Вычисление дискретного логарифма. Что такое логарифм. Защищаемся от Side channel атак
Кстати, после завтрашнего апдейта можно будет прикручивать бесплатный TLS к dyndns хостам! Это суперкруто, все хомяки теперь будут с сертификатами.
Защищаемся от Side channel атак
Не секрет, что нынче информацию о ключах шифрования можно удаленно снимать чуть ли не через вентилятор. Поэтому, все большую популярность обретают constant-time алгоритмы, которые не зависят от входных данных. Немцы выпустили минимальные требования для реализаций, выполнение которых усложнит задачу получения секретных данных через побочные каналы данных. , советую ознакомиться.
На этом у меня всё, до новых встреч!
130 Глава 10. АЛГОРИТМ СИЛЬВЕРА - ПОЛЛИГА - ХЭЛЛМАНА
Запись показателя в виде дроби корректна, поскольку один из сомножителей числителя, а именно u , делится наp , т.е. дробь является обычным целым числом.
Очевидно, r p p , j = b ju = 1 , следовательно, элементыr p , j - корни степениp
из единицы. Аналогичным образом заполним все строки таблицы R .
Дальнейшая работа сводится к вычислениям, в результате которых появляются элементы, являющиеся корнями степени p из единицы в поле.
Для каждого такого элемента будет необходимо определить его позицию
j (номер колонки) в строке таблицыR с меткой | ||||||||
Поскольку в каждой строке элементы различны, то для данного числа |
||||||||
соответствующую ему позицию мы определим однозначно. | ||||||||
Для этого, | конечно, мы должны быстро просмотреть строку таблицы R , |
|||||||
что возможно, поскольку число q − 1 - гладкое. | ||||||||
10.3. Алгоритм дискретного логарифмирования | ||||||||
Предположим, что x представлен в | p -ичной системе счисления. Тогда |
|||||||
его вычет по | модулю p a | имеет вид | x = x | X p +K+x | a− 1 | p a − 1 modp a , |
||
0 ≤x i ≤p −1 . | ||||||||
Обозначим | y0 = y. | определения | x k, | k = 0, K , a− 1 , |
||||
предложим следующую процедуру, которую обсудим позже. | ||||||||
Прежде всего, определяем x | как позицию | y u p | в строке с номером p |
|||||
таблицы R .
Алгоритм дискретного логарифмирования 131
k > 0 коэффициентx k | определяем как позицию элемента | yk u | p k+ 1 | |||||||||||||||||||||
yk = y0 | b h(k) , | |||||||||||||||||||||||
h(k) = x+ x p+K+ x | p k− 1 . | |||||||||||||||||||||||
k − 1 | ||||||||||||||||||||||||
Повторив процедуру | делящего | q − 1 , | получаем |
|||||||||||||||||||||
значения | x modp a , | помощью китайской | остатках |
|||||||||||||||||||||
восстанавливаем x mod (q − 1 ) . | ||||||||||||||||||||||||
Обоснуем процедуру определения x k . | ||||||||||||||||||||||||
Вычислим y 0 u p . Очевидно, | y 0 u p- | корень степени | p из единицы, причем |
|||||||||||||||||||||
y u p= y u | p = b xu p= b x0 u p+ (x− x0 ) u | x − x | X p +K+x | a− 1 | p a − 1. | |||||||||||||||||||
Кроме того, число x 0 u | p является целым, т.к.u делится на | |||||||||||||||||||||||
В выражении (x − x 0 ) u p оба сомножителя делятся на | p . Разделив на | |||||||||||||||||||||||
сомножитель, | получаем, | что (x − x | p = ku, | B x 0 u | ||||||||||||||||||||
Сравнив с обозначением r | p , получаем, чтоy u p | j = x. | ||||||||||||||||||||||
Это позволяет определить | Как позицию | y u p в строке таблицы | R с |
|||||||||||||||||||||
меткой p . | ||||||||||||||||||||||||
Уничтожим теперь x | в показателе степени b x , | разделив | b x 0. |
|||||||||||||||||||||
Обозначим результат через y 1 :y 1 = y 0 b x 0 p 0 и вычислимy 1 u p 2 = b u (x − x 0 ) p 2 .
члены, кроме ux 1 p p 2 , кратныu и на значениеb u (x − x 0 ) p 2 не влияют.
132 Глава 10. АЛГОРИТМ СИЛЬВЕРА - ПОЛЛИГА - ХЭЛЛМАНА
Поскольку u делится на | также целое, |
|||||||||||||||||
откуда y u | p2 = b x1 u p= r | j = x . Таким образом, | x равен позиции | y u p2 |
||||||||||||||
в строке с меткой p таблицыR . | ||||||||||||||||||
Для определения | уничтожим | в показателе степени b x − x 0 , разделив |
||||||||||||||||
b x1 p1 . | b x0 p0 + x1 p1 | B d , | ||||||||||||||||
d = x2 p2 +K+ xa − 1 pa − 1 . | ||||||||||||||||||
Вычисляем y u p 3 | B x2 u p= r | j = x , что позволяет определитьx |
||||||||||||||||
по таблице R и т.д., пока не определимx a − 1 . | ||||||||||||||||||
10.3.1. Пример вычисления дискретного логарифма | ||||||||||||||||||
В поле F 37 , приb = 2 , найти дискретный логарифм элемента 28. | ||||||||||||||||||
Решение. Задача сводится к решению в поле F | уравнения 28 = 2 x . | |||||||||||||||||
q = 37 | является | степенью | простого | числа, поэтому |
||||||||||||||
операции в поле совпадают с операциями в поле вычетов по модулю 37, в частности, деление есть умножение на обратный элемент.
u = q − 1= 36= 22 32 , | следовательно, | имеем два | |||||||||
делителя: 2 и 3. | |||||||||||
Составим таблицу | со строки с меткой p = 2 . | Вычислим |
|||||||||
B j (q − 1 )2 | для j = 0,1 | 2 (q − 1 ) 2 ≡ −1 (37 ) . | |||||||||
2, j | |||||||||||
Элементами строки с меткой 3 | являются числа: | B j (q − 1 )3 , | j = 0,1,2, |
||||||||
3, j | |||||||||||
т.е. r 3,0 = 1 ,r 3,1 = 2 36 3 ≡ 26 (37 ) ,r 3,2 = 2 2 36 3 ≡ 2 24 ≡ 10 (37 ) . ТаблицаR имеет следующий вид.
Алгоритм дискретного логарифмирования 133
Таблица 4. Корни из единицы степеней 2 и 3
Найдем вычет | x = x | X p +K+x | a− 1 | pa − 1 | mod p a , | при p = 2 ,a = 2 . |
Число шагов равно | a = 2 . Итак, необходимо определить | x 0 , x 1 . Найдемx 0 . |
||||
Вычислим y 0 u p = 28 18 ≡ 1 (37 ) . Позиция единицы в строке 2 таблицыR равна
0, следовательно, x 0 = 0 .
Вычислим y , | уничтожив член с | в показателе числа b x : | y = y | b x0 p0 . |
|||||||||||
Поскольку x | то y = y . | Возводим y | в степень u | p 2, | p 2= 4 : |
||||||||||
y u 4= 28 36 4= − 1 (37 ) . | |||||||||||||||
Позиция числа (-1) в строке 2 таблицыR равна 1, следовательно, | x 1= 1 . |
||||||||||||||
Итак x = x 0 + x 1 p = 2 mod 4. | |||||||||||||||
Найдем вычет | x mod p a , при | p = 3 ,a = 2 . Число шагов равноa = 2 . |
|||||||||||||
y 0 u p = 28 12 ≡ 26 (37 ) . Позиция | 26 в строке 3 таблицы | ||||||||||||||
следовательно, | x = 1 , поэтому | y = y | b x 0 p 0 = 14. | ||||||||||||
Возводим | в степень | p 2, | p 2= 9 : | y u9 | 1436 9 = 10(37) , |
||||||||||
следовательно x 1 = 2 . Итак, | x = 7 mod9. | ||||||||||||||
Z p r Z
134 Глава 10. АЛГОРИТМ СИЛЬВЕРА - ПОЛЛИГА - ХЭЛЛМАНА
систему сравнений x = 2 mod4 ,x = 7 mod9 :9 − 1 (4 ) = 1 , |
|
4− 1 (9) = 7, | x ≡ 2 9(9− 1 mod 4) + 7 4(4− 1 mod 9) = 214, т.е. |
x ≡ 34 mod36.
10.3.2. Логарифмирование в группе единиц кольца вычетов по модулю pr .
Существование частных методов дискретного логарифмирования в конечном поле приводит к необходимости построения больших простых чисел со специальными свойствами. В качестве подхода, позволяющего снизить величины генерируемых простых чисел, можно, в принципе, рассмотреть использование в протоколе Диффи-Хэллмана операцию приведения по модулю
существует первообразный элемент γ , степени которого представляют все вычеты, взаимно простые с модулем. Эти вычеты образуют вмультипликативную группуU (p r ) изϕ (p r ) элементов (т.н. группу единиц).
Можно показать , что если γ p - первообразный корень в поле
GF (p ) , то одно из чиселγ = γ p + kp , гдеk { 0,1 } , удовлетворяет условию
(γ p + kp ) p − 1 ≠ 1 (mod p 2 ) и является первообразным корнем по любому модулюp α ,α > 1 . Заметим, что пары чиселa ,p , для которых выполняется соотношениеa p − 1 = 1mod p 2 , встречаются редко. Поэтому будем считать, что
γ = γp .
Таким образом, любой из ϕ (p r ) = p r − 1 (p − 1 ) вычетовb U (p r ) можно
представить в виде b = γ x mod p r .
Алгоритм дискретного логарифмирования в группе единиц… 135
Соответственно, задача дискретного логарифмирования в группе единиц кольца Z p r Z состоит в определении вычетаx поmod ϕ (p r ) , исходя изb и
γ .
К сожалению, использование модуля p r не дает преимуществ, поскольку
при наличии эффективного алгоритма логарифмирования в простом поле
GF (p ) логарифмирование в группе единиц кольца вычетов по модулюp r ,r > 1 , практически всегда можно осуществить, воспользовавшись свойствами так называемого обобщенного отношения ФермаL m (a ) .
Областью определения отображения L m (a ) является группаU (m )
вычетов по модулю m , взаимно простых с модулем. По теореме Эйлера,
существует λ :a ϕ (m ) − 1 = λ m . ЗначениеL m (a ) определяется как вычет числаλ по модулюm :L m (a ) = a ϕ (m m ) − 1 (mod m ) .
Легко убедиться, что отношение Ферма обладает следующими замечательными свойствами.
Lm (ab) = Lm (a) + Lm (b)(mod m) ,
Lm (a+ mc) = Lm (a) + ϕ (m) ca- 1 (mod m) ,
где a, b U(m) , c ZmZ.
r > 1 . Заметим, | что в этом случае, |
|||||
(a+ mc) = L(a) + (pr − pr − 1 ) ca- 1 (mod m) = L(a) (mod pr − 1 ) . | ||||||
образом, если a ≡ b (mod m ) , то | L (a) ≡ L(b) (mod pr − 1 ) . | |||||
L (γ ) = 0(modp r − 1 ) , | определения | L (γ ) следует, что |
||||
γ ϕ (m ) = 1(modp 2 r − − 2 ≤ r − 1 , т.е.
r ≤ 1 , что противоречит
Если L
(γ )= 0 (mod m ), то
(γ ) = 0(modp r − 1 ) и r ≤ 1 .
Аналогично, при L
(γ ) = pt (modp r − 1 ) ,
получаем
γ ϕ (m ) = 1(modp r + 1 ) ,
что невозможно, т.к. ϕ (p r + 1 ) > ϕ (m ) .
Таким образом, элемент L m (γ )
p и, следовательно,
обратим по модулю p r − 1 .
Рассмотрим задачу логарифмирования
в группе единиц кольца
Z mZ ,
эффективный алгоритм
логарифмирования в кольце
известен.
Из соотношения b = γ x mod p r
b = γ x mod p,
известно значение x по модулю
p − 1 . Если мы найдемx (mod p r − 1 ) , то
значение
по модулю ϕ (m ) = p r − 1 (p − 1 )
можно вычислить по китайской
теореме об остатках.
Очевидно,
что значение x (mod p r − 1 )
легко определить
из сравнения
L (b) = xL(γ ) (mod pr − 1 ) .
необходимо
вычислять
значения
h = Lm (a) (mod pr − 1 ) .
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Валентина:
Вы спасли нашего сына от увольнения! Дело в том что недоучившись в институте, сын пошел в армию. А вернувшись, восстанавливаться не захотел. Работал без диплома. Но недавно начали увольнять всех, кто не имеет «корочки. Поэтому решили обратиться к вам и не пожалели! Теперь спокойно работает и ничего не боится! Спасибо!
Пример 13.13
Для какого значения n группа имеет примитивные корни: 17, 20, 38 и 50 ?
Решение
a. 
имеет примитивные корни, потому что 17
- простое число (p t
, где t
равно 1
).
b. 
не имеет никаких примитивных корней.
c. 
и 19
- простое число.
d. 
имеет первообразные
корни, потому что 
, а 5
- простое число.
Если группа имеет примитивный корень, то обычно она имеет несколько таких корней. Число примитивных корней может быть вычислено как - . Например, число примитивных корней - это - . Обращаем внимание, что нужно сначала проверить, имеет ли группа какой-либо примитивный корень, прежде чем находить число корней.
Если группа G = < Z n* , x > имеет хотя бы один примитивный корень, то число примитивных корней - ( (n))
Рассмотрим три вопроса:
1. Если дан элемент a и группа , как можно определить, является ли a примитивным корнем G ? Это не такая легкая задача.
а. Мы должны найти , - эта задача по сложности подобна задаче разложения на множители числа n .
б. Мы должны найти 
.
2. Если дана группа , как найти все примитивные корни ? Эта задача более трудная, чем первая задача, потому что мы должны повторить вычисления по п.1.б для всей группы.
3. Если дана группа , то как выбирать примитивный корень G ? В криптографии мы должны найти, по крайней мере, один примитивный корень в группе. Однако в этом случае значение n выбирается пользователем, и пользователь знает . Пользователь пробует последовательно несколько элементов, пока не находит первый из них.
Циклическая группа . Циклические группы уже обсуждались в лекциях 5-6. Обратите внимание на то, что, если группа имеет примитивные корни, то они циклически повторяются. Каждый примитивный корень - генератор и может использоваться для создания целого набора. Другими словами, если g - примитивный корень в группе, мы можем генерировать набор Z n * как
Пример 13.14
Группа 
имеет два примитивных корня, потому что и 
. Можно найти примитивные корни - это 3
и 7
. Ниже показано, как можно создать целый набор Z 10*
, использующий каждый примитивный корень.
g = 3 -> g 1 mod 10 = 3 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 7 g 4 mod 10 = 1 g = 7 -> g 1 mod 10 = 7 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 3 g 4 mod 10 = 1
Обратите внимание, что группа 
всегда циклическая, потому что p
- простое.
Группа G = < Z n * , x > является циклической группой, если она имеет примитивные корни. Группа G = < Z p * , x > всегда является циклической.
Идея дискретного логарифма
. Группа 
имеет несколько интересных свойств.
Решение модульного логарифма с использованием дискретных логарифмов
Теперь рассмотрим, как решаются задачи типа y = a x (mod n) , т. е. дано y , а мы должны найти x .
Табулирование дискретных логарифмов . Один из способов решения вышеупомянутой проблемы - использовать таблицу для каждого Z p* и различных оснований. Этот тип таблицы может быть предварительно рассчитан и сохранен. Например, таблица 13.4 показывает значения дискретного логарифма для Z 7* . Мы знаем, что мы имеем два примитивных корня или основания в данном множестве.
| y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x = L 3 y | 6 | 2 | 1 | 4 | 5 | 3 |
| x = L 5 y | 6 | 4 | 5 | 2 | 1 | 3 |
Составив таблицы для других дискретных логарифмов для всех групп и всех возможных оснований, мы можем решить любую дискретную логарифмическую проблему. Этот подход подобен изучаемым в прошлом традиционным логарифмам. До появления калькуляторов и компьютеров таблицы использовались, чтобы вычислять логарифмы по основанию 10 .
Пример 13.15
Найдите x в каждом из следующих случаев:
a. 
b. 
Мы можем легко использовать таблицу 13.4 дискретного логарифма .
Определение. Пусть G = < G ; , 1 > - конечная группа, а и b - элементы группы G ; r = ordb . Натуральное число l называют дискретным логарифмом элемента а при основании b, если
Замечания.
а)
В
качестве группы G избираем мультипликативную
группу из ненулевых элементов конечного
поля F
r
б) Если q = р - простое число и b - первообразный корень по модулю р, то число l , определяемое условием (1.1), называют индексом числа а при основании b по модулю р.
в) Вместо термина "дискретный логарифм элемента а при основании b" употребляют также термин " индекс элемента а при основании b".
Обозначение. ind b a - дискретный логарифм элемента а при основании b . (Группа G обычно подразумевается из контекста.)
Задача определения дискретного логарифма элемента конечной группы может быть легко решена, если порядок группы не слишком велик и для этой группы составлена таблица индексов. При отыскании логарифма положительного действительного числа, если нет таблицы логарифмов или она недоступна, можно воспользоваться методом последовательного приближения. Он состоит в следующем. На каждом шаге применения этого метода интервал границ значения арифметического логарифма сужают вдвое. Так продолжая, легко определить значение этого логарифма с любой заранее объявленной точностью. Успех применения этого метода основан на использовании свойств неравенств. Ничего подобного нет в конечном поле. Точнее говоря, в конечном поле нельзя построить метод вычисления дискретного логарифма, подобный методу последовательного приближения. В самом деле, в конечном поле нельзя определить антисимметричное, транзитивное, связное бинарное отношение, согласованное с какой-нибудь операцией.
Алгоритм перебора - метод, который хотя бы теоретически может всегда привести к успеху. Он состоит в следующем. Пусть b - примитивный элемент данного конечного поля и a - другой какой-нибудь элемент того же поля. Чтобы найти ind b a, начиная, например, с п = 0, сравниваем элемент а с элементом b n , если a = b n , то ind b a = п, в противном случае находим b п+1 = b n b и опять сравниваем элемент а с элементом b п+1 и т.д. Если число элементов поля 2 100 или больше, то количество операций (умножений), необходимое для вычисления дискретною логарифма произвольного элемента конечного поля в приемлемое время, чрезвычайно велико и находится за пределами возможностей современных вычислительных машин.
Алгоритм согласования
Теорема 1
.
Пусть
t
,
r
- натуральные числа, r
2
t
. Для любого целого
l
можно указать целые числа х и у такие,
что
Доказательство
. Можем предполагать,
что
.
Полагаем
С другой стороны.
Теорема 2
.
Пусть
G
= < G,
,
1 > -конечная группа;
а и b элементы группы
G
;
t
= ord
b
;
(1.2)
Тогда число
l
можно найти, выполнив не более чем
операции
умножения на элементы группы
G
.
Доказательство
.
Полагаем
.
Рассмотрим ряды
(1.3)
Если
разрешимо
относительно l, представим l ввиде
Так как t = ord b , то b " = b xr+y = а в том и только в том случае, когда
,
(1.5)
т.е. когда найдется элемент ряда (1.3), который совпадет с каким-нибудь членом ряда (1.4).
Нетрудно сосчитать число
операций, позволяющих установить
равенство (1.2). При вычислении элементов
ряда (1.3) потребуется выполнить не более
r-2
умножений. Для вычисления
в силу следующей леммы
Education in Great Britain - Образование в Великобритании (5), устная тема по английскому языку с переводом
Иван петрович павлов, открытия
Мария значение имени - характер и судьба