Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, МÌ Х, аÎХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 - изолированная точка множества (-1,0)È{1}.

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х n ÎM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

1. МÌ . Это следует непосредственно из определения замыкания.

2. Если М Ì N, то Ì . Действительно, если a Î , a ÏМ, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому aÎ . Для точек из М это ясно по определению.

4. .

5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M Ì X называется замкнутым, если = M.

Множество M Ì X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M Ì X называется всюду плотным в X, если = X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)ÌM при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)ÌХ/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются , \) и \(\) , не содержащий точек множества \(F\) , причем либо \(a=-\infty\) , либо \(a\in F\) . Теперь ясно, что интервал \((a,b)\) содержит точку \(x\) и является смежным интервалом множества \(F\) . Легко видеть, что если \((a_1,b_1)\) и \((a_2,b_2)\) - два смежных интервала множества \(F\) , то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества \(F\) . Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы \((-\infty,0)\) и \((1,+\infty)\) . После этой операции у нас останется отрезок \(\) . Далее, удалим из этого отрезка интервал \(\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\) , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков \(\left\) и \(\left[\frac{2}{3},1\right]\) удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой \(P\) .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество \(P\) замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество \(P\) не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество \(P\) называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество \(P\) совершенно. Действительно, если бы некоторая точка \(x\) была изолированной точкой множества \(P\) , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества \(P\) не имеют общих концов.

Множество \(P\) не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал \(\delta\) целиком принадлежит множеству \(P\) . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на \(n\) -м шаге построения множества \(P\) . Но это невозможно, так как при \(n\to\infty\) длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество \(P\) имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть \(f(x)\) - непрерывная функция, заданная на отрезке \(\) . Зафиксируем число \(\alpha\) и рассмотрим множество тех точек \(x\) , для которых \(f(x)\geqslant\alpha\) . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке \(\) . Точно так же множество точек \(x\) , для которых \(f(x)>\alpha\) , может быть каким угодно открытым множеством \(G\subset\) . Если \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots\) есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке \(\) , то множество тех точек \(x\) , где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др.

Исследования Н. Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называется замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на и - любое число.

Множества 1) , 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если- замкнутое множество, то - открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка, для которой

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если - открытое множество, то - замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последовательность точек , и . Но - открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть - непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

где - совокупность внутренних точек - это открытое ядро , - совокупность внутренних точек - это открытое ядро , - совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, + тоже открыто, = замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда , - открытое ядро, - открытое ядро ,- граница (не принадлежит ).

Пример 5. - множество точек с рациональными координатами. - открытое ядро - пустое множество, - открытое ядро - пустое множество, - граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть и все замкнуты. Если и , то все при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если - замкнутое множество, то .

Точка называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств. Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты, а несобственные интервалы и открыты. Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек. Множество, состоящее из точек

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку , которая принадлежит множеству.

Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.

3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества и обозначим через множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству . Ясно, что если есть внешняя точка для , то она является внутренней точкой для множества и обратно.

4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть - замкнутое множество. Интервал , обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству , а точки и принадлежат , называется смежным интервалом множества . К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или , если точка или точка принадлежит множеству , а сами интервалы с не пересекаются. Покажем, что если точка не принадлежит замкнутому множеству , то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества , расположенную правее точки . Так как сама точка не принадлежит множеству , то можно представить в форме пересечения

Каждое из множеств и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству . Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале , то оно ограничено снизу. Обозначим через его нижнюю грань. Согласно предложению 3, , а значит . Далее, так как есть нижняя грань множества , то полуинтервал , лежащий левее точки , не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества . Итак, мы построили полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо точка принадлежит множеству . Аналогично строится полуинтервал , не содержащий точек множества , причем либо , либо . Теперь ясно, что интервал содержит точку и является смежным интервалом множества . Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества , то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества . Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и . После этой операции у нас останется отрезок . Далее, удалим из этого отрезка интервал , составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой .

Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество называется совершенным , если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество совершенно. Действительно, если бы некоторая точка была изолированной точкой множества , то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества не имеют общих концов.

Множество не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству . Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на -м шаге построения множества . Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа. Пусть - непрерывная функция, заданная на отрезке . Зафиксируем число и рассмотрим множество тех точек , для которых . Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке . Точно так же множество точек , для которых , может быть каким угодно открытым множеством . Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке , то множество тех точек , где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств . Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам - Н.Н. Лузину и его ученикам П.С. Александрову, М.Я. Суслину, А.Н. Колмогорову, М.А. Лаврентьеву, П.С. Новикову, Л.В. Келдыш, А.А. Ляпунову и др.

Исследования Н.Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

В курсе математического анализа на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких «новых» тем — это открытые и замкнутые множества . Постараемся дать пояснения по данной тематике.

Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов :
∈ — принадлежит
∅ — пустое множество
Ε — множество действительных чисел
х* — закреплённая точка
А* — множество граничных точек
: — такое, что
⇒ — следовательно
∀ — для каждого
∃ — существует
U ε (х) — окрестность х по ε
Uº ε (х) — проколотая окрестность х по ε

Итак,
Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε — открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0: U ε (y) < M

Простым языком — открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)

Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E — граничная точка, если ∀U ε (x) ∩ М ≠ ∅ и ∀U ε (x) ∩ Е\М

Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок

Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).

Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.

Теорема 1: Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.

В = Е\А

Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В — незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.

Теорема 2: Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = Е\А
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В — замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.

Теорема 3: Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U ε (x) ∩ Е\С ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что Е\С ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.

Математический анализ — это фундаментальная математика, сложная и непривычная для нас. Но надеюсь, что-то стало понятнее после прочтения статьи. В добрый путь!

Posted by |