Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение Воронежской области
«Лискинский промышленно-транспортный техникум имени А.К. Лысенко»

(ГБПОУ ВО «ЛПТТ имени А.К. Лысенко»)

Методическое пособие

по математике

«Основные приёмы решения систем уравнений»

Преподаватель Варова О.А.

2017 г.

Решением системы называют числа, при подстановке которых в уравнения системы каждое уравнение становится верным числовым равенством. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что система не имеет решения.

Основная идея решения систем уравнений состоит в постепенном переходе от одной системы к другой более простой, но равносильной заданной. Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новых переменных абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Если же в процессе решения системы использовались неравносильные преобразования (возведение в квадрат обеих частей уравнения, умножение уравнений или преобразования, которые привели к расширению области определения какого-либо уравнения системы), то все найденные решения следует проверить подстановкой в исходную систему.

Рассмотрим теперь конкретные системы алгебраических уравнений и продемонстрируем различные методы их решений. Предварительно отметим, что, строго говоря, невозможно выделить один метод решения достаточно сложной системы, поскольку, как правило, последовательно задействуются различные приёмы. Но методически очень полезно в каждом примере выделить один метод, не заостряя внимания на других.

Основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестной является не одна величина, а несколько. Это величины связаны определёнными зависимостями, которые записываются в виде уравнений.

Один из основных методов решения систем – метод подстановки.

а) Рассмотрим, например, систему двух уравнений с двумя неизвестными

х и у:

Часто удаётся одно уравнение преобразовать так, чтобы неизвестное явно выражалось как функция другого. Тогда, подставляя его во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным.

б) Решим систему трёх уравнений с тремя неизвестными методом подстановки:

2. Метод алгебраического сложения.

а) Решим систему Умножим первое уравнение на 2 и складывая полученное уравнение со вторым, приходим к уравнению 22х=33, х=1,5. Подставив в любое уравнение значение х, получим у=-0,5.

б) Решим систему:

Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и складывая полученные результаты, приходим к уравнению

Заметим, что пара чисел (0;0), являясь решением полученного уравнения, не удовлетворяет исходной системе. Поэтому подстановкой x = ty сводим уравнение к виду Разделив обе части на получим уравнение

Таким образом , исходная система равносильна совокупности систем:

Решая первую систему получим х=4, у=5 и х=-4, у=-5; решение второй – х=3у=х=-3у=

в) Решим систему:

Складывая почленно уравнения данной системы, получаем уравнение которое равносильно следующему (х+у-7)(х+у+7)=0.

Система равносильная исходной, распадается на две системы:

Совокупность этих систем равносильна исходной системе, т.е. каждое решение исходной системы является решением или системы (А), или системы (В) и всякое решение систем (А) и (В) есть решение исходной системы.

Система (А) приводится к виду

Отсюда ясно, что она имеет решение (4;3). Аналогично система (В) имеет решение (-4;-3). Объединив эти решения, находим все решения исходной системы.

Ответ: (4;3),(-4;-3).

г) Решим систему:

Обратим внимание на то, что левые части уравнений содержат одни и те же комбинации неизвестных. Поэтому целесообразно умножить уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим сложив второе уравнение с первым, умноженным на -3. В результате получим уравнение которое путём замены xy = t приведём к виду Очевидно, что Таким образом, исходная система распадается на системы:

В первом случае находим Если х=1, то у=2, а если х=-1, то у=-2.

Во втором случае, исключая у, получаем Поэтому вторая из двух последних систем не имеет действительных решений.

Ответ: (1;2), (-1;-2).

3. Метод введения новых переменных.

а ) Решим систему: (А)

Полагая преобразуем систему к виду (Б)

Эта система равносильна каждой из следующих систем:

и

Квадратное уравнение имеет корни Значит система (Б) имеет решения: () и (;, а система (А) имеет решения (2;3) и (3;2).

Рассмотренная система состоит из симметрических уравнений (м етод решения симметричных систем см.ниже).

