Что называется правильным многогранником. Объемы правильных многогранников. Обобщение понятия многогранника

Общие сведения о правильных многогранниках

Обобщение понятия многогранника

Другое определение многогранника и его элементов

Теорема Эйлера

Основные определения

Свойства правильных многогранников

Объем правильного многогранника

Объемы правильных многогранников

Радиусы правильных многоугольников

Симметрия многогранников

Развертки многогранников

I. Организационный момент

II. Повторение пройденного материала. Построение многоугольников по координатам

III. Знакомство с новым материалом

IV. Обобщение и систематизация знаний

V. Закрепление ранее изученного

VI. Итог урока

Знакомство с понятиями «многогранник», «грань», «вершина», «ребро»

Задание для группы 1

Задание для группы 2

Задание для группы 3

Геометрия прекрасна тем, что, в отличие от алгебры, где не всегда понятно, что и зачем считаешь, дает наглядность объекта. Этот удивительный мир различных тел украшают собой правильные многогранники.

По мнению многих, правильные многогранники, или как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр - двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

Многогранником является совокупность конечного числа многоугольников такая, что:

каждая из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только одного другого многоугольника по той же стороне;
от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранник, представляют собой его грани, а их стороны - ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

Многогранником называют поверхность, состоящую из многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:

невыпуклыми;
выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:

тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
додекаэдр: 30, 12, 20;
октаэдр: 12, 8, 6;
икосаэдр: 30, 20, 12.

Она устанавливает связь между числом ребер, вершин и граней, топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В + Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

Понятие правильного многогранника невозможно описать одним предложением. Оно более многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:

оно выпуклое;
одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
все его равны.

Существует 5 разных типов правильных многогранников:

Куб (гексаэдр) - у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

Площадь поверхности этих геометрических тел (S) вычисляется, как площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):

S = (a: 2) х 2G ctg π/p.

Эта величина вычисляется путем умножения объема правильной пирамиды, в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а высота ее является радиусом вписанной сферы (r):

V = 1: 3rS.

Как и любое другое геометрическое тело, правильные многогранники имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их вычислить:

тетраэдр: α х 3√2: 12;
октаэдр: α х 3√2: 3;
икосаэдр; α х 3;
гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

Гексаэдр и октаэдр являются дуальными геометрическими телами. Иными словами, они могут получиться друг из друга в том случае, если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба. Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

С каждым из этих геометрических тел связаны 3 концентрические сферы:

описанная, проходящая через его вершины;
вписанная, касающаяся каждой его грани в центре ее;
срединная, касающаяся всех ребер в середине.

Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:

R = a: 2 х tg π/g х tg θ: 2.

Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:

R = a: 2 х ctg π/p х tg θ: 2,

где θ - двухгранный угол, который находится между смежными гранями.

Радиус сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:

ρ = a cos π/p: 2 sin π/h,

где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:

R/r = tg π/p х tg π/q.

Симметрия правильных многогранников вызывает основной интерес к этим геометрическим телам. Под ней понимают такое движение тела в пространстве, которое оставляет одно и то же количество вершин, граней и ребер. Другими словами, под действием преобразования симметрии ребро, вершина, грань или сохраняет свое первоначальное положение, или перемещается в исходное положение другого ребра, другой вершины или грани.

Элементы симметрии правильных многогранников свойственны всем видам таких геометрических тел. Здесь речь ведется о тождественном преобразовании, которое оставляет любую из точек в исходном положении. Так, при повороте многоугольной призмы можно получить несколько симметрий. Любая из них может быть представлена как произведение отражений. Симметрию, которая является произведением четного количества отражений, называют прямой. Если же она является произведением нечетного количества отражений, то ее называют обратной. Таким образом, все повороты вокруг прямой представляют собой прямую симметрию. Любое отражение многогранника - это обратная симметрия.

Чтобы лучше разобраться в элементах симметрии правильных многогранников, можно взять пример тетраэдра. Любая прямая, которая будет проходить через одну из вершин и центр этой геометрической фигуры, будет проходить и через центр грани, противоположной ей. Каждый из поворотов на 120 и 240° вокруг прямой принадлежит к множественному числу симметрий тетраэдра. Поскольку у него по 4 вершины и грани, то получается всего восемь прямых симметрий. Любая из прямых, проходящих через середину ребра и центр этого тела, проходит через середину его противоположного ребра. Любой поворот на 180°, называемый полуоборотом, вокруг прямой является симметрией. Поскольку у тетраэдра есть три пары ребер, то получится еще три прямые симметрии. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что общее число прямых симметрий, и в том числе тождественное преобразование, будет доходить до двенадцати. Других прямых симметрий у тетраэдра не существует, но при этом у него есть 12 обратных симметрий. Следовательно, тетраэдр характеризуется всего 24 симметриями. Для наглядности можно построить модель правильного тетраэдра из картона и убедиться, что это геометрическое тело действительно имеет всего 24 симметрии.

Додекаэдр и икосаэдр - наиболее близкие к сфере тела. Икосаэдр обладает наибольшим числом граней, наибольшим и плотнее всего может прижаться к вписанной сфере. Додекаэдр обладает наименьшим угловым дефектом, наибольшим телесным углом при вершине. Он может максимально заполнить свою описанную сферу.

Правильные которых мы все склеивали в детстве, имеют много понятий. Если есть совокупность многоугольников, каждая сторона которых отождествлена с только одной стороной многогранника, то отождествление сторон должно соответствовать двум условиям:

от каждого многоугольника можно перейти по многоугольникам, имеющим отождествленную сторону;
отождествляемые стороны должны иметь одинаковую длину.

Именно совокупность многоугольников, которые удовлетворяют эти условия, и называется разверткой многогранника. Каждое из этих тел имеет их несколько. Так, например, у куба их насчитывается 11 штук.

Правильным многогранником называется такой многогранник, у которого все грани равны и представляют собой равные правильные многоугольники, все ребра и все вершины также равны между собой. В то время, как правильных многоугольников существует сколько угодно, правильных многогранников ограниченное число.

Как правильные многоугольники начинаются с треугольника, так правильные многогранники начинаются с его аналога – тетраэдра (т. е., по-гречески, четырехгранника). У него минимально возможное число вершин и граней – тех и других по четыре, а ребер шесть (три вершины всегда лежат в одной плоскости, для объемного тела нужно поэтому не меньше четырех вершин; тремя же плоскими гранями нельзя ограничить конечный объем в пространстве). В каждой вершине сходятся три треугольных грани и, соответственно, по три ребра. Тетраэдр – это пирамида, причем самая простая – трехгранная (любая пирамида состоит из основания и боковых граней; пирамида называется n -гранной, если у нее n боковых граней; легко видеть, что у n -гранной пирамиды основание неминуемо должно иметь форму n -угольника). Все, что мы пока говорили о тетраэдре, применимо к любому тетраэдру, не обязательно правильному; у правильного же тетраэдра грани – это правильные треугольники.

Со следующим правильным многогранником вы хорошо знакомы – это куб . Если тетраэдр в определенном смысле аналогичен треугольнику, то куб – квадрату. Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, у которого все грани – квадраты. Попробуйте, не глядя на картинку, сообразить, сколько у куба (и, на самом деле, у любого прямоугольного параллелепипеда) граней, сколько вершин, сколько ребер и по сколько граней и ребер сходятся в каждой вершине.

Еще у одного правильного многогранника – октаэдра (т. е. восьмигранника) – нет аналогов в плоском мире, т. к. он немного похож на треугольник, а немного на квадрат. Октаэдр можно сделать из двух четырехгранных пирамид, склеив их основания. Грани правильного октаэдра являются правильными треугольниками. В каждой его вершине сходятся не три, как у тетраэдра и куба, а четыре грани. Форму октаэдра имеют, например, природные кристаллы алмаза.

Октаэдр тесно связан с кубом так называемым свойством взаимности : центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Если соединять отрезками центры соседних граней куба, то эти отрезки станут ребрами октаэдра; если проделать ту же операцию с октаэдром, получится куб. Между прочим, исходя из этого, понятно, что число вершин октаэдра равно числу граней куба, и наоборот; более того, количества ребер у них совпадают.

Тетраэдр связан с собой свойством взаимности

Можно ли сформулировать какой-нибудь аналог свойства взаимности для правильных многоугольников?

Между прочим, тетраэдр тоже родствен кубу. А именно, если выбрать такие четыре вершины куба, из которых никакие две не являются смежными, и соединить их отрезками, то эти отрезки образуют тетраэдр!

Рис. 3. Куб и тетраэдр

Самое важное свойство правильных многогранников, сразу обращающее на себя внимание – это их высокая степень симметричности. Определенное количество отражений вокруг разных плоскостей, а также целый ряд поворотов вокруг разных осей, переводят каждый из многогранников сам в себя. У каждого из них есть центр, через который проходят все эти плоскости симметрии и оси; вершины равноудалены от этого центра, это же верно для граней и ребер. Поэтому в каждый правильный многогранник можно вписать сферу, и около каждого из них можно описать сферу. (В этом плане, впрочем, они вполне аналогичны правильным многоугольникам, в каждый из которых можно вписать окружность и вокруг каждого из которых тоже можно описать окружность).

Сколько у куба, тетраэдра, октаэдра плоскостей симметрии? Сколько у каждого из них осей поворотов, переводящих многогранник сам в себя?

У тетраэдра 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через одно из ребер и перпендикулярна противолежащему ребру; 4 оси поворотов на 120º, проходящие через каждую вершину и середину противолежащей грани, и еще 3 оси поворотов на 180º, проходящие через середины противолежащих ребер – итого 7 поворотных осей. У куба 3 плоскости симметрии, параллельные граням и проходящие через середины ребер, и еще 6 плоскостей симметрии, проходящих через пары противолежащих ребер – итого 9 плоскостей симметрии; 3 оси поворотов на 90º и 180º, проходящие через центры противолежащих граней, 6 осей поворотов на 180º (эти оси проходят через середины противолежащих ребер), и еще 4 оси поворотов на 120º, проходящие через противолежащие вершины – итого 13 поворотных осей. У октаэдра столько же плоскостей симметрии и поворотных осей, сколько и у куба.

Три упомянутых правильных многогранника были известны уже пифагорейцам, которые, понимая их замечательные математические свойства, догадывались, что эти тела каким-то образом должны быть связаны с устройством мира. По-видимому, Теэтет (V в. до н. э.) первым показал, что существует еще два правильных многогранника, а именно, додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник). Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников, которые сходятся по 3 в каждой вершине; икосаэдр – из правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой вершине. Эти многогранники обладают свойством взаимности по отношению друг к другу. Можно показать, что никаких кристаллов в форме данных многогранников быть не может; тем не менее, в живой природе икосаэдры встречаются: такую форму имеют белковые оболочки некоторых вирусов (в частности, хорошо изученного вируса «табачной мозаики»).

Нетрудно видеть, что никаких других правильных многогранников сверх указанных пяти быть не может. В самом деле, в одной вершине должно сходится не меньше 3 граней. С другой стороны, эти грани должны иметь не больше 5 сторон, потому что, например, 3 шестиугольника, сходясь в одной точке и соединяясь сторонами друг с другом, будут лежать в одной плоскости и не образуют многогранного угла. У семиугольников и т. д. углы еще больше. В то же время, если грани четырехугольные, то их не может сойтись в одной вершине больше трех (нужно, чтобы двугранные углы при каждом ребре были бы равными): 4 квадрата, сходясь, будут лежать в одной плоскости. Если же грани треугольные, то их не может сойтись больше пяти: 6 правильных треугольников тоже будут лежать в одной плоскости. Таким образом, возможные варианты – это треугольники, сходящиеся по 3, 4 и 5, а также квадраты и пятиугольники, сходящиеся по 3. Все эти пять вариантов и реализованы в пяти известных правильных многогранниках.

Правильные многогранники носят также название платоновых тел , т. к. занимают важное место в философии Платона. Как и другие древние греки, он считал, что существует 4 первоэлемента – земля, вода, воздух и огонь. Развивая пифагорейскую концепцию о математическом устройстве Вселенной, Платон полагал, что каждый элемент имеет форму того или иного правильного многогранника: земле как самому устойчивому элементу соответствует куб, огню – самый «небольшой» многогранник с самыми острыми вершинами и ребрами, то есть тетраэдр; воде соответствует икосаэдр, а воздуху – октаэдр. Эти элементы – неделимые («атомы»), как в философии Демокрита; элементы могут превращаться друг в друга по определенным законам, связанным с сохранением тех треугольников, из которых сделаны: например, одно «тело» воздуха может превратиться в два «тела» огня, а одно «тело» воды – в два «тела» воздуха и одно – огня. (Сами треугольники при этом материальными не являются, поскольку плоские, тогда как материальные тела должны быть трехмерными). Форма же всей Вселенной соответствует пятому телу – додекаэдру. Таким образом, в пифагорейско-платоновском космосе торжествует математическая гармония, выражаемая «золотым сечением», тесно связанным с правильным пятиугольником, который и лежит в основе додекаэдра.

Построению и свойствам 5 правильных многогранников (а также доказательству того, что других не существует) посвящена тринадцатая – заключительная – книга «Начал» Евклида. Согласно комментарию неоплатоника Прокла, структура «Начал» соответствует устройству Вселенной по Платону: она начинается с самых исходных элементов – точек и прямых – чтобы в результате придти к построению мира в целом.

Иоганн Кеплер также полагал, что правильные многогранники лежат в основе устройства мира. Кеплер думал, что расстояния от Солнца до 6 известных в то время планет должны удовлетворять какому-то математическому закону. Гипотеза Кеплера заключалась в том, что если представить сферы, на которых лежат орбиты 6 планет с центром в Солнце, то в эти сферы последовательно вписываются и описываются около пяти правильных многогранников – октаэдра, икосаэдра, додекаэдра, тетраэдра и куба (в порядке удаления от Солнца).

Внимательно анализируя результаты наблюдений, Кеплер не нашел подтверждения своей идее, тем не менее, его убежденность в рационально-математическом характере устройства мира в конце концов привела его к открытию подлинных законов движения планет.

Иоганн Кеплер изучал так же так называемые полуправильные многогранники – составленные из нескольких правильных многоугольников.

Математиков Нового времени правильные многогранники интересовали главным образом в связи с совокупностями (группами) тех преобразований – поворотов и симметрий – которые переводят многогранники сами в себя. Изучение групп преобразований оказалось важным для, казалось бы, совершенно не связанных с этим вопросов. Так, Феликсу Клейну принадлежит книга, название которой говорит само за себя: «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени». В XX в. теория групп оказалась чрезвычайно важной для квантовой механики, изучающей молекулы, атомы и элементарные частицы: та или иная группа преобразований, оказывается, является определяющей для того или иного объекта микромира. Как отметил один из основателей квантовой механики Вернер Гейзенберг, Платон не так уж и ошибался, когда клал в основу элементов мироздания те или иные симметричные структуры.

1. На рисунке 1 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

Ответ: Выпуклые - б), д); невыпуклые - а), в), г).

2. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Рисунок 1, а).

3. Верно ли, что объединение выпуклых многогранников является выпуклым многогранником?

Ответ: Нет.

4. Может ли число вершин многогранника равняться числу его граней?

Ответ: Да, у тетраэдра.

5. Установите связь между числом плоских углов П многогранника и числом его ребер Р.

Ответ: П = 2Р.

6. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин В и граней Г, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Приведите примеры таких многогранников.

7. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если у него: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.

Ответ: а) В = 8, Г = 6, куб; б) В = 10, Г = 7, пятиугольная призма.

8. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если число ребер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.

9. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.

10. Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.

11. Чему равно В - Р + Г для многогранника, изображенного на рисунке 6?

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 7). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 8. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 9. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 10), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 11. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойсва фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.

В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Не являются топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трех. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г = ; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m - nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n - 2)(m - 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу


тетраэдр	В=6, Р=12, Г=8	В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
В=8, Р=12, Г=4	Не существует	Не существует
В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр	Не существует	Не существует

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n - 2)(m - 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n - 2)(m - 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Самостоятельно проверьте остальные случаи.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники, перечисленные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Тема. «Многогранник. Элементы многогранника – грани, вершины, ребра».

Цели. Создать условия для расширения теоретических знаний о пространственных фигурах: ввести понятия «многогранник», «грани», «вершина», «ребро»; обеспечить развитие у школьников умения выделять главное в познавательном объекте; содействовать развитию пространственного воображения учащихся.

Учебные материалы. Учебник «Математика. 4 класс» (авт. В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева); компьютер; проектор; презентация «Многоугольники»; печатные бланки «Координатный угол», «Многоугольники», «Задача»; модели многогранников, развертки многогранников; зеркала; ножницы.

ХОД УРОКА

Перед началом урока дети распределяются на три группы соответственно уровню знаний – высокий, средний, низкий.

Учитель. Дорогие мои непоседы, в очередной раз я приглашаю вас в увлекательный мир математики. И я уверена в том, что и на этом уроке вы узнаете новое, закрепите изученное и сможете полученные знания применить на практике.

Сегодня наш урок мне хочется начать словами английского философа Роджера Бэкона о математике: «Тот, кто не знает математики, не может изучить другие науки и не может познать мир». Я думаю, что на уроке мы непременно найдем подтверждение словам этого философа.

У. На уроках математики в 1-м, 2-м, 3-м классах мы изучали различные плоские геометрические фигуры, а также учились их строить. Я предлагаю вам построить в координатном угле плоские фигуры по данным координатам.

Задание выполняется на печатных бланках.

Группа 1

Постройте фигуру, если известны координаты А (0; 2), В (2; 5), С (9; 2). Какая фигура получилась?

Группа 2

Постройте прямоугольник, если точки А (3; 2) и В (6; 5) – его противоположные вершины. Назовите координаты противоположных вершин. Как по-другому называется эта фигура?

Группа 3

Постройте фигуру, если известны координаты ее вершин А (2; 3), В (2; 6), С (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), М (5; 1). Какая фигура получилась?

– Как можно назвать все эти фигуры?

Дети. Это многоугольники.

Слайд 1

У. Нам известно, что все многоугольники имеют вершины и стороны. Назовите и покажите их.

По одному человеку от группы выполняют задание у доски.

У. Сегодня я познакомлю вас с объемными геометрическими фигурами, которые называются многоугольниками. Их модели представлены у вас на столах.

На столах у учащихся объемные фигуры: куб, параллелепипед, пирамиды, призмы.

– Садитесь поудобнее, смотрите внимательно, слушайте старательно и запоминайте.

– Если взять 4 треугольника, то можно создать объемную фигуру – пирамиду . Из квадратов можно получить другую фигуру – куб, из прямоугольников – параллелепипед. У вас на столе еще одна фигура – призма, которая составлена из прямоугольников и треугольников. Все эти фигуры называются многогранниками .

Каждый из многоугольников (в данном случае треугольников) называют гранью многогранника. А стороны многоугольников называют ребрами многогранника. И, конечно же, вершины многоугольника будут вершинами многогранника. Вот так выглядит чертеж многогранника на листе бумаги.

Слайд 2

– Кажется, что фигура сделана из стекла. Как вы думаете, что изображено пунктиром на чертеже?

Д. Невидимые ребра.

Дети работают по рисунку у доски.

У. Итак, что это?

Д. Многогранник.

У. Назовите и покажите грани многогранника, его ребра и вершины.

Дети показывают указкой и перечисляют.

– Если разрезать пирамиду с вершины до основания по ребрам, то получится вот такая развертка.
А теперь, дорогие мои непоседы, отыщите на столе бланк с изображением многоугольника, внимательно прочитайте инструкцию:

1. Внимательно рассмотрите чертеж многоугольника.
2. Найдите нужную развертку многоугольника (модели на доске).
3. Соберите модель многоугольника.
4. Укажите число вершин __ , граней __ , ребер __ многоугольника.
5. Назовите каждую вершину __ , ребро __ , грань __ многоугольника.

Группа 1

Группа 2

Группа 3

– На доске представлены развертки многогранников. Попробуйте по чертежу отыскать развертку своей фигуры и собрать многогранник. Работайте вместе, и, я думаю, у вас все получится.

Проверка выполнения задания (слайды 3, 4, 5).

вершин – 8; ребер – 12; граней – 6;
вершины – M, B, C, A, X, K, O, T;
ребра – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
грани – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

вершин – 8; ребер – 12; граней – 6;
вершины – M, B, C, A, X, K, O, T;
ребра – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO;
грани – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

вершин – 12; ребер – 18; граней – 8;
вершины – Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C;
ребра – YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB;
грани – BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

У. Скажите, есть ли в окружающем нас мире предметы, которые имеют форму многогранников?

Выслушиваются ответы детей. Проводится импровизированная «прогулка» по школьному двору. Дети «рассматривают» модели школьного здания, подсобных помещений, которые имеют вид многогранников.

– Выполните задание:

Волк и Заяц склеили из цветной бумаги домик. Сколько граней каждого цвета потребовалось? Форму какого многоугольника имеет грань каждого цвета?

Слайд 6

У. Ребята, представьте себя архитекторами, дизайнерами или строителями и попробуйте решить задачи.

Найдите площадь, которую будет занимать новое школьное здание, если его длина 74 м, а ширина – 13 м. (Ответ: 962 кв. м. )

Площадь игровой площадки во дворе нашей школы равна 1080 кв. м. Это на 1320 кв. м меньше, чем площадь хоккейной площадки. Вычислите площадь хоккейной площадки. (Ответ: 2400 кв. м )

Под строительство нового здания для нашей школы отведен участок площадью 2500 кв. м. Известно, что здание будет шириной 13 м, длиной 74 м. Какая площадь участка останется под цветники и дорожки после постройки здания? (Ответ: 1) 962 кв. м; 2) 1538 кв. м )

Дети проверяют решения задач, объясняют, как решали.

Изображение

Тип правильного многогранника

Число сторон у грани

Число рёбер, примыкающих к вершине

Общее число вершин

Общее число рёбер

Общее число граней

Гексаэдр или куб

У. Оказывается, Роджер Бэкон был прав, сказав: «Тот, кто не знает математики, не может изучить другие науки и не может познать мир».

Учитель оценивает работу групп.

Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами.

Существует всего пять правильных многогранников:

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Тетраэдр

Тетраэдр (греч. фефсбедспн -- четырёхгранник) -- многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

· равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
· ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
· прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
· правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
· каркасный тетраэдр -- тетраэдр, отвечающий любому из условий:
· Существует сфера, касающаяся всех ребер.
· Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
· Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
· Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
· Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, -- описанные.
· Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
· соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
· инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Куб или правильный гексаэдр -- правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

Свойства куба

· Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками -- эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
· В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
· В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
· Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
· В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра -- внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле

многогранник икосаэдр октаэдр додекаэдр

где d -- диагональ, а -- ребро куба.

Октаэдр

Октаэдр (греч. пкфЬедспн, от греч. пкфю, «восемь» и греч. Эдсб -- «основание») -- один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба.

Октаэдр имеет одну звездчатую форму. Октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula -- звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера».

По сути она является соединением двух тетраэдров

Додекаэдр

Додекаэдр (от греч. дюдекб -- двенадцать и едспн -- грань), двенадцатигранник -- правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Основные формулы:

Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:

Объем додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Элементы симметрии додекаэдра:

· Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

· Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр

Икосаэдр (от греч. ейкпуЬт -- двадцать; -едспн -- грань, лицо, основание) -- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин -- 12.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

радиус вписанной сферы:

радиус описанной сферы:

Свойства

· Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
· В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
· Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
· В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
· Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12?5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12?5=90.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.