Тригонометрические уравнения от простого к сложному. Тригонометрические уравнения
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений
при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения
, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Метод замены переменной и подстановки
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Делим на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
x 2 = arctg 3 + k
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С - + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
Урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Ход урока
Вводная беседа.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
Методы решения тригонометрических уравнений
Введение 2
Методы решения тригонометрических уравнений 5
Алгебраический 5
Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7
Разложение на множители 8
Приведение к однородному уравнению 10
Введение вспомогательного угла 11
Преобразование произведения в сумму 14
Универсальная подстановка 14
Заключение 17
Введение
До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.
В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.
Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.
Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.
Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому "морю", учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
Привести уравнение к "одинаковым функциям";
Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.
Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом - половинного, а в третьем - формулы сложения и т.д.
Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.
Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.
Определение 3. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.
Определение 4. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.
Определение 5. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos , называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
I . Алгебраический метод. Этот метод хорошо известен из алгебры. (Метод замены переменный и подстановки).
Решить уравнения.
1)
Введём обозначение x =2 sin 3 t , получим
Решая это уравнение, получаем:
или
т.е. можно записать
При записи полученного решения из-за наличия знаков степень
записывать не имеет смысла.
Ответ:
Обозначим
Получаем квадратное уравнение
. Его корнями являются числа
и
. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
и
. Решая их, находим, что
или
.
Ответ:
;
.
Обозначим
не удовлетворяет условию
Значит
Ответ:
Преобразуем левую часть уравнения:
Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:
, т.е.
Обозначив
, получим
Решив данное квадратное уравнение имеем:
не удовлетворяет условию
Записываем решение исходного уравнения:
Ответ:
Подстановка
сводит данное уравнение к квадратному уравнению
. Его корнями являются числа
и
. Так как
, то заданное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
II . Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций.
а)
, если
б)
, если
в)
, если
Используя данные условия, рассмотрим решение следующих уравнений:
6)
Пользуясь сказанным в п. а) получаем, что уравнение имеет решение в том и только в том случае, когда
.
Решая это уравнение, находим
.
Имеем две группы решений:
.
7) Решить уравнение:
.
Пользуясь условием п. б) выводим, что
.
Решая эти квадратные уравнения, получаем:
.
8) Решить уравнение
.
Из данного уравнения выводим, что . Решая это квадратное уравнение, находим, что
.
III . Разложение на множители.
Этот метод рассматриваем на примерах.
9) Решить уравнение
.
Решение. Перенесём все члены уравнения влево: .
Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
.
.
.
1)
2)
Т.к.
и
не принимают значение нуль
одновременно, то разделим обе части
уравнения на
,
Ответ:
10) Решить уравнение:
Решение.
или
Ответ:
11) Решить уравнение
Решение:
1)
2)
3)
,
Ответ:
IV . Приведение к однородному уравнению.
Чтобы решить однородное уравнение надо:
Перенести все его члены в левую часть;
Вынести все общие множители за скобки;
Приравнять все множители и скобки к нулю;
Скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
(или
) в старшей степени;
Решить полученное алгебраическое уравнение относительно
.
Рассмотрим примеры:
12) Решить уравнение:
Решение.
Разделим обе части уравнения на
,
Вводя обозначения
, именем
корни этого уравнения:
отсюда 1)
2)
Ответ:
13) Решить уравнение:
Решение. Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:
После приведения подобных слагаемых имеем:
Разделив однородное последнее уравнение на
, получим
Обозначу
, получим квадратное уравнение
, корнями которого являются числа
Таким образом
Выражение
обращается в нуль при
, т.е. при
,
.
Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.
Ответ:
, .
V . Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида
Где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное.
Разделим обе части этого уравнения на
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.
Тогда можно обозначить их соответственно
(здесь - вспомогательный угол) и наше уравнение принимает вид: .
Тогда
И его решение
Заметим, что введенные обозначения взаимно заменяемы.
14) Решить уравнение:
Решение. Здесь
, поэтому делим обе части уравнения на
Ответ:
15) Решить уравнение
Решение. Так как
, то данное уравнение равносильно уравнению
Так как
, то существует такой угол , что
,
(т.е.
).
Имеем
Так как
, то окончательно получаем:
.
Заметим, что уравнение вида имеют решение тогда и только тогда, когда
16) Решить уравнение:
Для решения данного уравнения сгруппируем тригонометрические функции с одинаковыми аргументами
Разделим обе части уравнения на два
Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:
Ответ:
VI . Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы.
17) Решить уравнение:
Решение. Преобразуем левую часть в сумму:
VII. Универсальная подстановка.
,
эти формулы верны для всех
Подстановка
называется универсальной.
18) Решить уравнение:
Решение: Заменим и
на их выражение через
и обозначим
.
Получаем рациональное уравнение
, которое преобразуется в квадратное
.
Корнями этого уравнения являются числа
.
Поэтому задача свелась к решению двух уравнений
.
Находим, что
.
Значение вида
исходному уравнению не удовлетворяет, что проверяется проверкой - подстановкой данного значения t
в исходное уравнение.
Ответ:
.
Замечание. Уравнение 18 можно было решить иным способом.
Разделим обе части этого уравнения на 5 (т.е. на
):
.
Так как
, то существует такое число
, что
и
. Поэтому уравнение принимает вид:
или
. Отсюда находим, что
где
.
19) Решить уравнение
.
Решение. Так как функции
и
имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если
и
, одновременно, то есть
.
Ответ:
.
При решении этого уравнения применялась ограниченность функций и .
Заключение.
Работая над темой « Решения тригонометрических уравнений » каждому учителю полезно выполнять следующие рекомендации:
Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.
Выбрать для себя шаги по выполнению анализа уравнения и признаки целесообразности использования того или иного метод решения.
Продумать способы самоконтроля своей деятельности по реализации метода.
Научиться составлять « свои » уравнения на каждый из изучаемых методов.
Приложение №1
Решите однородные или приводящиеся к однородным уравнения.
1. | Отв. |
Отв. |
|
Отв. |
|
5. | Отв. |
Отв. |
|
7. | Отв. |
Отв. |
|
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.
Вспомним определения косинуса и синуса.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)
Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решим уравнение
Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .
Отметим на оси ординат точку с ординатой :
Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:
Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.
То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:
, , - множество целых чисел (1)
Аналогично, вторая серия решений имеет вид:
, где , . (2)
Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .
Эти две серии решений можно объединить в одну запись:
Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.
Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.
2. Теперь давайте решим уравнение
Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :
Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:
Запишем две серии решений:
,
,
(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .
Объедим эти две серии в одну запись:
3. Решим уравнение
Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY
Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):
Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :
Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:
4. Решим уравнение
Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .
Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:
Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:
Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:
В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.
Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:
Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:
Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:
Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:
5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:
И чуть более сложные примеры:
1.
Синус равен единице, если аргумент равен
Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:
Разделим обе части равенства на 3:
Ответ:
2.
Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен
Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:
Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:
Упростим правую часть:
Разделим обе части на -2:
Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.
Ответ:
И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"
На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .