Стохастические дифференциальные системы. § Зе. Стохастические дифференциальные уравнения

Анатолий Афанасьевич ЛЕВАКОВ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения/

А. А. Леваков. Минск: БГУ, 2009. 231 с. ISBN 978-985-518-250-5.

В монографии изложена теория стохастических дифференциальных уравнений, являющаяся одним из основных средств исследования случайных процессов. Рассмотрены три раздела теории стохастических дифференциальных уравнений: теоремы существования, теория устойчивости и методы интегрирования. Приведены факты из функционального анализа, теории многозначных отображений и случайных процессов, на которых основано изложение книги.

Для специалистов в области теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений и их приложений, а также преподавателей, аспирантов и студентов математических факультетов вузов.

Библиогр.: 171 назв.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Белорусского государственного университета

Рецензенты: член-корреспондент НАН Беларуси,

доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Янович; доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Лазакович

ISBN 978-985-518-250-5

c Леваков А. А., 2009

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Функциональный анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Случайные процессы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Многозначные отображения и многозначные
случайные процессы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Полудинамические системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Дифференциальные включения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ГЛАВА 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Теорема существования решений стохастических

2.2. Теорема существования слабых решений стохастических
дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Теорема существования β-слабых решений стохастических дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4. Сильное и слабое существование, потраекторная и слабая единственность для стохастических дифференциальных уравнений и включений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.5. Инвариантные множества. Теорема существования жизнеспособных решений стохастических дифференциальных включений. . . . . . . . . . . . 126

2.6. Теоремы существования решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы. . . . . . . . . . . 139

2.7. Одномерные стохастические дифференциальные уравнения. . . . . . . . . 142

ГЛАВА 3. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. Зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений от начальных условий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2. Исследование устойчивости стохастических дифференциальных уравнений методом функций Ляпунова. . . . . . . . . 157

3.3. Исследование устойчивости стохастических дифференциальных уравнений по нелинейному приближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4. Критерий ограниченности в среднеквадратическом решений линейных стохастических дифференциальных систем. . . . . . . . . . . . . . . 174

3.5. Асимптотическая эквивалентность в среднеквадратическом обыкновенного дифференциального уравнения и возмущенной стохастической дифференциальной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.6. Среднеквадратические характеристические показатели стохастических систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.1. Элементарные стохастические дифференциальные системы. . . . . . . . . 188

4.2. Уравнения Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.3. Дифференциальные уравнения для условных математических ожиданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

B(x0 , r)

C(R+ , X)

шар в метрическом пространстве (X, ρ) с центром в точке x0 радиуса r, {x X | ρ(x, x0 ) < r}

дополнение к множеству A

транспонированная матрица

борелевская σ-алгебра топологического пространства T

замыкание выпуклой оболочки множества A

семейство всех непустых замкнутых подмножеств множества X

семейство всех непустых компактных подмножеств множества X

семейство всех непустых компактных выпуклых подмножеств множества X

пространство непрерывных функций, определенных на

R+ со	значениями		с метрикой ρ(f1 , f2 ) =

P k=1	2−	(06 t6 kk 1

βt (C(R+ , X))

F ([x]δ )

δ = coF ([x]δ )

Lp (T, E)

Scc (X)

под-σ-алгебра β(C(R+ , X)), порожденная f(s), 06 s6 t

замыкание объединения множеств F (x1 ) по всем x1 таким, что ρ(x, x1 )6 δ

замыкание выпуклой оболочки множества F ([x]δ )

пространство классов эквивалентности интегрируемых

по Бохнеру функций f: T → E таких, что kfkp =

T kf(t)kp dτ < ∞

семейство всех подмножеств множества X

семейство всех замкнутых выпуклых подмножеств множества X

математическое ожидание случайной величины x

распределение вероятностей случайной величины x

множество натуральных чисел

множество действительных чисел

R d×r

δ ij

δ (a)

tr(A) (Ω, F, P)

1A (x)

ССДУ п. в. п. н.

a b = min{a, b} a b = max{a, b} f g ha, bi kak

множество неотрицательных действительных чисел ε = {x X|ρ(x, A)6 ε}

ε-окрестность множества A

α¯(A, B) = sup(ρ(x, B)|x A)

полуотклонение по Хаусдорфу множест-

ва A от множества B

α(A, B) = max(α¯(A, B), α¯(B, A))

отклонение по Хаусдорфу множеств A и B

ВВЕДЕНИЕ

Поведение реального объекта, функционирующего в условиях естественных шумов, характеризуется некоторой неопределенностью, кроме того, в системах управления сложными системами обычно участвуют люди, для которых характерна некоторая неопределенность поведения. Описание таких систем при помощи детерминистских подходов не всегда отражает действительную картину функционирования объекта. Если моделью процесса является дифференциальное уравнение dx(t) = f(t, x(t)) dt, то для получения модели, учитывающей помехи типа белого шума, к правой части дифференциального уравнения прибавляют слагаемое вида g(t, x(t)) dW (t) и рассматривают стохастическое дифференциальное уравнение

dx(t) = f(t, x(t)) dt + g(t, x(t)) dW (t)

или в интегральной форме


x(t) = x0 +Z 0	f(s, x(s)) ds + Z 0	g(s, x(s)) dW (s),

где второй интеграл является интегралом Ито по броуновскому движению W (t). Возникновение и развитие стохастических интегралов и стохастических дифференциальных уравнений восходит к С. Н. Бернштейну, К. Ито, И. И. Гихману. К настоящему времени имеется огромная литература, посвященная стохастическим дифференциальным уравнениям, теория которых продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время . К. Ито первый показал, что для липшицевых функций f, g уравнение (0.1) имеет единственное сильное решение, но для приложений, особенно для теории управляемых случайных процессов, важно доказательство теорем существования и единственности при более слабых условиях на отображения f и g. А. В. Скороход ввел новое понятие решения ¾слабое решение¿, допустив, что решение может быть определено на подходящем вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением. Это позволило доказать теорему существования решений при условиях непрерывности коэффициентов уравнения. При

доказательстве был использован аналог ломаных Эйлера, однако из получающейся при этом последовательности процессов выбрать сходящуюся подпоследовательность невозможно. А. В. Cкороход с помощью перехода к другому вероятностному пространству и к другой последовательности процессов, но с теми же законами распределения построил последовательность процессов, сходящуюся к решению уравнения. В настоящее время при доказательстве большинства теорем существования используется именно такой подход. Следующий важный шаг получение Н. В. Крыловым оценок для распределений стохастических интегралов и доказательство с их помощью теоремы существования слабых решений стохастического дифференциального уравнения (0.1) с измеримыми по Борелю ограниченными функциями f, g

и невырожденной матрицей g (ν, λ, λ > gg> λ> νkλk). Эта теорема показывает существенное отличие стохастических дифференциальных уравнений от обыкновенных систем. Уравнение x˙ = f(t, x) с измеримой функцией f, вообще говоря, не имеет решений. В дальнейшем условие невырожденности матрицы g было ослаблено. Но чтобы теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений охватывала решения, аналогичные скользящим режимам для обыкновенных дифференциальных уравнений, например движения по поверхности, на которой коэффициент сноса f разрывен, а коэффициент диффузии g равен нулю, необходимо переходить, так же как

и для обыкновенных дифференциальных уравнений, к соответствующим стохастическим дифференциальным включениям. Так как получение именно скользящих режимов часто является целью управления, поскольку они слабо зависят от внешних воздействий, то доказательство теорем существования таких решений важная задача. Вопросам существования решений различных типов стохастических дифференциальных уравнений уделено большое внимание в книге.

Слабые решения используются при изучении тех свойств уравнений, которые связаны с мерой в пространстве траекторий, таких, как устойчивость процессов, вероятностное представление решений и т. д. Но если необходимо рассматривать конкретное свойство траекторий, например в теории управления диффузионными процессами, в теории фильтрации, тогда рассматривают сильные решения. При доказательстве теорем существования сильных решений важную роль иг-

рает принцип Ямады Ватанабэ: из существования слабых решений и потраекторной единственности следует сильное существование. Отметим, что принцип применим в различных ситуациях: для стохастических дифференциальных уравнений, для стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы, для стохастических дифференциальных включений. Проблему существования и единственности решений стохастических дифференциальных уравнений можно описать следующим образом. Есть уравнения, у которых нет слабых решений. Существуют уравнения, у которых имеются слабые решения на некотором вероятностном пространстве с подходящим броуновским движением, в то время как на других вероятностных пространствах с другими броуновскими движениями решений может и не быть. Если имеет место потраекторная единственность и уравнение обладает свойством слабого существования, то на любом вероятностном пространстве с любым броуновским движением существует единственное решение, и оно является сильным.

В книге показывается, что любое уравнение

dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t)

c измеримыми по Борелю локально ограниченными функциями f, g имеет слабое решение, но под слабым решением понимаем слабое решение стохастического включения

dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t),

где F (t, x), G(t, x) некоторые многозначные отображения, соответствующие функциям f и g.

Мы рассматриваем лишь диффузионные уравнения марковского типа. Долгое время исследовались именно такие уравнения. Однако в теории фильтрации, в физике появляются стохастические уравнения с частными производными, которые, как правило, можно трактовать как стохастические уравнения в гильбертовом или банаховом пространстве. При изучении многих экономических проблем приходится рассматривать уравнения не по броуновскому движению, а по некоторым семимартингалам. В настоящее время теория стохастических уравнений по семимартингалам в банаховом пространстве успешно развивается, и несмотря на существенное усложнение ситуации, многие

методы и идеи уравнений в конечномерных пространствах продолжают работать и в банаховом пространстве с соответствующими изменениями .

Первая глава посвящена изложению сведений из функционального анализа, теории случайных процессов, теории динамических систем

и дифференциальных включений, используемых в монографии. Книга предназначена в первую очередь для студентов факультета прикладной математики и информатики и механико-математического факультета Белорусского государственного университета, и предлагаемый вариант сведений продиктован теми курсами по фундаментальной математике, которые читаются на этих факультетах, а также потребностями теории стохастических дифференциальных уравнений. Конечно, набор сведений нельзя признать полным.

В параграфах 2.1 2.4, 2.7 второй главы доказываются теоремы существования слабых и сильных решений стохастических дифференциальных уравнений и включений, охватывающие и решения типа скользящего режима для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если уравнение рассматривается в некоторой области D, то при достижении траекториями границы D одна из возможностей их дальнейшего продолжения заключается в отражении от границы внутрь области. Воздействие на решение на границе представляют как своеобразный снос в стохастическом уравнении, т. е. рассматривают уравнение dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) + dK(t), где K(t) непрерывный процесс ограниченной вариации, возрастающий только на границе. Впервые диффузионные процессы с отражением от прямой исследовал А. В. Скороход . Исследованию проблемы Скорохода

и ее приложениям к стохастическим дифференциальным уравнениям посвящены работы . Наиболее общие условия, обеспечивающие существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы, даны в (предложение 1.54). Различные аспекты проблемы рассматривались в работах . Теорема существования слабых решений стохастических дифференциальных включений с отражением от границы устанавливается в параграфе 2.6.

Решения, которые при всех t > 0, принадлежат заданному множеству K, называют жизнеспособными. Первые условия, обеспе-

Ерешко Арт. Ф.,

Вычислительный центр им. РАН,

Свентокшиская Академия в Кельцах, Польша

АНАЛИЗ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются основные принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Анализируется проблема жесткости систем СДУ. Для одномерного СДУ Ито сравнивается точность аппроксимации существующих явных численных методов.

1. Введение

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны, очень не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это – линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным ), а с другой – физические особенности реальных динамических систем приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

2. Принципы построения численных методов решения

стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой – разработка специальных методов решения СДУ . Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г . Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости ), но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т. п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т. е. использования производных различных порядков, как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии . В литературе этот подход получил название метода Тейлора . Однако недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительные трудности можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта ) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы ).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т. п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером . В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы не приемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теореме единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3. Явные сильные численные схемы

Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде

где - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 height=28" height="28">; -https://pandia.ru/text/78/507/images/image009_18.gif" width="79 height=28" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; - мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом во многих практических задачах, целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ.

Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай – случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера, Мильштейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую . В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

где и (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">, представляется как

схема Тейлора порядка https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" height="212"> (3.4)

а двухшаговая схема порядка :

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" height="52 src=">

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" height="28 src=">.gif" width="345" height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> и аналитическое решением СДУ (3.1) на конце интервала интегрирования DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

где - оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло..gif" width="44" height="28">..gif" width="29" height="27 src=">, тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

(4.2)

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами

аналитическое решение которого имеет вид

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида

с дифференцируемой функцией и общим решением

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" height="57 src=">.

В частности, для уравнения

(4.4)

аналитическое решение есть

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" height="19">, количеством траекторий и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 – 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы.

Таблица 1. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

Схема	Длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта

Для схем Мильштейна, Тейлора и Рунге-Кутта при , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" height="23">, , , ) происходило переполнение регистров, что приводило к невозможности проведения дальнейших вычислений.

Таким образом, можно отметить, что в отличии от ОДУ, при численном интегрировании решения жестких СДУ следует использовать «простые» явные методы решения, т. е. избегать методов, использующих многократного деления шага аппроксимации или производных функций дрейфа и диффузии. В случае потребности численного решения СДУ в таких задачах, как фильтрация или идентификация параметров СДУ с использованием процедуры Монте-Карло , предпочтительной длиной шага является DIV_ADBLOCK222">

Таблица 2. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" height="25 src=">)

Схема	Длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта


Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта

Таблица 3. Точность аппроксимации численного решения уравнения

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" height="20 src=">.gif" width="100" height="25 src=">)

схема	длина шага интегрирования,



Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта
Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта
Мильштейна

двухшаговая
Рунге-Кутта Литература 1. Oksendal B. Stochastic differential equations. Berlin: Springer, 2000. 2. , Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 3. Kloden P. E., Platen E. Numerical solution of Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 1999. 4. Burrage K. , Tian T . Stiffly accurate Runge-Kutta methods for stiff stochastic differential equations // Computer Physics Communications. 2001. V. 142. P. 186 – 190. 5. Burrage K ., Burrage P., Mitsui T. Numerical solutions of stochastic differential equations – implementation and stability issues // Journal of computational and applied mathematics. 2000. V. 125. P. 171 – 182. 6. Kuznetsov D. F. The three-step strong numerical methods of the orders of accuracy 1.0 and 1.5 for Ito Stochastic differential equations // Journal of Automation and Information Sciences. 2002. V. 34. № 12. P. 22 – 35. 7. Gaines J. G ., Lyons T. J. Variable step size control in the numerical solution of stochastic differential equations // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1997. V. 57. № 5. P. 1455 – 1484. 8. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 9. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. London: Chapman and Hall. 2000. 10. Ширяев А. Н . Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998. 11. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Balanced implicit methods for stiff stochastic systems // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1998. V. 35. P. 1010 – 1019. 12. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D . Estimating parameters of stochastic differential equations using a criterion function based on the Kolmogorov-Smirnov statistics // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. V. 8. – P. 93 – 99. 13. Nielsen J. N., Madsen H. Applying the EKF to stochastic differential equations with level effects // Automatica. 2001. V. 37. P. 107 – 112. 14. Nielsen J. N., Madsen H., Young P. C. Parametric estimation in stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control. 2000. V. 24. P. 83 – 94.

1. Среди процессов Ито X = (Xt)t^o, имеющих стохастический диф-ференциал
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
важную роль играют те, для которых коэффициенты a(t, а>) и(3(t, ш) зависят от a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t,u>) = b(t,Xt (си)), (2)
где а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на М+ х К. Так, например, процесс
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
называемый геометрическим, или экономическим, броуновским движением (см. § За), имеет (согласно формуле Ито) стохастический дифференциал
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Процесс
= f
Jo 3-й
du (5)
имеет, как легко убедиться, опять-таки с помощью формулы Ито, дифференциал
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Процесс У = (Yt)t^o играет важную роль в задачах скорейшего обнаружения изменений в локальном сносе броуновского движения; см. .) Если
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo .
с некоторыми константами с\\ и с2, то, опять-таки с помощью формулы Ито, проверяется, что
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
В приведенных примерах мы отправлялись от "явного" вида процессов S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) и с помощью формулы Ито получали их стохастические дифференциалы (4), (6) и (8).
Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (St),Y = (Yt), Z = (Zt) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений.
Естественно, надо придать точный смысл самому понятию "стохастическое дифференциальное уравнение" определить, что есть его "решение" в каком смысле следует понимать "единственность" решения.
При определении всех этих понятий, рассматриваемых далее, ключевую роль играет введенное выше понятие стохастического интеграла.
2. Будем считать заданным фильтрованное вероятностное пространство (стохастический базис) (ft, (^t)t^Oi Р) с обычными условиями (п. 2, §7а) ипусть В = (Bt,&t)f^ о - броуновское движение.
Пусть а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на К+ х М.
Определение 1. Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
с ^-измеримым начальным условием Хо имеет непрерывное сильное решение (или просто решение) X = (Xt)t^o, если при каждом t > О
Xt - ^-измеримы,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b{s,Xa)dBa. Jo Jo
Определение 2. Два непрерывных случайных процесса X = (Xt)t^o и У = (Yt)t^0 называются стохастически неразличимыми, если для любого t > О
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va и (Р-п.н.)
Определение 3. Будем говорить, что измеримая функция / ¦ f(t, х), определенная на R+ х К, удовлетворяет (по фазовой переменной х) локальному условию Липшица, если для всякого п ^ 1 найдется константа К(п) такая, что для всех t > 0 и |х| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Теорема 1 (К. Ито , ; см. также, например, , , ). Пусть коэффициенты a(t,x) ub(t,x) удовлетворяют локальному условию Липшица и условию линейного роста:
la{t,x)\\ + \\b(t,x)\\ и пусть начальное условие XQ - ^-измеримо.
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt,&t), являющееся марковским процессом.
Существуют обобщения этого результата в разных направлениях: ослабляется локальное условие Липшица, допускается зависимость (но спе-циального характера) коэффициентов от и>, рассматриваются случаи за-висимости коэффициентов а - a(t,Xt) и b = b(t,Xt) от "прошлого" (в несколько вольной записи: а = a(t; Xs, s Имеются также обобщения на многомерный случай, когда X = (X1,...,Xd) - векторный процесс, а = a(t,x) - вектор, b = b(t,x) - матрица и В = (В1,... ,Bd) - d-мерное броуновское движение. См. по этому поводу, например, , , .
Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, , утверждающий, что для сущест-вования сильного решения стохастического дифференциального уравнения
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
вовсе нет надобности требовать выполнения локального условия Липшица, а достаточна лишь измеримость по (?, х) и равномерная ограниченность коэффициента a(t,x). (Многомерное обобщение этого результата получено А. Ю. Веретенниковым, .)
Тем самым, например, стохастическое дифференциальное уравнение
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
с "плохим" коэффициентом
Г 1, х > О,
I. -1, х имеет, и притом единственное, сильное решение.
Отметим, однако, что если вместо уравнения (16) рассмотреть уравнение
dXt=a(Xt)dBt, Хо = 0, (18)
с той же самой функцией сг(х), ситуация резко меняется, поскольку, во-первых, существуют вероятностные пространства, на которых у этого уравнения заведомо есть, по крайней мере, два сильных решения, и, во-вторых, на некоторых вероятностных пространствах у этого уравнения может вовсе и не быть сильного решения.
Чтобы показать справедливость первого утверждения, рассмотрим на пространстве непрерывных функций и> = (u>t)t>о с винеровской мерой координатно заданный винеровский процесс W = (Wt)t^Oi т. е. такой, что Wt(w)=wt,t>0.
Тогда, по теореме Леви (см. п. 3 в §ЗЬ), пропесс В = (Bt)t^о при
Bt= С o{Ws)dWa Jo
также будет винеровским процессом (броуновским движением). И легко видеть, что
[ o{Wa)dBa = [ o2{Wa)dWa=Wt, Jo Jo
поскольку cr2(x) = 1.
Тем самым, процесс W =¦ (Wt)t^o является (на рассматриваемом вероятностном пространстве) решением уравнения (18) со специальным образом подобранным броуновским движением В¦ Но, поскольку сг(-х) = -сг(х),то
[ o{Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o(-Wa) dBa = - Jo
т.е. наряду с W = (Wt)t^о процесс -W = (-Wt)t>о также есть решение уравнения (18).
Что же касается второго утверждения, то предположим, что у уравнения 1
Xt= [ o{Xa)dBs Jo
существует сильное решение (относительно потока а-алгебр (порожденных броуновским движением В). Из теоремы Леви следует, что тогда процесс X = (Xt, о является броуновским движением.
По формуле Таиака (см. далее § 5с и ср. с примером в § lb, гл. II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
где t
Lt(0) = limi- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 AZ Jo
- локальное время (Леви) броуновского движения X, которое оно проводит в нуле на интервале . Поэтому (Р-п.н.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt{0) Jo
и, значит, С
Сделанное выше предположение, что X является адаптированным относительно потока = (&t)t^o, лает включение С \

Еще по теме § Зе. Стохастические дифференциальные уравнения:

Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
В начале 70-х годов Ф.Блэк и М.Шоулз разработали модель оценки премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Полученная формула явилась результатом решения ими дифференциального уравнения Блэка-Шоула. Данное уравнение мы рассматриваем в следующем параграфе.
Часть II Математический анализ и дифференциальные уравнени
6. Уравнение, связывающее цену дериватива с рыночной ценой риска. Стохастические модели с непрерывным временем для краткосрочных ставок и расчеты цен облигаций
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 2,1. Дифференциальное уравнение для производного актива на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд
Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений)
Инкрементные (приростные, или дифференциальные) затраты

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений -

Программа

курса "Стохастические дифференциальные уравнения"

лектор А.В.Булинский

(кафедра высшей математики МФТИ)

Некоторые задачи , приводящие к стохастическим аналогам обыкновенных дифференциальных уравнений (стохастические модели, возникающие в физике, технике, биологии и финансовой математике).

Вспомогательный математический аппарат. Условное математическое ожидание и его свойства (линейность, "телескопичность", неравенство Иенсена и др.). Фильтрованные вероятностные пространства. Моменты остановки, их свойства, примеры. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы с дискретным и непрерывным временем. Фундаментальные неравенства. Теоремы о сходимости. Локальные мартингалы и семимартингалы. Разложение Дуба-Мейера. Непрерывные и квадратично интегрируемые мартингалы.

Броуновское движение (винеровский процесс), его различные конструкции. Поведение траекторий: недифференцируемость с вероятностью единица, локальные максимумы, точки роста. Броуновское семейство. Варианты марковского и строго марковского свойства броуновского движения (семейства). Применения к решению граничных задач (проблема Дирихле). Формула Фейнмана-Каца. Локальное время броуновского движения, аддитивные функционалы. Векторное броуновское движение. Процессы Бесселя. Фрактальное броуновское движение.

Стохастическое исчисление. Построение интеграла Ито, свойства интеграла (в том числе мартингальность интеграла Ито с переменным верхним пределом). Интеграл Стратоновича. Связь между двумя видами стохастического интеграла. Интегрирование по семимартингалу. Формула Ито замены переменных и ее дальнейшие обобщения. Примеры.

Стохастические дифференциальные уравнения. Сильные и слабые решения. Проблемы существования и единственности решений (в сильном и слабом виде). Результаты Скорохода, Ятамада и Ватанабе. Решение уравнения Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека. Марковское свойство сильного решения стохастического дифференциального уравнения. Теорема Энгельберта- Шмидта. Преобразование Камерона-Мартина-Гирсанова как метод построения слабых решений. Мартингальная проблема Струка-Варадана, связь со стохастическими дифференциальными уравнениями. Различные подходы к изучению диффузионных процессов.

Применения стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы фильтрации (фильтр Калмана-Бьюси). Задача об оптимальной остановке. Стохастическое управление. Диффузионная модель цены акций: от модели Башелье к модели Самюэлсона. Опционы, справедливая цена. Формула Блэка-Шоулса. Оптимальные инвестиции и потребление.

Дальнейшие исследования. Понятие о квантовых стохастических дифференциальных уравнениях и марковской эволюции открытых квантовых систем. Проблематика стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений.

Литература

1. Оксендал Б. Стохастические дифференциальные уравнения. МЦМИО, 2002.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики, т.1,2. М:Фазис, 1998.

3. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т.1,2. М:Физматгиз, 1994.

4. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М:Физматлит, 2003.

5. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. Springer, New York, 1997.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1997.

7. Parthasarathy K.R. An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Birkhauser, Basel, 1992.

В этом параграфе исследуются многие фундаментальные вопросы, касающиеся случайных процессов, в частности преобразования процессов в нелинейных системах Вновь обсуждено понтие белого шума и выявлена связь этого шума с вьнеровским процессом Обсуждаются трудности, возникающее при отыскании уравнения для дисперсии в случае непрерывной системы, возбуждаемой белым шумом Здесь эти трудности преодолеваются путем введения стохастического исчисления и стохастических дифференциальных уравнений.

Белый шум. Многие реальные случайные процессы являются приближенно нормальными и приближенно стационарными. Часто они имеют энергетический спектр, мало отличающийся от равномерного в полосе частот, намного большей, чем полоса пропускания исследуемой системы. Вместо таких процессов с математической точки зрения удобно использовать белый шум, даже несмотря на то, что такой процесс лишен физического смысла, поскольку для его генерирования требуется бесконечно большая мощность. Понятие белого шума можно отнести к той же совокупности категорий, которой принадлежит и понятие импульсного отклика линейной системы. Важную роль играют импульсные функции - дельта-функции Дирака, которые часто определяются как пределы некоторых последовательностей функций. Аналогичным образом можно рассматривать и белый шум.

Будем говорить, что непрерывный нормальный процесс является белым шумом с нулевым средним значением, если

Это определение не является строгим, так как дельта-функция Дирака может быть строго определена только в терминах интегральных выражений, таких, как

(4.63)

Дельта-функцию Дирака можно рассматривать как предел обычных функций времени, которые являются, например, симметричными при сколь угодно малом положительном значении :

(4.64)

При малых значениях можно также ввести процесc с дискретным временем, обладающий основными свойствами белого шума:

При или при в пределе получаем импульсную функцию и непрерывный белый шум соответственно.

В предыдущей главе для системы, описываемой уравнением

и возбуждаемой некоррелированным с белым нормальным шумом с нулевым средним значением, путем дифференцирования выражения

(4.67)

было получено следующее уравнение для ковариационной матрицы:

Воспользовавшись теперь обозначением ковариационной матрицы, запишем

Так как для , то слагаемые, характеризующие взаимную корреляцию, могут быть записаны в следующей форме:

Так как -функция здесь располагается на конце интервала интегрирования, то значение этого интеграла зависит от используемого типа дельта-функции. В данной главе используется симметричная дельта-функция, интеграл от которой по области, лежащей справа от точки , равен 1/2 и равен интегралу по области слева от этой точки. В этом случае равенство (4.69) принимает вид

. (4.70)

Аналогичные рассуждения приводят также к равенству

. (4.71)

Таким образом, получаем уже известный результат:

с начальным условием .

Если дельта-функцию определить как несимметричную функцию, для которой

(4.73)

(4.75)

Следовательно, снова получаем уравнение

Правильный ответ для ковариационной матрицы получается даже при различных представлениях матриц: и .

Можно было бы привести разумные соображения в пользу использования симметричной дельта-функции. Например, дельта-функция часто используется в качестве ковариационной функции, которая обязательно должна быть симметричной. Такой подход при аккуратном обращении может быть использован без особых затруднений при исследовании линейных систем Однако в случае нелинейных систем необходимо развить новый способ решения этой проблемы.

Полезно также повторить приведенный выше вывод, начав с дискретного времени, и перейти затем к пределу, увеличивая число отсчетов на интервале наблюдения с тем, чтобы проверить возникает ли при этом уже отмеченная трудность неоднозначности. Рассмотрим дискретный аналог уравнения системы (4.66) в форме (см. § 3.5):

Так как , то уравнение для ковариационной матрицы, соответствующей ур-нию (4.77), на основании результатов § 3.5 примет вид

Теперь при увеличении числа отсчетов получаем уравнение

которое является уравнением для ковариационной матрицы при непрерывном времени. При выводе этого уравнения трудность, имевшая место при выводе аналогичного соотношения сразу для непрерывного времени, не возникла благодаря тому, что Если положить и

то уравнение (4.66) можно записать следующим образом:

Хотя ф-лу (4.82) можно получить формальным умножением ур-ния (4.66) на , в дальнейшем будет показано, что это слабое различие оказывается чрезвычайно важным. Стохастический процесс , определяемый соотношением

, (4.84)

называется винерйвским процессом, свойства которого достаточно подробно обсуждаются в дальнейшем.

Винеровский процесс. В дальнейшем изложении винеровский процесс играет очень важную роль. Этот процесс был введен Н. Винером в качестве простой модели броуновского движения. Пусть обозначает положение некоторой частицы в момент времени , которая при находилась в начале координат. Броуновская частица передвигается под воздействием соударений с аналогичными частицами. Смещение некоторой частицы в течение интервала времени , намного превышающего среднее время между двумя следующими друг за другом столкновениями, можно рассматривать как сумму большого числа малых смещений. Следовательно, здесь имеется возможность применить центральную предельную теорему, что позволит функцию распределения приращения аппроксимировать нормальным распределением.

Винеровский процесс определяется как интеграл от стационарного нормального белого шума , имеющего нулевое среднее значение, т. е.

, (4.85)

Легко показать, что

; (4.87)

Кроме того, для приращения можно записать

. (4.89)

Отсюда следует, что приращение винеровского процесса имеет среднее значение, равное нулю, и дисперсию

Винеровский процесс часто называют также процессом броуновского движения или процессом Винера-Леви . Этот процесс имеет много интересных свойств, из которых здесь отметим лишь следующие:

1. Винеровский процесс является процессом с независимыми приращениями, т. е. если принять , то случайные величины независимы для . Так как случайно величина имеет ту же функцию распределения, что и приращение , то винеровский процесс можно назвать процессом со стационарными независимыми приращениями.

2. Винеровский процесс является марковским процессом, так как

(4.91)

Это соотношение легко доказывается, если записать

Отсюда получаем

Точно такие же значения имеют и .

3. Винеровский процесс является мартингальным процессом, т. е. его условное математическое ожидание в момент времени при фиксированных значениях равно последнему наблюдаемому значению Таким образом,

Отметим здесь, что марковский процесс не обязательно является мартингальным процессом.

4. Винеровский процесс обладает свойством осцилляции Леви, т. е. если - разбиение интервала такое, что , то

, (4.93)

где сходимость суммы понимается в среднеквадратическом смысле.

Приведенные соотношения будут использоваться в дальнейшем при обсуждении преобразований случайных процессов в нелинейных системах.

Стохастический интеграл и стохастические дифференциальные уравнения.

Винеровский процесс был определен выше как интеграл от белого шума а именно, . Дж. Дуб показал , что реализации винеровского процесса являются непрерывными функциями, но не имеют ограниченной вариации и почти нигде не дифференцируемы. Причину недифференцируемости реализаций частично поясняет соотношение (4.90), из которого следует, что , так что среднеквадратическое значение приращения имеет порядок .Тогда производная приращения имеет в среднем порядок отношения , которое стремится к бесконечности, если стремится к нулю.

Таким образом, если - винеровский процесс, то производной трудно придать какой-либо разумный смысл. Можно попытаться также ответить на вопрос, определен ли для произвольной непрерывной функции следующий интеграл Римана:

. (4.94)

Интегралы такого типа уже встречались ранее, когда исследовался отклик линейной системы на воздействие в виде белого шума. Если система описывается уравнением , то

, (4.95)

Смысл последнего интеграла неясен, так как пока что отсутствовало строгое определение для производной .

Один из возможных способов преодоления этой трудности состоит в том, чтобы попытаться использовать понятие интеграла Лебега-Стилтьеса, записав

. (4.96)

Однако этот способ не устраняет трудности, так как не является функцией с ограниченной вариацией, и следовательно, интеграл Лебега-Стилтьеса оказывается неопределенным.

Естественным статистическим обобщением интеграла Лебега-Стилтьеса является стохастический интеграл, при определении которого последовательность интегральных сумм сходится к значению интеграла по вероятности. Именно замена сходимости в обычном нестатистическом смысле сходимостью по вероятности позволяет преодолеть отмеченную выше трудность.

Пусть - векторный случайный процесс с компонентами, а - произвольная матричная функция, кусочно-непрерывная при всех и зависящая, самое большее, от настоящего и прошлых значения процесса , т.е. от . Это ограничение можно записать следующим образом:

Обозначим через множество функций , на котором может быть определена вероятностная мера. В множестве выделим следующие три подмножества:

1. - множество функций из , кусочно-постоянных по на интервале .

2. - множество функций из , интегрируемых в квадрате по на интервале ,

3. - множество функций из , интегрируемых в квадрате по на интервале с вероятностью 1.

Для любой функции из существуют точки такие, что при ; множество является множеством точек, в которых функция имеет скачки. Стохастический интеграл или интеграл Ито для таких функций можно определить следующим образом:

. (4.97)

Если , но не принадлежит подмножеству , для обобщения определения (4.97) используется традиционный предельный переход

, (4.98)

где обозначает предел в среднем (при ), и ;

, для всех .

Следует отметить, что стохастический интеграл может быть определен и несколько иными способами. Например,

, (4.99)

где , или при произвольно малом положительном

. (4.100)

В общем случае определения (4.99) и (4.100) не эквивалентны определению (4.98). Если принадлежит множеству , то нетрудно видеть, что три указанных определения приводят к одному и тому же результату, это же можно сказать и относительно других возможных определений. Однако, если не является элементом подмножества , то эти определения не являются, вообще говоря, эквивалентными из-за свойства осцилляции Леви. Хотя определения (4.99) и (4.100) и имеют некоторые преимущества, далее будет показано, что определение (4.98) обычно является более подходящим. Связь между различными определениями стохастического интеграла и обычным нестатистическим определением более подробно будет обсуждаться позднее.

Интеграл, определенный с помощью соотношения (4.98), будем называть интегралом Ито . Его можно рассматривать как линейное преобразование , т. е.

для каждой пары допустимых функций и и для любых действительных матриц и.

Если принадлежит подмножеству , a является винеровским процессом , то интеграл обладает следующими двумя свойствами, полезными для последующего изложения:

; (4.101)

. (4.102)

Доказательства этих свойств основываются на том факте, что приращение статистически не зависит от для по условию и от , согласно свойству винеровского процесса о независимости приращений на непересекающихся интервалах. Для простоты здесь приведем доказательство лишь для случая, когда доказательства для более общих случаев проводятся аналогично.

Рассмотрим сначала равенство (4.101). Используя (4.97), запишем

Так как и статистически независимы, то среднее значение произведения можно записать как произведение средних значений. Тогда

Так как среднее значение приращений винеровского процесса равно нулю, то правая часть последнего равенства также оказывается равной нулю, что доказывает справедливость равенства (4.101).

Аналогичным образом проводится доказательство справедливости соотношения (4.102). Воспользовавшись сначала определением (4.97), запишем

В силу независимости приращений имеем

Вновь, используя независимость приращений и равенство (4.90), можно записать

Таким образом, для получаем

Так как является элементом подмножества , то правая часть последнего равенства может быть записана как обычный интеграл , что завершает доказательство.

Если не принадлежит подмножеству и используется отличное от (4.98) правило интегрирования, то равенства (4.101) и (4.102) могут оказаться несправедливыми. Это одна из главных причин, из-за которых в данной книге выбирается определение (4.98), поскольку соотношения (4.101) и (4.102) будут довольно часто использоваться в дальнейшем. Необходимо также, чтобы функция принадлежала подмножествам или , так как в противном случае интегральные суммы не будут, вообще говоря, сходиться по вероятности или с вероятностью 1 соответственно.

В дальнейшем потребуется выражение для дисперсии дифференциального приращения . На основании (4.90) можно записать . Если теперь положить , то приращение можно записать как . Тогда при получаем представление

, (4.103)

Этот результат еще раз подтверждает, что приращение имеет порядок , вследствие чего производная не существует.

Нетрудно показать, что для величины все моменты, начиная со второго, имеют больший порядок малости по сравнению с . Следовательно, при достаточно малых значениях получаем, что и для . Отсюда следует, что величина фактически является детерминированной и равной для бесконечно малых значений . Тем самым установлено следующее важное соотношение:

из которого следует

Таким образом, винеровский процесс действительно является необычным процессом. Будучи всюду непрерывным, он почти нигде не дифференцируем; дисперсия приращения значений этого процесса на бесконечно малом интервале совпадает с квадратом приращения. Аналогичным образом можно показать также, что

Интересно также следующее свойство винеровского процесса. Если функция не зависит от , то интеграл Ито, определенный соотношением (4.98), является мартингалом, т. е.

Это свойство становится очевидным, если рассмотреть равенство (4.101). Действительно, так как

то условное среднее величины , стоящее в левой части равенства (4.106), можно записать в виде

В первом интеграле функция и полностью известна на всем интервале интегрирования, так как она входит в условие. Поэтому этот интеграл не является стохастическим. В то же время во втором интеграле условие не играет уже подобной роли в силу независимости приращений процесса и на непересекающихся интервалах. Поэтому на основании ф-лы (4.101) второе слагаемое в правой части последнего равенства равно нулю. В результате получаем

Еще одно полезное свойство интеграла Ито состоит в том, что его конструкция допускает определение интеграла

где - произвольная непрерывная функция, a - -мерный непрерывный случайный процесс. Из этого определения следует, в частности, что если - -мерный нестационарный винеровский процесс , для которого , то справедливо (в среднеквадратическом смысле, с вероятностью 1) равенство

(4.108)

Обратимся теперь к изучению процесса на выходе нелинейной системы, описываемой уравнением

, (4.109)

если на ее входе действует -мерный векторный нормальный белый шум , для которого

Здесь - -мерный случайный вектор состояния; - -мерная нелинейная векторная функция от и ; - матричная функция размерности .

Формальным интегрированием ур-ния (4.109) можно найти следующее неявное выражение для отклика или вектора состояния системы

, (4.110)

где - винеровский процесс; , для которого ; . Заметим, что первый интеграл в ф-ле (4.110) является обычным, в то время как второй - стохастическим. Если случайный векторный процесс с вероятностью 1 удовлетворяет полученному стохастическому интегральному уравнению, то ур-ние (4.110) можно записать в следующей символической форме:

Это уравнение в дальнейшем будем называть стохастическим дифференциальным уравнением. Это равенство можно рассматривать как удобный способ записи ур-ния (4.110) в случае, когда функции и , определённые при всех допустимых значениях , принадлежат подмножеству .

В дальнейшем будет показано, что при преобразованиях интеграла Ито необходимо использовать правила, отличающиеся от правил преобразований обычных интегралов. Будем считать, что является процессом Ито; предположим далее, что - функция от и , имеющая, непрерывные частные производные второго порядка по и . Используя правило дифференцирования Ито, получаем, что также является процессом Ито и удовлетворяет уравнению

в котором ради простоты записи использованы следующие сокращенные обозначения

Это уравнение играет очень важную роль при получении многих результатов теории случайных процессов; оно, например, используется при отыскании характеристических функций случайных процессов

Стохастическое дифференциальное ур-ние (4.111) можно переписать в несколько ином виде, если воспользоваться введенными выше обозначениями и :

Здесь винеровский процесс имеет среднее значение, равное нулю, и ковариационную матрицу

. (4.114)

Подробное и удобное по форме доказательство правила дифференцирования Ито для скалярного случая дано в работе . Обобщение этого доказательства на векторный случай не встречает принципиальных трудностей. Здесь приведем лишь упрощенные нестрогие рассуждения. Интегрирование (4.112) приводит к уравнению (для )

которое также является полезным.

Разложим функцию в ряд Тейлора относительно точки и :

где слагаемое содержит члены порядка или и более высокого порядка. Используя теперь ф-лу (4.110) для и учитывая, что - бесконечно малая величина, вследствие чего в разложении из-за свойства осцилляции Леви появляются слагаемые типа

получаем ур-ние (4.115), которое эквивалентно ур-нию (4.112). Иногда удобнее правило дифференцирования Ито записывать в виде

где обычно называется обратным дифференциальным оператором:

Таким образом, является дифференциальным генератором процесса .

Пример 4.3 . Исследуем процесс на выходе нелинейной системы, описываемой уравнениями

на вход которой воздействует нормальный белый шум с ковариационной матрицей .

Используя обычное правило интегрирования, получаем

т е процесс является винеровским процессом, что и следовало ожидать Для вычисления необходимо использовать интеграл Ито, так как

Использование обычного правила интегрирования привело бы к результату

. (4.119)

Однако рассматриваемый интеграл является стохастическим, и здесь необходимо воспользоваться определением (4.98) Поэтому следует писать

Последнее равенство с помощью простых алгебраических преобразований приводится к виду

Первая сумма легко вычисляется, давая в результате . Так как , то

Второе слагаемое можно легко вычислить, если воспользоваться свойством осцилляции Леви [см. равенство (4.93)] Так как , то для получаем

Используя (4 104), это выражение можно переписать в виде

Обычный интеграл в правой части этого равенства легко вычисляется, так что для окончательно получаем .

Чтобы показать, что определение (4.99) в общем случае неэквивалентно определению (4.98), вычислим теперь , воспользовавшись правилом (4.98) Для этого положим . Тогда значение можно приближенно положить равным и записать

Дальнейшие вычисления, проводимые так же, как выше, приводят к следующему результату

Этот результат совпадает с решением, получаемым при обычном исчислении при , и совпадает с решением, основанном на использовании интеграла Ито, при .

Другой способ получения корректного выражения для основывается на использовании правила дифференцирования Ито Так как уже известно, что решение содержит слагаемое вида , где - винеровский процесс, то появляется возможность рассмотреть линейную систему

, (4.119а)

где - белый нормальный шум с нулевым средним значением Соответствующий процесс Ито удовлетворяет стохастическому уравнению .

Положим . Так как правило дифференцирования Ито [см. (4.112)] записывается в виде

где для рассматриваемой задачи , так что , а , то в данном случае

(поскольку ). Интегрированием получаем

Если теперь учесть, что - винеровский процесс , то последнее уравнение можно переписать следующим образом:

Отсюда , так что корректное решение имеет вид

Здесь снова результаты, полученные с помощью обычного исчисления и стохастического исчисления, не совпадают. Причиной этого несовпадения, конечно, является то, что для вычисления стохастического интеграла обычные методы, вообще говоря, применять нельзя.

Для того чтобы получить алгоритмы оценивания в любой физической задаче оценивания, приходится выполнять два наиболее важных этапа исследований. На первом из них решается задача моделирования или выбора стохастического дифференциального уравнения, которое описывало бы рассматриваемый физический процесс. Эта модель, которая в конечном счете представляет некоторый процесс, является в общем случае компромиссом между математической точностью и простотой вычислений.

Цель второго этапа - найти алгоритмы оценивания. Этот этап выполняется лишь после того, как выбрана математическая модель процесса. Ниже рассматриваются некоторые аспекты второго этапа.

Ранее уже было отмечено, что стохастический интеграл (интеграл, содержащий произведение двух случайных процессов), нельзя во всех случаях рассматривать как обычный интеграл. Приведенные выше два примера достаточно ясно иллюстрируют различия между этими интегралами. Если для моделирования алгоритмов оценивания используются цифровые вычислительные машины, то подходящая интерпретация стохастического интеграла не является тривиальной. Здесь возможны два подхода. Один из них основывается на обычном исчислении, другой - на стохастическом исчислении. Специальное рассмотрение этих двух подходов будет проведено в гл. 9. Здесь же приведем только некоторые рекомендации для выбора одного из них :

1. Если функция не зависит от , то обычное и стохастическое исчисления приводят к одним и тем же результатами необходимость специального исследования стохастических интегралов просто отпадает. Подобный факт уже упоминался ранее. Этот же случай встретится при исследовании проблемы построения линейных оценок, для которой окажутся возможными существенные упрощения.

2. Если проблема оценивания должна быть сформулирована строго в математическом отношении, то следует использовать стохастическое исчисление.

3. Если ур-ние (4.111) рассматривается как аппроксимация соответствующего дискретного уравнения или как предел уравнения

при неограниченном увеличении числа отсчетов на любом конечном интервале, то необходимо использовать стохастическое исчисление.

4. Если в равенстве (4.109) входной белый шум используется вместо шума с малым интервалом корреляции, то следует применять методы обычного исчисления.

Различие между этими двумя подходами с вычислительной точки зрения также нетрудно выявить (см. ). Если использовать понятия обычного исчисления при отыскании решения ур-ния (4.111), то фактически будет получено решение уравнения

В большом числе случаев решение ур-ния (4.121), полученное методами обычного исчисления, с достаточно высокой точностью будет совпадать с решением дифференциального стохастического ур-ния (4.111) (заметим, что если не зависит от , то, как уже отмечалось выше, методы обычного исчисления приводят к точному решению).

При заданном значении. Дифференцируя равенство (4.126) по

Таким образом, вновь получено уравнение в частных производных Фоккера-Планка. Это уравнение может быть использовано для отыскания плотности вероятности переменной состояния нелинейной системы, описываемой ур-нием (4.111) и возбуждаемой нормальным белым шумом. Вектор переменных состояния такой системы является марковским процессом. В основе этого вывода лежит правило дифференцирования Ито. К сожалению, не существует прямого способа выбора функции . Во многих случаях полезной оказывается такая функция , которая получается при использовании обычного интеграла Римана.

Одно из неудобств, связанных со стохастическими интегралами и стохастическими дифференциальными уравнениями, состоит в том, что для последних могут оказаться несправедливыми правила преобразований обычного исчисления. Конечно, стохастический интеграл можно было бы определить и таким образом, чтобы обычные правила вычислений, как, например, интегрирование по частям, остались справедливыми. На первый взгляд такой подход может показаться привлекательным и более естественным, чем определение Ито. Однако, как будет здесь показано, на самом деле это не так. Ради простоты ограничимся рассмотрением лишь скалярного случая Исследование многомерного случая проводится аналогично и не встречает принципиально новых трудностей.

Обычное правило интегрирования вообще приводит к другому значению этого интеграла. Точно такое же значение можно получить только в том случае, если в разложении в ряд Тейлора подынтегральной функции ограничиться членами второго порядка и использовать запись [см. (4.104)]. То есть для скалярной функции , зависящей только от , должно быть справедливо равенство

Аналогично должно выполняться соотношение

(4.134)

для обычного исчисления, чтобы правила вычисления обычного и стохастического исчислений приводили к одним и тем же результатам.

Если стохастический интеграл определить так, чтобы получающиеся при этом результаты оказались совместимыми с результатами обычного исчисления, то равенства (4.101) и (4.102) нарушатся, что очень нежелательно. Действительно, эти два равенства чрезвычайно полезны в том отношении, что они позволяют существенно упростить вычисления математических ожиданий.

Стратонович в работе ввел «симметризованный» стохастический интеграл, в котором

Подобное определение стохастического интеграла дано также в работе , где было принято

В работе предложена аппроксимирующая формула

, (4.137)

в которой - выделенная совокупность точек на интервале интегрирования. Можно было бы также рассмотреть аппроксимацию вида

Хотя каждое из перечисленных четырех определений приводит к некоторым полезным свойствам стохастического интеграла, все они имеют серьезный недостаток: равенства (4.101) и (4.102) оказываются несправедливыми. Следовательно, многие последующие соотношения должны быть модифицированы. Например, если в определении стохастического интеграла используется равенство (4.136), то уравнение Фоккера-Планка (4.128) оказывается несправедливым, а среднее значение последнего интеграла в правой части равенства (4.124) не равно нулю, поскольку при новом определении величины равенство (4 101) нарушается. Можно показать, что «новое» уравнение Фоккера - Планка, которое соответствует соотношению (4 136), имеет вид

(4.139)

Изменение уравнения Фоккера-Планка при таком переходе намного существенней, чем это можно было ожидать вначале. Вычислять моменты теперь намного труднее. Стохастические дифференциальные уравнения, которые получаются при использовании любого из соотношений (4.135)-(4.138), приводят к случайным процессам, не являющимся более марковскими. Поэтому в дальнейшем в данной главе и в гл. 9 без особых оговорок будем использовать исчисление Ито, основанное на определении (4.98).