Глава первая. Целые показатели.

Глава первая.

Целые показатели.

255. Свойства целых положительных показателей. Показатели степени до сего времени предполагались нами целыми и положительными, причем мы им придавали смысл, выражаемый в следующем определении:

Возвысить число а в степень с целым и положительным показателем n - значит найти произведение n одинаковых сомножителей ааа...a .

Перечислим свойства этих показателей, известные нам из предыдущих глав алгебры:

1) при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются (Отдел 2 глава 3 § 53);

2) при делении степеней одного и того же числа показатель делителя вычитается из показателя делимого, если показатель делителя не больше показателя делимого (Отдел 2 глава 4 § 64);

3) всякое число, возвышенное в нулевую степень, дает 1 (Отдел 2 глава 4 § 65);

4) от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а с нечетным показателем- отрицательное (Отдел 6 глава 1 § 153);

5) чтобы возвысить в степень произведение, достаточно возвысить в эту степень каждый сомножитель отдельно (Отдел 6 глава 1 § 154, а);

6) чтобы возвысить степень в степень, достаточно перемножить показатели этих степеней (Отдел 6 глава 1 § 154,6);

7) чтобы возвысить в степепь дробь, достаточно возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель (Отдел 6 глава 1 § 154, в);

8) чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное число (Отдел 8 глава 4 § 205, г);

9) чтобы извлечь корень из степени, достаточно разделить показатель степени на показатель корня, если такое деление выполняется нацело (Отдел 6 глава 4 § 168,6).

Теперь мы расширим понятие о показателях, введя показатели отрицательные и дробные, которые до сего времени мы не употребляли. Мы увидим при этом, что все свойства целых положительных показателей сохраняются и для показателей отрицательных и дробных.

256. Отрицательные целые показатели. Мы видели (Отдел 2 глава 4 § 64), что при делении степеней одного и того же числа показатель делителя вычитается из показателя делимого в том случае, если показатель делителя не больше показателя делимого. Теперь мы условимся производить вычитание показателей и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого; тогда мы получим в частном букву с отрицательным показателем; например: а 2: а 5 = а -3 . Таким образом, число с отрицательным показателем мы условимся употреблять для обозначения частного от деления степеней этого числа в том случае, когда показатель делителя превосходит показатель делимого на столько единиц, сколько их находится в абсолютной величине отрицательного показателя. Так, а -2 означает частное а: а 3 , или а 2: а 4 , или а 3: а 5 , вообще частное а m: а m+2 .

Понимаемое в этом смысле число с отрицательным показателем равно дроби, у которой числитель есть 1, а знаменатель - то же число, но с положительным показателем, равным по абсолютной величине отрицательному показателю.

Действительно, согласно нашему условию, мы должны иметь:

Сократив две первые дроби на а m и третью дробь на x m (т. е. в обоих случаях сократив дроби на числитель), получим:

Заметим, что отрицательные показатели дают возможность представить всякое дробное алгебраическое выражение под видом целого; для этого стоит только все множители знаменателя перенести множителями в числитель, взяв их с отрицательными показателями. Например:

Само собою разумеется, что такое преобразование данного выражения в целое есть только изменение одного внешнего вида выражения, а не содержания его.

257. Действия над степенями с отрицательными показателями. Убедимся теперь, что все действия над степенями с отрицательными показателями можно производить по тем же правилам, какие были прежде выведены для показателей положительных. Достаточно обнаружить это только для умножения и возвышения в степень, так как правила обратных действий - деления и извлечения корня - составляют простое следствие правил прямых действий - умножения и возвышения.

Умножение. Предстоит показать, что при умножении степеней показатели одинаковых букв складываются и в том случае, когда эти показатели отрицательные. Например, убедимся, что:

a -2 a -3 = a -2 +(-3) = a -5

Действительно, заменив степени с отрицательными показателями дробями и произведя действие умножения по правилам, относящимся к дробям, получим:

Подобно этому:

x -4 x 3 = x -4 + 3 = x -1

Возвышение в степень. Надо показать, что при возвышении в степень показатели этих степеней перемножаются и в том случае, когда они отрицательные. Например, убедимся, чтo

(a -3 ) - 4 = a (-3) (- 4) = a 12

Действительно:

Подобно этому:

(x 3 ) - 4 = a -12

потому что

Глава вторая.

Дробные показатели.

258. В каком смысле употребляются дробные показатели.

Результат получился тот самый, какой мы получили после сложения показателей; значит, правило о сложении показателей (при умножении) можно применять и для дробных показателей.

Таким образом:

Возвышение в степень. Докажем, что при возвышении степени в степень показатели этих степеней можно перемножить и тогда, когда эти показатели дробные. Напр., убедимся, что

Действительно, заменив радикалами степени с дробными показателями, получим:

Если показатели не только дробные числа, но и отрицательные, то и тогда к ним можно применять правила, доказанные раньше для положительных показателей. Напр.:

261. Примеры на действия с дробными и отрицательными показателями.

Глава третья.

Некоторые свойства степени с рациональным показателем.

262. Допустим, что в степени а х основание а есть какое-нибудь положительное число, большее или меньшее 1, а показатель х любое рациональное число, положительное или отрицательное, целое или дробное. Кроме того предположим, что когда х есть какая-нибудь дробь, напр., 3 / 2 , т. е. когда степень а х представляет собою радикал √a 3 , то из возможных значений этого радикала мы берем только одно арифметическое, т. е. положительное.

При этих условиях степень а х обладает следующими свойствами:

а) При всяком значении рационального показателя х степень а х есть число положительное.

Действительно, если х есть целое положительное число, напр. 3 , то ах представляет собой произведение ааа положительных чисел, и потому оно положительно.

Если х есть положительная дробь, напр. 3 / 2 , то а х означает √a 3 , а мы условились из всех значений радикала брать только положительное.

Если х есть отрицательное число, напр.- 3 / 4 , то

и потому а х > 0, так как .

Наконец, если x = 0 , то а х =а 0 = 1 , т. е. тоже есть число положительное.

б) Если a >1, то при положительных значениях х степень а х больше 1, а при отрицательных - меньше 1. Если же а < 1, то, наоборот, а х < 1 при х >0 и а х >1 при х< 0.

Действительно, если х есть целое положительное число,напр. 3 , то тогда а х = а 3 = ааа . Очевидно, что если а >1 , то ааа > 1 , а если а < 1 , то ааа < 1 .

в) При возрастании показателя х степень а х возрастает, если а > 1, и убывает, если а < 1.

Пусть х имеет какое-нибудь определенное значение, напр. х = 3 . Тогда степень а х будет равна а 3 . Увеличим теперь х на какое-нибудь число, напр., вместо 3 возьмем 3,01 . Тогда вместо а 3 будем иметь а 3,01 . Чтобы узнать, какое из этих двух чисел больше, возьмем разность а 3,01 - а 3 и посмотрим, при каких условиях эта разность будет положительное число и при каких отрицательное. Разность эту можно представить так:

а 3,01 - а 3 = а 3 (а 0,01 - 1 )

Согласно свойству (а ) число а 3 > 0 ; согласно свойству (б ) число а 0,01 > 1 при а >1
и а 0,01 < 1 при а < 1. Следовательно, правая часть написанного равенства (значит, и его левая часть) при а > 1 положительна, а при а < 1 отрицательна. Поэтому в первом случае а 3,01 > а 3 , а во втором а 3,01 < а 3 .

г) Если х стремится к ∞ , то при а >1 степень а х стремится также к ∞ , а при а < 1 она стремится к 0 .

Согласно свойству (в ) при увеличении х степень а х увеличивается, если а >1 , и уменьшается, если а <1 . Теперь мы покажем, что, увеличиваясь при а >1 , число а х может сделаться больше всякого числа, как бы велико оно ни было, а уменьшаясь при «<1, оно может сделаться меньше всякого положительного числа, как бы мало оно ни было. Для этого примем во внимание, что показатель х , увеличиваясь неограниченно, проходит, между прочим, через ряд целых значений: 1, 2, 3, 4,... Тогда степень а х будет проходить через ряд таких значений:

а 1 , а 2 , а 3 , а 4 ,...

Ряд этот есть бесконечная Г. П. со знаменателем а . Если a >1 , то эта прогрессия возрастающая, а если a < 1 , то она убывающая. Как мы видели (Отдел 10 глава 3 § 251,6), в первом случае член прогрессии, удаляясь от начала ряда, может превзойти всякое число, как бы велико оно ни было: а во втором случае член прогрессии может сделаться меньше всякого положительного числа, как бы мало оно ни было. Значит, когда х стремится к ∞ , то степень а х тоже стремится к ∞ , когда а > 1 , и степень а х стремится к 0 , когда а <1 .

Таким образом, мы можем написать:

а ∞ = ∞ , если а >1 ; а ∞ = 0 , если а <1 .

1) При всяком основании функция а х положительна (все кривые расположены выше оси х - ов).

2) При а > 1 функция а х > 1 , если х > 0 , и а х < 1 , если х < 0 ; при a < 1 заключения обратны.

3) При возрастании х до + ∞ функция а х возрастает до а х , если a >1 , и убывает до 0 , если a < 1 (но никогда, однако, нуля, не достигает).

4) При убывании х до - ∞ функция а х убывает, стремясь к 0 , если a >1 , и возрастает д+ ∞ , если a < 1 .

5) Если х = 0 , то а х = 1 при всяком а (все кривые проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси y -ов на расстоянии от точки 0 на +1 ).

6) При a >1 функция при возрастании х возрастает тем быстрее, чем больше а (кривая при а = 10 поднимается вверх значительно больше, чем при а = 2 ).

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для



Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

Выражения, преобразование выражений

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

В этой статье мы поговорим о преобразовании выражений со степенями. Сначала мы остановимся на преобразованиях, которые выполняются с выражениями любых видов, в том числе и со степенными выражениями, таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. А дальше разберем преобразования, присущие именно выражениям со степенями: работа с основанием и показателем степени, использование свойств степеней и т.д.

Навигация по странице.

Что такое степенные выражения?

Термин «степенные выражения» практически не встречается школьных учебниках математики, но он довольно часто фигурирует в сборниках задач, особенно предназначенных для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, например, . После анализа заданий, в которых требуется выполнить какие-либо действия со степенными выражениями, становится понятно, что под степенными выражениями понимают выражения, содержащие в своих записях степени. Поэтому, для себя можно принять такое определение:

Определение.

Степенные выражения – это выражения, содержащие степени.

Приведем примеры степенных выражений . Причем будем их представлять согласно тому, как происходит развитие взглядов на от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем.

Как известно, сначала происходит знакомство со степенью числа с натуральным показателем, на этом этапе появляются первые самые простые степенные выражения типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.п.

Чуть позже изучается степень числа с целым показателем, что приводит к появлению степенных выражений с целыми отрицательными степенями, наподобие следующих: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

В старших классах вновь возвращаются к степеням. Там вводится степень с рациональным показателем, что влечет появление соответствующих степенных выражений: , , и т.п. Наконец, рассматриваются степени с иррациональными показателями и содержащие их выражения: , .

Перечисленными степенными выражениями дело не ограничивается: дальше в показатель степени проникает переменная, и возникают, например, такие выражения 2 x 2 +1 или . А после знакомства с , начинают встречаться выражения со степенями и логарифмами, к примеру, x 2·lgx −5·x lgx .

Итак, мы разобрались с вопросом, что представляют собой степенные выражения. Дальше будем учиться преобразовывать их.

Основные виды преобразований степенных выражений

Со степенными выражениями можно выполнять любые из основных тождественных преобразований выражений . Например, можно раскрывать скобки, заменять числовые выражения их значениями, приводить подобные слагаемые и т.д. Естественно, при этом стоит надо соблюдать принятый порядок выполнения действий . Приведем примеры.

Пример.

Вычислите значение степенного выражения 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Согласно порядку выполнения действий сначала выполняем действия в скобках. Там, во-первых, заменяем степень 4 2 ее значением 16 (при необходимости смотрите ), и во-вторых, вычисляем разность 16−12=4 . Имеем 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4 .

В полученном выражении заменяем степень 2 3 ее значением 8 , после чего вычисляем произведение 8·4=32 . Это и есть искомое значение.

Итак, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32 .

Ответ:

2 3 ·(4 2 −12)=32 .

Пример.

Упростить выражения со степенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 .

Решение.

Очевидно, что данное выражение содержит подобные слагаемые 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и мы можем привести их: .

Ответ:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Пример.

Представьте выражение со степенями в виде произведения.

Решение.

Справиться с поставленной задачей позволяет представление числа 9 в виде степени 3 2 и последующее использование формулы сокращенного умножения разность квадратов:

Ответ:

Также существует ряд тождественных преобразований, присущих именно степенным выражениям. Дальше мы их и разберем.

Работа с основанием и показателем степени

Встречаются степени, в основании и/или показателе которых находятся не просто числа или переменные, а некоторые выражения. В качестве примера приведем записи (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

При работе с подобными выражениями можно как выражение в основании степени, так и выражение в показателе заменить тождественно равным выражением на ОДЗ его переменных. Другими словами, мы можем по известным нам правилам отдельно преобразовывать основание степени, и отдельно – показатель. Понятно, что в результате этого преобразования получится выражение, тождественно равное исходному.

Такие преобразования позволяют упрощать выражения со степенями или достигать других нужных нам целей. Например, в упомянутом выше степенном выражении (2+0,3·7) 5−3,7 можно выполнить действия с числами в основании и показателе, что позволит перейти к степени 4,1 1,3 . А после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в основании степени (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) мы получим степенное выражение более простого вида a 2·(x+1) .

Использование свойств степеней

Один из главных инструментов преобразования выражений со степенями – это равенства, отражающие . Напомним основные из них. Для любых положительных чисел a и b и произвольных действительных чисел r и s справедливы следующие свойства степеней:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Заметим, что при натуральных, целых, а также положительных показателях степени ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Например, для натуральных чисел m и n равенство a m ·a n =a m+n верно не только для положительных a , но и для отрицательных, и для a=0 .

В школе основное внимание при преобразовании степенных выражений сосредоточено именно на умении выбрать подходящее свойство и правильно его применить. При этом основания степеней обычно положительные, что позволяет использовать свойства степеней без ограничений. Это же касается и преобразования выражений, содержащих в основаниях степеней переменные – область допустимых значений переменных обычно такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения, что позволяет свободно использовать свойства степеней. Вообще, нужно постоянно задаваться вопросом, а можно ли в данном случае применять какое-либо свойство степеней, ведь неаккуратное использование свойств может приводить к сужению ОДЗ и другим неприятностям. Детально и на примерах эти моменты разобраны в статье преобразование выражений с использованием свойств степеней . Здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких простых примеров.

Пример.

Представьте выражение a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 в виде степени с основанием a .

Решение.

Сначала второй множитель (a 2) −3 преобразуем по свойству возведения степени в степень: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6 . Исходное степенное выражение при этом примет вид a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, остается воспользоваться свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием, имеем
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Ответ:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .

Свойства степеней при преобразовании степенных выражений используются как слева направо, так и справа налево.

Пример.

Найти значение степенного выражения .

Решение.

Равенство (a·b) r =a r ·b r , примененное справа налево, позволяет от исходного выражения перейти к произведению вида и дальше . А при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .

Можно было выполнять преобразование исходного выражения и иначе:

Ответ:

.

Пример.

Дано степенное выражение a 1,5 −a 0,5 −6 , введите новую переменную t=a 0,5 .

Решение.

Степень a 1,5 можно представить как a 0,5·3 и дальше на базе свойства степени в степени (a r) s =a r·s , примененного справа налево, преобразовать ее к виду (a 0,5) 3 . Таким образом, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6 . Теперь легко ввести новую переменную t=a 0,5 , получаем t 3 −t−6 .

Ответ:

t 3 −t−6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Степенные выражения могут содержать дроби со степенями или представлять собой такие дроби. К таким дробям в полной мере применимы любые из основных преобразований дробей , которые присущи дробям любого вида. То есть, дроби, которые содержат степени, можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с их числителем и отдельно со знаменателем и т.д. Для иллюстрации сказанных слов рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Упростить степенное выражение .

Решение.

Данное степенное выражение представляет собой дробь. Поработаем с ее числителем и знаменателем. В числителе раскроем скобки и упростим полученное после этого выражение, используя свойства степеней, а в знаменателе приведем подобные слагаемые:

И еще изменим знак знаменателя, поместив минус перед дробью: .

Ответ:

.

