Сравнение дробей. Сравнение дробей: правила, примеры, решения

В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.

Для начала напомню определение равенства дробей:

Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .

5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.

Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:

Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .

Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.

Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.

Обозначение:

Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.

Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.

Задача. Сравнить числа:

Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:

В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.

Сравнение десятичных дробей

В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.

Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:

Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;

Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.

12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.

Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.

Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.

Задача. Сравните дроби:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

По определению имеем:

0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.

К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:

Положительная дробь всегда больше отрицательной;
Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.

Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.

Задача. Сравните дроби:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
−0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.

Характеристика темы:

Данный урок в главе V “Дроби” п. 5.5. “Сравнение дробей”. /По учебнику С.А. Козлова, А.Г. Рубин. Математика. Учебник. 5 класс. Часть 2. Учебник для общеобразовательных учреждений. В 2 ч. – М.: БАЛАСС, 2011./ Учащиеся знают понятие дроби, основное свойство дроби, сравнивать дроби с одинаковыми числителями, с одинаковыми знаменателями, правильные и неправильные дроби, умеют приводить дроби к общему знаменателю. Урок длится 90 мин. согласно блочной системе, принятой в нашей школе.

Система целей к уроку.

Общие дидактическая цель: приобретение новых знаний с использованием ранее изученного материала, выработка умений и навыков их применения к решению задач.

Триединая дидактическая цель.

Образовательный аспект: Создать условия для актуализации и усвоения знаний осравнении разных дробей, формирования умений применять эти знания для сравнения дробей, с разными знаменателями и числителями.

Воспитательный аспект: Создать условия для формирования коммуникативной культуры - умения работать в группах, выслушивать и уважать мнения других. Способствовать формированию умения аккуратно вести рабочие записи.

Развивающий аспект: Создать условия для развития логического мышления, речи, интеллектуальных умений. Развивать потребность и навыки совместного поиска ответа на вопрос. Формирование исследовательских умений: способности анализировать условия задачи, результаты опыта, формулировать выводы, аргументировать собственную позицию, способствовать дальнейшему росту интереса к процессу познания.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Структура урока

2. Подготовка к основному этапу занятия. Обеспечение мотивации и принятие учащимися цели учебно-познавательной деятельности. Определение темы и задач в изучении нового материала, через создание проблемной ситуации и постановки проблемы исследования, выделение и проверка гипотезы.

3. Усвоение новых знаний. Дать учащимся конкретные представления об изу-чаемых фактах, явлениях через повторение ранее изученного; систематизация новых знаний; на основе приобретенных знаний выработка соответствующих умений и навыков.

4. Проверка понимания учащимися нового материала. Установить, усвоили или нет учащиеся связь между фактами, содержание новых понятий, закономерности; устранить обнаруженные пробелы.

5. Закрепление нового материала. Самостоятельная работа. Закрепить у учащихся знания и умения, которые необходимы для перехода учащихся на более высокий уровень (конструктивный и творческий). Проверить качество усвоения материала.

6. Тренировочные упражнения. Систематизировать и устранить пробелы в знаниях и умениях учащихся действий сложения и вычитания со смешанными числами.

7.Подведение итогов занятия. Дать оценку успешности достижения цели.

8. Информация о домашнем задании. Дать информацию о домашнем задании.

Дидактические задачи.

Подготовка учащихся к работе на уроке.

Формы организации познавательной деятельности: общеклассная; групповая; парная.

Методы обучения: Объяснительно-иллюстративные; частично-поисковые; проблемные.

Формы реализации методов: беседа, рассказ, фронтальный эксперимент, самостоятельная работа.

Средства обучения: наглядные, дидактические материал.

Система контроля на уроке.

За достижением промежуточных и конечных результатов: сочетание контроля учителя, самоконтроля, взаимоконтроля.

Конспект урока.

1. Организация начала занятия.

2. Подготовка к основному этапу занятия.

Здравствуйте, ребята! О чем мы говорили на последних уроках? (Об основном свойстве дроби, о сокращении дробей, приведение дробей к общему знаменателю)

При этом дети называют правило, которое называют.

Устная фронтальная работа.

1. На слайде записаны две дроби: 2/13 и 5/9.

Что можно сказать об этих дробях? (Они несократимы. Имеют разные знаменатели и разные числители. Дробь 2/13 меньше половины доли 1/13, а дробь 5/9 больше половины доли 1/9).

На слайде 3 вам предложены дроби, которые нужно сгруппировать.

Работа в группах. Подумайте над заданием. От каждой группы выступающий аргументирует свое решение. Другие группы высказывают свое решение, не повторяясь. Сколько групп получилось и по какому признаку?

(1 гр. – одинаковые числители

2 гр. – одинаковые знаменатели

3 гр. – четные знаменатели

4 гр. – разные числители и разные знаменатели

5 гр. – нечетные знаменатели)

2. Сравните предложенные дроби. Ответ аргументируем. Слайд 3. (Если есть интерактивная доска, то дети выходят к доске и ставят знак сравнения).

Какой пример мы затрудняемся выполнить? Почему? (Последний, т.к. мы незнаем как сравнивать дроби с разными числителями и с разными знаменателями)

Значит нам надо это изучить. Какая тема сегодняшнего урока? (Сравнение дробей. Если обучающиеся предложат тему: “Сравнение дробей с разными числителями и с разными знаменателями”, то можно записать и её.)

Запишем тему урока в тетрадь и наметим план урока. (учитель записывает предложения учащихся на доске:

* научиться сравнивать любые дроби,

* подготовиться к проверочной работе на эту тему,

* узнать, где это применяется)

Как сравнить такие дроби? Ваши предложения? (Взять полоски бумаги, смоделировать доли и сравнить их)

А если, дроби будут даны с большими знаменателями? (Обратиться за помощью к учебнику)

Прочитаем правило в учебнике. Запишите в тетрадь.

Или: дети могут догадаться и предложить привести дроби к общему знаменателю. Тогда нужно все равно обратиться к правилу в учебнике, чтобы убедиться в правильности найденного решения.

3. Усвоение новых знаний.

Поработайте в группах и составьте алгоритм сравнения дробей.

Ребята работают в группах. После определенного времени, группы выступают с решениями. Остальные слушают и дополняют алгоритм. Можно предложить нарисовать (записать) полученный алгоритм на листе формата А-3, если позволяет время. Затем лучший вывесить на доску в кабинете. Сравним с алгоритмом, который предлагают математики. Слайд 4.

4. Проверка понимания учащимися нового материала.

Решение номеров из учебника №№ 1, 2, 3, 4, 5. Желающие выходят к доске, решают пример с комментируя свое решение и с дальнейшей самооценкой по схеме. Схема вывешена на доску или можно показать слайд 5.

5. Самостоятельная работа. Задание выполняется из учебника на стр. 73.

Работа предлагается на два варианта. Варианты разные по сложности. Первый вариант более легкий, второй вариант – более сложный. Дети сам выбирают сложность варианта.

После сдачи тетрадей можно обсудить задания, которые вызвали затруднения. Вопрос, который появился у обучающегося, обсуждается вместе со всеми.

6. Тренировочные упражнения.

Решение тренировочных заданий на стр. 73 учебника. (Задания написаны на доске). Дети могут работать в парах, помогая друг другу выполнять задания. Можно самостоятельно. За выполненную работу в конце урока учитель выставляет отметку, проверив правильность выполнения заданий.

7. Итог урока.

Подведем итоги урока. Обратимся к нашему плану урока, который мы с вами написали в самом начале. Выскажитесь, пожалуйста, по каждому пункту.

Обратите внимание на памятку по итогу урока (вывешена на доске или на слайде 6)

8. Информация о д/з. Обговариваем с ребятами, что выбираем по два номера из разных уровней сложности.

С р а в н е н и е о б ы к н о в е н н ы х д р о б е й 5 класс (декабрь) Презентацию подготовила учитель математики Харкевич О.Г.

Цели урока: ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми числителями; ввести правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями; ввести правила сравнения обыкновенных правильных и неправильных дробей.

Решите задачу В классе 30 учеников. Задачу по алгебре решили всех учащихся, задачу по геометрии - , а - обе задачи. Сколько учеников решили только задачу по алгебре, только по геометрии? Сколько учеников решили обе задачи? Сколько учеников не решили ни одной задачи?

Упражнение на внимание!

Математический диктант Составьте и запишите дроби по рисункам.

7. 8. проверим правильность решения поочереди выходим к доске и из лепестков ромашки выбираем правильные ответы 9.

Сравнение. Тема урока: "Сравнение дробей".

Практическое задание. На координатном луче отмечены дроби: 1-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми знаменателями. 2-й ряд: Запишите неравенства двух дробей с одинаковыми числителями. 3-й ряд: Запишите неравенства двух дробей, одна их которых правильная, а другая неправильная. 1 0

1 группа Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

2 группа Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, и больше та, у которой знаменатель меньше.

3 группа Правильная дробь всегда меньше неправильной.

Физкультурная минутка - правильная дробь - несократимая дробь - несократимая дробь - правильная дробь - сократимая дробь «Да» - делаем наклоны вперед, руки на поясе. «Нет» - делаем повороты туловищем, руки за голову. - правильная дробь - сократимая дробь - неправильная дробь - правильная, несократимая дробь

Лабораторная работа Сравните и сделайте вывод. 1 вариант 2 вариант 1 1 и и и и и и > >

В ы в о д: 1 вариант 2 вариант При сравнении правильной и неправильной дробей удобно сравнивать их с 1 При сравнении двух правильных дробей удобно пользоваться сравнением этих дробей с 1 2

Первичное закрепление Сравните: 1. и и и 3. 2. - неправильная дробь - правильная дробь > Числители этих дробей одинаковые, знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй дроби >

4. и и 5. Знаменатели этих дробей одинаковые, числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби > Неприменимо ни одно из известных нам пока правил Какой способ сравнения применим в данном случае? Подведение итогов урока

Перефразируя Л.Н. Толстого, можно сказать, что человек подобен дроби, числитель – это хорошее, что о нём говорят и думают люди, а знаменатель – это то, что думает о себе сам. Известное правило – чем больше числитель, тем больше дробь, верно не только в математике, но и в жизни.

Задание на дом № 965 № 966 № 967 Повторить: 1) сокращение дробей; 2) приведение дробей к новому знаменателю.

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

Ответ:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

привести дроби к общему знаменателю;
сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Пример.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .

Решение.

В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .

Ответ:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Сравните дроби 54/19 и 54/31 .

Решение.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?

Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:

Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.