Формула даламбера для волнового уравнения. Метод распространяющихся волн

Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны.

Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы, тем самым, не будем учитывать влияния отраженных волн.

Таким образом, мы приходим к задаче о свободных колебаниях неограниченной струны, которая формулируется так: решить однородное линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа

при начальных условиях

где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие другие условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Метод ее решения называется методом Даламбера или методом бегущих волн.

Уравнение характеристик распадается на два:

Характеристиками являются прямые:

Введя новые переменные , получим канонический вид уравнения колебаний:

Интегрируя это уравнение по , получим:

Интегрируя последнее уравнение по (при фиксированном значении ), будем иметь:

Полученный общий интеграл запишем, подставив и :

Учитывая начальные условия (4.19), получим:

Интегрируя уравнение (4.22), получим:

. (4.23)

Решая уравнение (4.23) совместно с уравнением (4.21) будем иметь:

, (4.24)

. (4.25)

Учитывая, что функции и определены для любого аргумента, заменяем x в уравнении (4.24) на и в уравнении (4.25) на .

Подставляя полученные выражения в уравнение (4.20), получим:

. (4.26)

Выражение (4.26) называется формулой Даламбера или решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Она показывает также существование и единственность решения данной задачи.

Выясним физический смысл полученного решения. Рассмотрим два частных случая.

Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (4.26) надо положить . Тогда

. (4.27)

Колебание можно рассматривать как наложение (суперпозицию) колебаний двух волн:

· первая волна распространяется со скоростью a вправо (прямая волна);

· вторая волна распространяется с той же скоростью влево (обратная волна).

В начальный момент времени t = 0 профили обеих волн совпадают и повторяют начальное отклонение струны с половинной амплитудой.

Пусть теперь начальное смещение , а отлично от нуля в промежутке , а вне этого промежутка . В таком случае говорят, что струна имеет только начальный импульс (волна импульса). Тогда в соответствии с (4.26) решение имеет вид:

. (4.28)

Рассмотрим функцию

. (4.29)

Используя выражение (4.29), запишем уравнение (4.28) в виде:

То есть, по струне распространяются две волны импульса: прямая и обратная , а результирующая волна является суммой (суперпозицией) этих волн.

Вывод: действие импульса заключается в том, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, определяемый интегралом (4.28) и остаются в этом положении. Волна как бы оставляет след после своего прохождения.

Полученные результаты для колебаний бесконечной струны не могут быть применены к реальному колебанию физической струны. Действительно, при их выводе не были учтены многие факторы. В частности, опыт учит нас, что струна какой угодно длины, выведенная из положения равновесия или ударенная, колеблется. Законы колебания бесконечной струны (4.27) и (4.28) этого не показывают, потому что колебания конечной струны происходят вследствие отражения отклонений от закрепленных концов струны, а при рассмотрении бесконечной струны мы не учитываем влияния концов. Поэтому практически решения уравнений (4.27) и (4.28) применимы только для таких моментов t , для которых отклонения точек струны не успели дойти до ее концов. Кроме того, начальные функции и должны быть такими, чтобы в течение всего процесса было малой величиной, которой можно пренебречь по сравнению с единицей.

Волновое уравнение

Как было показано выше, гиперболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными (9.7) может быть при определенных условиях приведено к виду (9.43). Полагая в (9.43) с = 0, получаем простейшее гиперболическое уравнение Для определенности будем считать, что /бС(й;). В уравнении...
(Математические методы в экономике и финансах)

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнения второго порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в задачах, связанных с процессами колебаний и распространения волн в пространстве. Простейшее уравнение гиперболического типа часто называю!" уравнением колебаний струны, или волновым уравнением. К выводу этого...
(Математические методы в экономике и финансах)

Начальные и граничные условия для волнового уравнения

При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с обыкновенными и, тем более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений....
(Математические методы в экономике и финансах)

Обобщение формулы Брусова-Филатовой-Ореховой на случай наличия инфляции

При наличии инфляции необходимо все стоимости капитала: собственного, заемного и средневзвешенную к0, kd,WACC заменить эффективными k0,kd,WACC *, где Переписывая уравнение (8.8) и другие на случай наличия инфляции, получим После замены получаем Отсюда после ряда преобразований получаем обобщение...

Анализ эмпирической формулы Уолтера (без учета налогообложения)

Для иллюстрации того, что дивидендная политика зависит только от прибыльности имеющихся у компании инвестиционных возможностей, рассмотрим формулу Уолтера. Это одна из первых дивидендных моделей, на которой базируются некоторые более поздние модели. Формула Уолтера имеет вид : где Р - ...
(Современные корпоративные финансы и инвестиции)

Анализ эмпирической формулы Уолтера (с учетом налогообложения)

Рассмотрим подробнее учет налогообложения при выработке дивидендной политики компании. Перепишем формулу Уолтера (10.1) в виде : где / = Е - D - размер инвестиций, приходящийся на одну акцию. Учтем теперь ставки налогов: налог на дивидендный доход TD и налог на доход с капитала...
(Современные корпоративные финансы и инвестиции)

Формула Модильяни-Миллера

Модильяни и Миллер считают коэффициент дисконта р" по формуле где р - соответствующий дисконт фирмы при полностью собственном финансировании; L - долгосрочное, или целевое, значение доли долга в капитале, L = D/S + D. Авторы также формулируют следующие условия: 1) финансовые эффекты займа...
(Современные корпоративные финансы и инвестиции)

Рассмотрим два частных случая, которые дают представление о поведении решения уравнения, Случай 1. Пусть а график функции имеет вид, изображенный на рис. За. Будем считать для простоты, что а= 1. Тогда формула Даламбера примет вид Чтобы получить график решения и рассматриваемого как функция or х при каком-нибудь фиксированном положительном ty поступаем так: сначала начер- 1 тим два одинаковых совпадающих графи- " ка, которые получаюгся из графика у>о(х) - уменьшением вдвое каждой ординаты (пунктир на верхнем рисунке). Потом рис. з один из этих графиков передвинем, как целое, на t вправо по направлению положительной полуоси Ох> адругой - на t влево. После этого построим новый график, у которого ордината при каждом значении х равна сумме ординат двух передвинутых графиков. На рис. 3 б, 3 в и 3 г этим способом построены графики гх (х, j), u (х, j), и(х, 1) соответственно. Мы видим, что при выбранных начальных условиях в каждой точке струны после прохождения обеих волн (для точек, лежащих вне области начального смещения, - после прохождения только одной) наступает покой. СяучаЛ 2. Пусть Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи Свободные колебания однородной струны закрепленной на концах Исследование формулы Даламбера В этом случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (8) принимает вид (для простоты считаем а=1): Для каждого фиксированного х решение u(xyt) будет равно нулю до тех пор, пока пересечение интервала (x-t, х +1) с интервалом (-5»?)» где МО7*0, пусто; u(x,0 будет изменяться в течение того промежутка времени, пока увеличивающийся интервал {x-t, х 4-1) будет накрывать все большую часть интервала (-5, 3). После того, как интервал (x-t, х + t) заключит внутрь себя интервал (-5, 3), величина и(г,0 будет оставаться неизменной и равной Чтобы получить график, представляющий форму струны при различных t, поступаем следующим образом. Обозначим через Ф(г) какую-нибудь первообразную функцию для 4>\(z). Тогда Для построения графика и(х, t) вычерчиваем графики функций азатем каждый изэтихграфиковпередвигаем,какцелое,нарасстояние£ вдоль ос и Ох, первый график влево, а второй - вправо. Сложив ординаты передвинутых графиков, получим график функции ti(x, t) (рис. 5). По истечении достаточно большого промежутка времени каждая точка струны переместится и получит стационарное отклонение «ст, определяемое интегралом (9). В этом случае мы имеем, следовательно, остаточную деформацию (гистерезис). § 3. Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно поставленной задачи В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности задачи. Определение. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует в каком-то классе М\ функций; 2) решение задачи единственно в некотором классе М2 функций; 3) решениезадачи непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и т.д.). Множество М| П М2 функций называется классом корректности рассматриваемой математической задачи. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что задача Коши поставлена корректно, если функция /(х, у) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области, содержащей точку Рассмотрим задачу Коши для неограниченной струны Выше м ы установили, что решение задачи (1)-(2) 1) существует и 2) единственно. Покажем, что при непрерывном изменении начальных условий это решение изменяется непрерывно. Теорема 1. Каков бы ни был отрезок }