зеркала

Т
очкаФ , в которой пересекаются лучи, параллельные главной оптической оси, называется главным фокусом.

У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого мнимый, т. е. пересекаю!ся продолжении отраженных лучей.

ФС -фокусное расстояние F . У вогнутого оно +F , у выпуклого –F .

Плоскость ММ", проходящую через главный фокус зеркала перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальной плоскостью.

Е
сли побочные оси составляют небольшой угол с главной оптической осью, то все фокусы зеркала располагаются в фокальной плоскости (для вогнутого и выпуклого зеркал).

Связь F с R

Л
учAA 1 , параллельный главной оптической оси зеркала, после отражения идет по путиА 1 Ф . Соединяем точкуA 1 , сО . Из законов отражения следует, что2=3. Так какA 1 A ||OC , то1 =2. Следовательно,1 =3 и ΔA 1 ФО равнобедренный, т.е.А 1 Ф =ФО ,А 1 Ф ≈СФ . ТочкаФ делитR , т.е. делитОС пополам:
. Из законов отражения следует, что луч падающий и луч отраженный в сферическом зеркале обладают обратимостью. Лучи, падающие на зеркало параллельно одной из его побочных оптических осей, после отражения собираются в фокусе зеркала.

Формулы сферического зеркала

- для вогнутого зеркала;

- для выпуклого зеркала, гдеd (на рис.SC ) - расстояние от предмета до зеркала,φ (на рис.S"C ) - расстояние от изображения до зеркала,F (на рис.FС ) - фокусное расстояние.

Оптическая сила сферического зеркала

,
,
, гдеR - радиус сферического зеркала.

Единица в СИ-диоптрия:
.

Линейное увеличение

, гдеh - высота предмета,H - высота изображения.

Построение изображения

Для построения изображения точки 1 пользуются любыми двумя из трех лучей. Луч 1 проводится параллельно главной оптической оси. После отражения от зеркала проходит через главный фокусФ .

Луч 2 проводится черезФ . После отражения от зеркала он идет параллельно главной оптической оси зеркала.

Луч 3 проводится через сферический центрО зеркала. После отражения он идет обратно к точкеА по той же прямой. В точке пересечения отраженных лучей от зеркала (1 ,2 ,3 ) получим изображение точкиА .

Примеры построения изображений предметов, создаваемых сферическими зеркалами

В
зависимости от расстоянияd , на котором находится предмет от зеркала, возможны следующие случаи построения для вогнутого зеркала:

при d = ∞ изображение оказывается действительным в виде точки в фокусе;

при 2F <d < ∞ изображение действительное, перевернутое, уменьшенное;

при d = 2F изображение действительное, перевернутое, равное предмету;

при F <d < 2F изображение действительное, перевернутое, увеличенное;

при d =F изображение не существует (в бесконечности);

при d <F изображение мнимое, прямое, увеличенное.

В выпуклом зеркале изображение всегда мнимое, уменьшенное, прямое.

Преломление

На границе раздела двух сред падающий световой поток делится на две части.

Датский астроном и математик В. Снелл до X. Гюйгенса и И. Ньютона в 1621 г. экспериментально открыл закон преломления света:

.

Абсолютный показатель преломления данной среды
.

Если
, то
.

Если
, то
.

Применим принцип Гюйгенса для вывода закона преломления света.

Р
аспространение падающих и преломленных лучей.MM" - граница раздела двух сред; лучиA 1 A иВ 1 В падающие лучи;AA 2 иBB 2 преломленные лучи;α - угол падения;β - угол преломления:

где – постоянная величина для двух сред.

Таким образом,

.
,
.

Преломление света подчиняется двум законам:

1. Луч падающий и луч преломленный лежат в одной той плоскости с перпендикуляром, восставленным в точке падения луча к поверхности раздела двух сред ;

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух данных сред есть величина постоянная (для монохроматического света) .

П
олное отражение

П

ри дальнейшем увеличении угла падения преломленный луч исчезает, а яркость стекла на пути распространения отраженного луча становится та кой же, как и на пути падающего луча.

Предельный угол α пр для сред воздух - стекло:
,
,
,α пр = 42°

Для алмаза (n = 2,42)α пр = 25°, для сред вода (n 2 = 1,33) - стекло (n 2 = 1,5):

,
,α пр = 60°.

Угол падении, которому соответствует угол преломления 90°, называют предельным углом падения (α пр).

Оборачивающая призма.	Поворотная призма.

Явление полного отражения света используется в призмах, в волоконной оптике (световодах).

Световод - стеклянное волокно цилиндрической формы, покрытое оболочкой из прозрачного материала с показателем преломления меньше чем у волокна. За счет многократного полного отражения свет может быть направлен по изогнутому пути.

Поворотные и оборачивающие призмы применяют в перископах, биноклях, киноаппаратах, а также часто вместо зеркал.

Линзы

П
розрачное для света тело, ограниченное выпуклыми или вогнутыми преломляющими поверхностями, называется линзой.

Собирающие (положительные) линзы

Двояковыпуклые (1 ), гдеО 1 О 2 - главная оптическая ось,R 1 R 2 - радиусы кривизны поверхности, плоско-выпуклые (2 ), выпукло-вогнутые (3 ).

Рассеивающие (отрицательные)

Вогнуто-выпуклые (4 ), двояковогнутые (5 ), плоско-вогнутые (6 ).

Линзы, у которых середины толще, чем края, называют собирающими, а у которых толще края - рассеивающими.

Эти условия выполняются, если показатель преломления стекла, из которою изготовлена линза, больше показателя преломления среды, в которой используется линза

Главные фокусы и фокусное расстояние линзы

Точка F на главной оптической оси, в которой пересекаются после преломления лучи, параллельные этой оси, называется главным фокусом.

У собирающей линзы фокусы действительные, у рассеивающей мнимые, OF - фокусное расстояние. Его обозначают буквойF . У собирающей линзы +F , у рассеивающей -F .

Плоскость, которая перпендикулярна главной оптической оси линзы, а также проходи! через ее главный фокус, называется фокальной: М 1 М 2 иМ 3 М 4 .

П
обочный фокусF" - это точка на фокальной плоскостиМ 3 М 4 в которой собираются лучи, падающие на линзу параллельно побочной оси

Оптическая сила линзы
.

Единица оптической силы линзы в СИ - диоптрия.

Оптическая сила линзы определяется кривизной ее поверхности, а также показателем преломления ее вещества относительно окружающей среды:
, гдеR 1 иR 2 - радиусы сферических поверхностей линзы;n - относительный показатель преломления.

Вывод формулы тонкой линзы

И
з подобия треугольников, заштрихованных одинаково, следует

и

откуда
,df =dF +Ff ,

df =F (d +f ),
.

или

где d - расстояние предмета от линзы;f - расстояние от линзы до изображения;F - фокусное расстояние. Оптическая сила линзы равна:
.

При расчетах числовые значения действительных величин всегда подставляются со знаком «плюс», а мнимых - со знаком «минус».

Линейное увеличение

.

И
з подобия заштрихованных треугольников следует

,
.

Построение изображений светящейся точки, расположенной на главной оптической оси линзы

1
. В собирающей линзе точкаS находится между главным фокусом и точкойО , т.e.d <F . Проведем побочную осьOA параллельно произвольному лучуSA , а затем прямуюАА 1 до пересечения с главной оптической осью в точкеS 1 . Луч, идущий вдоль главной оси, проходит линзу не преломляясь, поэтому изображение точкиS будет находиться на главной оси в точке пересечения с прямойАА 1 .

2

. В рассеивающей линзе точкаS находится за главным фокусом, т. е.d >F . Так как все лучи после преломления в линзе сходятся в точкеS 1 то достаточно установить, где пересекутся два луча. Найдем ход произвольного лучаSA после линзы. Для этого из точкиО проведем побочную оптическую ось параллельно лучуSA . Она пересечет фокальную плоскость в точкеA 1 . Прямая, проведенная через точкиA иA 1 устанавливает ход луча SA после преломления в линзе. Продолжив прямуюAA 1 до пересечения с главной оптической осью, получим изображениеS 1 точкиS .

Собирающая линза

Точка находится на побочной оптической оси. Линза создает ее изображение на той же оси.

Изображение действительное.

Изображение мнимое (для собирающей линзы и рассеивающей).

И
зображение действительное, уменьшенное, перевернутое.

Изображение мнимое, прямое, увеличенное.

Рассеивающая линза

Рассеивающая линза всегда дает изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

Изображение мнимое, прямое, уменьшенное.

Мнимое изображение

Глаз

Глаз - это 90% информации, система линз. Диаметр глаза ~ 23 мм.

С
остоит из склеры1 (защитная оболочка из эластичной ткани), роговицы2 , камеры3 (полость, заполненная прозрачной жидкостью), сосудистой оболочки4 , радужной оболочки5 , отверстия6 (зрачокd от 2 до 8 мм), хрусталика7 (n =1,44), мышц, изменяющих оптические свойства глаза8 , прозрачной студенистой массы9 (глазное дно), сетчатки10 (7 млн. колбочек, 130 млн. палочек, которые реагируют на свет разной частоты неодинаково), разветвлений зрительного нерва11 .

О
сновные свойства глаза

Аккомодация - свойство глаза, обеспечивающее четкое восприятие разноудаленных предметов. Изменяется главный фокус глаза от 16 до 13 мм. Оптическая сила глаза от 60 до 75 дптр.

Предельный угол зрения φ 0 =1´. С приближением предмета увеличивается угол зренияφ 0 , под которым мы видим две близкие точки предмета.

Адаптация - приспосабливаемое к различным условиям освещенности: d зр от 2 до 8 мм,S зр изменяется в 16 раз.

Поле зрения. По оси ОХ 150°, по осиOY 125°.

Спектральная чувствительность от 380 до 760 нм. Самая большая чувствительность λ = 555 нм (зеленый цвет).

О
строта зрения - свойство глаза раздельно различать две близкие точки.

Расстояние наилучшего зрения d 0 = 250мм. Дальние предметы глаз видит без напряжения.

Недостатки глаза

Г
лаз не может создать резкое изображение на сетчатке.

Дальнозоркость - дефект зрения, состоящий в том, что изображение предмета в ненапряженном состоянии глаза получается за сетчаткой.

При рассматривании близких предметов предел аккомодации исчерпывается при расстоянии больше 25 см. Исправляется ношением очков с собирающими линзами , гдеF г - фокусное расстояние глаза;F c - фокусное расстояние системы глаз - очки.

Б
лизорукость - дефектзрения , когда глаз в ненапряженном состоянии создает изображение удаленного предмета не на сетчатке, а перед ней т.е. не можем видеть удаленные предметы. Исправляется ношением очков с рассеивающими линзами

П
одбор очков

,
,
, гдеf - глубина глаза;d гл – расстояние, на которое видит глаз без очков;d 0 - 25 см – расстояние наилучшего зрения глаза;
.

Близорукость и дальнозоркость могут быть исправлены с по мощью современной хирургии по изменению формы роговицы или хрусталика

Оптические приборы

Лупа

Увеличить угол зрения можно, используя лупу, микроскоп:

Т
ак какОВ 2 =d 0 , aОВ 1 ≈F , то
.

Сферические зеркала подразделяются на выпуклые и вогнутые или соответственно отрицательные и положительные, которые разли­чаются между собой лишь знаком радиуса кривизны. Фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого – мни­мый. Точка главного фокуса сферического зеркала расположена на середине между центром сферы и ее вершиной, т.е. при равенстве показателей преломления пространства предметов и пространства изображений: ƒ‌‌ = ƒ"= r/2 . Главные плоскости Н и Н" при этом совпадают и касательны к сферической поверхности. Построение изображения сферическим зеркалом можно выполнить графическим методом. Для такого построения изображения исполь­зуют лучи, ход которых заранее известен:

Луч, идущий в про­странстве предметов параллельно оптической оси;

Луч, про­ходящий через передний фокус;

Луч, направленный по радиусу кривизны.

Первый луч, отразившись от зеркала, пройдет через его фокус, второй – выйдет параллельно оптической оси, третий отразится в том же направлении.

