Умножение десятичных дробей на 0. Умножение десятичной дроби на натуральное число. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

Как обычные числа.

2. Считаем число знаков после запятой у 1-ой десятичной дроби и у 2-ой. Их число складываем.

3. В итоговом результате отсчитываем справа налево такое число цифр, сколько получилось их в пункте выше, и ставим запятую.

Правила умножения десятичных дробей.

1. Умножить, не обращая внимания на запятую.

2. В произведении отделяем после запятой такое количество цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

Умножая десятичную дробь на натуральное число, необходимо:

1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;

2. В результате ставим запятую так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.

Умножение десятичных дробей столбиком.

Рассмотрим на примере:

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа , не обращая внимания на запятые. Т.е. 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

Результатом является 311. Далее считаем число знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В 1-ой десятичной дроби 2 знака и во 2-рой - 2. Общее число цифр после запятых:

2 + 2 = 4

Отсчитываем справа налево четыре знака у результата. В итоговом результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В этом случае необходимо слева дописать не хватающее количество нулей.

В нашем случае не достает 1-ой цифры, поэтому дописываем слева 1 ноль.

Обратите внимание:

Умножая любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы.

Например :

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Обратите внимание:

Для умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей перед единицей.

Считаем и ноль целых!

Например:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• В увлекательной форме ввести учащимся правило умножения десятичной дроби на натуральное число, на разрядную единицу и правило выражения десятичной дроби в процентах. Выработать умение применения полученных знаний при решении примеров и задач.
• Развивать и активизировать логическое мышление учащихся, умение выявлять закономерности и обобщать их, укреплять память, умение сотрудничать, оказывать помощь, оценивать свою работу и работу друг друга.
• Воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, умение общаться.

Оборудование: интерактивная доска, плакат с цифрограммой, плакаты с высказываниями математиков.

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Устный счёт – обобщение раннее изученного материала, подготовка к изучению нового материала.
3. Объяснение нового материала.
4. Задание на дом.
5. Математическая физкультминутка.
6. Обобщение и систематизация полученных знаний в игровой форме при помощи компьютера.
7. Выставление оценок.

2. Ребята, сегодня у нас урок будет несколько необычным, потому что я буду проводить его не одна, а со своим другом. И друг у меня тоже необычный, сейчас вы его увидите. (На экране появляется компьютер-мультяшка). У моего друга есть имя и он умеет разговаривать. Как тебя зовут, дружок? Компоша отвечает: “Меня зовут Компоша”. Ты сегодня готов помогать мне? ДА! Ну тогда давай начнём урок.

Мне сегодня пришла зашифрованная цифрограмма, ребята, которую мы должны вместе решить и расшифровать. (На доске вывешивается плакат с устным счётом на сложение и вычитание десятичных дробей, в результате решения которого ребята получают следующий код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Расшифровать полученный код помогает Компоша. В результате расшифровки получается слово УМНОЖЕНИЕ. Умножение – это ключевое слово темы сегодняшнего урока. На мониторе высвечивается тема урока: “Умножение десятичной дроби на натуральное число”

Ребята, мы знаем, как выполняется умножение натуральных чисел. Сегодня мы с вами рассмотрим умножение десятичных чисел на натуральное число. Умножение десятичной дроби на натуральное число можно рассматривать как сумму слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу. Например: 5,21·3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значит, 5,21·3 = 15,63. Представив 5,21 в виде обыкновенной дроби на натуральное число, получим

И в этом случае получили тот же результат 15,63. Теперь, не обращая внимания на запятую, возьмём вместо числа 5,21 число 521 и перемножим на данное натуральное число. Здесь мы должны помнить, что в одном из множителей запятая перенесена на два разряда вправо. При умножении чисел 5, 21 и3 получим произведение равное 15,63. Теперь в этом примере запятую перенесём влево на два разряда. Таким образом, во сколько раз один из множителей увеличили, во столько раз уменьшили произведение. На основании сходных моментов этих способов, сделаем вывод.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) не обращая внимания на запятую, выполнить умножение натуральных чисел;
2) в полученном произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их в десятичной дроби.

На мониторе высвечиваются следующие примеры, которые мы разбираем вместе с Компошей и ребятами: 5,21·3 = 15,63 и 7,624·15 = 114,34. После показываю умножение на круглое число 12,6·50 = 630 . Далее перехожу на умножение десятичной дроби на разрядную единицу. Показываю следующие примеры: 7,423·100 = 742,3 и 5,2·1000 = 5200. Итак, ввожу правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу:

Чтобы умножить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в записи разрядной единицы.

Заканчиваю объяснение выражением десятичной дроби в процентах. Ввожу правило:

Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо её умножить на 100 и приписать знак %.

Привожу пример на компьютере 0,5·100 = 50 или 0,5 = 50% .

4. По окончании объяснения даю ребятам домашнее задание, которое тоже высвечивается на мониторе компьютера: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Чтобы ребята немного отдохнули, на закрепление темы делаем вместе с Компошей математическую физкультминутку. Все встают, показываю классу решённые примеры и они должны ответить, правильно или не правильно решён пример. Если пример решён правильно, то они поднимают руки над головой и делают хлопок ладонями. Если же пример решён не верно, ребята вытягивают руки в стороны и разминают пальчики.

6. А теперь вы немного отдохнули, можно и решить задания. Откройте учебник на странице 205, № 1029. в этом задании надо вычислить значение выражений:

Задания появляются на компьютере. По мере их решения, появляется картинка с изображением кораблика, который при полной сборке уплывает.

№ 1031 Вычисли:

Решая это задание на компьютере, постепенно складывается ракета, решив последний пример, ракета улетает. Учитель делает небольшую информацию учащимся: “ Каждый год с казахстанской земли с космодрома Байконур взлетают к звёздам космические корабли. Рядом с Байконуром Казахстан строит свой новый космодром “Байтерек”.

№ 1035. Задача.

Какое расстояние пройдёт легковая машина за 4 часа, если скорость легковой машины 74,8 км/ч.

Данная задача сопровождается звуковым оформлением и вынесением на монитор краткого условия задачи. Если задача решена, верно, то машина начинает двигаться вперёд до финишного флажка.

№ 1033. Запиши десятичные дроби в процентах.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Решая каждый пример, при появлении ответа появляется буква, в результате чего появляется слово Молодцы .

Учитель спрашивает Компошу, к чему бы появилось это слово? Компоша отвечает: “Молодцы, ребята!” и прощается со всеми.

Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки.

1 урок

1. Организационный момент

Проверить готовность учащихся к уроку.

(Наличие учебных принадлежностей к уроку)

I .Актуализация знаний

Устная работа.

Цель: Систематизировать предыдущие знания,необходимые при изучении нового материала.

Учащиеся устно выполняют задания на умножение десятичной дроби на натуральное число и на умножение обыкновенных дробей..

Вычислите:

Затем учитель задает вопрос:Сформулируйте как выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число?Учащиеся вспоминают определение.Сообщаются тема урока и цели урока.

II .Одновременное разделение на группы и на пары.

Учащиеся выбирают по одной карточке со стола учителя. На одних из них записаны примеры на действия с обыкновенными дробями, а на других соответствующие ответы. Они должны будут найти соответствия, и разделится на пары.Если же будут работать в группах,то разделятся таким образом:

1 группа- это учащиеся, которым попались примеры,2 группа- это те учащиеся, у которых окажутся соответствующие ответы.(см.Приложение №1)

III .Изучение новогоматериала

Цель: Познакомить учащихся с новым материалом.

Объяснение учителя:

3.1.Групповая работа.

Цель: Самостоятельно решив задачу двумя способами сформулировать правилоумножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Учащимся предлагается следующая задача:

Длина прямоугольника 6,3см, ширина 2,8см. Найдите его площадь.

Каждая группа выполняет данное задание по указанному ей предложенному способу.

Способ 1: Записать числовые значения измерений прямоугольника в виде натуральных чисел, выразив в миллиметрах. Вычислять площадь и полученный ответ выразить в квадратных сантиметрах.

Способ 2: Представить измерения прямоугольника в виде обыкновенных дробей, найти площадь, перемножив обыкновенные дроби и перевести в десятичную дробь.

Затем представитель каждой группы объясняет решение данного примера учащимся другой группы у доски. Учащиеся обмениваются мнениями и из результатов решения задачи делают вывод:

Сколько десятичных знаков в множителях, столько же и десятичных знаков в их произведении.

Затем учитель комментирует работу групп, подводит итоги и делает вывод.

Учащиеся записывают в тетрадях для конспектов.

Вывод: Чтобы умножить десятичные дроби надо:

1)выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2)отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

3.2 Разбор различных примеров.

Цель: Дальнейшая отработка умений выполнять умножение десятичных дробей.

Умножим данные числа не обращая внимания на запятые, получим в произведении число 20 496. В двух множителях после запятой всего имеется три десятичных знака. Поэтому в произведении нужно отделить справа три цифры.Итак, произведение равно 20,496.

VI .Решение задач

Цель: Отработка умений применять правило умножения десятичных дробей при решении задач.

Учащиеся работают в парах.

Выполняют задания: №812 ,№814

VII . Подведение итогов урока. Рефлексия

Цель: Выяснить достигли ли учащиеся целей урока,чтобы учесть при планировании следующего урока.

Действия ученика : Обобщив свои знания, отвечают на вопросы.

Вопросы для подведения итогов .(Устно).

1. Чему мы сегодня научились на уроке?

2. Какую цель мы сегодня на уроке изучили?

3. Повторим правило умножения десятичных дробей.

В конце урока учащиеся дают рефлексию:

Урок понравился / не понравился

Цель урока понял / не понял

Что узнал, чему научился______________________________

Что не понял полностью _______________________________

Над чем надо поработать_______________________________

Оценивание: Учитель поощряет ответы и работы учеников.

Задание на дом: №813 № 815

Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.

Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей

Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:

Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.

Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.

Упрощение вычислений.

Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.

Как правильно прочитать такие числа?

Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».

Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .

Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .

Роль разрядов в записи дробей

Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.

Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".

Наглядно это можно увидеть в этой таблице.

Таблица разрядов десятичной дроби

класс	тысячи			единицы			,	дробная часть
разряд	сот.	дес.	ед.	сот.	дес.	ед.		десятая	сотая	тысячная	десятитысячная

Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?

Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:

немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;

переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;

если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;

нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;

перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.

Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.

О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.

Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?

Здесь возможны два варианта:

Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.

Если такую операцию проделать нельзя.

Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.

Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.

Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.

Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную

Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.

Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.

Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.

Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.

Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной

Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.

К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.

Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.

Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.

Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.

Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

Возврат от десятичной дроби к обыкновенной

В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

Для этой процедуры нужно сделать следующее:

записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;

провести дробную черту;

над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;

под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.

Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.

Что можно делать с десятичными дробями?

В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.

Ими являются:

сравнение;

сложение и вычитание;

умножение и деление.

Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.



Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.

При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.

Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:

записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;

перемножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.

Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.

Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:

записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

умножить, как если бы они были натуральными;

отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.

Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.

Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?

Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:

записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;

делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;

поставить в ответ запятую;

продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;

если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.

Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.

Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:

превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;

выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;

действовать по предыдущему сценарию.

Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.



Заключение: все дело в практике

Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.

Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.

Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.