Что такое теорема? Значение слова теорема

Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180°. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.

В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т.д. В этих случаях для сокращения записи используют знак . Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка , одинаково удаленная от двух точек и , принадлежит оси симметрии этих точек (рис. 1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек ) ( принадлежит оси симметрии точек и ).

Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком . Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком , называется условием теоремы, второе, стоящее после знака , называется заключением теоремы.

Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек ) (точка принадлежит оси симметрии точек и ) . Короче: если точка принадлежит оси симметрии точек и , то точка одинаково удалена от точек и . В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.

Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна. Например, теорема: (точка не принадлежит прямой ) справедлива, но обратная ей теорема: (точка не принадлежит прямой ) - неверна, так как при условии точка может быть расположена на прямой , но вне отрезка (рис. 2).

Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что верна и обратная теорема. Справедливость обратной теоремы требует отдельного доказательства.

В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:

Они выводятся (доказываются), исходя из аксиом, и потому являются теоремами. Другим примером теорем в алгебре может служить теорема Виета о свойствах корней квадратного уравнения.

Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение с действительными коэффициентами имеет при нечетном хотя бы один действительный корень, т.е. существует число , являющееся корнем этого уравнения.

Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.

Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение не имеет целых положительных решений при , пока не доказана.

Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем. Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы. Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.

Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.

греч. ???????, от?????? – рассматриваю, исследую) – доказанное предложение нек-рой дедуктивной теории. В содержательных (неформальных) теориях Т. доказываются весьма приблизительно фиксируемыми (чаще – молчаливо подразумеваемыми) средствами "обычной логики" и часто противопоставляются "не требующим доказательства" (принимаемым за истинные в силу своей "очевидности") аксиомам. Впрочем, если даже точный перечень аксиом и не фиксируется, то в (полном) доказательстве каждой Т. все же проводится различение посылок на доказанные ранее Т. и аксиомы; фактически статус последних может специально и не оговариваться – этой цели может служить к.-л. косвенная мотивировка применяемой аргументации или даже сам факт умолчания о причинах, позволяющих пользоваться данной посылкой. Такой, напр., характер имеют Т. в большей части учебных руководств по различным разделам (неаксиоматизированной) математики. Если же данная дисциплина строится на аксиоматич. основе (хотя бы и в содержат. форме), то (нелогические) аксиомы явно перечисляются, как, напр., при изложении различных разделов абстрактной алгебры или топологии, а из нематематич. дисциплин – теоретич. механики или термодинамики. В формальных аксиоматич. системах (исчислениях) Т. наз. доказуемая формула, т.е. формула, выводимая по правилам вывода данной системы из ее аксиом. При этом аксиомы теории также причисляются к Т. (доказательство каждой такой Т. состоит из одной формулы – из нее самой); это вполне естеств. соглашение оправдывается не только индуктивным характером определения понятия доказательства (см. раздел Рекурсивные и индуктивные определения в ст. Определение), но и тем обстоятельством, что один и тот же класс доказуемых формул может задаваться различными системами аксиом, и в ряде случаев выбор определенных формул (фиксированной теории) в качестве аксиом диктуется чисто технич. соображениями, так что противопоставление к.-л. аксиомы и (дедуктивно) эквивалентной ей Т. оказывается весьма относительным. Иногда Т., играющие вспомогат. роль и нужные лишь для доказательства к.-л. другой Т., наз. леммами; Т., доказательство к-рых весьма просто получается посредством ссылки на другие Т., наз. с л е д с т в и я м и этих других Т. Ввиду недостаточной определенности таких понятий, как "вспомогательный" и "просто", термины "лемма" и "следствие" также носят несколько условный характер, и эти наименования свидетельствуют не столько о характере самих Т., сколько о стиле или уровне изложения предмета. Т., доказываемые содержат. средствами метатеории к.-л. теории, наз. м е т а т е о р е м а м и, относящимися к данной ("предметной") теории. Примеры метатеорем: теорема о дедукции для исчисления высказываний или предикатов, теорема Геделя о полноте исчисления предикатов, теорема Геделя о неполноте формальных систем, включающих формальную арифметику, теорема Черча о неразрешимости разрешения проблемы для исчисления предикатов, теорема Тарского о невыразимости (неопределимости, см. Определимость) предиката истинности для широкого класса логич. исчислений средствами самого исчисления (см. Логическая истинность) и др. Вообще метатеоремами являются любые Т. о Т., какими бы средствами и в рамках какой бы теории они не доказывались; примерами могут служить т.н. принципы двойственности, играющие важную роль во мн. разделах математики. См. Вывод(в математической логике), Доказательство, Метод аксиоматический и лит. при этих статьях. Ю. Гастев. Москва.

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Значение слова теорема

теорема в словаре кроссвордиста

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков

теорема

теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова теорема. ? Положение, к-рое может быть выведено из основных положений логики (филос.).

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

теорема

Ы, ас. В математике: утверждение, истинность к-рого устанавливается путем доказательства.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

теорема

ж. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).

Энциклопедический словарь, 1998 г.

теорема

ТЕОРЕМА (греч. theorema, от theoreo - рассматриваю) в математике - предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других - острые, после слова "если" стоит условие, а после "то" - заключение.

Теорема

(греч. theorema, от theoréo ≈ рассматриваю, исследую), предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи доказательства . Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Т., доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Т.; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют аксиомами. В формулировке Т. различают условие и заключение. Например,

если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или

если в треугольнике один из углов прямой, то оба других ≈ острые; в каждом из этих примеров после слова «если» стоит условие Т., а после слова «то» ≈ заключение. В такой форме можно высказать каждую Т. Например, Т.: «всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой», можно высказать так: «если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой».