Рассмотрим построение изображения предмета в вогнутом зеркале для нескольких вариантов положений предмета:

Вариант 1. При этом, как и для сферической линзы (случай 1), предмет бесконечно удален от сферического зеркала (находится на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние зеркала), т.е. а ® ¥ (рис. 11). В этом случае действительное изображение предмета в виде точки будет находится в главном фокусе зеркала. Покажем на этом же рисунке наличие продольной сферической аберрации в вогнутом зеркале, т.е. когда точки F 1 , F 2 , F 3 , F 4 являются фокусами лучей I, II, III, IV, а чем ближе луч к главной оптической оси зеркала, тем ближе его фокус к главному фокусу зеркала. При отсутствии сферической аберрации все лучи сойдутся в точке главного фокуса F.

Рис. 11. Построение изображения сферическим зеркалом при размещении предмета на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние а ® ∞.

Вариант 2. В этом случае предмет находится на конечном расстоянии от оптического центра О сферического зеркала (Рис. 12), т. е. 2f < a < ¥. Изображение предмета будет действительным, перевернутым, уменьшенным и находится между фокусом и оптическим центром зеркала.

Рис. 12. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии 2f < a < ¥.

Вариант 3. Предмет находится в точке оптического центра сферического зеркала (Рис. 13), т. е. a = 2f . Изображение предмета – действительное, перевернутое, равное предмету и находится также в оптическом центре зеркала.

Рис. 13. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = 2f .

Вариант 4. Предмет находится между оптическим центром вогнутого сферического зеркала и точкой главного фокуса (Рис. 14), т.е. f < a < 2f . Изображение предмета будет действительным, перевернутым, увеличенным и находится за оптическим центром зеркала.

Рис. 14. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии f < a < 2f .

Вариант 5. Предмет находится в точке фокуса сферического зеркала (Рис.15), т.е. a = f . Изображение предмета – перевернутое и находится в бесконечности.

Рис. 15. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = f .

Вариант 6. Предмет находится между главным фокусом и главной плоскостью сферического зеркала, т.е. a < f . Изображение предмета – мнимое, прямое, увеличенное.

Рис. 16. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии a < f .

Аналогично вогнутому зеркалу можно построить изображения предмета в выпуклом зеркале.

Рис. 17. При расположении предмета АВ перед зеркалом на любом расстоянии не равном нулю изображение А"В" получается мнимым и находится за зеркалом.

Рис. 18. Если предмет АВ находится в вершине зеркала, то изображение А"В" также будет в вершине (предмет находится в главной плоскости Н, следовательно, изоб­ражение будет в этой же плоскости, так как у зеркала главные плоскости Н и Н" совмещены).

Рис. 19. Предмет АВ - за зеркалом, между верши­ной и точкой F, изображение А"В" – перед зеркалом (в этом случае предмет - мнимый, а изображение - действительное).

Рис.20. Предмет АВ в точке главного фокуса F, изображение – в бесконечности.

Рис. 21. Предмет АВ за точ­кой главного фокуса F, изображение А"В" – за зеркалом (предмет и изображение мнимые).

Разновидностью сферических линз являются концентрические линзы, у которых центры кривизны поверхностей находятся в одной точке, и телескопические линзы (Рис. 22), преобразующие параллельные лучи, падающие на них, также в параллельные при их выходе из линзы.

Рис. 22. Разновидности телескопических линз.

Телескопическая двояковыпуклая линза переворачивает пучек лучей (простейшая система Кеплера), а выпукло-вогнутая телескопическая линза является простейшей системой Галилея, не переворачивающая пучек параллельных лучей. Для этих линз справедливы следующие соотношения:

ƒ" 1 = nr 1 / (n-1); ƒ" 2 = nr 2 / (n-1); ƒ" 1 - ƒ" 2 = d.

Мы рассмотрели оптическое действие отдельно для каждого элемента со сферическими поверхностями. Но еще есть волоконные, несферические, нецентрированные и растровые оптические элементы и системы, которые широко применятся в современных оптических и светотехнических приборах и о которых недостаточно информирован читатель. Мы постараемся восполнить этот пробел в следующей публикации.