Физический смысл энергии ферми. Функция распределения Ферми-Дирака. Энергия Ферми

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми - это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.

1 - ; 2 - ; 3 - .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь N d - концентрация донорных уровней,n d - концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN d -n d ).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем - к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

При абсолютном нуле в каждом из состояний, энергия которых не превышает находится один электрон; в состояниях с электроны отсутствуют. Следовательно, функция распределения электронов по состояниям с различной энергией имеет при абсолютном нуле вид, показанный на рис. 52.1.

Найдем функцию распределения при температуре, отличной от абсолютного нуля.

Следуя Киттелю, рассмотрим неупругие столкновения равновесного электронного газа с атомом примеси, внедренным в кристаллическую решетку металла. Допустим, что атом примеси может находиться лишь в двух состояниях, энергию которых мы положим равной 0 и .

Из множества процессов столкновений рассмотрим тот, в результате которого электрон переходит из состояния к с энергией Е в состояние к с энергией . Атом примеси переходит при этом с уровня с энергией на уровень с энергией, равной нулю. Вероятность перехода к пропорциональна: 1) вероятности того, что состояние занято электроном, 2) вероятности того, что состояние свободно, 3) вероятности того, что атом примеси находится в состоянии с энергией е. Таким образом,

Вероятность обратного процесса пропорциональна выражению

где - вероятность того, что атом примеси находится в состоянии с энергией, равной нулю.

В силу принципа детального равновесия коэффициент пропорциональности в выражениях (52.1) и (52.2) одинаков.

В равновесном состоянии вероятности переходов должны быть одинаковыми. Следовательно,

(мы учли, что вероятности нахождения атома примеси на уровнях подчиняются закону распределения Больцмана).

Функциональное уравнение (52.3) должно выполняться при любой температуре Т. Это произойдет, если положить

где - величина, не зависящая от Е. Соответственно

Произведение этих двух выражений при любой температуре равно

Решив уравнение (52.4) относительно получим для функции распределения электронов по состояниям с различной энергией выражение

Это выражение называется функцией распределения Ферми - Дирака. Параметр носит название химического потенциала.

В соответствии со смыслом функции (52.5) величина представляет собой среднее число электронов, находящихся в состоянии с энергией Е. Поэтому формуле (52.5) можно придать вид

(ср. с (49.4)). В отличие от (49.4), параметр в распределении (52.6) имеет положительные значения (в данном случае это не приводит к отрицательным значениям чисел ). Распределение (52.6) лежит в основе статистики Ферми-Дирака.

Частицы, подчиняющиеся этой статистике, называются фермионами. К их числу относятся все частицы с полуцелым спином.

Для фермионов характерно то, что они никогда не занимают состояния, в котором уже находится одна частица. Таким образом, фермионы являются «индивидуалистами». Напомним, что бозоны, напротив, являются «коллективистами» (см. конец § 49).

Имеющий размерность энергии параметр часто обозначается через и называется уровнем Ферми или энергией Ферми. В этих обозначениях функция (52.5) имеет вид

Исследуем свойства функции (52.7). При абсолютном нуле

Таким образом, при 0 К уровень Ферми ЕР совпадает с верхним заполненным электронами уровнем (см. предыдущий параграф).

Независимо от значения температуры, при функция равна Следовательно, уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна половине.

Значение ЕР можно найти из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни, должно равняться числу свободных электронов в кристалле ( - плотность электронов, V - объем кристалла). Количество состояний, приходящееся на интервал энергий , равно где - плотность состояний. Среднее число электронов, находящихся в случае теплового равновесия в этих состояниях, определяется выражением Интеграл от этого выражения даст полное число свободных электронов в кристалле:

Это соотношение представляет собой по существу условие нормировки функции

Подстановка в (52.8) выражений (51.9) и (52.7) дает

Это соотношение позволяет в принципе найти как функцию . Интеграл в выражении (52.9) не берется. При условии, что удается найти приближенное значение интеграла. В результате для уровня Ферми получается выражение

(напомним, что ) зависит от ; см. (51.10)).