Для каждой Т., высказанной в форме «если... то...». можно высказать ей обратную теорему, в которой условие является заключением, а заключение ≈ условием. Прямая и обратная Т. взаимно обратны. Не всякая обратная Т. оказывается верной; так, для примера 1) обратная Т. верна, а для примера 2) ≈ очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Т. означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).

Если заменить условие и заключение Т. их отрицаниями, то получится Т., называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема), она равносильна обратной Т. Точно так же и Т., обратная противоположной, равносильна исходной Т. (прямой). Поэтому доказательство прямой Т. можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Т. вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного, или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.

Википедия

Теорема

Теоре́ма - утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.

В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены. Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Наиболее знаменитыми являются: теорема Пифагора, теорема Ферма.

Теорема (фильм)

«Теорема» - фильм Пьера Паоло Пазолини 1968 года по мотивам собственного произведения.

Фильм, который допустимо интерпретировать в качестве марксистской притчи , религиозной аллегории (еретическая переработка христологических мотивов), урока психоанализа и попытки современного мифотворчества. Как и одноимённый роман Пазолини иллюстрирует его излюбленный тезис (теорему) о тождестве христианского вероучения, революционно-антибуржуазной проповеди и сексуального влечения.

Примеры употребления слова теорема в литературе.

Я уже и теорему Виета забыл, а без нее, говорят, невозможно решить квадратное уравнение.

Теперь он знал все о третьей проблеме Гильберта, об уравнении Фредгольма, о машине Тьюринга, о марковских процессах, о постулатах, леммах и теоремах Евклида, Ферма, Коши, Гаусса, Вейерштрасса, Декарта, Абеля, Кантора, Галуа, Римана, Лобачевского и десятков других великих математиков!

Потом он, закатив глаза под самый свой покрытый холодным потом лоб, вдруг стал что-то лопотать про теорему Лагранжа, и о том, что еще большой вопрос, кто лучший пианист - Ван Клиберн или Эмиль Гилельс, и что если человек не знает, что такое пимезон, то его теперь уже нельзя считать по-настоящему образованным человеком.

Теорема Дезарга - одна из первых, выведенных непосредственно для проективной геометрии.

Заметьте, кстати, что, прибегая к понятию идеальной точки, мы можем доказать теорему Дезарга для одной плоскости.

Если уж на то пошло, теорема Дезарга - единственное, что я запомнила из курса геометрии.

Раскинулось поле по модулю пять Вдали интегралы стояли Студент не сумел производную взять Ему в деканате сказали Экзамен нельзя на арапа сдавать Декан наш тобой недоволен Сумей теорему Коши доказать Иль будешь из ВУЗа уволен.

Пьер Ферма записал ее условия на полях книги Диофанта, прибавив, что нашел удивительное доказательство этой теоремы и только за недостатком места не может его привести.

Это не полное описание изоморфизма между Теоремой Геделя и Контракростихпунктом, но это - ядро, самое главное.

В особом случае, когда есть желание выстроить последовательную систему, чьи теоремы должны интерпретироваться только как утверждения математики, то казалась бы, что различие между двумя типами последовательности должны исчезнуть.

Все три теоремы вышли бы ложными, если заглавные буквы интерпретировались бы как названия реальных людей.

Понимаешь, надо добиться, чтобы Демон экстрагировал из атомных танцев только истинную информацию, то есть математические теоремы и журналы мод, формулы и исторические хроники, рецепты ионофореза и способы штопки и стирки асбестовых панцирей, и стихи, и научные советы, и альманахи, и календари, и секретные сведения о событиях давних времен, и все то, что писали и пишут газеты во всем Космосе, и телефонные книги, пока еще не напечатанные.

В то время как близорукая Мухина, или Мушка, маленькая близорукая брюнетка, сидевшая на первой скамейке, разбирала Манины каракульки, поднеся их к самому носу, Вацель окончил объяснение теоремы , положил мелок, которым писал на доске, обратно на кафедру и осторожно, на цыпочках подобрался к Мушке.

Коруша, дело все в том, что такие математики, как Келдыш, занимаются разрешением только полезных математических задач, а вот совершенно бесполезные теоремы решают недоучки, вроде нашего ушедшего гостя.

Если все силы в системе консервативны, так что выполняется закон сохранения энергии, то, согласно одной из основных теорем классической механики - теорем е Лиувилля, - объем области в процессе движения остается постоянным.

В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т. д. В этих случаях для сокращения записи используют знак ⇒. Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка М, одинаково удаленная от двух точек А и В, принадлежит оси симметрии этих точек (рис. 1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек А, В, М) (MA = MB) ⇒ (М принадлежит оси симметрии точек А и В).

Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком ⇒. Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком ⇒, называется условием теоремы, второе, стоящее после знака ⇒, называется заключением теоремы.

Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек А, В, М) (точка М принадлежит оси симметрии точек A и В) ⇒ (MA = MB). Короче: если точка М принадлежит оси симметрии точек А и В, то точка М одинаково удалена от точек А и В. В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.

Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна. Например, теорема: (точка С не принадлежит прямой АВ) ⇒ (АВ < АС + ВС) справедлива, но обратная ей теорема: (АВ < АС + ВС) => (точка С не принадлежит прямой АВ) - неверна, так как при условии (АВ < АС + ВС) точка С может быть расположена на прямой АВ, но вне отрезка АВ (рис. 2).

В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:

(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 ,

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b),

a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + ... + ab n-2 + b n-1).

Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение х n + a 1 x n-1 + а 2 х n-2 + ... + а n-1 х + а n = 0 с действительными коэффициентами имеет при нечетном n хотя бы один действительный корень, т.е. существует число x 0 ∈ R, являющееся корнем этого уравнения.

Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение х n + у n = z n не имеет целых положительных решений при n > 2, пока не доказана.