Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему: Сложение и вычитание алгебраических дробей

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» является наглядным пособием, с помощью которого дается теоретический материал, подробно объясняются алгоритмы и особенности выполнения операций вычитания, сложения дробей, имеющих различные знаменатели. С помощью пособия учителю легче сформировать умение учеников выполнять операции с алгебраическими дробями. В ходе видеоурока рассматривается ряд примеров, решение которых описывается подробно, обращая внимание на важные детали.

Применение видеоурока на уроке математики дает возможность учителю быстрее достичь учебных целей, повысить эффективность обучения. Наглядность демонстрации помогает ученикам запомнить материал, более глубоко его освоить, поэтому видео может использоваться, сопровождая объяснение учителя. Если же данное видео используется как часть урока, то освобождается время учителя для усиления индивидуальной работы и использования других инструментов обучения для повышения эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления темы видеоурока. Отмечается, что выполнение операций вычитания, сложения алгебраических дробей аналогично выполнению операций с обыкновенными дробями. Напоминается механизм вычитания, сложения для обыкновенных дробей - приводятся дроби к общему знаменателю, после выполняются непосредственно сами операции.

Озвучивается и описывается на экране алгоритм вычитания, сложения алгебраических дробей. Он состоит из двух шагов - приведение дробей к одинаковым знаменателям и затем выполнение сложения (или вычитания) дробей с равными знаменателями. Применение алгоритма рассматривается на примере нахождения значений выражений a/4b 2 -a 2 /6b 3 , а также x/(х+у)-x/(х-у). Отмечается, что для решения первого примера необходимо привести обе дроби к одному знаменателю. Этим знаменателем будет 12b 3 . Приведение данных дробей к знаменателю 12b 3 подробно рассматривалось в прошлом видеоуроке. В результате преобразования получается две дроби с равными знаменателями 3ab/12b 3 и 2a 2 /12b 3 . Эти дроби складываются согласно правилу сложения дробей с равными знаменателями. После сложения числителей дробей в результате получается дробь (3ab+2a 2)/12b 3 . Далее описывается решение примера х/(x+у)-x/(х-у). После приведения дробей к одному знаменателю получаются дроби (х 2 -ху)/(х 2 -у 2) и (х 2 +ху)/(х 2 -у 2). Согласно правилу вычитания дробей с равными знаменателями, производим операцию с числителями, после чего получается дробь -2ху/(х 2 -у 2).

Отмечается, что самым трудным шагом в решении задач на сложение, вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, является приведение их к общему знаменателю. Делаются подсказки, как легче выработать навыки в решении этих задач. Разбирается общий знаменатель дроби. Он состоит из числового коэффициента с переменной, возведенной в степень. Видно, что выражение может делиться на знаменатели первой и второй дробей. При этом числовой коэффициент 12 является наименьшим общим кратным числовых коэффициентов дробей 4 и 6. А переменную b содержат оба знаменателя 4b 2 и 6b 3 . При этом в общем знаменателе содержится переменная в наибольшей степени среди знаменателей исходных дробей. Также рассматривается нахождение общего знаменателя для х/(x+у) и x/(х-у). Отмечается, что общий знаменатель (x+у)(x-у) делится на каждый знаменатель. Итак, решение задачи сводится к нахождению наименьшего общего кратного имеющихся числовых коэффициентов, а также нахождению высшего показателя степени для буквенной переменной, встречающейся несколько раз. Затем после сбора данных частей в общее произведение получается общий знаменатель.

Озвучивается и формулируется на экране алгоритм нахождения для нескольких дробей общего знаменателя. Этот алгоритм состоит из четырех этапов, в первом из которых знаменатели раскладываются на множители. На втором этапе алгоритма отыскивается наименьшее общее кратное имеющихся данных коэффициентов, входящих в состав знаменателей дробей. На третьем этапе составляется произведение, в состав которого входят буквенные множители разложений знаменателей, при этом буквенный показатель, присутствующий в нескольких знаменателях, выбирается в наибольшей степени. На четвертом этапе числовые и буквенные множители, найденные на предыдущих этапах, собираются в одно произведение. Это и будет общий знаменатель. К рассмотренному алгоритму делается замечание. В примере нахождения общего знаменателя дробей a/4b 2 и a 2 /6b 3 отмечается, что кроме 12b 3 есть и другие знаменатели 24b 3 и 48a 2 b 3 . И для каждого множества дробей можно найти много общих знаменателей. Однако знаменатель 12b 3 является наиболее простым и удобным, поэтому его называют также наименьшим общим знаменателем исходных дробей. Дополнительные множители представляют собой результат частного общего знаменателя и исходного знаменателя дроби. Подробно демонстрируется с помощью анимации, как числитель, знаменатель дробей умножается на дополнительный множитель.

Дальше предлагается рассмотреть алгоритм приведения к общему знаменателю алгебраических дробей в более простой форме, чтобы он был более понятным для учеников. Он также состоит из четырех этапов, в первом из которых разложение знаменателей на множители. Затем предлагается из первого знаменателя выписать все множители, из остальных знаменателей произведение дополнить недостающими множителями. Таким образом находится общий знаменатель. Находятся дополнительные множители к каждой дроби из тех множителей знаменателя, что не попали в общий знаменатель. Четвертым шагом является определение для каждой дроби нового числителя, являющегося произведением старого числителя и дополнительного множителя. Потом каждая дробь записывается с новым числителем и знаменателем.

В следующем примере описывается упрощение выражения 3а/(4а 2 -1)-(а+1)/(2а 2 +а). На первом этапе решения знаменатели каждой дроби раскладывается на множители. Для произведений общим множителем является (2а+1). Дополнив произведение оставшимися множителями (2а-1) и а, получается общий знаменатель вида а(2а-1)(2а+1). Строится вспомогательная таблица, в которой указываются общий знаменатель, знаменатели, дополнительные множители. На втором этапе решения каждый числитель умножается на дополнительный множитель, выполняется вычитание. В результате получается дробь (а 2 -а+1)/а(2а-1)(2а+1).

В примере 3 рассматривается упрощение выражения b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Решение также разбирается по этапам, обращается внимание на существенные особенности выполнения операций, подробно описывается приведение дробей к общему знаменателю, выполнение операций с числителем. В результате вычислений и после преобразования получается дробь (2а 3 +6а 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Видеоурок «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями» может послужить средством повышения эффективности урока математики по данной теме. Пособие пригодится учителю, осуществляющему дистанционное обучение, для наглядного представления учебного материала. Ученикам видеоурок может быть рекомендованным для самостоятельного обучения, так как в нем подробно и понятно объясняются особенности выполнения изучаемых операций.

сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;

повторить и закрепить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Оборудование: Демонстрационный материал.

Задания для актуализации знаний:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:

Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
Сложить или вычесть полученные дроби.

2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:

3) Карточка для этапа рефлексии.

Данная тема мне понятна.
Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
В самостоятельной работе у меня всё получалось.
Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
Я доволен своей работой на уроке.

ХОД УРОКА

1. Самоопределение к деятельности.

Цели этапа:

Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.

С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)

Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)

Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)

Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)

Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цели этапа:

Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
Зафиксировать затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:

5) -=-==.

Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.

В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:

Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)

Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!

Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?

Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.

Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)

Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)

Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?

Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.

Слова учеников приблизительно такие:

Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”

Ответ на задания 4–5 не получены.

3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.

Цели этапа:

Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
Сформулировать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)

Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Тема урока записывается в тетрадях.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

Построение детьми нового способа действий.
Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)

Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)

Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)

Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.

Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:

Раскладываем все знаменатели на множители.
Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.

Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.

Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)

Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.

Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.

Приблизительно это звучит так:

Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.

Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.

№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:

а) +=+==;

г) +=+==.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цели этапа:

Провести самостоятельную работу.
Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.

№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.

После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.

Проводится анализ и исправление ошибок.

Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)

Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)

Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)

Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!

Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые).

И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.

7. Включение новых знаний в систему знаний.

Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.

8. Рефлексия урока.

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 8:

Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)

Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)

Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)

А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:

У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.

Молодцы!

Домашнее задание: параграф 4 (учебник); № 126, 127 (задачник).

Тема урока: Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Цели урока:

Обучающие:

повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями
ввести правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями;
формировать умение выполнять действия сложения и вычитания с алгебраическими дробями.

Развивающие:

развить мышление, внимание, память, умение анализировать, сопоставлять, сравнивать;
расширение кругозора учащихся;

пополнение словарного запаса;

Воспитательные:

воспитывать познавательный интерес к предмету.
Воспитывать культуру умственного труда

Оборудование:

карточки – тестовые задания;
компьютер;
проектор;
экран;
презентация урока

Девиз:

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!

Слайд 2.

План урока.

Сообщение цели и темы урока (2 мин);
Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4 мин);
Устная работа (5 мин);
Изучение нового материала (8 мин);
Физкультминутка (2 мин);
Закрепление нового материала (10 мин);
Тест с выбором ответа (10 мин);
Итог урока, выводы (2 мин);
Домашнее задание. (2 мин).

Слайд 3.

Ход урока.

I. Организационный момент:

1) сообщение темы урока;

2) сообщение целей и задач урока.

II. Актуализация знаний:

Какая дробь называется алгебраической? Привести примеры.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Как привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Слайд 4.

III. Устная работа:

Прочитайте дроби:
Найти выражение, которое является лишним а) (а+в) 2 ; б) ; в) ; г) .
Восстановить частично стёртые записи: на приведение к общему знаменателю

Слайд 5.

Найди ошибку

Слайд 6.

К каждой дроби найти равную ей дробь, используя соответствие число – буква:

1) ; 2) 3) .

А) б) ; в) .

Слайд 7,8

IV. Изучение нового материала.
1) Повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Затем устно решить следующие примеры:

2) Вспомнить правила сложения и вычитания многочленов и письменно на доске выполнить следующие упражнения:

3) Учащиеся должны предложить правила выполнения следующих примеров, записанных на доске:

Решение примеров обсуждается. Если учащиеся самостоятельно справиться не могут, то учитель объясняет.

Слайд 9.

Правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями записываются в тетрадь.
, .

Слайд 10.

V. Физкультминутка для глаз

Упражнение 1. Сделайте 15 колебательных движений глазами по горизонтали справа – налево, затем слева – направо.

Упражнение 2. Сделайте 15 колебательных движений глазами по вертикали вверх - вниз и вниз - вверх.

Упражнение 3. Тоже 15, но круговых вращательных движений глазами слева – направо.

Упражнение 4. То же самое, но справа – налево.

Упражнение 5. Сделайте по 15 круговых вращательных движений глазами вначале в правую, затем в левую стороны, как бы вычерчивая глазами уложенную набок восьмёрку.

VI. Закрепление нового материала.
1) Фронтальная работа.

1) Решить задания

№ 462 (1,3)

2) Сложить дроби:

3) Вычесть дроби:

4) Выполнить действия.

Слайд 11.

2) Индивидуальная работа.
Четыре ученика выполняют на доске самостоятельную работу, предложенную на карточках.

Карточка 1.

Карточка 2.

Карточка 3.

Карточка 4.

Остальные в тетрадях: Выполнить сложение и вычитание дробей:
а) б)
в)

VII. Выполнение работы в группах и анализ результатов.

Каждой группе выдаются тестовые задания, выполнив которое получают слово – фамилию известного математика.

Задание	Вариант ответа	Буква







	х + 10

Задание	Вариант ответа	Буква

Задание	Вариант ответа	Буква

Задание	Вариант ответа	Буква

Таблица ответов:

№ задания
Буква

Проверьте качество выполнения задания.

Получилось ли у вас из полученных букв имя известного математика?

Если вы правильно ответили на все вопросы, то получили оценку “ОТЛИЧНО”!!!

Если Вы допустили ошибку в одном шаге – неплохо, но ученый, наверно, обиделся бы. Вы получили оценку “ХОРОШО”!

Если Вы ошиблись в двух шагах, то вы плохо слушали учителя на уроке и Вам придется прочитать тему в учебнике алгебры. Вы получили оценку “УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Если Вы ошиблись более, чем в двух шагах, то вы совсем не слушали учителя на уроке и Вам придется очень внимательно прочитать учебник алгебры. Вы получили оценку “НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО”.

Слайд 13-17.

При наличии времени решаются задания:
1. Докажите, что выражение
при всех значениях а2 принимает положительные значения.
2. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь:
а) ; б) в)

3. Зная, что, найдите значение дроби:
а) ; б) в)

VIII. Подведение итогов.

I Х. Домашнее задание: Прочитать материал учебника п.26, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 462(2,4); составить 5 примеров на сложение и вычитание алгебраических дробей; найти информацию о математиках, имена которых мы сегодня услышали.

В этой статье мы детально разберем сложение и вычитание алгебраических дробей . Начнем со сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. После этого запишем соответствующее правило для дробей с разными знаменателями. В заключение покажем, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как выполнить их вычитание. Всю информацию по традиции снабдим характерными примерами с разъяснением каждого шага процесса решения.

Навигация по странице.

Когда знаменатели одинаковые

Принципы переносятся и на алгебраические дроби. Нам известно, что при сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются или вычитаются их числители, а знаменатель остается прежним. Например, и .

Аналогично формулируется и правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями : чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители дробей, а знаменатель оставить без изменения.

Из этого правила следует, что в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается новая алгебраическая дробь (в частном случае многочлен, одночлен или число).

Приведем пример применения озвученного правила.

Пример.

Найдите сумму алгебраических дробей и .

Решение.

Нам нужно сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями. Правило нам указывает, что надо выполнить сложение числителей этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Итак, складываем многочлены , находящиеся в числителях: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2·x·y−x·y)−5+3=x 2 +x·y−2 . Следовательно, сумма исходных дробей равна .

На практике обычно решение записывается кратко в виде цепочки равенств, отражающих все выполняемые действия. В нашем случае краткая запись решения такова:

Ответ:

Заметим, что если в результате сложения или вычитания алгебраических дробей получается сократимая дробь, то ее желательно сократить.

Пример.

Выполните вычитание из алгебраической дроби дроби .

Решение.

Так как знаменатели алгебраических дробей равны, то нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним: .

Несложно заметить, что можно выполнить сокращение алгебраической дроби . Для этого преобразуем ее знаменатель, применив формулу разности квадратов . Имеем .

Ответ:

Абсолютно аналогично складываются или вычитаются три и большее количество алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Например, .

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Напомним, как мы выполняем сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводим их к общему знаменателю, после чего складываем эти дроби с одинаковыми знаменателями. Например, или .

Существует аналогичное правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

сначала все дроби приводятся к общему знаменателю;
после чего выполняется сложение и вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Для успешного применения озвученного правила, нужно хорошо разобраться с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю. Этим и займемся.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю представляет собой тождественное преобразование исходных дробей, после которого знаменатели всех дробей становятся одинаковыми. Удобно использовать следующий алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю :

сначала находится общий знаменатель алгебраических дробей;
дальше определяются дополнительные множители для каждой из дробей, для чего общий знаменатель делится на знаменатели исходных дробей;
наконец, числители и знаменатели исходных алгебраических дробей умножаются на соответствующие дополнительные множители.

Пример.

Приведите алгебраические дроби и к общему знаменателю.

Решение.

Сначала определим общий знаменатель алгебраических дробей . Для этого раскладываем знаменатели всех дробей на множители: 2·a 3 −4·a 2 =2·a 2 ·(a−2) , 3·a 2 −6·a=3·a·(a−2) и 4·a 5 −16·a 3 =4·a 3 ·(a−2)·(a+2) . Отсюда находим общий знаменатель 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Теперь приступаем к нахождению дополнительных множителей. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель первой дроби (удобно взять его разложение), имеем 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(2·a 2 ·(a−2))=6·a·(a+2) . Таким образом, дополнительный множитель для первой дроби равен 6·a·(a+2) . Аналогично находим дополнительные множители для второй и третьей дробей: 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(3·a·(a−2))=4·a 2 ·(a+2) и 12·a 3 ·(a−2)·(a+2):(4·a 3 ·(a−2)·(a+2))=3 .

Осталось умножить числители и знаменатели исходных дробей на соответствующие дополнительные множители:

На этом приведение исходных алгебраических дробей к общему знаменателю завершено. При необходимости полученные дроби можно преобразовать к виду алгебраических дробей, выполнив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Итак, с приведением алгебраических дробей к общему знаменателю разобрались. Теперь мы подготовлены к выполнению сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Да, чуть не забыли предупредить: общий знаменатель до самого последнего момента удобно оставлять представленным в виде произведения – возможно придется сокращать дробь, которая получится после сложения или вычитания.

Пример.

Выполните сложение алгебраических дробей и .

Решение.

Очевидно, исходные дроби имеют разные знаменатели, поэтому, чтобы выполнить их сложение, сначала нужно привести их к общему знаменателю. Для этого раскладываем знаменатели на множители: x 2 +x=x·(x+1) , а x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , так как корнями квадратного трехчлена x 2 +3·x+2 являются числа −1 и −2 . Отсюда находим общий знаменатель, он имеет вид x·(x+1)·(x+2) . Тогда дополнительным множителем первой дроби будет x+2 , а второй дроби – x .

Итак, и .

Осталось сложить дроби, приведенные к общему знаменателю:

Полученную дробь можно сократить. Действительно, если в числителе вынести двойку за скобки, то станет виден общий множитель x+1 , на который дробь и сокращается: .

Наконец, полученную дробь представляем в виде алгебраической, для чего произведение в знаменателе заменяем многочленом: .

Оформим краткое решение, учитывающее все наши рассуждения:

Ответ:

И еще один момент: алгебраические дроби перед их сложением или вычитанием целесообразно предварительно преобразовать, чтобы упростить, (если, конечно, есть такая возможность).

Пример.

Выполните вычитание алгебраических дробей и .

Решение.

Выполним некоторые преобразования алгебраических дробей , возможно, они позволят упростить процесс решения. Для начала вынесем за скобки числовые коэффициенты у переменных в знаменателе: и . Уже интересно – стал виден общий множитель знаменателей дробей.

Обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а », значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные .

Вычитание алгебраических дробей

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями :

из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с », значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d) » числитель второй дроби «(a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю .

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a » и «3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15 » и «3 » — это «15 ».
Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a » и «5 » есть только
один одночлен — «а ».
Перемножим НОК из п.1 «15 » и одночлен «а » из п.2. У нас получится «15a ». Это и будет общим знаменателем.
Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a »?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3 », чтобы получить «15a »?» Ответ — на «5a ».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a » и числитель, и знаменатель .

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим знаменатели «(x − y) » и «(x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y) » и «(x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения .

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов .

После разложения многочлена «(p 2 − 36) » на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6) ».