Вероятность попадания в мишень первого стрелка 0.8

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.6, у другого – 0.7. Найти вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями.

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.8, у другого – 0.9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей.

Для вероятности р по выборке объема n с помощью величены и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно

уменьшится в 10 раз

Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изде­лий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?

p = 0.92; M = 800

Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами

нормального распределения

Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?

Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-ый доверительный интервал для величины р находится по формуле

I0,95 (p)=

Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?

Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле

Полной вероятности

Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сор­та. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет выс­шего или первого сорта.

Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сор­та. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.

Задана таблица распределения случайной величины. Найти C.

Задана таблица распределения случайной величины. Найти р(X < 3).

Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна

Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в появлении или события А, или события В, или обоих вместе. Ключевое слово «или» («либо»).

Произведением двух событий А и В называется событие С=А В, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Ключевое слово «и».

Два события называются несовместными , если они не могут появиться одновременно.

Теорема сложения.

P(A + B) = P(A) + P(B) – для несовместных событий;

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А В) – для совместных событий.

Два события называются независимыми , если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Условной вероятностью Р А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения.

Р(А В) = Р(А) Р(B) – для независимых событий,

Р(А В) = Р(А) Р А (В) – для зависимых событий.

ПРИМЕР3.1. В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.

Решение . а) Рассмотрим события:

А - изделие белое; Р(A) = , так как всего изделий 20, а белых шесть. В - изделие черное, Р(B) = .

Событие С - изделие либо белое, либо черное можно представить как сумму событий А и В. Следовательно,

Р(C) = Р(А + В).

События А и В несовместны, так как вынутое изделие не может быть одновременно и белым и черным. Тогда

Р(C) = Р(А + В) = Р(А) + Р(B) =
.

б) Введем события

D - изделие красное; Р(D)=; Е - изделие куб; Р(E)=;

F - изделие либо красное, либо куб; Р(F) = Р(D + Е).

События D и Е совместны, так как вынутое изделие может оказаться красным кубом Р(D Е) =. Тогда

P(F) = P(D + E) = P(D) + P(E) - P(D E) =
.

ПРИМЕР 3.2. В ящике 10 деталей, 3 из которых бракованные. Наудачу вынимают два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия бракованные, если первое изделие: а) возвращается в ящик; б) в ящик не возвращается.

Решение . Введем события

А - первое изделие бракованное,

В - второе изделие бракованное,

С - оба изделия бракованные.

Событие С представляет собой произведение событий А и В; С = А В.

а) Если первое изделие возвращается в ящик, то Р(B)= вне зависимости от того, какое изделие было первое, то есть А и В независимые

события. Тогда P(C) = Р(А В) = Р(A) Р(B) =
.

б) Если изделие не возвращается, то вероятность события В будет меняться в зависимости от того, какое изделие было вынуто первым (бракованное или небракованное). Найдем вероятность события B в предположении, что первое изделие оказалось бракованным. Р А (B)= , так как всего осталось 9 изделий, два из которых бракованные. Тогда Р(С) = Р(А В) = Р(А) Р А (В) =
.

ПРИМЕР 3.3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет: а) только один из стрелков; б) хотя бы один стрелок.

Решение . Рассмотрим события

A 1 - первый стрелок попал; P(A 1) = 0,7 ;

1 - первый стрелок промахнулся; P( 1) = 0,3;

А 2 - второй стрелок попал; Р(А 2) = 0,8;

2 - второй стрелок промахнулся; Р( 2) = 0,2.

а) Событие В - попал только один стрелок, используя алгебру событий, можно представить в виде В = А 1 2 + 1 A 2 .

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий имеем:

Р(В) = P(A 1 2 + 1 А 2) = P(A 1) Р( 2) + P( 1) P(A 2) =

0,7 0,2 + 0,3 0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38 .

б) Событие С – попал хотя бы один стрелок можно представить как сумму двух несовместных событий: В – попал только один стрелок и D – попали оба стрелка Р(C) = Р(В + D) = P(B) + P(D) = =0,38+ P(A 1) P(A 2) = 0,38 + 0,8 0,7 = 0,38 + 0,56 = 0,94 .