Приведение матрицы к каноническому виду. Многочленные матрицы

Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду , определенному формулой

где форма f ранга от n неизвестных; числа, , считаются положительными, но часть слагаемых формулы (VII.5) могут быть отрицательными.

При таком условии заменой , ; и , невырожденное линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду, то есть

Общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.

Существует много линейных преобразований, приводящих квадратичную форму к нормальному виду (VII.6), но с точностью до расположения знаков такое приведение единственное .

Для квадратичных действительных форм выполняется закон инерции . Число положительных и отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Число положительных (отрицательных) квадратов в нормальной форме формы f называется положительным (отрицательным) индексом инерции (в формуле (VII.6) это k ), разница между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой формы f (в формуле (VII.6) она равна r -k ).

Пусть дана квадратная матрица размерности n квадратичной формы f . Миноры, расположенные по главной диагонали этой матрицы, порядков 1, 2, …, n , последний из них совпадает с определителем матрицы , , то есть

называются главными минорами формы f .

Теорема VII.1. Квадратичная форма f от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет состоять из положительных членов, когда все главные миноры положительны.

Пример VII.3. Квадратичная форма

положительно определена, так как все главные миноры матрицы положительны:

, , .

Приводить квадратичную форму к каноническому виду можно, как уже отмечалось, многими способами, но нормальный вид один. Покажем это на примере.

Пример VII.4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение . Зададим линейное преобразование:

1) тогда получим .

Для другого преобразования имеем

2) тогда получим .

Нормальный вид квадратичной формы, которому соответствуют оба канонических вида, .

Упражнение. Проверить справедливость полученных формул непосредственной подстановкой преобразований 1) и 2) в исходную квадратичную форму.

Вполне естественно возникает вопрос: «Как найти матрицу линейного преобразования (оператора)?»

Прежде чем перейти к рассмотрению следующего примера, дадим некоторые пояснения. Не нарушая сущности общего подхода, ограничимся уравнением

где правая часть есть квадратичная форма, заданная в декартовой системе координат . С другой стороны, это выражение определяет линию второго порядка. Ясно что если правая часть последнего равенства представлена суммой квадратов переменных

то имеем канонический вид квадратичной формы.

Оба уравнения будут описывать одну и ту же линию второго порядка, если в форме h сохранен прежний масштаб. Для получения канонического вида H обычно используют характеристическое уравнение. Недостаток такого подхода состоит в том, что неизвестна связь между системами координат и . Образно говоря, мы не знаем расположение линии L в системе координат , если она записана в каноническом виде h . Такой переход можно осуществить поворотом осей системы координат на угол j (рис. VII.1), то есть перейти от координат x , y к x 1 , y 1 по формулам

Для обратного преобразования необходимо заменить угол j
на -j .

Чтобы узнать расположение линии, мы должны найти преобразование координат, приводящее равенство H к виду h . Заметим, что для сохранения масштаба следует перейти к ортонормированной системе координат.

Пример VII.5. Задана квадратичная форма в декартовой системе координат

Требуется привести ее к каноническому виду, то есть записать ее вид в системе и найти линейное преобразование. Получить нормальный вид квадратичной формы.

Решение . Составим симметричную матрицу линейного преобразования (оператора) A

Построим характеристический многочлен и найдем собственные числа и собственные векторы. Затем будем последовательно выполнять задания примера. Имеем

Характеристическое уравнение представляется равенством

Вычислив определитель матрицы, получим многочлен , корни которого , являются собственными числами. Запишем канонический вид формы (VII.7):

Найдем линейное преобразование, то есть установим связь между системами и . Так как корни действительные и различные и нет нулей, то преобразование невырожденное. Найдем собственные векторы в базисе (векторы будем представлять столбцами). Для этого решим систему уравнений

определенную для каждого из собственных чисел.

При , из (VII.8) имеем матричное уравнение

Полагая, с необходимостью, , получим

при , имеем . Первый собственный вектор найден , его длина .

При имеем

или

Прибавляя к первому уравнению второе и, замечая, что если полученное уравнение решать как систему с третьим, то с необходимостью перейдем к первому собственному вектору. Остается составить систему уравнений из суммы двух первых и второго уравнения, тогда получим

Полагая , после упрощений получим систему

Матрицы - удобный инструмент для решения самых различных алгебраических задач. Знание некоторых простых правил для оперирования с ними позволяет приводить матрицы к любым удобным и необходимым в данный момент формам. Часто полезным является использование канонической формы матрицы.

Инструкция

Запомните, что канонический вид матрицы не требует, чтобы на всей главной диагонали стояли единицы. Суть определения заключается в том, что единственные ненулевые элементы матрицы в ее каноническом виде – это единицы. Если они присутствуют, то располагаются на главной диагонали. При этом их количество может варьироваться от нуля до количества строчек в матрице.
Не забывайте, что элементарные преобразования позволяют любую матрицу привести к каноническому виду . Самая большая сложность – интуитивно найти наиболее простую последовательность цепочек действий и не ошибиться в вычислениях.
Выучите основные свойства операций со строчками и столбцами в матрице. К элементарным преобразованиям относят три стандартных преобразования. Это умножение строчки матрицы на любое ненулевое число, суммирование строк (в том числе прибавление к одной другой, умноженной на какое-то число) и их перестановка. Подобные действия позволяют получить матрицу эквивалентную данной. Соответственно, вы можете выполнить такие операции и со столбцами без потери эквивалентности.
Старайтесь не выполнять одновременно сразу несколько элементарных преобразований: продвигайтесь от этапа к этапу, чтобы не допустить случайной ошибки.
Найдите ранг матрицы, чтобы определить количество единиц на главной диагонали: это подскажет вам, какой окончательный вид будет иметь искомая каноническая форма, и избавит от необходимости выполнять преобразования, если требуется просто использовать ее для решения.
Воспользуйтесь методом окаймляющих миноров для того, чтобы выполнить предыдушую рекомендацию. Вычислите минор к-ого порядка, а также все окаймляющие его миноры степени (к+1). Если они равны нулю, то ранг матрицы есть число к. Не забывайте, что минор Мij – это определитель матрицы, получаемой при вычеркивании строки i и столбца j из исходной.

Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду. Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.

Вектор-стобец

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в правом верхнем углу, а заканчивается числом в третьем столбце третьей строки. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!

Говорят, что матрица размерности имеет канонический вид, если её можно разбить на четыре блока (некоторые из них могут оказаться пустыми), каждый из которых представляет собой подматрицуопределённого типа (подматрицей называется матрица, являющаяся частью исходной матрицы). Левый верхний блок – единичная матрица k -го порядка, два нижних блока – матрицы размерностей и , состоящие из нулей (на схеме эти матрицы обозначены большими жирными нулями). Правый верхний блок – произвольная матрица размерности . Число k > 0 и не превосходит чисел m и n .

Если , правые блоки отсутствуют, если , отсутствуют нижние (нулевые) блоки. Если , матрица состоит из одного (единичного) блока.

Приведём конкретные примеры матриц, имеющих канонический вид (точками обозначены те элементы матриц, конкретные значения которых роли не играют):

а) , б) , в) , г) .

В примере а) , (k совпадает с количеством строк), обе нулевые подматрицы отсутствуют; в примере б) (k совпадает с количеством столбцов), , оба правых блока отсутствуют, нулевая подматрица является матрицей-строкой; в примере в) , первая нулевая подматрица является матрицей-строкой, вторая нулевая подматрица состоит из одного элемента; в примере г) , , .

Часто в определении матрицы канонического вида вместо единичной подматрицы фигурирует треугольная подматрица. В этом случае говорят о матрице почти канонического вида. Поскольку единичная матрица – частный случай треугольной, матрицы канонического вида – частный случай матриц почти канонического вида. Если в схематическом изображении матрицы канонического вида единичную матрицу в левом верхнем блоке заменить треугольной, получится схемаматрицыпочти канонического вида.

Приведём примеры матриц, имеющих почти канонический вид:

а) , б) , в) , г) .

Следующие преобразования матриц называются допустимыми : перестановка строк; перестановка столбцов; умножение элементов строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля; прибавление к одной из строк матрицы другой строки, предварительно умноженной на некоторое число (в частности, вычитание одной строки из другой и прибавление одной строки к другой). Как будет показано далее, допустимые преобразования матриц отвечают тем действиям с системами линейных уравнений, которые не нарушают равносильности.

При помощи допустимых преобразований любую матрицу A можно привести к матрице , имеющей канонический вид .

Приведение матрицы к каноническому виду можно разбить на этапы, каждый из которых состоит из двух шагов – получения очередной единицы на главной диагонали и превращения соответствующего столбца в единичный столбец, то есть такой, у которого все элементы, за исключением диагонального, равны нулю.

Первый шаг осуществляется следующим образом. Если рассматриваемый диагональный элемент равен единице, переходим ко второму шагу. Если диагональный элемент не равен единице, но отличен от нуля, поделим на него все элементы его строки. Если диагональный элемент равен нулю, то поищем ненулевой элемент, расположенный либо в его (диагонального элемента) столбце, но ниже, либо в его строке, но правее, либо ниже и правее одновременно. Если такой элемент найдётся, сделаем его диагональным, переставив соответствующие строки (в первом случае), или столбцы (во втором), или строки и столбцы по очереди (в третьем). Если же такого элемента не найдётся, это будет означать, что процесс закончен.

Если первый шаг выполнен, а столбец, в котором стоит новый единичный диагональный элемент, содержит другой ненулевой элемент, прибавим к его строке строку диагонального элемента, умноженную на подлежащий уничтожению элемент, взятый с противоположным знаком.

Рассмотрим пример приведения матрицы к каноническому виду.

~ ~ ~

Первый диагональный Первый диагональный

элемент равен нулю. элемент отличен от нуля.

~ ~ ~ ~

Первый диагональный

элемент стал равным единице

~ ~ ~ ~

Раздел 3. Матрицы

3.1 Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде:

или, сокращенно,
, где
(т.е.
) – номер строки,
(т.е.
) – номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера
и пишут
. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Пример 1. Элемент
расположен в 1-й строке и 2-м столбце, а элементнаходится в 3-й строке и 1-м столбце.

Пример 2. Матрица
имеет размер
, так как она содержит 2 строки и 4 столбца. Матрица
имеет размер
, так как она содержит 3 строки и 2 столбца.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е.
, если
, где
,
.

Матрица, у которой число сток равно числу столбцов, называется квадратной . Квадратную матрицу размера
называют матрицей п-го порядка.

Пример 3. Матрицы ииз примера 2 называются прямоугольными. Матрица
– это квадратная матрица 3-го порядка. Она содержит 3 строки и 3 столбца.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной . Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е .

Пример 4.
– единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной , если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой . Обозначается буквой О .

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике.

,
.

Матрица размера
, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е.
есть 5.

Матрица, полученная из данной, заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначается
. Так, если
, то
если
, то
. Транспонированная матрица обладает следующим свойством:
.

3.2 Операции над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц
и
называется матрица
такая, что
(
,
).

Пример 5. .

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы
на число k называется матрица
такая, чтоb ij = ka ij (i =
, j =).

Пример 6.
,
,
.

Матрица
называетсяпротивоположной матрице А.

Разность матриц
можно определить так:
.

Операции сложения матриц и умножение матрицы на число обладают следующими свойствами:

где А , В , С – матрицы, α и β – числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~В .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической , например
.

Пример 7. Привести к каноническому виду матрицу
.

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем

(поменяли местами I и III столбцы) ~
(I строку сложили со II строкой и результат записали во вторую строку; после этого I строку сложили с III строкой и результат записали в третью строку) ~
(I столбец умножили на (-3), сложили со II столбцом и результат записали во II столбец; затем I столбец умножили на (-2), сложили с III столбцом и результат записали в III столбец; после этого I столбец снова умножили на (-2) и сложили с IV столбцом, а результат записали в IV столбец) ~
(III столбец умножили на (-2), сложили со II столбцом и результат записали во II столбец; III столбец разделили на 2 и результат записали в III столбец; III столбец умножили на (-1), сложили с IV столбцом и результат записали в IV столбец) ~
(II строку умножили на 3, сложили с III строкой и результат записали в III строку) ~
(II столбец умножили на (-1), сложили последовательно с III и IV столбцами и результат записали соответственно в III и IV столбец) ~
. Получили матрицу канонического вида.

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А т×п =(а ij ) на матрицу В п×р =(b jk ) называется матрица С т×р =(с ik ) такая, что

c ik = a i 1 ∙ b 1 k + a i 2 ∙ b 2 k + ∙∙∙+ a in ∙ b nk , где i =
, k =
,

т.е. элемент i -ой строки и k -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А ∙Е = Е ∙А = А , где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Пример 4.

Матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими ), если АВ =ВА .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

А ∙(В ∙С ) = (А ∙В )∙С ;

А ∙(В + С ) = АВ + АС ;

(А + В )∙С = АС + ВС ;

α (АВ ) = (αА )В ,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Для операции транспонирования верны свойства:

(А + В ) Т =А Т + В Т;

(АВ ) Т = В Т ∙А Т.

Если задан многочлен , томатричным многочленом f (A ) называется выражение вида , где
для любого натуральногоп . Значением матричного многочлена f (A ) при заданной матрице А является матрица.

Элемент строки назовем крайним , если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее его, равны нулю. Матрица называется ступенчатой , если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

Пример 5. В матрицах А и В отмечены крайние элементы каждой строки:

–не ступенчатая

–ступенчатая