Точками экстремума функции называются точки. Экстремумы функции — простым языком о сложном. Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.

Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f "(х 0) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f "(х) = -2х, f "(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f "(х) = 2(х – 2), f "(2) = 0.

Отметим, что если f "(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х 3 , то f "(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f "(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .

Решение.

1) Найдем производную: f "(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f "(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.

4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рассмотрим два зубца хорошо всем известного профиля пилы. Направим ось вдоль ровной стороны пилы, а ось - перпендикулярно к ней. Получим график некоторой функции, изображенный на рис. 1.

Совершенно очевидно, что и в точке , и в точке значения функции оказываются наибольшими в сравнении со значениями в соседних точках справа и слева, а в точке - наименьшим в сравнении с соседними точками. Точки называются точками экстремума функции (от латинского extremum - «крайний»), точки и - точками максимума, а точка - точкой минимума (от латинских maximum и minimum - «наибольший» и «наименьший»).

Уточним определение экстремума.

Говорят, что функция в точке имеет максимум, если найдется интервал, содержащий точку и принадлежащий области определения функции, такой, что для всех точек этого интервала оказывается . Соответственно функция в точке имеет минимум, если для всех точек некоторого интервала выполняется условие .

На рис. 2 и 3 приведены графики функций, имеющие в точке экстремум.

Обратим внимание на то, что по определению точка экстремума должна лежать внутри промежутка задания функции, а не на его конце. Поэтому для функции, изображенной на рис. 1, нельзя считать, что в точке она имеет минимум.

Если в данном определении максимума (минимума) функции заменить строгое неравенство на нестрогое , то получим определение нестрогого максимума (нестрогого минимума). Рассмотрим для примера профиль вершины горы (рис. 4). Каждая точка плоской площадки - отрезка является точкой нестрогого максимума.

В дифференциальном исчислении исследование функции на экстремумы очень эффективно и достаточно просто осуществляется с помощью производной. Одна из основных теорем дифференциального исчисления, устанавливающая необходимое условие экстремума дифференцируемой функции, - теорема Ферма (см. Ферма теорема). Пусть функция в точке имеет экстремум. Если в этой точке существует производная , то она равна нулю.

На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в точке экстремума касательная к графику функции горизонтальна (рис. 5). Обратное утверждение, разумеется, неверно, что показывает, например, график на рис. 6.

Теорема названа в честь французского математика П. Ферма, который одним из первых решил ряд задач на экстремум. Он еще не располагал понятием производной, но применял при исследовании метод, сущность которого выражена в утверждении теоремы.

Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка будет точкой минимума. Напротив, точка будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.

Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.

Исследуем на экстремум функцию .

Найдем ее производную: .

Находим значения функции в точках экстремума: , . График функции показан на рис. 8.

Заметим, что возможны случаи, когда экстремум достигается в точке, в которой производная не существует. Таковы точки экстремума у профиля пилы, пример такой функции дан и на рис. 1.

Задачи на максимум и минимум имеют важнейшее значение в физике, механике, различных приложениях математики. Они были теми задачами, которые привели математику к созданию дифференциального исчисления, а дифференциальное исчисление дало мощный общий метод решения задач на экстремум с помощью производной.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Кто такой Геракл
Геракл в древнегреческой мифологии — величайший герой, сын бога Зевса и Алкмены — жены фиванского царя Амфитриона. При рождении был назван Алкидом. Неоднократно упомянут уже в «Илиаде» (II 658 и др.).Среди многочисленных мифов о Геракле наиболее известен цикл сказаний о 12 подвигах, совершенных

Как называются деньги Нигерии
Название страны Название - денег/разменной монеты Австралия Австралийский доллар/цент Австрия Австрийский шиллинг/грош — евро Азербайджан Манат Албания Лек/киндарка Алжир Алжирский динар/сантимо Аргентина Аргентинский аустраль/сентаво Афганистан Афгани/пул Бангладеш Така/пайс Бельгия Бельгийский франк/сантимо — евро Болгария Лев/стотинка

Что такое желтая лихорадка
Вся информация предоставляется исключительно в ознакомительных целях. Поставить правильный диагноз и назначить соответствующее лечение может только врач! Желтая лихорадка (амариллез) — острое геморрагическое трансмиссивное заболевание вирусной этиологии, тропический зооантропоноз Африки и Южной Америки. Передаётся с укусом комаров. Симптомы Инкуб

Какие песни играют в 12 серии 6 сезона сериала «Тайны Смолвиля»
В 6 сезоне сериала «Тайны Смолвиля» двадцать серий. Promo Music: APM Music — Dark Bells (1:55); Bloc Party — The Prayer (3:44). Серия № 3: Wither (Угасание): T

Что такое премия ФИФА имени Ференца Пушкаша
Премия ФИФА имени Ференца Пушкаша (англ. FIFA Puskas Award) — награда, учреждённая ФИФА 20 октября 2009 года. Награда вручается игроку (независимо от пола), забившему самый красивый гол года. Премия названа в честь капитана великой венгерской Золотой команды 50-х годов Ференца Пушкаша. Первая церемония

Почему каменный век называется «каменным»
В начальный период истории человечества преимущественное употребление имели каменные орудия, поэтому он называется каменным веком. Согласно современной классификации каменный век делится на: древнекаменный, или палеолит, датируемый с момента появления человека (более 2,5 миллионов лет до н. э.) и приблизительно до 10 тысячелетия до н. э.; среднекаменный, мезолит: 10 тысячелетие

1. Узнать данные владельца (фамилию, имя, отчество) по номеру мобильного телефона, можно обратившись за помощью к сотрудникам спецслужб или в государственные органы. Сотрудники спецслужб могут воспользоваться данными мобильного оператора в случае поимки преступника или раскрытия террористического акта. 2. Можно нанять частного детектива. Частные детективы обычно «

Какие препараты относятся к допинговым средствам
Само название - допинг происходит от английского слова dope - что означает давать наркотик. Согласно определению Медицинской комиссии Международного Олимпийского Комитета, допингом считается введение в организм спортсменов любым путем (в виде уколов, таблеток, при вдыхании и т.д.) фармакологических препаратов, искусственно повышающих работоспособность и спортивный результат. Кроме

Когда и кем была открыта самая большая в мире пещера
Самая большая в мире пещера Шондонг находится во вьетнамском национальном парке Фонгня-Кебанг, который расположен в 500 км южнее столицы страны Ханоя. Протяженность пещеры составляет около 9 км. При этом высота ее достигает 200 м, а ширина — 150 м. Объем пещеры оценивается в 38,5 млн м3. Пещера была впервые исследована в а

Почему считается, что Вселенная расширяется
Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что использование термина «Вселенная», а также обсуждение её наблюдаемых свойств имеет смысл только начиная с масштабов пространства, превышающих 100 мегапарсек, поскольку до расстояний в сотни мегапарсек ещё прослеживаются такие космические структуры, как скопления галактик (1 парсек = 3,085&middo

Какой грамматический словарь русского языка считается в Российской Федерации официальным
Список грамматик, словарей и справочников, содержащих нормы современного русского литературного языка при его использовании в качестве государственного языка Российской Федерации: 1. Орфографический словарь русского языка. Букчина Б.З., Сазонова И.К., Чельцова Л.К. — М.: «АСТ-ПРЕСС», 2008. — 128

Один из типов задач математического анализа: исследовать функцию одной переменной на минимум и (или) максимум. Иногда экстремум (собирательное название для минимума и максимума) функции требуется найти на некотором интервале. Задачи подобного плана попадаются также в курсе средней школы и среди заданий Единого Государственного Экзамена.
Постановка задачи 1:

Дана функция , определенная на некотором промежутке. Требуется найти точки максимумов (минимумов) функции.
Теоретические основы.
Определение: Говорят, что функция имеет в точке максимум, рис. а) (или минимум, рис. б)) , если существует некоторая окрестность в промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
().
Замечание:
Extremum- (латынь) крайнее.
Maximum – (латынь) наибольшее.
Minimum – (латынь) наименьшее.

Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма):

Пусть функция определена на некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная , то необходимо .
Определение: Если выполняется равенство , то точку будем называть стационарной точкой .
Определение: Стационарные точки и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, будем называть точками, подозрительными на экстремум.
Иллюстрация некоторых случаев, кроме представленных выше двух:

1) Экстремума нет, первая производная равна нулю.
2) Точка максимума, первая производная слева и справа бесконечна.
3) Экстремума нет, первая производная слева и справа бесконечна.
4) Точка минимума, первая производная слева не равна первой производной справа.
5) Экстремума нет, первая производная слева не равна первой производной справа.

Замечание (Геометрический смысл производной):

Производная функции в точке численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .
Пример 1:

Рассмотрим функцию .
Вычислим производную этой функции:

Итак, точки, подозрительные на экстремум:
Построим график этой функции.

На графики видно, что функция имеет максимум при , минимумы при . При функция экстремума не имеет.

Из этого примера видно, что равенство нулю производной в точке является обязательным условием экстремума функции в этой точке, но не является достаточным условием.
Теорема (условие монотонности функции):

Пусть функция определена и непрерывна в непрерывна в некотором промежутке и внутри него имеет конечную производную . Для того, чтобы была на этом промежутке монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо и достаточно условие

Достаточное условие экстремума:

Предположим, что в некоторой окрестности стационарной точки существует конечная производная и как слева от ,так и справа от (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус). Т.е. при функция возрастает, а при — убывает. Значит, значение будет наибольшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет максимум.

Пояснение: Сверху от числовой оси указывается знак производной на соответствующем интервале, снизу от числовой оси обозначается поведение функции на соответствующем интервале (убывание или возрастание).
2) при и при (производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс). Т.е. при функция убывает, а при — возрастает. Значит, значение будет наименьшим в промежутке . Другими словами, в точке функция имеет минимум.

3) при и при ( при и при )(производная при переходе через точку не меняет свой знак). Т.е. функция в промежутке убывает (возрастает). Другими словами, в точке функция не имеет экстремума.

Пример 2:

Рассмотрим вновь функцию .
Производная этой функции имеет вид:

Точки, подозрительные на экстремум: . Выясним знаки производной на соответствующих интервалах (решим методом интервалов неравенства и ):

Из рисунка видно, что в точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. при функция имеет минимум.

В точке производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. при функция имеет максимум.
В точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. при функция имеет минимум.
В точке производная своего знака не меняет, т.е. экстремума там нет.
Полученные данные полностью подтверждаются графиком функции.

Алгоритм решения задачи 1.

1) Найти производную функции .

2) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение .Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

3) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум.. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной не меняется, то экстремума в этой точке нет.

4) Найти значение функции в точках минимума (максимума).

Дополнение:

Исследование знака первой производной функции по разные стороны от стационарной точки (достаточное условие экстремума) можно заменить исследованием знака второй производной в этой стационарной точке (при условии её существования).
1) если , то функция имеет в этой точке минимум.
2) если , то функция имеет в этой точке максимум.
3) если , то вопрос о существовании экстремума в этой точке остается открытым. Решим неравенство

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .