Возведение в квадрат трехчлена. Квадратный трехчлен и его корни

Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В данной статье разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.

Квадрат суммы и квадрат разности

Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности:

Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:

37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.

Квадрат близкий к известному квадрату

Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:

На 1 больше:

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 меньше:

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 меньше

Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.

48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).

Квадрат чисел, заканчивающихся на 5

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Квадрат чисел близких к 50

Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60 , можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:

44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Квадрат трехзначных чисел

Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения:

Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат . Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный , наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.

Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».

Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.

Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Если в квадрат (не ) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в сохранится в исходном виде. Кроме того, при использовании математических функций, аргументами которых обыкновенные дроби, результат также будет представлен в виде обыкновенной дроби. Следовательно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Многочлен – алгебраическая конструкция, представляющая собой сумму либо разность элементов. Множество готовых формул касается двучленов, впрочем вывести новые для конструкций больше высокого порядка не составляет большого труда. Дозволено, скажем, построить трехчлен в квадрат .

Инструкция

1. Многочлен является основным представлением для решения алгебраических уравнений и представления степенной, разумной и прочих функций. К этой структуре относится особенно распространенное в школьном курсе предмета квадрат ное уравнение.

2. Зачастую по мере облегчения массивного выражения появляется надобность построить трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, впрочем есть несколько способов. Скажем, представить квадрат трехчлен а в виде произведения 2-х идентичных выражений.

3. Разглядите пример: возведите в квадрат трехчлен 3 х? + 4 х – 8.

4. Измените запись (3 х? + 4 х – 8)? на (3 х? + 4 х – 8) (3 х? + 4 х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Вначале умножьте первое составляющее первой скобки на всякое слагаемое 2-й, после этого так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3 х? + 4 х – 8) (3 х? + 4 х – 8) = 3 х? (3 х? + 4 х – 8) + 4 х (3 х? + 4 х – 8) – 8 (3 х? + 4 х – 8) = 9 х^4 + 12 х? – 24 х? + 12 х? + 16 х? – 32 х – 24 х? – 32 х + 64 = 9 х^4 + 24 х? – 32 х? – 64 х + 64.

5. К тому же итогу дозволено придти, если запомнить, что в итоге перемножения 2-х трехчлен ов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами всякого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)? = a? + b? + c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Примените ее к вашему примеру:(3 х? + 4 х – 8)? = (3 х? + 4 х + (-8))? =(3 х?)? + (4 х)? + (-8)? + 2 (3 х?) (4 х) + 2 (3 х?) (-8) + 2 (4 х) (-8) = 9 х^4 + 16 х? + 64 + 24 х? – 48 х? – 64 х = 9 х^4 + 24 х? – 32 х? – 64 х + 64.

7. Как видите, результат получился тот же, а манипуляций понадобилось поменьше. Это исключительно главно, когда одночлены сами по себе являются трудными конструкциями. Данный метод применим для трехчлен а всякий степени и всякого числа переменных.

При решении арифметических и алгебраических задач изредка требуется построить дробь в квадрат . Проще каждого это сделать, когда дробь десятичная – довольно обыкновенного калькулятора. Впрочем если дробь обычная либо смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут появиться некоторые затруднения.

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

1. Дабы построить десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный калькулятор, наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х?». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заблаговременно приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 необходимо ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Математические головоломки изредка увлекают так, что хочется обучиться создавать их, а не только решать. Вероятно, самым увлекательным для новичков является создание магического квадрата, тот, что представляет собой квадрат с размерами сторон nxn, в тот, что вписаны настоящие числа от 1 до n2 так, что сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям квадрата является идентичной и равняется одному числу.

Инструкция

1. Раньше чем составлять свой квадрат, усвойте, что магических квадратов второго порядка не бывает. Волшебный квадрат третьего порядка существует реально только один, остальные производные от него получаются с подмогой поворота либо отражения основного квадрата по оси симметрии. Чем огромнее порядок, тем огромнее существует допустимых волшебных квадратов этого порядка.

2. Изучите основы построения. Правила построения различных магических квадратов подразделяются на три группы по порядку квадрата, а именно он может быть нечетным, равным удвоенному либо учетверенному нечетному числу. Всеобщей методологии для построения всех квадратов в текущее время не существует, правда обширно распространены различные схемы.

3. Воспользуйтесь компьютерной программой. Скачайте надобное приложение и введите желаемые значения квадрата (2-3), программа сама генерирует надобные цифровые комбинации.

4. Постройте квадрат независимо. Возьмите матрицу n x n , внутри которой произведите построение ступенчатого ромба. В нем заполните все квадратики слева и вверх по каждым диагоналям последовательностью нечетных чисел.

5. Определите значение центральной ячейки О. В углах магического квадрата расположите такие числа: верхняя правая ячейка – О-1, нижняя левая – О+1, правая внизу – О-n, а левая вверху – О+n. Пустые ячейки в угловых треугольниках заполните, применяя довольно примитивные правила: в строках по направлению слева направо числа возрастают на n + 1, а в столбиках по направлению сверху вниз числа возрастают на n-1.

6. Найти все квадраты с порядком равным n получается только для n\le 4, следственно увлекательны отдельные процедуры для построения магических квадратов с n > 4. Проще каждого рассчитать проектирование такого квадрата нечетного порядка. Воспользуйтесь особой формулой, куда требуется примитивно поставить нужные данные для приобретения желаемого итога. Скажем, константа квадрата, построенного по схеме с рис. 1, вычисляется по формуле: S = 6a1 +105b, где a1 – 1-й член прогрессии, b – разность прогрессии.

7. Для квадрата, изображенного на рис. 2, формула: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Помимо этого, существуют алгорифмы для построения пандиагональных квадратов и совершенных магических квадратов. Воспользуйтесь особыми программами построения этих моделей.

Обратите внимание!
Волшебные, либо магические, квадраты привлекали математиков с самых древних времен, но изложения всех допустимых квадратов нет и по сей день. Самый легкой волшебный квадрат согласно старинной китайской легенде был изображен на спине крупный священной черепахи.

«Уравнением» в математике именуется запись, содержащую некоторые математические либо алгебраические действия и непременно включающую в себя знак равенства. Впрочем почаще этим представлением обозначают не тождество в совокупности, а только его левую часть. Следственно задача возведения уравнения в квадрат скорее каждого полагает использование этой операции только к одночлену либо многочлену в левой части равенства.

Инструкция

1. Умножьте уравнение на само себя – это и есть операция возведения во вторую степень, то есть в квадрат . Если начальное выражение содержит переменные в какой-нибудь степени, то показатель степени следует увеличить в два раза. Скажем, (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Если присутствующие в уравнении численные показатели умножить в уме не представляется допустимым, то используйте калькулятор, онлайн-вычислитель либо сделайте это на бумаге, «в столбик».

2. Если начальное выражение содержит несколько складываемых либо вычитаемых переменных с численными показателями (то есть является многочленом), то придется осуществлять операцию умножения по соответствующим правилам. Это обозначает, что следует перемножить весь член уравнения -множимого на весь член уравнения -множителя, а после этого упростить полученное выражение. Тот факт, что в вашем случае оба уравнения идентичны, ничего не меняет в этом правиле. Скажем, если построить в квадрат требуется уравнение x?+4-3*x, то всю операцию дозволено записать в таком виде: (x?+4-3*x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Полученное выражение следует упростить и, если это допустимо, расположить степенные члены в порядке убывания показателя степени: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? = x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Формулы возведения в квадрат некоторых особенно зачастую встречающихся выражений отличнее запомнить назубок. В школе их обыкновенно включают в список, называемый «формулами сокращенного умножения». В него относят, в частности, формулы возведения во вторую степень суммы 2-х переменных (x+y)? = x?+2*x*y+y?, их разности (x-y)? = x?-2*x*y+y?, суммы 3 слагаемых (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разности 3 слагаемых (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Видео по теме

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обыкновенно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Использование этого способа имеет толк, если старшая степень слагаемых не поменьше 2. Представим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:4·y^4 + z^4

3. Для решения задачи надобно воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Надобно добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² – 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² = = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Есть несколько способов решения квадратного уравнения, особенно общеизвестный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Данный метод приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней.

Инструкция

1. Алгебраическое уравнение 2-й степени именуется квадратным. Классическая форма левой стороны этого уравнения представляет собой многочлен a x? + b x + c. Дабы вывести формулу для решения, нужно выделить из трехчлена квадрат двучлена. Это дозволено осуществить двумя методами. Перенесите вольный член с в правую сторону со знаком минус:a x? + b x = -c.

2. Умножьте обе стороны уравнения на 4 а:4 a? x? + 4 a b x = -4 a c.

3. Прибавьте выражение b?:4 a? x? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Видимо, что слева получилась развернутая форма квадрата двучлена, состоящего из слагаемых 2 a x и b. Сверните данный трехчлен в полный квадрат:(2 a x + b)? = b? – 4 a c ? 2 a x + b = ±?(b? – 4 a c)

5. Откуда:x1,2 = (-b ± ?(b? – 4 a c))/2 a.Разность, стоящая под знаком корня, именуется дискриминантом, а формула является общеизвестной для решения сходственных уравнений.

6. 2-й метод подразумевает выделение из одночлена первой степени удвоенного произведения элементов. Т.е. нужно определить из слагаемого вида b x, какие множители могут быть использованы для полного квадрата. Данный способ отменнее разглядеть на примере:x? + 4 x + 13 = 0

7. Посмотрите на одночлен 4 x. Видимо, что его дозволено представить в виде 2 (2 x), т.е. удвоенного произведения х и 2. Следственно, выделять надобно квадрат суммы (х + 2). Для полноты картины не хватает слагаемого 4, которое дозволено взять из свободного члена:x? + 4 x + 4 – 9 ? (x + 2)? = 9

8. Извлеките квадратный корень:x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Способ выделения квадрата двучлена обширно используется для облегчения массивных алгебраических выражений наравне с другими методами: группировка, замена переменной, вынесение всеобщего множителя за скобку и т.д. Полный квадрат является одной из формул сокращенного умножения и частным случаем Бинома Ньютона.

Многочлен – алгебраическая структура, представляющая собой сумму или разность элементов. Большинство готовых формул касается двучленов, однако вывести новые для структур более высокого порядка не составляет большого труда. Можно, например, возвести трехчлен в квадрат .

Инструкция

Часто по мере упрощения громоздкого выражения возникает потребность возвести трехчлен в квадрат . Для этого нет готовой формулы, однако есть несколько методов. Например, представить квадрат трехчлен а в виде произведения двух одинаковых выражений.

Рассмотрите пример: возведите в квадрат трехчлен 3 х + 4 х – 8.

Измените запись (3 х + 4 х – 8) на (3 х + 4 х – 8) (3 х + 4 х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Сначала умножьте первое составляющее первой скобки на каждое слагаемое второй, затем так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3 х + 4 х – 8) (3 х + 4 х – 8) = 3 х (3 х + 4 х - 8) + 4 х (3 х + 4 х – 8) – 8 (3 х + 4 х – 8) = 9 х^4 + 12 х – 24 х + 12 х + 16 х – 32 х – 24 х – 32 х + 64 = 9 х^4 + 24 х – 32 х – 64 х + 64.

К тому же результату можно придти, если запомнить, что в результате перемножения двух трехчлен ов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадрат ами каждого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c) = a + b + c + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

Примените ее к вашему примеру:(3 х + 4 х - 8) = (3 х + 4 х + (-8)) =(3 х) + (4 х) + (-8) + 2 (3 х) (4 х) + 2 (3 х) (-8) + 2 (4 х) (-8) = 9 х^4 + 16 х + 64 + 24 х – 48 х – 64 х = 9 х^4 + 24 х - 32 х - 64 х + 64.

Как видите, ответ получился тот же, а манипуляций потребовалось меньше. Это особенно важно, когда одночлены сами по себе являются сложными структурами. Этот способ применим для трехчлен а любой степени и любого количества переменных.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов. Инструкция 1Квадратные уравнения – довольно обширная тема в…

Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений. Инструкция 1Метод выделения полного квадрата…

Возведение числа в степень - это сокращенная форма записи операции многократного умножения, в котором все множители равны исходному числу. А извлечение корня означает обратную операцию - определение множителя, который должен быть задействован в…

Есть несколько методов решения квадратного уравнения, наиболее распространенный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Этот способ приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней. Инструкция 1Алгебраическое…

«Уравнением» в математике называется запись, содержащую некоторые математические или алгебраические действия и обязательно включающую в себя знак равенства. Однако чаще этим понятием обозначают не тождество в целом, а только его левую…

Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр. Инструкция …

Матрица - это двумерный массив чисел. С такими массивами производят обычные арифметические операции (сложение, умножение, возведение в степень), но трактуются эти операции иначе, чем такие же с обычными числами. Так будет неверным при возведении…

Чтобы быстро и эффективно производить расчеты, упрощайте математические выражения. Для этого используйте математические соотношения, позволяющие сделать выражение короче, а расчеты упростить. Вам понадобится- понятие одночлена многочлена;-…

Некоторые уравнения на первый взгляд кажутся очень сложными. Однако если разобраться и применить к ним небольшие математические хитрости, легко поддаются решению. Инструкция 1Чтобы сложное уравнение стало проще, примените к нему один из способов…

Одночленом в математике называют простейшее алгебраическое выражение, составленное из переменных, чисел и знаков, обозначающих математические действия (сложение, вычитание, умножение, и т.д.). А алгебраическое выражение, включающее несколько таких…

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат. Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого…

Возведением числа в квадрат называют возведение числа во вторую степень. Вообще, возведение числа в степень – одна из алгебраических операций, которые вызывают затруднение в понимании и в реализации вычисления. Тем не менее, потребность возведения…

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

линейный двучлен (6x+8);
кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Дано: 5x²+3x+7

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Дано: x²+3x-10

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.