Упрощение алгебраических уравнений. Методы решения алгебраических уравнений

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения. Уравнения вида f n = 0, где f n – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n + ¼ + a s x p y q ... v r ,

где x , y , ..., v – переменные, а i , j , ..., r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

f (x ) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

или, в частном случае, 3x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f (x ) = 0. Если a 0 ¹ 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.

Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s ) = òK (s, t ) f (t ) dt , где f (s ) и K (s ,t ) заданы, а f (t ) требуется найти.

Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n , y = 4 + 3n .

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения. Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения. Решения общего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x 3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x 2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n -й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (a ij ) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

где A ji – алгебраическое дополнение элемента a ij в матрице (a ij ). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (a ij ), s – ранг окаймленной матрицы (a ij ; b i ), которая получается из a ij присоединением столбца из чисел b i . Тогда: (1) если r = s , то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r < s , то уравнения несовместны и решений не существует.

Материал из Юнциклопедии

Алгебраические уравнения - уравнения вида P(x 1 , ..., x n) = O, где P - многочлен от переменных x 1 , ..., x n . Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел (a 1 , ..., a n) удовлетворяет этому уравнению, если при замене x 1 на a 1 , x 2 на a 2 и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = z 2 , поскольку 3 2 + 4 2 = 5 2). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x 1 , ..., x n) = 0. Например, Зx - 5у + z = c - уравнение первой степени, x 2 + y 2 = z 2 - второй степени, а x 4 - Зx 3 + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраического уравнения с большим числом неизвестных может представлять собой бесконечное множество определенных наборов чисел. Поэтому обычно рассматривают не отдельные алгебраические уравнения с n неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям данной системы. Совокупность всех этих наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 таково: {(3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)}.

Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например x 3 + x = a. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение x 4 - y 4 + z 4 = n 2 , систему уравнений y 3 + x 2 = u 2 , z 2 + x 2 = v 3 и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, трисекция угла (см. Классические задачи древности), построение правильного семиугольника - приводят к решению кубических уравнений. По ходу решения требовалось отыскать точки пересечения конических сечений (эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики была полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать такие типы уравнений, как x 3 + px = q, x 3 + q = px и т. д. Итальянский математик С. дель Ферро (1465-1526) решил уравнение x 3 + px = q и сообщил решение своему зятю и ученику А. М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499-1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 задач. Однако найденная Тартальей формула для решения уравнения x 3 + px + q = 0

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Создание алгебраической символики и обобщение понятия числа вплоть до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одного и нескольких переменных.

Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII - начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К. Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения x n - 1 = 0, к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного n-угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. - такое построение возможно лишь в случае, когда n - простое число вида 2 2k + 1 или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д"Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д"Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен n-й степени от x разлагается в произведение n линейных множителей.

В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики, называемую алгебраической геометрией. В ней изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.

, ДВГГУ,

, Математический лицей

Алгебраические уравнения и методы их решения

П.1 Многочлен и его корни

Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел , многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами называют выражение вида:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)

называют алгебраическим уравнением степени n .

Корни уравнения (2) также называют корнями многочлена.

Приведем несколько фактов, относящихся к корням многочленов.

Факт 1. Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Даже зная, что уравнение имеет корень, найти этот корень бывает весьма непросто.

Пример 1. Уравнение очевидно имеет корни 0 и p.

Пример 2. Установить корни уравнения , которые, безусловно, имеются, довольно сложная задача.

Факт 2. Если коэффициенты многочлена являются целыми числами, то рациональные корни этого уравнения (если они есть) имеют вид , где числа k и m – натуральные, причем k – делитель свободного члена , m – делитель главного коэффициента .

Пример 3. https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (повторяющиеся числа сокращены).

Проверка показывает, что подходят числа 2, и .

Задача по отделению рациональных корней значительно упрощается, если старший коэффициент в многочлене равен единице. В этом случае возможные рациональные корни уравнения могут быть только целыми числами, на которые делится свободный член полинома.

Пример 4. У многочлена возможны следующие целые корни: . Проверяя возможные корни (это можно довольно быстро делать с помощью Схемы Горнера ) убеждаемся, что единственный целый корень уравнения равен 2.

Факт 3. Если число - корень многочлена , то этот многочлен можно представить в виде произведения https://pandia.ru/text/78/119/images/image018_6.gif" width="48" height="24"> можно, например, применяя метод деления «уголком», очень похожий на тот, который применяют к обычным числам.

Приведем пример.

Пример 5. Поделим на :

https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. Заметим, что первый множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому он (и исходный полином) больше корней не имеет.

Факт 4. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - кратность корня , - квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней (их называют неприводимыми).

Замечание. При решении уравнений и неравенств можно сокращать на неприводимые трехчлены.

П.2. Группировка как способ нахождения корней полинома

К сожалению, (и это доказано), не существует универсального алгоритма, позволяющего (на подобие квадратного трехчлена) находить корни любого полинома. Существуют специальные формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, однако они трудоемки и в школьном курсе не изучаются. Поэтому часто используются другие методы, такие как отделение корней (рассмотрен в первом пункте), метод группировки и его частный случай – выделение полных квадратов.

Суть метода группировки в следующем: члены многочлена разбивают на группы (отсюда и название) так, что после приведения подобных каждая группа разложится на множители, причем один из множителей будет содержаться в каждой группе. Этот общий множитель выносится за скобки и исходный многочлен раскладывается в произведение двух многочленов более низкой степени.

Рассмотрим пример.

Пример 6. Разложить на множители методом группировки многочлен

https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">

(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, первое слагаемое включим в первую группу, второе слагаемое – в третью).

https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, находим разложение:

.

Оба квадратных трехчлена имеют отрицательные дискриминанты, поэтому дальнейшее их разложение невозможно.

Пример 7. Разложить на множители полином:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> нужно оделить часть, кратную 14: это, например, 70-1, 84-15, 98-29 или 42+27. Первый вариант приводит в тупик. Рассмотрим второй вариант. Получим:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.

Таким образом,

П.3. Примеры решения простейших алгебраических уравнений

Многочлены являются простейшими алгебраическими уравнениями. В этом пункте мы рассмотрим некоторые примеры решения таких уравнений.

Пример 8. Найти корни уравнения

https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.

Начнем с самого маленького числа – тройки.

https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> - один из корней уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим левую часть уравнения на :

https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Применяя, например, формулы Виета, получаем два других корня: .

Ответ: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.

Решение. Задачу можно свести к биквадратному уравнению, но мы попробуем использовать разложение на множители..gif" width="616" height="24 src=">.

Корни первого сомножителя: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.

Далее рассмотрим пример уравнения, которое сводится к рациональному. Особенность таких уравнений – обязательное требование проверки найденных корней области допустимых значений. Например, на ЕГЭ несколько лет назад предлагалась «простая» задача.

Пример 10. Решить уравнение

DIV_ADBLOCK37">

П. 4. Дробные алгебраические уравнения

Простейшее дробное алгебраическое выражение имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.

Решение: приведем дроби к общему знаменателю:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.

Оба корня числителя не являются корнями знаменателя (убедитесь в этом, непосредственно подставив оба корня в знаменатель), поэтому они являются решениями рассмотренного уравнения.

Если дробно-рациональное уравнение содержит много элементарных выражений, то, после преобразований, в числителе может образоваться довольно громоздкое выражение, отыскание корней которого будет весьма затруднительным. Но в некоторых случаях бывает возможно свести сложное уравнение к более простому, используя, например, замену переменных. Рассмотрим пример.

Пример 12. Решить уравнение

https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> являются взаимно-обратными (их произведение равно единице). Введем следующую замену: . Исходное уравнение примет вид:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, получим квадратное уравнение:

https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Выполним обратную замену. Получим и решим совокупность двух уравнений: 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный)

3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин )

4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики )

М 10.2.1. Решите уравнение, разложив многочлен на множители:

М 10.2.2. Решите дробно-рациональное уравнение

а) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. (Указание: перемножьте сначала первый множитель с четвертым и второй с третьим. Первое произведение обозначьте y , второе произведение тогда представится как y +2. Решите получившееся квадратное уравнение и сделайте обратную замену .)

в) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. (Указание: попробуйте прибавить к первым двум слагаемым некоторое число так, чтобы сумма оказалась дробью, обратной той, что стоит на третьем месте с множителем -10. Далее смотрите примеры 12 и 13 .)

Транскрипт

1 Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами уравнения (), порядком (или степенью) уравнения. Определение. Число называется решением (или корнем) уравнения (), если при подстановке числа в уравнение 0 P вместо получается верное равенство 0 P. В зависимости от коэффициентов уравнение () может иметь единственный действительный корень, несколько корней, или не иметь действительных корней. Решить уравнение значит найти все его корни (в школьном курсе рассматриваются только действительные решения) или доказать, что уравнение не имеет решений. и Будем рассматривать уравнение () при. Для (кубическое уравнение) имеются формулы корней уравнения 0 P в радикалах, известные под именем формул Кордано. При уравнение () неразрешимо в радикалах, т.е. решение уравнения 0 P при нельзя выразить через его коэффициенты 0, с помощью конечного числа арифметических операций (операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения арифметического корня). Доказательство этого утверждения впервые было получено норвежским математиком Абелем в 6 году. В отдельных случаях решение алгебраических уравнений высших степеней, в том числе третьей и четвертой, удается найти достаточно просто. Такая возможность полностью определяется коэффициентами, 0, многочлена P. Следствие из теоремы Безу. Если является корнем многочлена (P 0), то многочлен P делится на двучлен без остатка, т.е. существует многочлен такой, что P F F. P

2 «уголком». Уравнение () в этом случае равносильно совокупности уравнений Деление одного многочлена Уравнение 0, F 0. P на другой Q m, m, можно производить P степени может иметь не более действительных корней с учетом кратности. При этом уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Если действительные числа..., является корнями уравнения 0 то имеет место тождество P, Для уравнений высших степеней () справедлива теорема Виета, которую сформулируем в случае и. Если действительные числа, и являются корнями кубического уравнения 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d d, c, b. Если действительные числа, и являются корнями уравнения четвертой степени 0, 0, то они удовлетворяют условиям: b c d e Если рациональное число 0 e, d, b. p, где p q q c, несократимая дробь, является корнем уравнения с целыми коэффициентами, то p должно быть делителем свободного члена

3 , а q делителем коэффициента 0 при старшей степени. В частности, целые корни 0 p приведенного уравнения 0 с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Это утверждение следует из последнего равенства в (.7) Если сумма всех коэффициентов уравнения 0 имеет корень. P равна нулю, то уравнение Например, сумма коэффициентов уравнения равна нулю, поэтому оно имеет корень. Если в уравнении сумма коэффициентов при нечетных степенях равна сумме свободного члена и коэффициентов при четных степенях, то уравнение имеет корень. Например, в уравнении имеем 6 7, поэтому корень данного уравнения. Рассмотрим отдельные классы алгебраических уравнений высших степеней и изучим методы их решения. Биквадратные уравнения. Определение. Биквадратным называется уравнение вида где 0. b c 0, () Для решения этого уравнения используется замена переменных y, где y 0. При этом получается квадратное уравнение y by c 0. Так как уравнение () является уравнением четвертой степени, то оно имеет не более четырех действительных корней. Если y и y - его решения, то исходное биквадратное уравнение будет равносильно совокупности: Метод подбора корня (корней). 0 y y. Если приведенное алгебраическое уравнение () с целыми коэффициентами имеет целые корни, то их нужно искать среди делителей свободного члена

4 уравнения (). Рациональные корни p 0 уравнения () с целыми коэффициентами q p следует искать среди чисел таких, что p является делителем свободного члена, q а q - делителем коэффициента 0 при старшей степени в уравнении (). Эти свойства лежат в основе метода подбора корней алгебраического уравнения. Пример. Решить уравнение 0. Решение. Данное уравнение является приведенным и имеет целые коэффициенты. Поэтому целые корни данного уравнения (если они есть) содержатся среди делителей свободного члена:,. Легко убедиться, что являет- ся корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни разделим многочлен на двучлен «уголком»: 0. Для уравнения 0 вновь подбором найдем корень, а затем разделим многочлен на двучлен: 0, Уравнение 0 действительных корней не имеет. Таким образом ис-

5 ходное уравнение -й степени имеет два действительных корня. Ответ.,. Метод замены переменных. Если при замене переменных исходное уравнение упрощается (например, понижается его степень), то смело вводим новую переменную. Пример. Решить уравнение. Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение 6 0, которое решать весьма сложно. Хотя оно и является уравнением с целыми коэффициентами, но целых корней как увидим ниже, оно не имеет. Поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную y и решим квадратное уравнение y y. Его корни: y и y. Соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений. Решим полученные квадратные уравнения.,. 0, D 0,. или 0, D 7 0, решений нет. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет два корня и. Ответ.,. Пример. Найти наибольший отрицательный корень уравнения 0. Решение. Подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом: домножим (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения

6 Заметим, что, и введем новую переменную y. В результате получим уравнение y y y 6 0, равносильное исходному. Подбором найдем его корни y, y и y, которым будут соответствовать корни исходного уравнения, и. Наибольшим отрицательным корнем является. Ответ. Наибольший отрицательный корень. Можно ввести еще одну переменную и рассмотреть квадратное уравнение относительно одной из полученных («старой» или «новой») переменных. Пример. Найти наименьший корень уравнения 6 0. Решение. Преобразуем исходное уравнение следующим образом: Введем новую переменную y 6 и получим уравнение 6 y y 0. Решим полученное уравнение как квадратное относительно y. y или y. D 6 y y 0, y, Вернемся к переменной, получим два квадратных уравнения.

7 6, 9 0, D 0 0, 9 0, 9 0, 9 0 6, 0, D 9, Получили решения исходного уравнения. Выберем наименьшее из них. Так как 0 0, то 9., поэтому наименьшее решение. 9 0 Ответ. Наименьшее решение.. Возвратные уравнения Определение. Возвратным или симметричным называются уравнения вида 0 0, для которых равны коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, то есть при k 0,. k k Например, является возвратным, так как 0, 9, 6. Для возвратных уравнений верны следующие утверждения. Возвратное уравнение нечетной степени всегда имеет корень и после деления на двучлен приводится к возвратному уравнению четной степени. Возвратное уравнение четной степени может быть сведено к уравнению вдвое меньшей степени с помощью введения переменной y. Проиллюстрируем данные утверждения на примерах. Пример. Решить уравнение Решение. Нетрудно заметить, что данное уравнение является возвратным нечетной степени и, следовательно, имеет корень. Разделим многочлен на двучлен:

8 Остается решить возвратное уравнение -й степени Так как 0 не является корнем данного уравнения, то можно разделить обе части данного уравнения на Сделаем замену переменных т.е. y.. Получим y. Тогда y, Получим уравнение y 0y 6 0 (степень уравнения понизилась вдвое!) Решим квадратное уравнение y 0y 0. По теореме Виета числа y и y 6 являются его корнями. Имеем далее

9 0, 6 0, D 0, 6 0, 9,. Таким образом, исходное уравнение -й степени имеет корней:, и. Ответ., и. D Использование монотонности функций и других специальных приемов Для решения нестандартных алгебраических уравнений приходится привлекать различные приемы преобразование уравнения к равносильной форме, введение новых переменных, исследование функции Решение уравнений вида g f в составе уравнения 0 f и т.д. f иногда удобно строить на использовании свойства монотонности функций. В основе этого приема лежит следующая теорема. Теорема. Пусть уравнение f g определено на множестве X R ; функция f является монотонно возрастающей (убывающей) на X, а g монотонно убывающей (возрастающей). Если и E f, E g области значений f g на множестве X и E f Eg, то существует единственная точка 0 X такая, что g f, т.е. уравнение 0 0 f g имеет единственное решение. Данная теорема справедлива для любых уравнений вида g для алгебраических. Пример 6. Решить уравнение 96 E f. y f Eg 0 X g f, а не только Решение. Степенная функция y, N, определена на всей числовой прямой и является строго возрастающей функцией на R. Поэтому левая часть данного

10 уравнения f является строго возрастающей функцией на R как сумма двух строго возрастающих функций. Правая часть 96 g является тождественно постоянной. Поэтому в соответствии с теоремой.6 уравнение имеет единственное решение. Нетрудно видеть, что им является. Ответ.. Пример 7. Решить уравнение. Решение Y. Но Y для любого R и потому уравнение 0 Y, а значит и исходное (.), не имеет решения. Ответ.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Тождественные преобразования алгебраических выражений Алгебраические выражения выражения, содержащие числа и буквы, связанные алгебраическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением и возведением

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Тема 5 Рациональные системы уравнений F (x, x,...,) 0, F (x, x,...,) 0, Система уравнений вида где... Fk (x, x,...,) 0, F i(x, x,...,), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Глава 7 Квадратные уравнения Беседа 8 Как решали квадратные уравнения в древности. На самом деле вавилонский метод дает решение системы + y =, представляющей собой запись задачи нахождения y = q, сторон

Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Уравнения высших порядков 1 Непосредственная группировка............................. 1 2 Подбор корня........................................

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство (4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ Оглавление АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ СТЕПЕНЕЙ алгебраических уравнений выше второй степени Многочлены и их корни Деление многочленов Схема деления углом

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Аналитическое решение алгебраических уравнений степеней 3 и 4 Содержание 1 Введение 1 2 Уравнения третьей степени 3 3 Уравнения четвертой степени 7 1 Введение В данном манускрипте приводятся формулы для

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то () < (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () > (). Например, () = > = = (), так

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Календарно-тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности урока Дата Раздел Тема урока Характеристика основных видов деятельности обучающихся 1 полугодие 65 уроков; 1 четверть

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Республики Хакасия «Хакасская национальная гимназия интернат им. Н.Ф.Катанова» «СОГЛАСОВАНО» на заседании кафедры математики и информатики Протокол

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков 1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется

Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Приложение к «Основной образовательной программе основного общего образования МБОУ СОШ 5» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету «Алгебра» для 7-ых 8-ых классов Программа: Программы. Математика. 5-6 классы.

2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Пояснительная записка Рабочая программа элективного учебного предмета «Алгебра плюс: алгебра с точки зрения высшей математики» для учащихся 0- классов составлена на основе примерной рабочей программы учителя

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Календарно-тематическое планирование Алгебра 8б класс Уровень обучения: углублённый 4 часа в неделю/144 часа в год Содержание тем учебного курса 1. Повторение материала 7 класса (6 часов). Алгебраические

Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Глава I Алгебраические дроби 18 Глава II Квадратная функция. Функция. 14 Глава III Функция у = х. Свойства квадратного корня 12 Глава IV Квадратные уравнения 22 Глава V Действительные числа 11 Глава VI

Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – a или на ах + b, является схема Горнера.

Рассмотрим схему Горнера.

Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – a через

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 , а остаток через b n .

Так как Р(х) = Q(x)(х–) + b n , то имеет место равенство

а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(х–a) + b n

Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а 0 = b 0 и при 1 < k < n имеют место соотношения а k = b k - a b k-1 . Отсюда следует, что b 0 = а 0 и b k = а k + a b k-1 , 1 < k < n.

Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка b n запишем в виде таблицы:

	b 1 =а 1 + b 0	b 2 =а 2 + b 1		b n-1 =а n-1 + b n-2	b n = а n + b n-1

Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.

Решение. Используем схему Горнера.

При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1

Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1

Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:

Ответ: Р(3) = 535

Упражнение

1) Используя схему Горнера, разделить многочлен

4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;

2) Разделить многочлен

2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;

3) Найти значение многочлена Р 5 (х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.

1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами

Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.

Доказательство: а 0 x n + а 1 x n-1 + … + а n = 0

Пусть х = р/q – рациональный корень, q, p – взаимнопростые.

Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим

а 0 р n + а 1 р n-1 q+ … + а n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

Перепишем (1) двумя способами:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

а 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Из равенства (2) следует, что a n q n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а 0 делится на q. Теорема доказана.

Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.

Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.

Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел ± 1, ± 1/2, обозначим Р 3 (х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (–1) 0,

Р 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.

2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.

Получим: x 2 (2х – 1) – 3x(2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим

Упражнения

Решить уравнения:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Возвратные уравнения и методы решения

Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Возвратное уравнение нечетной степени

аx 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + а = 0

всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и . Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.

Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени

аx 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + а = 0

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Группируем попарно члены левой части

а(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;

х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n-1 +Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у k , где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.

Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.

Наше уравнение примет вид:

(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0

1) х + 1 = 0, х = -1;

2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 ? 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.

Группируя, получим: .

Вводим замену: ; ; .

Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;

у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у 1 = -1, у 2,3 = ± 3.

Решая уравнения , , ,

получим корни: , , ,

Ответ: х 1 = -1, ,

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.

1.3. Метод замены переменной при решении уравнений

Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Если дано уравнение

F(f(x)) = 0, (1)

то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению

а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у 1 , у 2 , …, y n , … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у 1, f(x) = у 2 ,…, f(x) = у 2 , …

Основными способами реализации метода замены переменной являются:

• использование основного свойства дроби;
• выделение квадрата двучлена;
• переход к системе уравнений;
• раскрытие скобок парами;
• раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
• понижение степени уравнения;
• двойная замена.

1.3.1. Понижение степени уравнения

Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)

Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у 1 = 2, у 2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2

х 2 + х + 2 = -3

Решая первое, получим х 1 = 0, х 2 = -1. Решая второе, получим ,

Ответ: х 1 = 0, х 2 = -1,

1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.

Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40

Решение. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 - 5х - 14)(х 2 - 5х + 4) = 40

Введем замену: х 2 - 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:

1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех 2 ,

где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.

Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2

Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 - 9х + 8)(х 2 - 6х + 8) = 4х 2 .

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х 2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Вернемся к исходной переменной:

Первое уравнение решаем, получим х 1,2 = 5 ±

Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: х 1,2 = 5 ±

1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b 1 х + c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2

Уравнение (ах 2 + b 1 х+ c)(aх 2 + b 2 x + c) = Aх 2 , где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.