Приведение содержащих степени дробей к новому знаменателю проводится аналогично приведению к новому знаменателю рациональных дробей. При этом также находится дополнительный множитель и выполняется умножение на него числителя и знаменателя дроби. Выполняя это действие, стоит помнить, что приведение к новому знаменателю может приводить к сужению ОДЗ. Чтобы этого не происходило, нужно, чтобы дополнительный множитель не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) к знаменателю a , б) к знаменателю .

Решение.

а) В этом случае довольно просто сообразить, какой дополнительный множитель помогает достичь нужного результата. Это множитель a 0,3 , так как a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a . Заметим, что на области допустимых значений переменной a (это есть множество всех положительных действительных чисел) степень a 0,3 не обращается в нуль, поэтому, мы имеем право выполнить умножение числителя и знаменателя заданной дроби на этот дополнительный множитель:

б) Присмотревшись повнимательнее к знаменателю, можно обнаружить, что

и умножение этого выражения на даст сумму кубов и , то есть, . А это и есть новый знаменатель, к которому нам нужно привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель . На области допустимых значений переменных x и y выражение не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:

Ответ:

а) , б) .

В сокращении дробей, содержащих степени, также нет ничего нового: числитель и знаменатель представляются в виде некоторого количества множителей, и сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Пример.

Сократите дробь: а) , б) .

Решение.

а) Во-первых, числитель и знаменатель можно сократить на чисел 30 и 45 , который равен 15 . Также, очевидно, можно выполнить сокращение на x 0,5 +1 и на . Вот что мы имеем:

б) В этом случае одинаковых множителей в числителе и знаменателе сразу не видно. Чтобы получить их, придется выполнить предварительные преобразования. В данном случае они заключаются в разложении знаменателя на множители по формуле разности квадратов:

Ответ:

а)

б) .

Приведение дробей к новому знаменателю и сокращение дробей в основном используется для выполнения действий с дробями. Действия выполняются по известным правилам. При сложении (вычитании) дробей, они приводятся к общему знаменателю, после чего складываются (вычитаются) числители, а знаменатель остается прежним. В результате получается дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей. Деление на дробь есть умножение на дробь, обратную ей.

Пример.

Выполните действия .

Решение.

Сначала выполняем вычитание дробей, находящихся в скобках. Для этого приводим их к общему знаменателю, который есть , после чего вычитаем числители:

Теперь умножаем дроби:

Очевидно, возможно сокращение на степень x 1/2 , после которого имеем .

Еще можно упростить степенное выражение в знаменателе, воспользовавшись формулой разность квадратов: .

Ответ:

Пример.

Упростите степенное выражение .

Решение.

Очевидно, данную дробь можно сократить на (x 2,7 +1) 2 , это дает дробь . Понятно, что надо еще что-то сделать со степенями икса. Для этого преобразуем полученную дробь в произведение . Это дает нам возможность воспользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: . И в заключение процесса переходим от последнего произведения к дроби .

Ответ:

.

И еще добавим, что можно и во многих случаях желательно множители с отрицательными показателями степени переносить из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменяя знак показателя. Такие преобразования часто упрощают дальнейшие действия. Например, степенное выражение можно заменить на .

Преобразование выражений с корнями и степенями

Часто в выражениях, в которыми требуется провести некоторые преобразования, вместе со степенями с дробными показателями присутствуют и корни. Чтобы преобразовать подобное выражение к нужному виду, в большинстве случаев достаточно перейти только к корням или только к степеням. Но поскольку работать со степенями удобнее, обычно переходят от корней к степеням. Однако, осуществлять такой переход целесообразно тогда, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков (это мы подробно разобрали в статье переход от корней к степеням и обратно После знакомства со степенью с рациональным показателем вводится степень с иррациональным показателем, что позволяет говорить и о степени с произвольным действительным показателем. На этом этапе в школе начинает изучаться показательная функция , которая аналитически задается степенью, в основании которой находится число, а в показателе – переменная. Так мы сталкиваемся со степенными выражениями, содержащими числа в основании степени, а в показателе - выражения с переменными, и естественно возникает необходимость выполнения преобразований таких выражений.

Следует сказать, что преобразование выражений указанного вида обычно приходится выполнять при решении показательных уравнений и показательных неравенств , и эти преобразования довольно просты. В подавляющем числе случаев они базируются на свойствах степени и нацелены по большей части на то, чтобы в дальнейшем ввести новую переменную. Продемонстрировать их нам позволит уравнение 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0 .

Во-первых, степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной (или выражения с переменными) и числа, заменяются произведениями. Это относится к первому и последнему слагаемым выражения из левой части:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0 ,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0 .

Дальше выполняется деление обеих частей равенства на выражение 7 2·x , которое на ОДЗ переменной x для исходного уравнения принимает только положительные значения (это стандартный прием решения уравнений такого вида, речь сейчас не о нем, так что сосредоточьте внимание на последующих преобразованиях выражений со степенями):

Теперь сокращаются дроби со степенями, что дает .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению , которое равносильно . Проделанные преобразования позволяют ввести новую переменную , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения

И. В. Бойков, Л. Д. Романова Сборник задач для подготовки к ЕГЭ. Ч. 1. Пенза 2003.

1)Степени с натуральным показателем:

В стране чисел возникли проблемы. Астрономы собрались посчитать размеры видимой части Вселенной. Они утверждали, что для этого необходимо умножить 25 раз число 10 само на себя. Поскольку для этого требовалось очень много места, они требовали снести Дворец алгоритма Евкида, выставку чисел-близнецов и многие другие объекты. Хотя всем хотелось узнать, какая же наша Вселенная, но никому не хотелось жертвовать столь прекласными и ценными сооружениями. Была создана комиссия, которая занялась поисками требуемой свободной площади, но вскоре зашла в тупик.

Неожиданно положение Таблица умножения. Она рассказла свою историю: - Меня придумали для того, чтобы не складывать большое количество одинаковых слагаемых. Ведь теперь никто не пишет 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, теперь записывают 3 х 7. Это очень экономит место. Давайте придумаем что-нибудь похожее для умножения.

И сразу придумали. Число множителей стали записываь маленькой цифрой сзади числа:

Все выражение стали на зывать степенью, количество множителей (маленькую цифру сверху) – показателем степени, а сам множитель – основание степени.

Не прошло и получаса, как торжественно ввели новое действие – возведение в степень, как по стране чисел стали бегать 5 6 , 17 4 и многие другие. Но только бегать неинтересно, хочется выполнять сложение, умножение, вычитание, то есть вести себя как все порядочные числа. и ту возникли следующие проблемы. После введения действий надо установить правила действий , так, чтобы никому не мешать и никакие законы не нарушать.

Сначала попробовали выполнять сложение, открыли свод законов и ничего не нашли. О вычитании даже думать не стали, а умножение пошло очень легко, ведь всякая степень получается из множителей, значит, если взять одинаковые основания степени, то

Сразу записали в свод законов новое правило:

При умножении степеней с одинаковым основание основание остается неизменным, а показатели складывают

С делением возникли проблемы. Всем казалось, что если деление действие обратное уиножению, то приделении надо показатели вычитать, но если , а если .Тогда постановили (под влиянием консервативного меньшинства), что

, если m>n, и , если n>m.

Провести проверку нового правил предложили 6 5 и 6 3: , а

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются . а полностью правило сформулировать трудно.

Разобралися также со степенями с разными основаниями и одинаковыми показателями. На помощь пришли переместительный и сочетательный законы: , потому, что ;

Чтобы умножить степени с одинаковыми показателями надо перемножить основания, а показатель оставить без изменения.

Чтобы разделить степени содинаковыми основаниями надо разделит основания, а показатель оставить без изменения.

Оказалось, что можно даже возводить степени в степень.

Наступил всеобщий праздник. Особенно понравилось сокращать дроби, раскладывая их на множители:

Подарок преподнес распределительный закон. Он предложил как складывать одинаковые степени , например, , ,т.е. можно складывать коэффициенты .

А если степени с одинаковыми основаниями, но с разными коэффициентами, то можно общий множитель вынести за скобку:

2)степени с отрицательным показателем:

Все уже привыкли к действиям со степенями с натуральными показателями (их так называют, потомучто показатели – натуральные числа).

И нашлись недовольные, те кто не принял участие в создании новых чисел.Революционно настроенные представители отрицательных чисел выступили с заявлением, что их притесняют, не дают развиваться науке,

Всем известно, что при вычитании может получаться 0, а также отрицательные числа, - говорили они и организовали движение в поддержку степеней с отрицательным показателе.

Как же может быть отрицательное количество сомножителей?- удивились натуральные числа.

Надо определить , это как раз подходит под ваше правило: .

А степени с отрицательным показателем определить, как (Z - - отрицательнын целые числа).

Например,

Тогда формула для деления степеней станет просто

Хорошо, - сказали хранители Свода законов, - тогда докажите, что все правила действий со степенями сохранятся и при введении степеней с отрицательным показателями.

Больше того, отрицательные числа предложили план доказательства всех теорем, о действиях со степенями.

1.В выражении по определению заменить степень с отрицательным показателем на степень с натуральным показателем.

2.Выполнить действия по правилам действий со степенями с натуральными показателями

3.По определению перейти от степеней с натуральными показателя к степеням с отрицательными показателями.

А также привели поясняющие примеры: , записывать можно короче:

Итак, оказалось, что все правила действий сохранились для степеней с отрицательными показателями.

3)степени с дробным показателем:

при извлечении корня из степени делят показатель степени на показатель корня, если такое деление выполнется нацело; например: √a 4 = a 2 , 3 √x 9 = x 3 и т. п. Условимся теперь распространить это правило и на те случаи, когда показатель степени не делится нацело на показатель корня. Например, мы условимся принимать, что

Вообще мы условимся, что выражение означает корень, показатель которого есть знаменатель, а показатель подкоренного числа - числитель дробного показателя (т. е. n √a m ).

Условимся еще допускать и отрицательные дробные показатели в том же смысле, в каком мы допустили отрицательные целые показатели; например, условимся, что

Замечание. Дробные показатели были введены в алгебру главным образом голландским инженером Симоном Стевином в начале XVII столетия Позднее, в конце XVII столетия, Оксфордский профессор Джон Валлис ввел в употребление отрицательные показатели.

259. Основное свойство дробного показателя. Величина степени с дробным показателем не изменится, если мы умножим или разделим на одно и то же число (отличное от нуля) числитель и знаменатель дробного показателя. Так:

Действительно, знаменатель дробного показателя означает показатель корня, а числитель его означает показатель подкоренного выражения, а такие показатели, как мы видели можно умножать и делить на одно и то же число.

Основываясь на этом свойстве, мы можем преобразовывать дробный показатель совершенно так же, как и обыкновенную дробь : например, мы можем сокращать дробный показатель, или приводить несколько дробных показателей к одному знаменателю.

Рассмотрим небольшой пример. Вычислим 4√(5 12).

Воспользуемся свойствами корня и степени числа. 5 12 = (5 3) 4 , следовательно, можем записать условие следующим образом:

• 4√((5 3) 4) = (4√(5 3)) 4 = 5 3 = 125.

Таким образом получаем, что 4√(5 12) = 5 (12/4) . Так же можно показать, что, например,

• 5√(3 (-4)) = 3 (-4/3) .

Доказательство

• Если n некоторое натуральное число, причем n больше либо равно 2, m – некоторое целое число, и частное m/n будет являться целым числом, то при а >0 справедливо следующее равенство: n√(a m) = a (m/n) .

Докажем этот факт. m/n – некоторое целое число (по условию), то есть в результате деления мы получим целое k (m/n = k). Тогда можно записать, что m=k*n. Далее, применяя свойства степени и арифметического корня получим:

• n√ (a m) = n√(a (n*k)) =n√((a k) n) = a k = a (m/n) .

То есть n√(a m) = a (m/n) . Что и требовалось доказать.

Если же при делении m на n получится не целое число, то степень вида a (m/n) , где а>0, определяют таким образом, чтобы формула написанная выше (n√(a m) = a (m/n)), оставалась верной.

• То есть, формула n√(a m) = a (m/n) будет справедлива для любого целого числа m, любого натурального числа n больше либо равного двум и а>0.

Например,

• 16 (3/4) = 4√(16 3) = 4√(2 12) = 2 3 = 8.
• 7 (5/4) = 4√(7 5) = 4√((7 4)*7) = 7*4√7.

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами.

Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

Особенности

Стоит отметить, что если рациональное число в показателе будет положительным, то выражение n√(a m) будет иметь смысл не только при положительных а, но и при а равном нулю.

• n√(0 m) = 0.

Поэтому, в математике считается, что при m/n > 0 выполняется равенство 0 (m/n) = 0.

Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство:

a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например, 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .