Задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ по математике. Приемы и секреты

Слайд 2

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2+8х + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо: k = f ′(xo) = 4 Производная функции f′(x) = (х2+8х + 6)′= 2x +8. Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo+ 8 = 4, откуда хо = – 2. Ответ: – 2. №1

Слайд 3

Прямая у = 3х + 11является касательной к графику функции у = x3−3x2− 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6имеет угловой коэффициент, равный 3. Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке −1равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8= −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательнойне удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11. Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1. Ответ: −1. №2

Слайд 4

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке –4. Ответ:–4. №3 – у = f ′(x) f(x)

Слайд 5

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8).Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку[– 6; 6]. Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+». Ответ: 3. №4 + – – + у = f ′(x)

Слайд 6

Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале. №5 На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8). . Ответ: 4. – + у = f ′(x)

Слайд 7

№6 На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней. Ответ: 4. Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x+ 2или совпадает с ней, то ее угловой коэффициентk =–2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4. у = f ′(x) у = –2

Слайд 8

№7 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 6. Решение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x)убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции. Таких точек 6: х = −4, х = −3, х = −2, х = −1, х = 0, х = 3. –2 –1 –3 –4 0 3 у = f(x) –6 5 у х

Слайд 9

0 у = f(x) –6 6 у х 2 4 6 3 5 1 №8 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5. Ответ: 6. Решение: Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f′(х)= 0. В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6. у = –5 –5

Слайд 10

№9 На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. Ответ: 1,25. Решение: Значение производной функции f′(хo)= tgα = k равноугловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0, так как α– острый угол (tgα > 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tgα =ВС: АС = 5: 4 = 1,25 у = f(x) 4 А В С 5 хо α α

Слайд 11

180°− α №10 На рисунке изображен график функцииу = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. Ответ: −0,75. Решение: Значение производной функции f′(хo)= tgα = k равноугловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k

Слайд 12

На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. у х у = f ′(x) 0 Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума. – + – + – + х1 х2 х3 х4 х5 max max Ответ: 2. f(x) –10 10 №11

Слайд 13

Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а. Решение: Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания: ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11. Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15. №12

Слайд 14

Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо: 9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0, –9xo2+25 = 0, хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34. №13

Слайд 15

Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с. Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19. №14

Слайд 16

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с. Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равна x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2, x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с. Ответ: 4. №15

Слайд 17

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с? Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равна x ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2, Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с. Ответ: 6. №16

Слайд 18

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6. Ответ: 6. №17 у = f ′(x)

Слайд 19

На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. у = f ′(x) + + Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции. Таких точек 7: х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7. Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20 7 5 3 -3 Ответ: 20.

Слайд 20

Используемые материалы

ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с. http://mathege.ru/or/ege/Main− Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года

Посмотреть все слайды

Подготовка к ГИА. Задание В

Выпишите основы предложений 1. Учёные построили глобусы с материками и океанами, нарисовали карты. 2. Но глобусы и карты были только моделью Земли. 3. Всю Землю целиком охватить глазом никому не удавалось. 4. Но вот произошло великое событие. 5. Случилось оно 12 апреля 1961 года. 6. Именно в этот день с космодрома Байконур стартовал в космос первый человек. 7. Звали его Юрий Алексеевич Гагарин, и было ему двадцать семь лет. 8. В 9 часов 7 минут вспыхнуло пламя в двигателях ракет. 9. 20 миллионов лошадиных сил было в них, и все они заработали слаженно и одновременно. 10. Грохот поднялся невероятный. 11. Но люди всё равно услыхали, как Гагарин засмеялся и сказал: «Поехали!» 12. И в тот же миг ракета подпрыгнула и скрылась в голубом небе.

Проверь себя 1. Учёные построили, нарисовали 2. Глобусы и карты были моделью 3. Охватить не удавалось 4. Произошло событие 5. Случилось оно 6. Стартовал человек 7. Звали, было двадцать семь лет 8. Вспыхнуло пламя 9. 20 миллионов лошадиных сил было, они заработали 10. Грохот поднялся 11. Люди услыхали, Гагарин засмеялся и сказал, поехали 12. Ракета подпрыгнула и скрылась

Соотнеси подлежащее и способ его выражения 1. Сытый голодного не разумеет. 2. Семеро одного не ждут. 3. Готовиться к экзаменам не так-то просто. 4. Побеждают только верящие. 5. «Из» — это предлог. 6. Отец с сыном шли впереди. 7. Как мало бойцов уцелело. 8. Мы с ним были в театре. 9. Наконец-то наступило завтра. 10. Книга – источник знаний. 1. Имя существительное 2. Причастие 3. Числительное 4. Глагол 5. Сущ. + сущ. в тв. п. 6. Служебная часть речи 7. Наречие 8. Неопределённо-качественно е слово + сущ. в р. п. 9. Мест. + мест. 10. Прилагательное ПРОВЕРЬ

1 — 10 2 – 3 3 — 4 4 — 2 5 — 6 6 — 5 7 — 8 8 — 9 9 — 7 10 —

Сказуемое ПРОСТОЕ СОСТАВНОЕ Простое глагольное Глагол в спрягаемой форме Составное глагольное Составное именное Вспомогательная часть + инфинитив Связка + Именная часть

Найдите грамматическую основу, определите, чем выражены главные члены. 1. И мне захотелось бежать из детдома куда-нибудь. 2. И их мужья были живы и здоровы. 3. Полетишь на космическом корабле астрономом, инженером или врачом. 4. Мы с радостью встретили гостей. 5. Жить – Родине служить.

Укажите правильный вариант синтаксической характеристики сказуемого в предложениях 1. Древняя Русь искони знала тонкое искусство чернёного серебра. А) простое глагольное Б) составное глагольное В) составное именное А

Укажите правильный вариант синтаксической характеристики сказуемого в предложениях 2. Чернение по серебру – это своеобразная гравюра на металле, рассчитанная на долгую жизнь, на века. А) простое глагольное Б) составное глагольное В) составное именное В

Укажите правильный вариант синтаксической характеристики сказуемого в предложениях 3. Борис и Глеб стали литературными героями созданных в древнейшую пору житийных произведений. А) простое глагольное Б) составное глагольное В) составное именное В

Укажите правильный вариант синтаксической характеристики сказуемого в предложениях 4. Мне приходилось встречаться с героями древнерусского сказания о Борисе и Глебе в забайкальских степях, на берегах Днепра и Северной Двины, в Киеве и Москве. А) простое глагольное Б) составное глагольное В) составное именное Б

Характеристика предложения Простое Сложное Одна грамматическая основа Две и более грамматических основ Союзное Бессоюзное ССП СПП

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Я устал на охоте с лисицами, и мне захотелось где-нибудь отдохнуть

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Лес был завален глубоким снегом, и сесть было некуда.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Случайно взгляд мой упал на дерево, вокруг которого расположился гигантский, засыпанный снегом муравейник.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Я взбираюсь вверх, сбрасываю снег, разгребаю сверху этот удивительный муравейный сбор из хвоинок, сучков, лесных соринок и сажусь в тёплую ямку в муравейнике.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Муравьи, конечно, об этом ничего не знают: они спят глубоко внизу.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Несколько повыше муравейника кто-то содрал с дерева кору, и белая древесина, довольно широкое кольцо, была покрыта густым слоем смолы.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Колечко прекращало движение соков, и дерево неминуемо должно было погибнуть.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Бывает, такие кольца на деревьях делает дятел, но он не может сделать так чисто.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Скорее всего, подумал я, кому-нибудь нужна была кора, чтобы сделать коробочку для сбора лесных ягод.

Укажите верную характеристику предложения, выбрав номер характеристики 1. Простое предложение 2. ССП 3. СПП 4. СБП Отдохнув хорошо на муравейнике, я ушёл и вернулся случайно к нему, когда стало тепло и муравьи проснулись и поднялись наверх.

Выпишите грамматическую основу предложения Техника сделала могущественными каждое государство в целом и человечество в целом. Техника сделала могущественными

Выпишите грамматическую основу первой части сложного предложения И ещё сказывают, будто брал он за постой не только живую денежку, но не брезговал ни овсом, ни нательным крестом. Сказывают

Выпишите грамматическую основу предложения И не было на горизонте даже отдельных признаков грядущей научно-технической революции или хотя бы информационного бума. Не было

Выпишите грамматическую основу предложения Этот «прибор» можно назвать голосом Бога внутри нас. Можно назвать

Выпишите грамматическую основу предложения Бескорыстие его было беспримерным. Бескорыстие было беспримерным

Выпишите грамматическую основу предложения Таких больших чёрных глаз нет ни у кого больше. Нет

Укажите количество грамматических основ в предложении. И тогда оказалось, я напрасно стерёг домашний уют, где три года хранился непромокаемый плащ: при встрече с первым дождём мой плащ промок.

Укажите количество грамматических основ в предложении Утром раджа вышел к бассейну, чтобы искупаться в молоке, и обнаружил, что бассейн заполнен простой водой.

В 1 Укажите количество грамматических основ в предложении Тихий, молчаливый, сдержанный, он появлялся в мастерских, где ещё только заканчивались будущие шедевры живописи, и, случалось, покупал их для своей галереи прежде, чем они успевали появиться на выставке.

Укажите количество грамматических основ в предложении Раздумывая, вспоминая фронтовое время, когда в голодной окопной военной жизни исключено было, чтобы при виде раненого пройти мимо него.

Укажите количество грамматических основ в предложении Всё в нём было как-то празднично и необычайно: крупная, красивая фигура, бледное лицо, высоко зачёсанный кок светло-золотистых волос, белесоватые ресницы, резко вычерченные и слегка трепещущие ноздри.

Укажите количество грамматических основ в предложении И хоть законом строго запрещено убивать самок тюленей, у которых маленькие детёныши есть, но в спешке бывали случаи, что и убивали.

Выпишите грамматическую основу предложения Месяц удивительно близок был на этот раз к земле и прямо смотрел мне в лицо с грустным и бесстрастным выражением. Месяц был близок. смотрел

Выпишите грамматическую основу предложения Подземные болота, окружавшие площадь, как и в древние времена, тоже не имели выхода. Болота не имели выхода

Выпишите грамматическую основу предложения В тумане двигаются толпы оборванцев, мелькают около туманных, как в бане, огоньков Толпы оборванцев двигаются, мелькают

Выпишите грамматическую основу предложения До всего этого крушения Корней Иванович не дожил, хотя и назвал имя главной смертельной болезни бюрократического государства – канцелярит. Корней Иванович не дожил, назвал

Выпишите грамматическую основу предложения И вдруг вижу под изгородью выпавшее оттуда гнездо и все начинаю понимать. Вижу, начинаю понимать

Выпишите грамматические основы предложений 1. Он без остатка отдал свое сердце России – ее лесам и деревушкам, околицам, тропинкам и песням. 2. А вдруг зал будет не полный? 3. В ней быстро ходили взад и вперед, издавая глухое рычание, потрясая гривами и сверкая глазами, три молодых африканских льва. 4. В Лондоне Андерсен встретился с Диккенсом и был в гостях у него в маленьком доме на взморье. 5. Так-то и разбойник по прозванию Опта в четырнадцатом или пятнадцатом веке, намахавшись кистенем, раскаялся в конце концов и решил спасаться.

Проверь 1. он отдал сердце 2. зал будет не полный 3. три льва ходили 4. Андерсен встретился, был в гостях 5. разбойник раскаялся, решил спасаться

Какое из приведённых ниже предложений является односоставным? 1) Кривые переулки Арбата были засыпаны снегом. (А. Толстой.) 2) Юная жена с утра до вечера - в лаборатории. . . (В. Токарева.) 3) Там на неведомых дорожках - следы невиданных зверей. (А. Пушкин.) 4) Ведут коней на водопой (М. Лермонтов).

Какое из предложений является двусоставным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (С. Есенин.)

Какое из предложений является двусоставным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (Односоставное, назывное) (Двусоставное) (Односоставное, безличное) (Односоставное, назывное)

Какое из предложений является безличным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (С. Есенин.)

Какое из предложений является безличным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (Односоставное, назывное) (Двусоставное) (Односоставное, безличное) (Односоставное, назывное)

Какое(ие) предложение(я) в этом тексте является назывным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (С. Есенин.)

Какое(ие) предложение(я) в этом тексте является назывным? (1) Какая ночь! (2) Я не могу. (3) Не спится мне. (4) Такая лунность. (Односоставное, назывное) (Двусоставное) (Односоставное, безличное) (Односоставное, назывное)

Какое из приведённых ниже предложений является определённо-личным? 1) Невозможно общаться с человеком одной темы. (В. Токарева.) 2) Я красивых таких не видел. . . (С. Есенин.) 3) Разве жить без русского простора небу с позолоченной резьбой? (Н. Тихонов.) 4) Но, прошу вас, не глядите на меня с недоверием или подозрением. (А. Куприн.)

Какое из приведённых ниже предложений является неопределённо-личным? 1) Мудрено про тебя говорят. (А. Блок.) 2) Ей с трудом удалось уснуть. (А. Куприн.) 3) После разлуки живём тихо и уступаем другу. (А. Толстой.) 4) Доколе коршуну кружить? (А. Блок.)

Какое предложение в этом тексте является назывным? (1) Нигде жилья не видно на просторе. (2) Вдали огня иль песни - и не ждёшь! (3) Всё степь да степь. (4) Безбрежная, как море, волнуется и наливает рожь. (А. Фет)

Какое предложение в этом тексте является обобщённо-личным? (1) Нигде жилья не видно на просторе. (2) Вдали огня иль песни - и не ждёшь! (3) Всё степь да степь. (4) Безбрежная, как море, волнуется и наливает рожь. (А. Фет)

Какое предложение в этом тексте является безличным? (1) Нигде жилья не видно на просторе. (2) Вдали огня иль песни - и не ждёшь! (3) Всё степь да степь. (4) Безбрежная, как море, волнуется и наливает рожь. (А. Фет)

Укажите тип односоставного предложения, в котором грамматическая основа может быть выражена глаголом в повелительном наклонении. 1) определённо-личное 2) неопределённо-личное 3) обобщённо-личное 4) безличное Проверка. Так забудь же про свою тревогу, не грусти так шибко обо мне. Не ходи так часто на дорогу в старомодном ветхом шушуне. (С. Есенин)

1) безличное 2) неопределённо-личное 3) обобщённо-личное 4) назывное Укажите тип односоставного предложения, в котором грамматическая основа может быть выражена глаголом в форме 2 -го лица единственного числа.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем - вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен . А объем пирамиды равен . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: .

. Объем куба равен . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали . Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба.

Ответ: .

Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен . Осталось решить уравнение:

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто - разложите его на множители.

Ответ: .

. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны , а объем равен .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
. Она равна . Поскольку ,
высота равна .

. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом градусов. В ответе укажите .

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, - смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол .

Из прямоугольного треугольника находим, что . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на .
Ответ: .

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами , а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
.

Итак, площадь основания равна . Осталось найти высоту.

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
.

Ответ: .

. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы , и градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок . Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией на переднюю грань будет отрезок .
Из прямоугольного треугольника найдем . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок ) находится аналогично. Она тоже равна . Объем параллелепипеда равен .

Ответ: .

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно . Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что - основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен . В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна . Тогда объем пирамиды равен .

Ответ: .

. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: .

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок - значит, повезло. Рисунок - это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» - не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты:-)

. Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Обратите внимание, что . Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: .

Вершина куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Здесь главное - понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: .

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

. Объем треугольной пирамиды равен . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и .

Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и общее основание . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. - высота пирамиды , - высота пирамиды . Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники и подобны, .

Значит, . Объем пирамиды равен объема пирамиды .

Ответ: .

. Ребра тетраэдра равны . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр - правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок параллелен (поскольку является средней линией треугольника . И отрезок тоже параллелен , потому что является средней линией треугольника . Значит, параллелен . Аналогично параллелен . Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию - она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, - ромб, все стороны которого равны . Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка ) проецируется в центр основания (точка ). В основании - правильный треугольник. Значит, точка будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда перпендикулярен .

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. является проекцией на плоскость основания, следовательно, отрезок тоже перпендикулярен . И тогда - квадрат. Его площадь равна .

А теперь - самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

. Объем тетраэдра равен . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: .

Ответ: .

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Обратите внимание, нарисован куб, а написано - параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их и . Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ - тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам - , , и . А объем каждой из них легко посчитать - мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды равен объема параллелепипеда.

Ответ: .

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены - от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче :