Рассмотрим систему

Предполагаем, что а и (х), b t (x) е С((а, b)), i,j - 1,п.

Все решения системы (19) определены на (а; Ь), также напомним, что здесь имеет место существование и единственность решения задачи Коши (при допустимых начальных условиях: х 0 е (а; Ь), начальное значение у 0 можно выбирать произвольно).

Пусть У(х) - ее фундаментальная матрица. Общее решение системы (20) тогда можно записать в виде

Сделаем замену переменных в системе (19)

Получаем

Отсюда имеем Тогда

где с - вектор произвольных постоянных.

В итоге, получаем общее решение системы (19)

Запишем также общее решение системы (19) в форме Коши

Если мы имеем систему с постоянными коэффициентами (А - постоянная матрица), а в качестве Y(x) выбрана фундаментальная матрица е Ал ", то формулы (22), (23) принимают вид

§ 7. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим линейную неоднородную стационарную систему:

Предполагаем, что b^x) e C((a, b)), i, j = 1, n.

Рассмотрим соответствующую однородную систему

Общее решение системы (26) является суммой общего решения соответствующей ей однородной системы (27) и некоторого частного решения системы (26).

Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами (26) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции b i (x),i=l,n состоят из сумм и произведений функций d 0 + d x x + ... + d m x m , е‘ х, costox, sincox.

Если bj(x) = Р т.(х)е 1Х, где P„ h (x) -многочлен степени m, то частное решение системы (26) ищется в виде

где Qm+s(*) - многочлены степени т + s т = тахт,-. Число s = 0, если у - не корень характеристического уравнения det(A - 7.Е) = 0, а если у - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (28) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Если в функции bj(x), i = l,n входят синус и косинус, то их можно выразить через показательную функцию по формулам Эйлера

и свести задачу к уже рассмотренному случаю.

Если же элементы матрицы А вещественны, то можно обойтись без перехода к комплексным функциям. Для

можно искать частное решение в виде

где R‘ m + S (x), Tj I+s (x) - многочлены степени т + s с неизвестными коэффициентами, т - наибольшая из степеней многочленов Р и Q. Число s = О, если у + cot - не корень характеристического уравнения det(A - ХЕ) = 0, а если у + Ч- со/ - корень, то s можно взять равным кратности этого корня. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются путем подстановки выражений (29) в систему (26) и сравнения коэффициентов подобных членов.

Пример 1. Рассмотрим систему

Найдем ее решение.

Построим общее решение соответствующей однородной системы:

Характеристическое уравнение имеет вид: или

Корни этого уравнения Х± = О, Х 2 = 2. Корню Х г = 0 соответствует частное решение системы:

Подставляя значения jc 1(у 1 в однородную систему, получаем систему уравнений для нахождения р: и v x:

Отсюда имеем, например, pj = 1, Vj = -1, так что первое частное решение однородной системы:

Корню А. 2 = 2 соответствует частное решение:

Числа р 2 и v 2 находим из системы:

которой удовлетворяют, например, числа ц 2 = 1, v 2 = 1.

Тогда второе решение однородной системы:

Общее решение однородной системы:

Теперь методом неопределенных коэффициентов находим частное решение неоднородной системы. Исходя из вида правых частей b x (t) = е 1 , b 2 (t ) = -е 1 , записываем вид частного решения:

Подставляя эти значения в неоднородную систему, имеем:

Приравнивая коэффициенты при равных степенях е", получаем:

Таким образом, М = -1, N = 1. Значит, частное решение неоднородной системы имеет вид:

Общее решение неоднородной системы:

Пример 2. Решить систему

Как и в предыдущем примере, найдем сначала общее решение соответствующей однородной системы. Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни характеристического уравнения: = 2, А, 2 =

1. Общее решение соответствующей однородной системы:

Найдем частное решение неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов. Исходя из вида правых частей bi(t) = -5cosi, b 2 (t ) = 0, записываем вид частного решения:

Задания для самостоятельной работы

Найти общие решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений одним из рассмотренных методов, и произвести их проверку любым другим методом:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:

(9.1)

Системы (9.1) и (9.2) называются неоднородными , если хотя быодна из функций f i (х ) не равна тождественно нулю.Если при всех значениях независимой переменной х все функции f i (х ) равны нулю, то, например, система (8.14) принимает вид:

и называется однородной линейной системой.

Если все функции a ij (x ) и f i (х ) непрерывны на отрезке a £x £b , то система, например, (9.2) имеет единственное решение:

(9.4)

определенное во всем отрезке a £x £b и удовлетворяющее начальным условиям:

причем начальные данные можно выбирать совершенно произвольно, а х 0 необходимо выбирать из интервала a £x £b .

Неоднородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

(9. 6)

Если все f i (x ) =0, то получим однородную систему с постоянными коэффициентами

Если компоненты некоторого вектора ,

а компоненты производной вектора , при этом коэффициенты a ij являются элементами матрицы , то, например, систему уравнений (9.8) можно представить в виде:

Рассмотрим методы интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами.

1. Систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно разрешить, например, методом Эйлера . Суть этого метода заключается в том, что решение системы (9.9) ищется в виде

, (9.10)

где λ k - собственные значения матрицы коэффициентов А , которые можно найти из уравнения :

(9.11)

(Е – единичная матрица), которое называется характеристическим уравнением ; - компоненты собственного вектора P ( k ) , соответствующие собственному значению λ k .

Если выражение (9.10) подставить в уравнение (9.9) и после сокращения на множитель , получим однородную систему линейных алгебраических уравнений из которой можно найти вектора P ( k ) :

,

или в развернутом виде

(9.12)

Таким образом, общее решение системы (9.9) будет выражаться формулой:

. (9.13)

Из этой формулы видно, что решение исходной системы зависит от собственных значений матрицы коэффициентов λ k или, что по существу то же самое от вида корней характеристического уравнения .

1-й случай. Все корни λ k –действительные и различные, тогда общее решение системы определяется формулой (9.13). Запишем ее в развернутом виде:

(9.14)

Пример 9.1.6. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (31):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: .

Найдем собственные вектора, соответствующие своим собственным значениям (корням характеристического уравнения).

.

Значение можно взять произвольно, например, пусть =1, тогда , следовательно вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Для этого корня также составим систему (9.12)

,

следовательно, если =1, тогда . Поэтому вектор Р (2) =.

Таким образом, общее решение исходной системы можно записать в виде:

Следовательно, компоненты общего решения принимают вид:

▲

2-й случай. Корни λ k различные, но среди них имеются комплексные. Если является корнем характеристического уравнения, то и тоже будет его корнем, т.к. все коэффициенты исходной системы a ij являются действительными.

Компоненты общего решения системы (8.29), отвечающие корню находим точно так же, как и в случае 1. Затем, отделив комплексную и действительную часть из функций y k , образующих это решение, получим два действительных решения той же системы (8.29). Сопряженный корень не дает новых решений (если использовать этот корень, то получим решения, линейно зависимые от уже полученных). Так поступают для каждого комплексного корня.

Пример 9.2. Найти общее решение системы

Корни этого характеристического уравнения комплексно-сопряженные: .

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению (корню характеристического уравнения) равному: .

Составим систему алгебраических уравнений (9.12)

Таким образом, приняв =1, находим , т.е. собственный вектор Р (1) равен: Р (1) =.

Следовательно, фундаментальная система будет иметь вид:

В этих решениях отделим действительную и мнимую части (корень мы не рассматриваем, т.к. решения соответствующие этому корню являются линейно зависимыми корню), в результате получаем:

Таким образом, общее решение окончательно имеет вид:

3-й случай. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Если корень λ k , имеет кратность т , то ему соответствует п частных решений системы (9.9). Эти решения получаем в виде:

где q 1 (x ),…., q n (x ) – многочлены от х с неопределенными коэффициентами, каждый степени не выше (т -1):

Следовательно, решения будут иметь вид:

(9.15)

Подставляя выражения (9.15) в систему (9.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х в каждом уравнении, мы получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов многочленов q 1 (x ),…., q n (x ). Число полученных алгебраических уравнений будет меньше числа неизвестных коэффициентов, поэтому т из этих коэффициентов остаются произвольными, а остальные выражаются через них.

Если λ 1 , является комплексным числом, то полученные рассмотренным путем решения тоже будут комплексными функциями от х . Отделив в каждом из решений действительные и мнимые части, получим 2т решений. Эти решения соответствуют паре сопряженных т – кратных комплексных корней и .

Пример 9.3. Найти общее решение системы

▲ Составим матрицу коэффициентов , а затем составим характеристическое уравнение (9.11):

Корни этого характеристического уравнения действительные и различные: . Степень кратности т равна: т = 2. Следовательно, в этом случае многочлены p 1 (t ) и p 2 (t ) имеют вид:

Таким образом, двукратному корню соответствует решение

Дифференцируя х и у , получим

Значения х , у , подставим в исходную систему, и после сокращения на e 4 t будем иметь

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим следующие системы

Отсюда следует, что

Таким образом, общее решение исходной системы будет иметь вид:

▲

2. Систему вида (9.8): ,

можно разрешить методом неопределенных коэффициентов . Алгоритм этого метода следующий:

1. Составить характеристическое уравнение системы (9.8):

и найти его корни .

2. В зависимости от вида корней записать решение системы, причем для каждого решения y i имеет свои произвольные постоянные:

3. Вычисляются производные и вместе с найденными функциями , подставляются в уравнения исходной системы.

4. Приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях в левых и правых частях уравнений.

5. Из полученных систем можно выразить все коэффициенты через одни, например, коэффициентычерез коэффициент C i .

Пример 9.4. Найти общее решение системы

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.

Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которая в векторной форме записывается в виде

Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:

Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.

Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }