Расчет рекурсивного цифрового фильтра. Методы численного интегрирования. Метод инвариантности импульсной характеристики. Научно-исследовательская работа " метод инвариантов". Метод инвариантной функции

28 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СВЯЗИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ

ХАБАРОВСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОКОММУНИКАЦИИ

(ФИЛИАЛ) ГОУ ВПО СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по математическим основам цифровой обработки

сигналов

Тема: Расчет рекурсивного цифрового фильтра

Специальность 210405

Радиосвязь, радиовещание и телевидение

Вариант № 30

Выполнил

Руководитель проекта

Зав. Отделением

Хабаровск

	Техническое задание	3
	Исходные данные на вариант № 30	4
	Введение	5
1	Графическое представление задачи	6
1.1	Методы проектирования рекурсивных цифровых фильтров	7
1.2	Методы численного интегрирования	8
1.3	Метод инвариантности импульсной характеристики	10
1.4	Метод билинейного преобразования	12
1.5	Обобщенное биноминальное преобразование	13
2.	Расчет передаточной функции аналогового фильра и преобразование ее в передаточную функцию цифрового фильтра	14
3.	Структурная схема цифрового фильтра	22
4.	Методы реализации цифрового фильтра	23
4.1	Аппаратный метод	23
4.2	Программный метод	24
4.3	Аппаратно-программный метод	25
	Заключение	27
	Список используемой литературы	28

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

По исходным данным необходимо выполнить расчет рекурсивного цифрового фильтра.

Считаются заданными следующие параметры:

1 Вид фильтра: ФНЧ, ФВЧ.

2 Тип фильтра: Баттерворта (Б) или Чебышева (Ч).

3 Частота дискретизации fд.

4 Границы полос пропускания (ПП) :

Верхняя граница полосы пропускания fп для ФНЧ;

Нижняя граница полосы пропускания fп для ФВЧ;

5 Границы полос задерживания (ПЗ);

Нижняя граница ПЗ fз для ФНЧ;

Верхняя граница ПЗ fз для ФВЧ.

6 Допустимая неравномерность амплитудно-частотной характеристики в ПП ∆A max, дБ.

7 Минимально допустимое ослабление в ПЗ А min, дБ.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ НА ВАРИАНТ № 30

Вид фильтра ФНЧ

Тип фильтра Баттерворта

Частота дискретизации fд = 16 кГц

Границы полос пропускания fп = 1.7 кГц

Границы полос задерживания fз = 3.8 кГц

Допустимая неравномерность ПП ∆A max = 1.35 дБ

Допустимое ослабление ПЗ А min = 25 дБ.

Преподаватель_____________ Студент___ ____________

“__27__” _______мая_______ 2011 г.

ВВЕДЕНИЕ

Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение - применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть сокращено на несколько порядков по сравнению с НЦФ.

Рекурсивные фильтры имеют определенную "память" по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры). Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом "памяти" исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Проектирование рекурсивных частотных фильтров с заданными частотными характеристиками осуществляется с использованием z-преобразований.

1. Графическое представление задачи

Отобразим графически требования к АЧХ фильтра нижних частот, для этого потребуется вычислить:

Рисунок 1 – АЧХ фильтра Баттерворта и АЧХ фильтра

Баттерворта в Дб.

1.1. Методы проектирования рекурсивных цифровых фильтров

Передаточная функция цифровых БИХ-фильтров задаются соотношением , которая подобна передаточной функции АФ при замене переменной z на s. Следовательно, одним из подходов к проектированию цифровых БИХ-фильтров является преобразование передаточной функции АФ в передаточную функцию ЦФ. Чтобы ЦФ обладали требуемыми свойствами как их АФ, требуется выполнения двух условий:

1. Мнимая ось s-плоскости () отображалась в единичную окружность в z-плоскости (). Это условие необходимо для сохранения частотных характеристик АФ.

2. Левая половина s-плоскости () отображалась в z-плоскости внутри единичного круга (). Это условие необходимо для сохранения свойств устойчивости АФ.

1.2. Метод численного интегрирования

Дифференциальное уравнение, описывающее АФ заменяется на разностное уравнение ЦФ, путем аппроксимации производной некоторыми конечными разностями. Эта операция приводит к замене комплексной переменной s в передаточной функции АФ на комплексную переменную z в передаточной функции ЦФ.

Различные методы численного интегрирования дадут различные функции перехода и, следовательно, различные результирующие ЦФ. Рассмотрим метод Эйлера, аппроксимирующий производную по времени непрерывной функции конечной разностью вида

, где T – интервал дискретизации, а y(n)=y(nT). В операторной форме уравнение дает

.

Покажем, что данный метод удовлетворяет двум выше указанным условиям:

1. или из этого следует что при .

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам называется методом инвариантности импульсной характеристики.

Рис. 12.9. Процедура расчета по методу инвариантности импульсной характеристики. (см. скан)

Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

где Т - интервал дискретизации. Процедура проектирования по этому методу показана на рис. 12.9.

Для иллюстрации метода инвариантности импульсной характеристики

разложим передаточную функцию исходного аналогового фильтра на простые дроби

где полагаем, что а все полюсы различны. Кроме того, для каждого представляет собой полюс аналогового фильтра, а - вычет функции в полюсе Импульсную характеристику аналогового фильтра можно получить, осуществив обратное преобразование Лапласа уравнения (12.29), которое дает

где представляет собой единичную ступенчатую последовательность. Подставив выражение (12.30) в формулу (12.28), получаем импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра

где единичная ступенчатая последовательность. Передаточная функция результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения -преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (12.31), следующим образом:

Сравнивая выражения (12.29) и (12.32), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам для метода инвариантности импульсной характеристики, которое имеет вид

Полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра

Пример 12.2. Исходный аналоговый фильтр обладает следующей передаточной функцией:

Решение. Запишем функцию в виде простых дробей

Из уравнений (12.33) следует, что имеет вид

где Т - интервал дискретизации. Упрощая выражение (12.36 а), получаем

Пример 12.3. Нормированный фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ имеет передаточную функцию вида

Найти - передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

Решение. Записывая функцию в виде сомножителей, получаем

Применение уравнений (12.33) к полученному соотношению дает

Для с из уравнения (12.39) следует, что

Рис. 12.10. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Чебышева второго порядка с неравномерностью 3 дБ. аналоговый фильтр, - цифровой фильтр, цифровой фильтр

Амплитудно-частотные характеристики функций, заданных выражениями (12 40) и (12.41), приведены на рис. 12 10

Напомним, что периодическая функция переменной 0 с периодом - непериодическая Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в тех участках, где характеристическая кривая достигает точек или - интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к . В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Подходящий случай показан на рис. 12.10. Следует отметить, что частоты среза цифровых фильтров расположены в точках

где использована информация о частоте среза аналогового фильтра Эти частоты среза повторяются согласно следующему соотношению:

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, является фактически дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра частотная характеристика цифрового фильтра представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра, как установлено в соотношении (11.115), и для удобства приводится здесь еще раз:

Если скорость дискретизации достаточно высока, то эффект наложения минимален. На рис. 12.10 для с показано, что эффект наложения, который проявляется в виде отклонения частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров, при трудно различим. Однако при недостаточно высокой скорости дискретизации, например для случая (рис. 12.10), начинает оказывать влияние эффект наложения, так как видно, что заметно отличается от Подставляя в уравнения (12.43), получаем

Следует отметить, что уравнения (12.44) устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Для исследования характеристик при методе инвариантности импульсной характеристики на соответствие двум необходимым

условиям процедуры перехода (12.10) рассмотрим соотношение

и, следовательно,

Из рис. 12.11 следует, что горизонтальная полоса с шириной в s-плоскости отображается во всю -плоскость, т. е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части -плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось - в единичную окружность. Из рис. 12.11 можно установить, что источник эффекта наложения вызывается тем, что переход (12.45) не однозначен. Например, точки отображаются в одну точку Фактически соотношения (12.45) устанавливают, что аналоговая передаточная функция в каждой полосе шириной накладывается на всю -плоскость для формирования цифровой передаточной функции. Таким образом, метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным или подобным отображением из s-плоскости в -плоскость. Из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию

т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.

Как было показано, процедура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики задается уравнениями (12.33), которые устанавливают, что расположение полюсов аналогового фильтра отображается в следующее размещение:

Таким образом, соотношения (12.45) устанавливают связь между размещениями полюсов аналогового и цифрового фильтров. Однако абсолютно неверно утверждение, что соотношения

(кликните для просмотра скана)

Рис. 12.12. Диаграммы полюсов и нулей фильтра Лернера второго порядка: а - вариант аналогового фильтра, б - вариант цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики.

(12.45) определяют связь между расположениями нулей цифрового и аналогового фильтров при инвариантности импульсных характеристик. Подходящим примером является следящий.

Пример 12.4. Задана передаточная функция аналогового фильтра

где Найти расположение нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного на основе инвариантности импульсной характеристики. Решение. Разложение функции на простые дроби дает

Передаточная функция соответствующего цифрового фильтра задается согласно (12.33) в виде

Из уравнения (12.50) местоположение конечного нуля цифрового фильтра определяется как

где - расположение нуля аналогового фильтра. Однако полюсы цифрового фильтра расположены следующим образом:

где расположение полюсов аналогового фильтра. Диаграмма размещения полюсов и нулей аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров приведена на рис. 12.12.

Как было установлено, уравнения (12.33) применимы как к вещественным, так и к комплексным полюсам Однако для комплексного полюса более удобно рассматривать вместе пару полюсов где черта над переменной используется Для обозначения комплексно-сопряженной величины. Применяя соответственно уравнения (12.33), получим пары преобразований для следующих двух случаев второго порядка:

1. Если передаточная функция аналогового фильтра задана в виде

где полюсы расположены в точках

то передаточная функция соответствующего цифрового фильтра имеет вид

2. Если функция задана в виде

то из процедуры перехода (12.33) следует, что

Пример 12.5. Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот третьего порядка характеризуется следующей передаточной функцией:

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра Баттерворта третьего порядка с помощью метода инвариантности импульсной характеристики,

Решение. Функцию можно записать в виде

Из уравнений (12.33), (12.53)-(12.56) требуемый цифровой фильтр имеет следующую передаточную функцию:

Пример 12.6. Предположим, что цифр свой фильтр нижних частот должен удовлетворять следующим условиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет рад.

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ для рад.

в) Затухание в полосе задерживания больше 30 дБ для рад.

г) Амплитудно-частотная характеристика имеет монотонно спадающий вид для

д) Интервал дискретизации

Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.

Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии в аналоговые. Это можно осуществить, учитывая, что, если Т удовлетворяет критерию Найквиста, уравнения (12 43) приближенно приводятся к виду

и, следовательно,

Согласно соотношению (12.606), искомый аналоговый фильтр должен удовлетворять следующим требованиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет

Метод инварианта цикла является частным случаем метода итераций.

Задается некоторое множество величин М, Р М – подмножество результатов. Надо найти точку х  Р. Для этого выделим множества I M и Q M причем такие, что   I  Q  P. Таким образом, наша задача сводится к нахождению точки, которая будет принадлежать пересечению этих множеств. Причем использовать будем только такие преобразования, которые не выходят из I, то есть в нашем случае принадлежность точки множеству I является инвариантом (величиной неизменной).

Пусть x0  I – начальная точка.

Т:I\QI – преобразование инвариантно относительно принадлежности точки множеству I.

Иллюстрация к вышесказанному:

Под действием преобразования Т точка х0 переходит в некоторую точку х1, принадлежащую множеству I. Точка х1, в свою очередь, переходит в точку х2, также принадлежащую I. Этот процесс продолжается пока некоторая точка хN не перейдет в точку принадлежащую некоторому множеству Q, которое выбрано так чтобы его пересечение с I содержалось в P. Полученная точка с одной стороны принадлежит Q, а с другой принадлежит I, в силу инвариантности преобразования Т относительно I.

Схема программы:

while not q(x) do

{x  IQ  P}

Напишем программу иллюстрирующую вышеописанный метод, которая будет обеспечивать возведенее числа в целую положительную степень.

Type _Real = single;

function power (x: _Real; n: _Unsign ): Real;

{х - основание, n – показатель. Подпрограмма обеспечивает возведение в степень }

while n > 0 do {z*x n - инвариант}

if odd(n) then {проверка нечетности}

dec(n); {n:=n-1}

n:= n chr 1; {n:= n div 2}

Докажем, что данная программа завершится за конечное число шагов. Подпрограмма завершает свою работу когда z = x n , т.е. пердназначена для возведения х в n – ую степень. Число повторений равно количество “0” + 2*количество “1” –1 в двоичной записи числа n <= 2*количество значащих цифр – 1 в двоичной записи = 2*]log 2 n[ - 1. При этом данная программа будет очень эффективна.

Метод инвариантной функции.

Метод инвариантной функции является частным случаем метода инварианта цикла.

В данном случае х = х0 и необходимо вычислить f(x0). При этом

I = {множество x | f(x) = f(x0)}

P = {множество x | f(x) вычисляется легко}.

Построим преобразование Т – инвариантное относительно I, а в качестве условия окончания примем само значение P (Q = P).

Схема программы:

x:= x0; {x  I}

while not p(x) do

begin {x  I\P}

x:= T(x); {x  I}

end; {x  P  I}

Для доказательства правильности достаточно доказать, что цикл выполнится за конечное число шагов.

Напишем программу иллюстрирующую данный метод.

Пусть x = (a, b), а f(x) = Н.О.Д.(a, b). Необходимо вычислить Н.О.Д.(a, b).

В данной программе будет использоваться тот факт, что делитель двух чисел

будет являться делителем их разности.

a:= a0; b:= b0; {>=0}

while (a>0) and (b>0) do

if a>b then a:= a - b

else b:= b – a;

result:= a+b; { условием выхода из цикла является равенство 0 либо a, либо b, поэтому сумма этих чисел будет нам давать то из чисел которое не равно 0 }

Лабораторная работа 6

РАЗРАБОТКА ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Цель работы: получить навыки разработки БИХ–фильтров.

Задачи работы:

1. Познакомиться с основными методами разработки БИХ-фильтров

2. Изучить команды MATLAB, позволяющие выполнить синтез БИХ-фильтров

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.. 2

1.1. Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра. 2

1.1.1. Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов. 2

1.1.2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики. 4

1.1.3. Билинейное z -преобразование. 8

1.1.4. Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров. 12

1.2. Эффект Найквиста. 12

1.3. Разработка БИХ–фильтров с помощью MATLAB.. 16

2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ.. 18

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.. 20

4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 24

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра

На этом этапе вначале выбирается метод аппроксимации, который затем используется для расчета значений коэффициентов a k и b k , при которых спецификации частотной характеристики, полученные на первом этапе разработки, будут удовлетворены. (Про этапы разработки и задание спецификаций фильтра подробнее в 4-й лабораторной работе).

Для простого получения коэффициентов БИХ–фильтра можно разумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости, чтобы получающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристику. Данный подход, известный как метод размещения нулей и полюсов, полезен только при разработке простых фильтров, например, узкополосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие как неравномерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно. Более эффективный подход – вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий желаемой спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой. Большинство цифровых БИХ–фильтров разрабатываются именно так. Данный подход получил широкое распространение потому, что на настоящий момент в литературе имеется масса информации по аналоговым фильтрам, которую можно использовать при разработке цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, согласованное z –преобразование и билинейное z –преобразование.

В следующих разделах рассмотрены такие методы расчета коэффициентов БИХ–фильтров:

метод размещения нулей и полюсов;

метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

билинейное z –преобразование.

Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов

Если в некоторую точку комплексной плоскости поместить нуль, частотная характеристика в этой точке будет равной нулю. Полюс, с другой стороны, порождает максимум (рис. 1). Полюса, расположенные близко к единичной окружности, дают большие пики, тогда как нули, расположенные близко к единичной окружности или лежащие на ней, дают минимумы характеристики. Следовательно, стратегическое размещение полюсов и нулей на комплексной плоскости позволяет получить простой фильтр нижних частот или другой частотно-избирательный фильтр.

При разработке фильтра стоит помнить один важный момент: чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно сопряженные пары. Проиллюстрируем описанный метод на примерах.

Рис. 1. Диаграмма нулей и полюсов простого фильтра (панель а); схематическое изображение частотной характеристики этого фильтра (панель б)

Пример 1. Иллюстрация расчета коэффициентов фильтра с помощью простого метода нулей и полюсов. Требуется цифровой полосовой фильтр, удовлетворяющий следующим спецификациям:

полная режекция сигнала на 0 и 250 Гц;

узкая полоса пропускания, центрированная на 125 Гц;

ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ равна 10 Гц.

Считая частоту дискретизации равной 500 Гц, определите передаточную функцию фильтра, подходящим образом расположив на комплексной плоскости полюса и нули, и запишите разностное уравнение.

Решение

Вначале нужно определить, где на комплексной плоскости поместить полюса и нули. Поскольку полная режекция требуется на 0 и 250 Гц, в соответствующих точках комплексной плоскости следует поместить нули. Эти точки лежат на единичной окружности в местах, соответствующих углам 0° и 360° х 250/500 = 180°. Чтобы полоса пропускания была центрирована на 125 Гц, требуется поместить полюс в точках ±360° х 125/500 = ±90°. Чтобы коэффициенты были действительными, нужна пара комплексно-сопряженных полюсов.

Радиус r полюсов определяется желаемой шириной полосы. Для определения приблизительной ширины полосы (шп) при r > 0,9 используется следующее соотношение:

Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов (панель а).

В данной задаче шп = 10 Гц и Fs = 500 Гц, откуда r = 1 - (10/500)π = 0,937. Получающаяся диаграмма нулей и полюсов изображена на рис. 2. С помощью этой диаграммы записываем передаточную функцию:

Разностное уравнение:

y (n ) = -0,877969у (n - 2) + x (n ) - x (n - 2).

Сравнивая передаточную функцию H (z ) с общим уравнением БИХ–фильтров, находим, что фильтр представляет собой блок второго порядка со следующими коэф­фициентами:

b 0 =1 a 1 =0

b 1 =0 a 2 =0.877969

Инвариантное преобразование импульсной характеристики

Второй способ построения цифровых фильтров заключается в таком преобразование параметров исходного аналогового фильтра в параметры дискретного фильтра, при котором импульсные характеристики фильтров (аналогового и дискретного) совпадали бы в дискретные моменты времени при .

Математически условие совпадения импульсных характеристик фильтров (аналоговых и дискретных) записывается как

, (1)

где, , – импульсные характеристики аналоговых и дискретных фильтров, соответственно.

Определим передаточную функцию аналогового фильтра, а затем представим ее в виде простых дробей

, (2)

где, – различные полюса (корни) передаточной функции аналогового фильтра; – коэффициенты, определенные любым из известных методов; – степень характеристического уравнения знаменателя.

Аналогично уравнению (2) могут быть получены соотношения, определяющие Z –передаточную функцию дискретного фильтра, которые затем так же можно представить в виде суммы дробей

. (3)

Сравнивая выражения (2) и (3), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам по методу инвариантного преобразования импульсной переходной характеристики

, (4)

.

Пример 2. Пусть задана передаточная функция аналогового фильтра

.

Найти методом инвариантного преобразования импульсной переходной функции цифровой фильтр. Представим передаточную функцию в виде простых дробей

. (5)

Определим и методом Хевисайда

,

.

Используя соотношение (4) запишем Z –передаточную функцию цифрового фильтра

Упрощая выражение (6), получим

. (7)

При , получим

. (8)

Все трудоемкие вычисления, связанные с переходом от непрерывных передаточных функций к дискретным, можно исключить с помощью команды MATLABimpinvar

Impinvar(b,a,Fs),

где, , – заданные векторы коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции аналогового прототипа, – частота дискретизации сигнала в герцах, а , – вычисленные коэффициенты числителя и знаменателя дискретной передаточной функции дискретного фильтра.

Процедура определения параметров дискретного фильтра по его аналоговому прототипу, базируется на совпадении импульсных характеристик обоих фильтров в точках квантования сигналов, представлена программой MATLAB.

h=tf(,) %Передаточная функция непрерывного фильтра.

Tp=0.1; %Интервал дискретности.

hd=c2d(h,Tp) %Передаточная функция дискретного фильтра.

Tfdata(h,"v") %Определение коэффициентов передаточной

%функции непрерывного фильтра.

Impinvar(n,d,10) %Определение коэффициентов передаточной

%функции дискретного фильтра.

f=filt(nd,dd,0.1) %Передаточная

%функция дискретного фильтра.

bode(h,hd,f),grid on %Логарифмические характеристики

%проектируемых фильтров.

Следует отметить, что усиление цифрового фильтра на нулевой частоте равно , а усиление аналогового фильтра на составляет 1. Поэтому, если сравнить выражение (8) с аналогичным выражением, полученным в пакете MATLAB, то наблюдается расхождение, определяемой множителем . Поэтому, чтобы привести в соответствие результаты расчетов, полученные аналитическим путем (выражения 5–8), с результатами расчетов, полученными в пакете MATLAB, следует пронормировать выражение (8), умножив его на интервал дискретности.

Результаты выполнения этой программы показывают, что передаточные функции, полученные путем трудоемких расчетов (выражения 5–8) и с помощью процедуры impinvar, совпадают. Логарифмические характеристики, полученные применением разных процедур, отличаются: меньшую ошибку дает процедура impinvar.

Рис.3. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедурыimpinvar); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d)).

1.1.3. Билинейное z -преобразование

Известно, что метод преобразования импульсной переходной функции базируется на связи точек плоскости S с точками плоскости Z , определяемой отношением

где, – угол между действительной осью плоскости Z и векторами, определяющими точки на окружности единичного радиуса плоскости Z .

Из (9) следует, что связь между точками плоскости S и Z неоднозначна, что вносит наложение и может исказить результаты, т.е. синтезированный таким образом цифровой фильтр не будет адекватен его аналоговому прототипу. Действительно, частот ; и на плоскости Z отображаться в одну точку z =1.

Для исключения нежелательного эффекта наложение введено билинейное преобразование, которое однозначно преобразует точки мнимой оси плоскости S на точки мнимой оси плоскости Z . Таким образом, переход от мнимой оси плоскости S на плоскость Z осуществляется двумя преобразованиями: выражениями (9) и (10). Выражение (9) преобразует мнимую ось плоскости S в окружность единичного радиуса плоскости Z , а выражение (10) преобразует мнимую ось плоскости S в мнимую ось плоскости Z . Последнее преобразование (выражение (10) известно как W преобразование и плоскость Z при таком преобразовании обозначается как плоскость W .

(10)

Решая уравнение (10) относительно z получим выражение, определяющее переходу из плоскости W в плоскость S

Используя соотношения (9-11) обоснуем методику расчета цифровых фильтров, которая не отличается от рассмотренной ранее и состоит из следующих шагов.

1. Исходя из технических требований, определяем передаточную функцию требуемого аналогового фильтра .

2. Применяем к билинейное преобразование и получаем Z‑передаточную функцию цифрового фильтра

. (12)

При преобразовании (12) будут сохраняться частотные характеристики и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров одинаковы, одинакова только их форма. Например, если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра спадает монотонно при изменении частоты от 0 до бесконечности, амлитудно–частотная характеристика цифрового фильтра будет монотонно спадать при изменении цифровой частоты от 0 до ; если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра имеет подъемов и спадов в частотном диапазоне от 0 до бесконечности, то и амплитудно–частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет иметь подъемов и спадов в диапазоне цифровой частоты от 0 до . Причем, связь между и нелинейная

(15)

Процедуру определения параметров цифрового фильтра на основе метода билинейного преобразования можно ускорить, воспользовавшись процедурами bilinear или c2dпакета MATLAB.

К процедуре bilinearможно обратиться тремя путями

Bilinear(b,a,Fs,Fp) (16)

Bilinear(z,p,kFs,Fp) (17)

Bilinear(А,В,С,D,Fs,Fp) (18)

Исходные данные для выполнения процедуры bilinear параметра аналогового фильтра, заданные в форме LTI. Параметр Fs задает частоту дискретизации в герцах. Параметр Fp не обязателен. Он определяет частоту в герцах, для которой значение АЧХ до и после выполнения преобразования должна совпадать.

Выражение (16)-(18) отличается исходными данными. В (16) определяться коэффициенты числителя bd и знаменателя adдискретного фильтра по коэффициентам числителя b и знаменателя a, аналогового прототипа. В выражении (17) исходными данными аналогового прототипа являются нули z, полюса ри коэффициент усиления k. Обращение к выражению (17) позволяет вичислить нули zd,полюса pdи коэффициент усиления kd дискретного фильтра. И, наконец, выражение (18) определяет дискретную матрицу пространства состояния фильтра по известным непрерывным матрицам пространства состояния это фильтра.

Процедура c2d определяет параметры дискретного фильтра по непрерывной передаточной функции h и интервалу дискретности T П

hd=c2d(h,Tp,‘метод’) (19)

MATLAB предлагает несколько методов аппроксимации: нулевого порядка, первого порядка, метод билинейной аппроксимации Тастина, билинейной аппроксимации Тастина с коррекцией и метод соответствия нулей и полюсов. При выборе метода аппроксимации выражение (19) конкретизируется (применена билинейная аппроксимации Тастина)

hd=c2d(h,Tp,‘TUSTIN’). (20)

Рис.4. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедуры билинейного преобразования); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d))

Все выше приведенные теоретические положения по расчету цифровых фильтров с помощью билинейного преобразования проиллюстрированы программой:

h=tf(,) %Исходные данные

syms z s %Ввод символьных переменных

k=2; %Ввод символьных переменных.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) %Переход на плоскость W.

hs=k/(s^2+3*s+3) %Применение преобразования к

%аналоговому фильтру.

hs1=simplify(hs) %Алгебраические преобразования

hs2=filt(,,Tp)*(2/463)%Уравнение

%цифрового фильтра при билинейном преобразовании.

Tfdata(h,"v") %Определение коэффициентов

%передаточной функции непрерывного фильтра.

Bilinear(n,d,10) %Уравнение цифрового фильтра при

%билинейном преобразовании.

hdt=c2d(h,Tp,"TUSTIN") %Уравнение цифрового фильтра при

%преобразовании Тастина.

hdv=filt(nd,dd,Tp) %Приведения уравнения к форме фильтра.

bode(h,hdt,hdv,hs2),grid on %Логарифмические

%характеристики аналоговых и цифровых фильтров.

Результаты расчетов этой программы приведены на рис.4, из которого следует, что графики частотных характеристик, полученные путем трудоемких расчетов (выражение (15)) и с помощью процедур bilinearи c2d, совпадают.

При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам - хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.

В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f 2 . Если частота f 2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

{h k }=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового - периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):

Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ . При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ

откуда частотный коэффициент передачи

Пример

Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

()

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию

()

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).

Рис. . Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а - аналогового; 6 - цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а , относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

-π/Δ<ω ц < π/Δ

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (p) - передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р . Если воспользоваться связью между переменными z и р:

z = exp(pΔ) ,

то можно записать

p = (1/ Δ) ln z (чч)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной

z = exp(j ω ц Δ), .

откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:

(15.98)

Если частота дискретизации достаточно велика (ω ц Δ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω сц = 1500 с -1 . Частота дискретизации ω д = 10000 с -1 .

Прежде всего определяем шаг дискретизации

Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юо а, связанную с со 0 д следующим образом:

По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Передаточная функция аналогового ФНЧ

К а (р)

Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)

Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f 2 =1/T 2 к частоте среза фильтра f c . В данном случае f 2 /fс=10 . Если, например, выбрать f 2 /f c =20 , то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f n дискретного фильтра можно найти из равенства (330)

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.