б) Решим систему:

z =

Тогда первое уравнение примет вид z + = 2. Решим его:

Возвращаясь к переменным х,у, получаем уравнение

Преобразуем его: 3х-2у=2х, х=2у.

Итак, первое уравнение данной системы заменим более простым х=2у, получим систему:

для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе.

Соответственно получим: .

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1), (1;

в) Решим систему: (А)

Преобразуем первое уравнение системы:

Введём новые неизвестные u = x + y , v = xy . После упрощения получим (Б)

Система (Б) равносильна каждой из следующих систем:

Последняя система имеет два решения:

Поэтому система (А) равносильна совокупности систем: и

Система (В) имеет решения (2;1) и (1;2); система (Г) решений не имеет.

Ответ: (2; 1), (1;.

г) Решим систему:

«Переделаем» данное разложение уравнений, записав систему в ином виде:

Пусть и учитывая, что запишем исходную систему иначе:

Отсюда и тогда

Таким образом, исходная система равносильная системе

Распадается на две линейные системы:

Ответ: (4; 3), (3;.

4. Метод использования графика.

Каждое из уравнений системы можно рассматривать как уравнение кривой. Поэтому решения системы двух уравнений с двумя неизвестными можно интерпретировать как координаты точек пересечения двух кривых.

5. Метод решения симметричных систем.

Система уравнений называется симметричной, если она составлена из выражений, симметричных относительно неизвестных:

,

Возьмём две буквы.

Два выражения – сумма u = и произведение v = являются основными симметричными выражениями относительно

Другие симметричные выражения можно так же выразить через u и v :

Теорема Виета выражает основные симметричные выражения относительно корней квадратного уравнения

Любое выражение, симметричное относительно корней квадратного уравнения, можно выразить через его коэффициенты, не находя самих корней.

Можно сформулировать теорему, обратную теореме Виета: если числа удовлетворяют системе уравнений то они являются корнями уравнения.

Симметричную систему можно упростить заменой симметричных выражений выражениями через сумму и произведений неизвестных.

а)Например, систему заменой можно привести к системе

Зная по теореме, обратной к теореме Виета, находим х и у из квадратного уравнения

Ответ:

Решение некоторых уравнений полезно сводить к решению симметричных систем.

б)Например, при решении линейной системы часто можно воспользоваться её симметрией:

Сложим все уравнения и получим 10

Теперь вычтем это уравнение из первого, из второго – предварительно умножив это уравнение на 2 и из третьего – предварительно умножив это уравнение на 3, получим:

Разность первой пары уравнений даёт 4

второго и третьего уравнений 4

6.Метод обращения к одному из следствий.

а)Решить систему уравнений:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы:

Введём новую переменную z = xy . Получим: (z -6)(z +24)= т.е. ху=8.

Это уравнение рассмотрим совместно с первым:

Теперь воспользуемся методом подстановки . Выразим из второго уравнения через и подставим полученное выражение вместо в первое уравнение:

После упрощений второе уравнение примет вид Его корни Но:

Итак, получили 2 решения: (4;2) и (-4;-2). Но поскольку в процессе решения системы применялся «ненадёжный» метод, найденные пары значений надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что пары чисел (4;2) и (-4;-2) являются решениями исходной системы.

Ответ: (4;2) и (-4;-2).

б)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо избавиться от дробей, приводя их к общему знаменателю. Однако этот приём не упрощает систему и не даёт возможность исключить одно из неизвестных. К успеху приводит почленное перемножение уравнений системы. В результате этой операции получаем уравнение которое вместе с первым уравнением образует систему, являющуюся следствием данной. Исключив из полученной системы, приходим к уравнению Его корни Соответствующие значения найдём из уравнения. Проверка показывает, что пары чисел (2;3) и (-2;-3) являются решениями исходной системы.

Ответ: (2;3) и (-2;-3).

в)Решить систему:

На первый взгляд кажется, что надо попытаться разложить левую часть уравнений на множители, применив метод группировки. Однако это очень сложно. К успеху приводит приём, состоящий в том, что одно из уравнений системы рассматривается как квадратное относительно х или у.

Представим первое уравнение системы как квадратное относительно х:

Представим второе уравнение системы как квадратное относительно х:

и запишем формулу для вычисления корней

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем:

Первая из систем не имеет решения, другие системы имеют соответственно решения: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Ответ: (-2;0), (-3;3), (-4;2).

Методы решения иррациональных систем.

Системы иррациональных уравнений обычно сводят к системам рациональных уравнений с помощью операции возведения обеих частей уравнения в натуральную степень n . При этом следует иметь в виду, что если n - чётное число, то в результате этой операции получается уравнение, являющееся следствием исходного, т.е. среди его корней могут оказаться посторонние, поэтому необходимо сделать проверку. Но если n - нечётное число, то полученное уравнение равносильно исходному.

Но не следует торопиться «освобождаться от корней», применяя упомянутый метод. Он может оказаться неэффективен в начале решения, т.к. приводит к громоздким выражениям. Нужно присмотреться к системе и попытаться упростить её. Например: 1. Решим систему:

Сравнивая левые части уравнений системы, замечаем, что они представляют собой сопряжённые выражения. В таком случае следует воспользоваться приёмом почленного умножения уравнений. Осложнений не будет, т.к. После почленного умножения получаем у=16. Подставляя это значение в первое уравнение, получим. Возведя в квадрат обе части уравнения, получаем Снова возводим в квадрат обе части уравнения, приведя его к виду: , а у=16, то. Значит х=20.

В преобразованиях было дважды применено возведение обеих частей уравнения в чётную степень, т.е. дважды могли получить посторонние корни. Поэтому значения х=20 и у=16 следует проверить подстановкой в исходную систему.

Ответ: (20; 16).

2. Решить систему уравнений:

Воспользуемся методом введения новой переменной: z =

Тогда первое уравнение системы примет вид

Решим это уравнение:

Возвращаясь к переменной х, у, получаем уравнение

Решим это уравнение: 3х-2у=2х, х=2у, а это первое уравнение системы. Получили более простую систему уравнений:

Для решения которой используем метод подстановки, подставив первое уравнение во второе: ,

Получим

Т.к. в процессе решения системы использовался «ненадёжный» (с точки зрения равносильности) метод – возведение в квадрат обеих частей одного из уравнений, - найденные значения надо проверить подстановкой в заданную систему. Проверка показывает, что посторонних корней нет.

Ответ: (2;1); (1;

Пять решений одной системы уравнений.

Математики считают, что полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним. При поиске новых методов решения задачи иногда обнаруживается связь между разными разделами математики. Приведу один пример.

Решить систему уравнений:

1 способ. Выразим в 1 уравнении через, подставив полученное выражение во 2 уравнение и преобразовав его, получим:

Решим это уравнение как квадратное относительно

D =)= D при всех значениях

Следовательно уравнение (3) имеет решение только при D ,т.е. при

Тогда =1. Подставляя найденные значения, находим

Ответ:

2 способ. Возводим первое уравнение в квадрат и вычтем второе, получим:

или xy + xz + yz =3=

2 xy - 2 xz - 2 yz =0, или

3 способ. Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Уравнение (1) описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3;0;0), В(0;3;0) и С(0;0;3), а уравнение (2) – сферу с центром в начале координат и радиусом равным

Для выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до плоскости АВС можно найти, вычислив высоту О D тетраэдра ОАВС, записав двумя способами объём тетраэдра

Треугольник АВС правильный, т.к. его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников и равны 3 Тогда

Подставляя найденные значения в соотношение (4), получим, что т.е. радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет единственное решение, которое легко угадывается:

4 способ. Докажем, что система не имеет других решений. Введём другие переменные: a = x +1, b = y +1, c = z +1. Тогда уравнение примет вид a + b + c =0. (5) Преобразуем второе уравнение:

)=0.

С учётом соотношения (5) получим, что система имеет единственное нулевое решение, что влечёт за собой единственное решение в старых переменных.

5 способ. Рассмотрим случайную величину принимающую с равной вероятностью значения Тогда левые части уравнений исходной системы представляют собой соответственно 3 М и 3М

М Следовательно М =М и дисперсия D =М- (М=0, т.е. = const и, значит,

Итак, одну и ту же задачу мы решили с помощью алгебры, геометрии и теории вероятностей!

Литература:

1.Башмаков М.И.

Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. -4-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256с.

2.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 7-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 424 с.: ил.

3.Мордкович А.Г.

Алгебра и начала математического анализа.11 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов.- 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 287 с.: ил.

4.Журнал «Математика в школе» №6, 2008.

В настоящее время образовательные стандарты стали все больше обращаться к компетенциям как к ведущему критерию подготовленности учащихся к эффективной деятельности в определенной сфере. Одна из компетенций – умение ориентироваться в информации, умение ее получать, анализировать и т.д., т.е. учащиеся должны владеть определенными общими приемами деятельности. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс) мы рассмотрим один из таких приемов, касающийся анализа данной системы и построения (выбора) способа ее решения в зависимости от ее вида. При этом закладывается такое важное качество знаний, которое называется обобщенностью .

Основные общие методы решения систем уравнений отрабатываются в средней школе при изучении темы “Системы линейных уравнений” в 7-ом классе. Это метод подстановки, метод сложения, уравнивания коэффициентов. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс по учебнику С.М. Никольского и др.) обычно предполагается тренировка тех же методов на системах другого вида и иногда введение дополнительных общих методов решения систем.В реальной практике, когда ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный способ решения заданной системы. Нами была сделана попытка формирования такой системы знаний и умений.Ведьрешение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и пр. явлений и процессов.

Покажем на примере нескольких уроков для 8-го класса, каким образом мы планируем организовать совместную деятельность учащихся и учителя по выделению содержания названного умения на первом этапе . Так как одним из компонентов является анализ заданной системы на наличие решений, то один из первых уроков посвятим именно этому вопросу. Затем попытаемся выделить общий прием решения систем уравнений и связать с известными школьникам методами. Для этого нами разработаны рекомендации и специальная система заданий. Принципы построения системы заданий для первого этапа обучения следующие:

– порядок заданий фиксирован, он выполняет направляющую функцию, позволяя школьникам вместе с учителем выстроить ориентировочную основу деятельности по решению произвольной системы рациональных уравнений и создать в итоге схему ее решения,

– каждая следующая система связана с предыдущими заданиями и рассуждениями, но содержит в себе одну или несколько новых важных идей, логично развивающих тему,

– переменные в системах варьируются: не всегда привычные x и y (ведь при моделировании системами уравнений реальных задач из самых разных областей не всегда удобно вводить обозначения x и y ),

– помимо заданий, где система уравнений задана, предлагаются и творческие задания, связанные с придумыванием тех или иных систем.

Материалы к урокам

1. Системы, не имеющие решений.

а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):

№ 1. Ответ : .

Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение. Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений системы:

и т.д. Ответ : .

Обращаем внимание школьников на то, что каким бы в данном случае ни было второе уравнение системы, решений она иметь не будет (вспомним определение решения системы уравнений).

№ 2. Ответ : .

Первое уравнение системы имеет решения. В левой части второго уравнения сумма двух неотрицательных чисел, а в правой – отрицательное число. Противоречие. Отметим, что достаточно хотя бы одного противоречивого уравнения, чтобы дать ответ.

№ 3. Ответ : .

Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении формулу квадрата разности. Далее аналогично номеру 1.

Задание школьникам: составьте еще системы, не имеющие решений.

№ 4. Ответ : .

Если сразу заметить или вспомнить, что дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю, то ответ очевиден. Если же заменить в условии ноль на ненулевое число, то решения системы могут появиться.

№ 5. Ответ : .

Результат деления отрицательного числа на отрицательное не может быть отрицательным, поэтому первое уравнение (а значит и система) не имеет решений.

б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):

№ 6. Ответ : .

В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не существует ни при каких значениях x . Вспоминаем определение решения системы уравнений и делаем вывод о том, что система несовместна, т.е. не имеет решений. Таким образом, решение этой системы (и ряда других) нужно начинать с ОДЗ. Ведь если становится ясно, что ОДЗ пусто (как в данной системе), то и множество решений будет пусто.

Эта система не является системой рациональных уравнений, т.е. не входит в рассматриваемую тему, но она содержит принципиально важную идею, поэтому ее полезно дать и на данном этапе. К тому же это позволит повторить и закрепить определение системы рациональных уравнений. Определение и свойства арифметического квадратного корня восьмиклассникам уже известны.

Обсуждение: Как еще можно “построить” противоречивое уравнение? Какие ограничения на значения выражений могут быть? Из этой части урока делам вывод о том, что уравнение (а значит и соответствующая система уравнений) не имеет решений, когда:

а) не может выполняться равенство из-за тех или иных свойств:

ограничения по знаку: , , ,

дробь при ,

комбинации: , , при и и т.п.

б) какое-то входящее в него выражение не определено (т.е. не существует, не имеет смысла) (см. задание № 4):

Не существует при ,

Не существует при .

Здесь стоит провести параллель с заданиями, опирающимися на те же идеи. Это задания найти ОДЗ переменных в выражении, область определения функции (ООФ), множество значений функции (выражения).

в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:

№ 7. Ответ : .

Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.

№ 8. Ответ : .

Если разделить второе уравнение на 4 и перенести все члены каждого уравнения в одну сторону, то станет видно, что уравнения противоречат друг другу.

Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами. Ответ получится сам собой, если все делать верно и понимать про вырожденные уравнения (0=0, 4=0 и т.п.), при встрече с которыми многие школьники теряются, как показывает школьная практика. Поэтому для преодоления возможных затруднений здесь важно обратить внимание учащихся на то, что при решении любых уравнений или систем вопрос ставится всегда один и тот же: “При каких значениях неизвестной верно равенство?” или соответственно “При каких парах (тройках, четверках, …) переменных верны одновременно все равенства системы?”. Помня это, нетрудно понять, что если в ходе решения получилось что-то вроде 0=4, то решений у этого “уравнения” и у исходной системы нет; а если же получилось, например, 0=0 и нет других противоречий, то решений у системы бесконечно много.

Задание школьникам: придумайте еще несколько систем, не имеющих решений, таких чтобы при замене в ней одного числа или знака на другое решения у нее появлялись. Придуманные системы по парам занесите в таблицу:

Система, не имеющая решений	Система, имеющая решения

Таким образом, результатом первичного анализа системы может быть один из трех важных выводов :

1) (–) система не имеет решений дальнейшее решение не нужно,

2) (+) система имеет решение (решения) нужно решать,

3) (?) система может иметь решения (а может и не иметь) нужно решать и помнить про сказанное выше.

После этой части урока вместе со школьниками делается вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся важности предварительного анализа ситуации, объекта, явления.

На данном материале идет отработка важного навыка “всматривания” в систему и ее составные части – уравнения. Заметим, что тот же навык может отрабатываться и при решении уравнений (например, методом замены неизвестной). Он же пригодится и при решении систем, имеющих решение.

Стоит обратить внимание школьников на различные термины , употребляющиеся по отношению к уравнениям и системам, не имеющим решений (несовместным, противоречивым). Это важно для понимания математических задач и текстов, взятых из различных источников.

Для закрепления материала, в том числе терминологии, и проверки результатов этой части урока ученикам предлагается небольшое задание : заполнить следующую таблицу (в каждой ячейке проставьте знаки +, – или? в зависимости от того, характеризует ли указанное в заголовке столбца данную систему). Столбцы таблицы: система | имеет решения | ответ: ? | не определено какое-то выражение | противоречива | несовместна | совместна.

2. Случай, когда одно из уравнений содержит лишь одну неизвестную .

№ 9. Ответ : и .

Очевидных противоречий в данной системе нет (в отличие от предыдущих). Можно заметить, что в первом уравнении системы присутствует только одна переменная (d ), поэтому первое уравнение мы можем сразу решить. Его корни: -1 и 2. Подставляем эти значения по очереди во второе уравнение и находим другую неизвестную – z . Здесь вспоминаем, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными являются пары чисел.

При решении данной системы у школьников возникает разумный вопрос: “В каком порядке записывать в ответе числа, ведь здесь не x и y ?”. Ответ: в алфавитном (как и в случае с x и y ).

3. Случай, когда в явном виде имеется общее выражение в нескольких уравнениях, т.е. обобщенная подстановка, приводящая к ответу, уже подготовлена .

Вспоминаем стандартный метод подстановки , известный школьникам с 7-го класса. Отмечаем, что он работает в любых системах уравнений, не только в системах линейных уравнений.

Рассматриваем идею о том, что подставлять в другое уравнение можно не только переменную, но и некое выражение . Для этого должны иметься одинаковые выражения в нескольких уравнениях системы. В данном случае это так. Здесь же может возникнуть разумный вопрос: “Что делать, если одинаковых выражений в уравнениях нет?”

Таким образом, переходим к обобщенному методу подстановки и затрагиваем идею о выражении как обобщенной переменной (отсюда берет начало метод замены неизвестной , используемый при решении уравнений и систем.). В данной системе можно заменить на новую переменную z . Тогда система примет вид элементарной системы линейных уравнений. Анализ учебных пособий и методов решения систем уравнений показал, что очень широкий класс систем, предлагаемых в школьном курсе математики, решается с помощью обобщенного метода подстановки, который можно назвать центральным, главным методом. Попробуем этим методом решать все предлагаемые далее системы.

Тут два варианта проведения обобщенной подстановки: b 2 и b 2 + u 2 . Второй в данном случае удобнее, хотя чтобы его применить, исходную систему надо “подготовить”: разложить левую часть второго уравнения на множители. Первый требует больше алгебраических преобразований, следовательно, вероятность ошибок при решении возрастает. Таким образом, иногда подстановку придется подготовить (прежде чем выполнять).

Здесь начнем выявлять и фиксировать приемы , позволяющие выделять общие выражения в двух уравнениях. В данном примере – прием разложения на множители. Какие еще могут быть приемы? Их может быть очень много. Эту область можно назвать “творческой”, т.к. здесь нужно “изобрести” способ сделать так, чтобы появились одинаковые выражения, причем удобные для дальнейшего решения системы. “Творческая” область весьма обширна.

Здесь тоже два варианта выполнения подстановки. В указанном выше варианте используется другой прием – домножение обеих частей одного из уравнений системы на неизвестную. Тонкий момент: домножать на ноль нельзя . Но именно такова здесь ОДЗ!

4. Случай, когда в уравнениях нет подходящих общих выражений для подстановки, но они легко могут быть выделены .

На примере этой системы можно “изобрести” новый для 8-классников метод – метод почленного деления . Эта система решается методом деления и решается методом обобщенной подстановки, который в данном случае фактически дублирует в неявном виде метод деления.

Здесь сталкиваемся с тем, что решений у системы не конечное, а бесконечное количество. Как записать ответ в этом случае? У школьников часто возникают сложности в таких случаях.r 2) или с дробными (если подставлять j 2). Удобнее и надежнее работать с целыми числами, поэтому лучше выбрать первый вариант, хотя к ответу приведут оба. Можно здесь сделать замену , но необходимости нет.

Можно ли к данной системе применить метод сложения? Сразу к исходной системе бессмысленно, т.к. обе неизвестные останутся. Но если домножить уравнения на подходящие числа, то сложение полученных уравнений может избавить от одной из неизвестных, что поможет решить систему. Получаем обобщенный метод сложения или метод уравнивания коэффициентов (в литературе называется по-разному).

7. Случай, когда удобна замена неизвестной

Нетрудно заметить одинаковые выражения в уравнениях, их замена на новые неизвестные позволит упростить систему. Приходим к методу замены неизвестной .

8. Система трех уравнений с тремя неизвестными.

№ 21. Ответ : и .

Обобщенный метод подстановки здесь по-прежнему работает, однако подстановку нужно будет выполнить несколько раз. А что если попробовать сложить все уравнения? Получится a = 1. Т.е. в данном случае метод сложения весьма удачен.

Из очередной части урока делаем вывод :

Обобщенный метод подстановки позволяет решить широкий спектр систем уравнений. Для решения этим методом нужно выделить подходящие общие выражения в нескольких уравнениях, выразить из какого-то уравнения одно из выражений через остальные переменные и подставить в другие равенства системы для того, чтобы свести систему к уравнению с одной неизвестной. При этом стандартный метод подстановки является частным случаем обобщенного, а методы сложения (вычитания), уравнивания коэффициентов, почленного деления, замены неизвестной являются “помощниками” обобщенного метода подстановки, позволяющими несколько упростить выкладки.

На следующих уроках – проверка этого задания, обсуждение предлагаемых схем и создание одной общей для класса схемы , отражающей всю полноту ориентировочной основы деятельности по анализу и решению данной системы уравнений. Дальнейшая работа будет направлена на организацию усвоения выявленной и зафиксированной совместно со школьниками схемы решения систем уравнений.

Более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.

Метод подстановки

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 - Зу. Если то
5) Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.

Ответ: (2; 1);

Метод алгебраического сложения

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений

Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:

Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим

Осталось подставить найденные значения х в формулу

Если х = 2, то

Таким образом, мы нашли два решения системы:

Метод введения новых переменных

С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Пример 3. Решить систему уравнений

Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:

Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:

х = 2 у; у - 2х.

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х 2 - у 2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений :

Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:

Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим

Так как х = 2у, то находим соответственно х 1 = 2, х 2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:

Снова воспользуемся методом подстановки : подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим

Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

Ответ: (2; 1); (-2;-1).

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.

Пример 4. Решить систему уравнений

Введем две новые переменные:

Учтем, что тогда

Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:

Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:

Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений

Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:

Так как то из уравнения 2x + y = 3 находим:
Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:

Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных . Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.

Определение.

Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

Графический метод решения систем уравнений

Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения.

Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков. Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки (x; y).

Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще.

А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее. И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.

Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:

Во-первых, вначале мы с вами строим график 1-го уравнения;
Вторым этапом будет построение графика, который относится ко второму уравнению;
В-третьих, нам необходимо найти точки пересечения графиков.
И в итоге мы получаем координаты каждой точки пересечения, которые и будут решением системы уравнений.

Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере. Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:

Решение уравнений

1. Вначале мы с вами будем строить график данного уравнения: x2+y2=9.

Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем.

2. Следующим нашим шагом будет построение графика такого уравнения, как: y = x – 3.

В этом случае, мы должны построить прямую и найти точки (0;−3) и (3;0).

3. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B.

Теперь мы с вами ищем координаты этих точек. Мы видим, что координаты (3;0) соответствуют точке А, а координаты (0;−3) соответственно точке В.

И что мы получаем в итоге?

Получившиеся при пересечении прямой с окружностью числа (3;0) и (0;−3), как раз и являются решениями обоих уравнений системы. А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений.

То есть, ответом этого решения являются числа: (3;0) и (0;−3).

Содержание темы «Уравнения. Решение уравнений. Решение текстовых (прикладных) задач с помощью уравнений». Обеспечение вариативности обучения на примере изучения этой темы

Ответ. Уравнение - это равенство с переменой. Если соединить f(х) и g(х) два выражения с переменной х- и областью определению х, тогда высказывательная форма вида f(х) и g(х) называются уравнением с одной переменной. Значение переменой х из множества х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение это значит найти множество его корней. Например: Ур-е 4x=5x+2,на множество R действий. Чисел,2-2 - это единственный корень.

Решение уравнений методом подбора - это средство понимания учащимся смысла понятий уравнения, а так же решение уравнений. Два уравнения f1(х)=g1(х) и f2(х)=g2(х) называется равносильными, если множества их корней совпадают. Например: Уравнение равносильны. Так как оба имеют своими корнями 3 и -3. Замена уравнения равносильным ему уравнениям называется равносильным преобразованием. Так если уравнение заданно на множестве и - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения равносильны. Из этой теоремы вытекают следствия, которые используется при решении управлений. 1) Если к обеим частям управления прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. 2) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменять знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Если оби части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отмеченное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Решим уравнение: 1)Приведем выражение, состоящее в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю

2. Отбросим общий знаменатель 6-2х=х: Умножили на 6 обе части уравнения, получили уравнения, равносильное данному. 3) Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6=х=2х. 4) Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6=3х.5) Разделим обе части уравнения на 3:х=2. Т.к. все преобразования, которые мы выполнили, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что2-корень этого уравнения. В НКМ теорет. Основой решения уравнений являются взаимосвязь между компонентами и рез-ми действий. Например: реш. Ур. (хЧ9):24=3 обосновывается следующим образом. Т.к. неизвестное находится в делимом, то что бы найти делимое, надо делитель умножить на частное: хЧ9=24Ч3, или хЧ9=72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Х=72:9,или х=8, корень ур-я 8.

Использование уравнений - это инструмент решения задач, при знакомстве учащихся решению задач способом составления уравнений, можно использовать задачи, которые учащихся решали ариф-им способом. Для этой цели предлагается задания, по данному рисунку придумай задачу, которую можно записать уравнением 40Чх=28Ч20 хсм 20см 40см 28см

Формирование понятия переменной проходит в 3-этапах: 1 этап: решение заданий с окошками. Например: 3+ +5, + =6. Восстановить в записи пропущенное число. Вначале используются наглядные пособия. Так же используются арифметические задачи с пропущенными данными. 2 этап. Решить простую задачу с буквенными данными. Полученное буквенное выражение выступает как обобщенная запись, решением всех задач определенного типа. На основе рассмотрения большого числа однородных выражений, учащихся устанавливают общие Свойства этих выражений - это обобщение происходит с помощью буквенной записи, т. е. учащихся приходят к пониманию, что Свойства записаны с помощью букв, справедливо для любых значений переменной. Например: 15*20,2*15; 40*10, 11*40 и т. д. Так же дается задание заменить буквы числами, чтобы равенство было верно. Например: 23*а=а*23 (одни и те же буквы принимают одинаковые значение. Изучение уравнений проходит в 4 этапе: 1. Упражнение с окошками, ис-ся методом с подвохом. На этом этапе раскрывается связь м/у компонентами и рез-ом сложении. Формируется правило на нахождение неизвестного слагаемого. Метод подбора формирует о том, что значит решить уравнение. 2. Для обозначения использовать буквы. Вводится термин - уравнение. Ученики учатся узнавать уравнение: Например: 5+2=7,6-х=3, 9-х. Накопление опыта решения подбором, позволяет усовершенствовать методику подбора. Например:6-х=4, т. е. х не больше 6, иначе смысла нет в записи. Одновременно учатся читать урав. и записывать их: Например, 8-х=3. 3. Решение простых задач с помощью ур-я. Последовательность выясняется что известно: неизв. обозначается за х, исходя из условия сост-ют уравнение. Ур-е решается, полученное число истолковывается в с соответствии требованиям задачи. Самым трудным моментом являются запись задачи виде ур-я, поэтому широко используется модели: геом-е, граф. И т. д. 4. Составление задач по уравнению.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.