Из (52.10) следует, что при низких температурах (для которых только и справедливо это выражение) уровень Ферми хотя и зависит от температуры, но очень слабо. Поэтому во многих случаях можно полагать Однако для понимания, например, термоэлектрических явлений (см. § 63) зависимость от Т имеет принципиальное значение.

При температурах, отличных от абсолютного нуля, график функции (52.7) имеет вид, показанный на рис. 52.2. В случае больших энергий (т. е. при что выполняется в области «хвоста» кривой распределения) единицей в знаменателе функции можно пренебречь. Тогда распределение электронов по состояниям с различной энергией принимает вид

т. е. переходит в функцию распределения Больцмана.

Отметим, что заметное отличие кривой на рис. 52.2 от графика, изображенного на рис. 52.1, наблюдается лишь в области порядка Чем выше температура, тем более полого идет ниспадающий участок кривой.

Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми, равной Различают два предельных случая.

Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .

Фермионы - частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны - подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми - поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

где E F {\displaystyle E_{F}} - энергия Ферми, k {\displaystyle k} - постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} - температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми - Дирака [ ] .

Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

Вырожденный электронный газ в металле.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E < μ 0 , и =0, если E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT << E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е < Е F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . - больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, - это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е - Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана.

Энергия Фе́рми (EF) системы невзаимодействующих фермионов - это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми - одно из центральных понятий физики твёрдого тела. Физический смысл уровня Ферми: вероятность попадания частицы на уровень Ферми составляет 0,5 при любых температурах. Фермио́н (от фамилии физика Энрико Ферми) - по современным научным представлениям: элементарные частицы, из которых складывается вещество. К фермионам относят кварки, электрон, мюон, тау-лептон, нейтрино. В физике, частица (или квазичастица) с полуцелым значением спина. Фермионы подчиняются статистике Ферми - Дирака: в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична относительно перестановки двух любых фермионов. Квантовая система, состоящая из нечётного числа фермионов, сама является фермионом (например, ядро с нечётным массовым числом A; атом или ион с нечётной суммой A и числа электронов)

Примеры фермионов: кварки (они формируют протоны и нейтроны, которые также являются фермионами), лептоны (электроны, мюоны, нейтрино), дырки (квазичастицы в полупроводнике). Принцип запрета Паули ответственен за стабильность электронных оболочек атомов, делая возможным существование сложных химических элементов. Он также позволяет существовать вырожденной материи под действием высоких давлений (нейтронные звёзды).Поверхность Ферми - поверхность постоянной энергии в k-пространстве, равной энергии Ферми в металлах или вырожденных полупроводниках. Знание формы поверхности Ферми играет важную роль во всей физике металлов и вырожденных полупроводников, так как благодаря вырожденности электронного газа транспортные свойства его, такие как проводимость, магнетосопротивление зависят только от электронов вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми разделяет заполненные состояния от пустых при абсолютном нуле температур. Рис. 1. Заполнение энергетических зон при абсолютном нуле температуры: а - в диэлектриках; б - в металлах; разрешенные зоны заштрихованы, заполненные зоны или их части заштрихованы дважды. Рис. 2. Заполнение энергетических зон в полупроводнике; показаны только валентная зона и зона проводимости; чёрные кружочки - электроны в зоне проводимости, белые - дырки в валентной зоне.

15. Собственный полупроводник или полупроводник i-типа (англ. intrinsic - собственный) - это чистый полупроводник, содержание посторонних примесей в котором не превышает 10 −8 … 10 −9 %. Концентрация дырок в нём всегда равна концентрации свободных электронов. Примеры: Si, Ge Полупроводник без примесей называют собственным полупроводником или полупроводником i-типа . Он обладает собственной электропроводностью , которая складывается из электронной и дырочной. Если к полупроводнику не приложено напряжение, то электроны и дырки проводимости совершают хаотическое движение и никакого тока, разумеется, нет. Под действием разности потенциалов в полупроводнике возникает электрическое поле, которое ускоряет электроны и дырки и сообщает им еще некоторое поступательное движение, представляющее собой ток проводимости . Движение носителей заряда под действием электрического поля иначе называется дрейфом носителей , а ток проводимости - током дрейфа i др . Полный ток проводимости складывается из электронного и дырочного токов: i др = i nдр + i pдр Индексы n и p соответственно обозначают электронный и дырочный вклады. Удельная проводимость зависит от концентрации носителей и от их подвижности. В полупроводниках при повышении температуры вследствие интенсивной генерации пар носителей концентрация подвижных носителей увеличивается значительно быстрее, нежели уменьшается их подвижность, поэтому с повышением температуры проводимость растет. Для изготовления полупроводников применяют в основном германий и кремний, а также некоторые соединения галлия, индия и пр. Для полупроводников характерен отрицательный температурный коэффициент электрического сопротивления. При возрастании температуры сопротивление полупроводников уменьшается, а не увеличивается, как у большинства твердых проводников. Кроме того электрическое сопротивление полупроводников очень сильно зависит от количества примесей (и от типа примесей тоже), а также таких внешних воздействий, как свет, электрическое поле, ионизирующее излучение и т. д. (на этом основан принцип действия фотодиодов, фототранзисторов, магнитоуправляемых приборов и т. п.) Принцип работы полупроводниковых приборов связан с тем, что в полупроводниках существует электропроводность двух типов - электронная и дырочная. Электронная электропроводность характерна для металлов и обусловлена перемещением электронов проводимости. При обычных рабочих температурах в полупроводниках всегда имеются электроны проводимости, которые очень слабо связаны с ядрами атомов и совершают беспорядочное тепловое движение (колебания) между атомами кристаллической решетки. Эти электроны под действием разности потенциалов могут начать двигаться в определенном направлении. Это движение и есть электрический ток. Полупроводники обладают также дырочной электропроводностью, которая редко наблюдается в металлах. Электроны и дырки, которые могут перемещаться, а потому создавать электропроводность, называются подвижными носителями заряда или просто носителями заряда. Весь этот процесс принято называть генерация пар носителей заряда, то есть возникают пары электрон проводимости-дырка проводимости. Вследствие того, что электроны и дырки совершают хаотическое движение, обязательно происходит и процесс, обратный генерации пар носителей. Электроны проводимости снова занимают свободные места в валентной зоне (падающий сверху кружочек на рисунке), то есть объединяются с дырками. Такое исчезновение пар носителей называется рекомбинацией носителей заряда. Процессы генерации и рекомбинации всегда происходят одновременно. Рекомбинация ограничивает возрастание пар носителей, и при каждой данной температуре устанавливается определенное число электронов и дырок проводимости, то есть они находятся в состоянии динамического равновесия.Так же следует отметить, что проводимость чистых полупроводников, значительно ниже примесных. Это связанно с тем, что свободных носителей заряда в примесных значительно больше.

16. Примесные полупроводники Примесный полупроводник - это полупроводник, элек­т­ро­­­фи­зи­­чес­кие свойства которого определяются, в основном, при­ме­ся­­ми дру­гих химических элементов. Процесс вве­дения примесей в по­­лу­­про­водник называется леги­ро­ва­нием полупроводника, а са­ми при­­­­меси называют леги­ру­ю­щи­ми. Для равномерного распре­де­­ле­­ния легирующей примеси в объ­еме полупроводника ле­ги­ро­ва­­ние осу­­щест­в­ля­ет­ся в процессе вы­ращивания монокристалла по­лу­­про­вод­ника из жидкой или га­зо­образной фазы. Локальное ле­ги­­ро­ва­ние части объема полу­про­водника­, например, при­по­ве­р­х­ностной об­­ла­сти, производится методом диффузии при силь­ном нагреве полупроводника или низкотемпературными методами ион­ного ле­ги­ро­вания. Роль примесей могут играть и всевозможные дефекты стру­к­ту­ры кри­­сталлической решетки полупроводника, такие как вакан­сии, ме­ж­ду­узельные атомы, дислокации. При малой концентрации примесей (10 21 ...10 23 м -3) примесные атомы со­­з­­дают дополнительные дискретные энергетические уровни в за­­п­ре­щенной зоне полупроводника. Такой полупроводник на­зы­ва­ется не­вы­рожденным. Повышение концентрации примесных ато­­мов в полупроводнике до 10 24 ...10 25 м -3 сопровождается поя­в­ле­нием в за­пре­щенной зоне по­лу­про­водника вместо дискретных уров­ней зон при­­мес­ных уров­ней. Такие полупроводники на­зы­ва­ют вы­рож­ден­ными. Различают два основных вида примесей, которые ис­поль­зую­т­­ся для преднамеренного легирования полупроводников и соз­да­ю­­щих преимущественно электронный или дырочный тип про­во­ди­­мо­сти. Примеси, введение которых в полупроводник соз­да­­ет эле­к­т­ронный тип проводимости, называются донорными. При­­месь, соз­да­ющая дырочную про­води­мость, называется акцеп­тор­ной. Если к полупроводнику n-типа приложить электрическое поле, то каждый отрицательный носитель приобретет в этом поле ускорение, набирая скорость до тех пор, пока не рассеется на одном из донорных узлов. Это означает, что носители, которые обычно движутся случайным образом, имея при этом тепловую энергию, начнут в среднем повышать свою скорость дрейфа вдоль линий электрического поля, вызвав ток через кристалл. Скорость дрейфа, как правило, по сравнению с типичными тепловыми скоростями очень мала, так что можно, прикидывая величину тока, принять, что от столкновения к столкновению среднее время странствий носителя постоянно. Допустим, что эффективный электрический заряд отрицательного носителя равен q n . Сила, действующая на носитель в электрическом поле E, будет равна q n E. В гл. 43, §3 (вып. 4) мы как раз подсчитывали среднюю скорость дрейфа в таких условиях и нашли, что она равна Fτ/m, где F - сила, действующая на заряд; т - среднее время свободного пробега между столкновениями, а т - масса. Вместо нее надо поставить эффективную массу, которую мы подсчитывали в предыдущей главе, но поскольку нас интересует только грубый расчет, то предположим, что эта эффективная масса во всех направлениях одинакова. Мы ее здесь обозначим т n . В этом приближении средняя скорость дрейфа будет равна

Мы видим, что плотность тока пропорциональна электрическому полю; такие полупроводниковые материалы подчиняются закону Ома. Коэффициент пропорциональности между j и E, или проводимость σ, равен

Для материалов n-типа проводимость в общем не зависит от температуры. Во-первых, общее число основных носителей N n определяется главным образом плотностью доноров в кристалле (пока температура не настолько низка, чтобы позволять атомам захватить чересчур много носителей), а, во-вторых, среднее время от соударения к соударению, τ n , регулируется главным образом плотностью атомов примеси, а она, ясное дело, от температуры не зависит. Те же рассуждения можно приложить к веществу р-типа, переменив только значения параметров, которые появляются в (12.7). Если в одно и то же время имеется сравнимое количество отрицательных и положительных носителей, то вклады носителей обоего рода надо сложить. Полная проводимость определится из Для очень чистых веществN р и N n примерно равны. Они будут меньше, чем у материалов с примесями, так что и проводимость будет меньше. Кроме того, они будут резко меняться с температурой (по закону е –Е щели /xТ ), так что проводимость с температурой может меняться чрезвычайно быстро.