Теоремы существования и единственности. Теорема коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Предыдущая обложка в высоком разрешении. Автор моя дочь.Горжусь:

Росакар. Столица. Резиденция рода Рош Экита.

Два месяца после катастрофы.

За дверью послышался смех, Ян приоткрыл глаза. Слышно было как Арис в коридоре шутливо приставал к одной из горничных. Та визгливо хихикала и, Ян мог поспорить, смущаясь, прикрывала раскрасневшееся лицо фартуком.

У Яна, схватить пробегающую мимо, служаночку, за зад в пышных юбках или ущипнуть за грудь, рука не поднималась. Было тошно и брезгливо.

Арис, младший брат, баловень и любимец семьи приехавший следом за отцом из дворца проведать вернувшегося из изгнания брата. Темноволосый улыбчивый и зеленоглазый, душа любого общества.

Он смеясь зашел в комнату. Ногой подвинул кресло поближе к кровати. И плюхнулся в него развалившись.

А знаешь ли ты, братец, что родители собрались дать скромный прием в честь твоего возвращения?

Вот как?- Ян приподнялся на локте.

Да-да, возвращения и выздоровления, а я смотрю ты совсем раскис, -Арис приподнял салфетку на нетронутом подносе с едой стоящем на прикроватном столике,- не расскажешь, что случилось?

«Инга со мной случилась»,-тоскливо подумал Ян,- «Инга Владимировна Савельева».

Она словно заразила его неизвестной болезнью изменяющей что-то в голове, и весь мир теперь выглядел по -другому и Ян, в чем-то даже завидовал младшему братцу. Девицы, развлечения, охота, друзья, немножечко финансовые дела. Жизнь по накатанной колее. А самое главное, все просто и никаких лишних душевных терзаний.

« Это у нас экстремальные обстоятельства, а у окружающего мира все так как было, так и продолжается,- словно наяву услышал он слегка насмешливый голос Инги,- миру вообще пофиг на тебя, по большому счету.»

Инга. Это имя засело внутри болезненной занозой, которую не представлялось возможности вытащить. И боль вокруг нее расползалась все дальше и проникала все глубже.

Ян пожал плечами и даже смог улыбнулся братцу в ответ.

Да ничего интересного, прожил часть лета в Равенхальме,- Ян сел на край кровати, -потом, вот путешествовал немного.

Арис прищурился.

Вастаб написал отцу, что ты приходил за «темным мешком».

Ян потянулся за стаканом с водой, не спеша отпил.

Приходил.

И?- младший братец дернул ногой от нетерпения, клинки у него на поясе звякнули.

Получил, -подтвердил Ян, -и прожил зиму в Лерте.

Арис рассмеялся.

А ты изменился, - вдруг сказал он перестав улыбаться, - и взгляд у тебя стал…мертвый.

Ян неспешно поставил стакан обратно на поднос и серьезно, без тени улыбки, посмотрел на брата.

А я и умер, думаешь « темный мешок» просто так отдают?

А что за история с травницей?- не сдержал любопытства Арис, -отец письма получил и молчал, а Вастаб писал, что ты очень ее слушаешь.

Ян не знал, что ответить. Рассказать кто такая Инга брату? А поймет ли ветреный братец? Да и как объяснить, кем она стала для него, Яна?

Можно, конечно, рассказать про чудесную, умную, женщину которую посчастливилось встретить и это будет полнейшей ерундой.

Ян вздохнул:

Она не травница.

Арис явно изнывал от любопытства

Ярран, не тяни, расскажи.

Она ученый, математик, мы жили в Лерте, потом поженились, потом немного путешествовали.

Поженились, но ведь ты был изгнан?- не сумел скрыть удивление Арис, Ярран с мрачной насмешкой взирал на отвисшую челюсть младшего брата.

Кроме законов Росакара существуют и другие, -пояснил он, -мы поженились по древне-славянскому языческому обряду.

Смысла он и сам не очень понимал, в мире Инги все было запутано, даже с ее объяснениями, но словосочетание, особенно с приставкой «древне», звучало внушительно.

А потом вы путешествовали в горах?- неверяще спросил Арис.

В горах,- Ян утвердительно кивнул и улыбнулся,- там было озеро и суворовские бани, а еще палатка и пуховые спальники. Знаешь, оказывается если ходить пешком, а не летать, то можно узнать и увидеть уйму интересного.

И как ты вернул горга?

Об этом лучше бы спросить у Инги, снова мелькнула мысль, происходящие на станции процессы она понимала гораздо лучше.

У Яна не получалось думать о ней как о мертвой. Он просыпался утром, говорил себе: « Инга умерла, ее больше нет», разум соглашался, но тут же предательски шептал: «Ты не видел, что там произошло, ты не видел ее тела, может алорнец тебя обманул, ты же видел как он смотрел на нее?». И Ян позволял этому сомнению жить внутри себя. Вот только какие действия предпринять решения пока не приходило.

Пожалуй, верным было бы дождаться пока заживет рука и вернуться в дом в Лерте. Находиться здесь, в столице Роскара, Ян больше не хотел. Было невыносимо смотреть на беготню слуг когда отец вечерами возвращался из министерства, запирался в кабинете и ужинал там.

На мать, ежеутренне выходящую к завтраку при полном параде, в украшениях, с прической. На старшую сестру, похожую на мать настолько, что они казались сестрами-близнецами. Похожая одежда, одинаковая поступь, одинаковые движения рук и даже выражение лиц похожее: чаще всего недовольно поджатые, бледные губы.

Условие Липшица

Рассмотрим функцию, определенную и непрерывную в прямоугольнике К:

Определение. Если для любого и любых двух значений и переменной:

существует такое, не зависящее от х число, что выполнено неравенство:

то говорят, что функция в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Замечания:

1. Если в области К имеет непрерывную частную производную, то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа

Лежит между и.

В силу непрерывности в К и замкнутости области К, в К ограничена, т.е. , где L - некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять.

2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной, так как оно может быть выполнено и в том случае, когда существует не всюду в К.

Определить, удовлетворяет ли условию Липшица функция заданная в прямоугольнике?

Следовательно, за L можно принять и условие Липшица выполнено. Тот же результат получим, если используем замечание 1. Действительно, функция имеет непрерывную, поэтому за L можно принять.

Таким образом, заданная функция удовлетворяет условию Липшица в любом конечном прямоугольнике.

То же самое для функции.

Это значит, что в прямоугольнике K условие выполнено с.

Здесь константа L не зависит от размеров прямоугольника, следовательно, условие Липшица удовлетворяется на всей плоскости.

То же для функции

В то же время не существует при, т.к.

Теорема существования и единственности

Теорема (Коши)

Пусть удовлетворяет условиям:

1) непрерывна в прямоугольнике K: , тогда в K ограничена, то найдется такое (3)

удовлетворяет в K условию Липшица

Тогда в интервале:

дифференциальное уравнение

обладает единственным решением, таким, что.

Замечания:

Для существования решения достаточно непрерывности в K.

Для единственности решения требуется выполнение условия Липшица (4), которое может быть заменено более жестким условием существования в K непрерывной.

При доказательстве теоремы рассматривается задача Коши:

которая заменяется эквивалентным ей интегральным уравнением

Затем к уравнению (8) применяется так называемый метод последовательных приближений Пикара. Он состоит в том, что строится последовательность функций сходящаяся к решению уравнения (8). Функции строятся по следующему правилу: за исходное приближение принимается, а следующие вычисляются по формуле:

Это есть рабочая формула для построения приближенного решения по методу последовательных приближений.

Допустим интегральная кривая построена на интервале. Возьмем конечную точку за центр нового прямоугольника и продолжим решение вправо. Поступая так, каждый раз, можно продолжить решение (интегральную кривую) до самой границы области G задания функции (в предположении, что G конечна и замкнута).

Мы построили интегральную кривую, проходящую через точку. Можно выбрать любую другую точку и опять получим единственную интегральную кривую. Таким образом, область G как бы состоит из интегральных кривых.

Теорема. Если определена и непрерывна на всей плоскости и удовлетворяет условию Липшица во всякой конечной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании или продолжима до или имеет вертикальную асимптоту при конечном значении, т.е. интегральная кривая не может окончится где-то внутри области.

Здесь удовлетворяет всем условиям теоремы. Решением задачи Коши будет. Решение имеет вертикальные асимптоты.

Те точки области G, в которых функция неопределена или перестает быть непрерывной или не выполняется условие Липшица, называются особыми точками уравнения. Таким образом, особые точки это те точки, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности. Особые точки могут быть изолированными, а могут составлять и целые области.

Впервые существование решения дифференциального уравнения было доказано Коши. Приводимое ниже доказательство основано на методе последовательных приближений , который принадлежит Пикару. Этот метод имеет самостоятельное значение, поскольку позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения.

Формулировка теоремы

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
с начальным условием
(1.1) .
Пусть - непрерывная функция двух переменных в замкнутой области :

и, следовательно, ограничена некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функция удовлетворяет условию Липшица:
(3) ,
.
Тогда существует единственное решение уравнения (1):
,
удовлетворяющее начальному условию , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Условие Липшица

Рассмотрим условие Липшица. Оно имеет вид:
(3) ,
где - положительное число;
, и - любые значения из области :
, , .

Смысл условия Липшица легко понять, если записать его в виде:
(3.1) .
При некотором фиксированном значении переменной , функция является функцией от переменной : . Пусть мы имеем график этой функции. Возьмем две точки, принадлежащие , на этом графике и проведем через них прямую. Тогда угол между прямой и осью ограничен некоторым значением , которое меньше . При таком ограничении график не имеет вертикальных касательных и скачков. А в тех точках, где существует частная производная , она ограничена:
.

Если в области функция имеет непрерывную частную производную , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частная производная непрерывна в замкнутой области, то она ограничена:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой переменная принадлежат интервалу между и :
.
Тогда:
.

Доказательство существования решения

Приведем исходное уравнение (1) с начальным условием (1.1) к интегральному уравнению . Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем это уравнение по от до :
;
Подставим начальное условие . В результате получим интегральное уравнение:
(4) .

Покажем, что интегральное уравнение (4) эквивалентно дифференциальному уравнению (1) с начальным условием (1.1). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.1) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.1). То, что из (1) и (1.1) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.1). Для этого подставим в (4) . Получим начальное условие (1.1). Продифференцировав обе части уравнения (4) по , получаем уравнение (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнения (4) с помощью последовательных приближений . Для этого определяем ряд функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.........
(5.n) .
Мы предполагаем, что при , стремится к решению уравнения (4):
(6) ,
где - решение уравнения (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1} вначале докажем, что предел (6) существует ;
2) затем докажем, что удовлетворяет уравнению (4) :
.

1) Доказательство существования предела y n при n стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) - (5.n) к сумме ряда . Для этого пишем:

.
Таким образом нам нужно доказать, что ряд
(7)
сходится при .

Сначала покажем, что при , последовательные приближения принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.

Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7), применяя условие Липшица.

Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):

;
(8.2) .
Для третьего члена применяем, аналогично, условие Липшица и оценку (8.2):

;
(8.3) .

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.n) .
Тогда


;
(8.n+1) .
Итак, поскольку (8.n) справедливо для и из (8.n) следует (8.n+1), то (8.n) выполняется для любых .

Запишем ряд (7) в виде:
(7.1) ,
где .
Применим (8.n) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.1) ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.1), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.1) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.1) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.n):
(5.n) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .

В силу (10) левая часть уравнения (5.n) стремится к .

Теперь покажем, что
.

Перепишем правую часть (5.n):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:

.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
.
Тогда
.
Поскольку произвольно, то

Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.n)
принимает вид
(11) .

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Будем считать, что . В противном случае поменяем местами и .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.

Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где - некоторое число, не превосходящее .

Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где - некоторое число, не меньшее .

Итак, мы имеем:
;
при (или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число (или ) и рассмотрим закрытый интервал (или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
(или ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:


;
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.

Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Введение...3

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности...23

§ 1.1. Уравнение с постоянными операторными коэффициентами и

отклонениями аргумента...24

§1.2 Случай маловозмущенного уравнения...43

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения...50

§2.1. Конечномерность ядра оператора Lpo...50

§2.2 Конечномерность коядра оператора Lpo...55

ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве...73

§ 3.1 Вспомогательные леммы...73

§ 3.2 Случай начальной задачи...76

§3.3 Некоторые замечания по уравнениям с линейным отклонением

аргумента...81

Литература...84

Введение

Характерной особенностью современной теории дифференциальных уравнений состоит в использовании абстрактной теории операторов в гильбертовом пространстве. Это можно объяснить тем, что различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Lu = f, изучение которого

позволяет отвлекаться от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, сосредоточив внимание на наиболее общих закономерностях. Другим преимуществом этой теории является то, что уравнения с неограниченными операторными коэффициентами охватывают как частный случай уравнения с частными производными, изученными не достаточно.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950).

Разработка теории таких уравнений начата, в основном, во второй половине 20 - века под влиянием запросов техники и естествознания. Теория этих уравнений стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последствием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и телемеханике, электросвязи, радиолокации и т. д. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе может высказать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость систем.

Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания,

времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания. Все это объясняет значительное усиление внимания к уравнениям с запаздывающим аргументом в последнее время.

Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом определяется как уравнение, в которое, кроме аргумента t, входит искомая функция и её производные, взятые вообще говоря при различных значениях аргумента t. Такое уравнение имеет запаздывающий тип, если значения старшей производной при любом значении / = /0 определяются через

младшие производные при t

Переход от обычного уравнения x\t) = /(/, x{t)) к уравнению с отклоняющимся аргументом означает, что вместо х(е) в правой части рассматривается функция x{t-h{t)), где h{t) - заданная функция.

Уравнение с сосредоточенным запаздыванием

Lu{t) = D, u{t)-fjAJ{t)u{t-hj{t)) = f{t)b D,=~9 (1)

является частным случаем уравнения с распределенным запаздыванием

Lu{t) = D, u(t) -)u(t - T)drr{t, r) = fit), (2)

" Г0,-оо < t < О,

когда r(t, r) = ?4(/)/(r-A/0), W = \ "

Если решение уравнения (1) или (2) находится на участке .

Таким образом, получается естественное обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Последним обобщением уравнения (1) является переход от уравнения (2) к системе уравнений вида (2), а также рассмотрение (1) в более общих пространствах.

Различные задачи могут быть записаны в виде уравнения (1) и в зависимости от дополнительных условий (начальных, граничных) появляются различные пространства в качестве области определения оператора L.

Операторному уравнению

?>,и(0-Л(/МО-0 (3)

в случае, когда iA{t) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы. Без этих предположений уравнение (3) с постоянным оператором изучено в работе Ш. Агмона и Л. Нирегберга . В частности, в той статье выведены асимптотические формулы для решения экспоненциального типа при условии, что спектр оператора А состоит из нормальных собственных значений, расположенных (за исключением быть может конечного числа) в некотором двойном угле радиуса меньше п. Эти результаты были распространены А. Пази на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые. При условии, что оператор A(t) стремится при t -> оо в некотором слабом смысле к оператору А, была получена асимптотика при t -> оо решения уравнения (3).

и(/) - ехр / $A(s)ds \сф{1) + О(\),

где A(t) - собственное число оператора A(t), стремящееся при t -><х> к простому собственному числу Л оператора А, ф(1) - соответствующий собственный элемент.

Следующим шагом в этом направлении явилось работа А. Пази , в которой получена асимптотика решения u(t) уравнения

at в банаховом пространстве А"для случая

где Ао - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения. Дальнейшие исследования были посвящены уравнения (1) и принадлежат . Особое внимание было обращено на вопросы существования, единственности, устойчивости и асимптотического поведения решений. В работах рассмотрены линейные, нелинейные уравнения как первого так и высших порядков

А"«(0 - IIX (t)SM (О А"«(О = ДО,

уравнения с периодическими коэффициентами, а также с распределенным запаздыванием типа (2).

В отличие от работ, в которых уравнения рассматривались в пространствах с экспоненциальным весом, дальнейшие исследования проводились в пространствах со степенным весом вида (l + |/|2л) .

В настоящей работе продолжаются исследования уравнения (1) в

пространствах с произвольным степенным весом вида (l + |/|2"

Для изучения рассматриваемых уравнений используются известные методы из теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории функции комплексного переменного, так и методы, подсказанные спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом.

Изучая уравнения в гильбертовом пространстве, мы все время имели в виду применение полученных результатов к уравнениям в частных производных, к бесконечным системам, хотя в равной степени эта теория

может быть использована и к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми занимаются многие.

Существенным моментом применяемого метода является преобразование дифференциального уравнения в алгебраическое уравнение (уравнения в частных производных в обыкновенное уравнение) с помощью преобразования Фурье, чем преодолеваются определенные трудности и обходят встречаемые препятствия. Однако после решения «облегченной» задачи для получения решения первоначальной задачи надо применить обратное преобразование Фурье, где существенную роль играет хорошо известная теорема Планшереля (Парсеваля), связывающая решения этих двух задач.

Когда уравнения рассматриваются в пространствах с экспоненциальным весом exp(ctf), а = const e R, то теорему Планшереля применяем к равенству

т. е. пользуемся равенством

Если весовая функция степенного вида \t\" целой степени п, то применяя теорему Планшереля к равенству с1"и

имеем утверждение d"u{X)

Существенно меняется положение, когда весовая функция имеет форму произвольной степени \t\a, О < а < 1.

Чтобы применить известные и использованные в предыдущих случаях методы здесь обходится применение дробного дифференцирования по Лиувиллю

Dau(t) =-----!-----

ier(l-flf)i(/-5)

Основные обозначения и определения

Приведем сначала наиболее часто встречающиеся в работе обозначения и определения, а также некоторые к ним пояснения. X, Y - гильбертовы пространства, X с У, \\х (\\-\\Y) - норма в пространстве

X(y), \\\\х > |||у. Последнее неравенство предлагается выполненным. ЬЮ(Е{,Е2) - множество вполне непрерывных операторов из?,в?2. L(EX, E2) - множество ограниченных операторов из?,в Е2. Lo (Е{, Е2) - множество замкнутых операторов из Ех в Е2. F(EX, Е2) - множество фредгольмовых операторов из?,в Е2. Е},Е2 - линейные нормированные пространства.

Г(а) - гамма функция. А - равно по определению.

R" - п - мерное евклидово вещественное пространство, R = (-оо, оо).

АСХ - множество абсолютно непрерывных скалярных функций с интервалом

определения I.

Suppu{t) - {/, u(t) ¦*¦ О} n G - носитель определенной и непрерывной на

открытом множестве GczR функции.

С - плоскость комплексного переменного.

Cq(G) - множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве

G функций с компактными в G носителями.

Говорят, что / на Е имеет порядок ср или / есть О большое от <р на Е и пишут при этом fit) = 0(

I}\R"*,X) - пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями в R"? и со значениями X по норме

Х^° - пополнение множества функций u(t), u(t) = 0, t < t0, с компактными

носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывные производные в Y по норме

А = const, t0 >-oo.

J 7°f - пополнение множества функций u(t), u(t) - 0, / < /0, с компактными

носителями R"l и со значениями в Y по норме

(У J(l + |/|2a)||M"(O|^H, a = const, t0 >-oo.

= \h(t)ACRla, h"(t)

Sh{t)u(t)Au{t-h{t)).

XA (г) - характеристическая функция оператора А. Она вводится для вполне непрерывных операторов и по заданному е определяется из неравенства

u(Z)A(u(t)) - преобразование Фурье функции u(t).

Са - постоянная, зависящая от а.

Под решением уравнения (1), коэффициенты которого принадлежат пространству L(X, Y), понимается функция u{t) сильно непрерывная в У, имеющая сильную производную при почти всех t в Y и удовлетворяющая уравнению.

Линейный оператор А: X -> Y называется непрерывно обратимым, если выполнены условия:

1) область значений Im A = Y,

2) оператор Л обратим,

3) Ал ограничен.

j Обозначения для операторов:

Во всех рассмотренных выражениях Aj, Aj(t) - ограниченные

операторы, области определения которых принадлежат пространству X, а области значений - пространству Y.

Как операторы из Y в Г их полагают неограниченными замкнутыми операторами.

Если при Л = Л0 область значений 1т(Ьр(Л0)) операторного квазипучка

AE-^Ajexp(-iAhj) плотна в пространстве X и оператор Ьр(Л0)

обладает непрерывным обратным оператором Rp(A0), то говорят, что комплексное число А^ принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора Ар: X -> Y.

Оператор Rp(A0) называется резольвентой оператора Ар в точке Л = Ло. Совокупность всех комплексных чисел Л, не принадлежащих резольвентному множеству р(Ар), называется спектром оператора Ар и обозначается с(Ар). Спектр бывает трех типов: 1) точечный спектр Ра - множество таких значений Л = До, при котором обратный оператор Rp(A) не существует. Другими словами, уравнение

Ьр(Л0)(р0 = Л0(р0 -^Aj exp(-iAohj)

2) Непрерывный спектр Со - множество таких значений Л = Л0, для которых существует обратный оператор Rp(A0), но он не является непрерывным. Другими словами Ьр(Л0) обладает обратным оператором Rp(A0) с плотной в Y областью определения, но существует последовательность срп € X, \<».

3) Остаточный спектр Ra - множество таких значений Л = Ло, для которых существует обратный оператор Яр(Л0), область определения которого не плотна в Y, т. е. существует элемент <р <= Y такой, что для любого элемента у/ еХ имеет место равенство exp(-U0/(0^

Если f(t)eL\R",H), то /(Л) = (2*)"г Jexp(-W/)/(/)«//, (Л,/)=5\у*.

Функция f(t) = (2тг) 2 |ехр(Ш)/(Я)?/Я называется обратным

преобразованием Фурье функции /(/).

Теорема Планшереля. Преобразование Фурье переводит функции из L2(R, H) в L2(R, H). Более точно, если f(t)eL2{R",H), то функция ДЛ) существует и /(/) е L2(R, H). При этом

>, f(t) = lim -±= |ехР(

Из этой теоремы следует, что если JmX - а ф О, то

: -7= jexp(Ш)f(Л)dЛ = -j= |exp(/((T + ia)t)f(a + ia)da = v2;r 1тЛ=а - у/2л: \тЛ=0

Exp(-at)-j= JQxp(iot)f(a + ia)d(T, откуда

exp(af)/(/) = -j= jexp(iot)f(cr + ia)d

Планшереля

\\?W\HdXB |ЛЯ)|/Я =

Oo+/ar Im Д=а - оо

обобщенная теорема Планшереля.

Непрерывность, дифференцируемость, регулярность.

Функция u(t) е Н называется непрерывной в точке t0, если

|и(О-и(*о)|// ~> 0 при / -> /0 и непрерывной на [а, 6], если она непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь]. Норма непрерывной на [а, Ь] функции есть скалярная непрерывная функция.

Функция u(t) называется дифференцируемой в точке /0, если

существует элемент иеН такой, что

при А/ -> 0.

Функция дифференцируема на отрезке (интервале, полуинтервале), если она дифференцируема в каждой точке отрезка (интервала, полуинтервала).

Функция u(t) называется регулярной в области G с С, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Аналитическая функция в окрестности каждой точки t0 e G разлагается вряд

*(>) = |>„("-"оГ, где an=±u"(t0)eH.

Ограниченный линейный оператор - функция /?(Я) называется регу - лярной функцией Л в некоторой области D, если в каждой точке этой

некоторому пределу R"{X). Для R(X) имеет место теорема Коши об обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру. В окрестности

изолированной особой точки имеет место разложение

сходящиеся по норме локально равномерно относительно Л. Особая точка Ло есть полюс, если последнее содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями Л-Ло. Если 7?(Я) в области D имеет в качестве особых точек лишь полюса, то R(A) называется мероморфной функцией.

Линейный оператор A:X-*Y называется замкнутым, если из х„ е D(A) и {хп, Ахп} -»(х, у) следует, что х е D(A) и у = АХ. С оператором А замкнут или не замкнут и оператор ЛЕ-А (с областью определения D(A)). Поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (ЛЕ-А)~1, то оператор А замкнут.

Если VueX выполнено неравенство \Au\Y < C\u\x, то оператор А

называется ограниченным, а наименьшее значение константы С называется нормой l^l^j, = \\a\\y оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Обратно, определенный на всем пространстве X непрерывный линейный оператор ограничен.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в У.

Ограниченный линейный оператор A{t) называется сильно непрерывным, если \A(j - h)- A(t)\\ -» 0 при h -> 0.

Теорема Ар целя. Пусть //, компактно вложено в Н2. Если семейство функций (м(/)}, определенных на компакте [а, Ь], равномерно ограниченно по норме пространства Я, и равномерно непрерывно по норме пространства Н2, то есть ||м(/)||я ^С» ||«(f + h)-u(t)\H

Теорема о голоморфной оператор функции. Известно, что, если Т(Л):Х^>У голоморфна и существует Т~\Л):У -> X, то Г"1 (Я) - голоморфная оператор - функция. Это является следствием теоремы об устойчивости ограниченной обратимости.

Теорема Пели - Винера. Для того, чтобы функция f{x) (-00 < х < оо)

ь допускала представление /О) = |ехр(/Ях)^/(Я)с/Я (^/(Я) е L2 (а, Ь)), необходимо

и достаточно, чтобы функция f{x) имела интегрируемый квадрат на всей числовой оси и могла быть доопределена в плоскости как целая функция конечной степени. При этом, если интервал (a, b) не может быть заменен

меньшим интервалом, то отрезок мнимой оси совпадает с сопряженной диаграммой функции /(г).

Неравенство для вполне непрерывных операторов. Если А:Х ~>Y вполне непрерывный оператор, то для любого б > О существует константа ХА(?)> что имеет место неравенство

\Au\Y < e\u\x + xA {e%u\Y для любого и е X с Г.

Разбиение единицы.

Пусть G - открытое множество в пространстве R*. Допустим, что семейство открытых множеств {С?;: / е /} покрывает G, то есть G = U G,.

Тогда система функций {^(.(г):/е/} класса С0Л(/?) такая, что для любого /е/ носитель suppOt(t) содержится в некотором множестве G, 0 < <9,(г)< 1 для

всех iel, 5]^,(0=1 Для всех teG, называется разбиением единицы, соответствующим покрытию {(7,.: / е /}.

Альтернатива Фредгольма.

Пусть Т - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве В и

Я- фиксированное и отличное от нуля число. При этих условиях

неоднородные уравнения

(ЛЕ-Т)х = у, (5)

[ЛЕ-ГУ=у (6)

при любых у e В и у" еВ" имеют единственные решения тогда и только

тогда, когда однородные уравнения

(АЕ-Т)х = 0, (7)

(ЛЕ-7")с"=0 (8)

имеют лишь нулевые решения. Кроме того, если одно из однородных уравнений имеет ненулевое решение, то они оба имеют одно и тоже число независимых решений. В этом случае уравнения (5) и (6) имеют решение тогда и только тогда, когда векторы у и у" ортогональны ко всем решениям уравнений (7) и (8) соответственно.

Компактное вложение.

Тождественный оператор А: Я, -> Н2, ставящий в соответствие элементу хеН{ тот же элемент как элемент пространства Н2, называется оператором вложения пространства Я, в пространство Н2. Если оператор

вложения есть вполне непрерывный оператор, то вложение называется компактным.

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 10 параграфов. Первая глава посвящена вопросам разрешимости уравнения

Lpou(t) - D, u(t)- ?}