Примеры на сложение натуральных чисел. Конспект урока "сложение натуральных чисел и его свойства"

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами: "1) (а Î N)а + 1 = а", 2) "(а, b Î N)а + b" =(а +b)". Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа а и b - слагаемыми. Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а иb суммаа +b -единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единст­венна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение: Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно. Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем): сложение натуральных чисел существует; сложение натуральных чисел единственно. Законы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный. Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения). Например: 37 + 42 = 42 + 37 = 79. В общем виде: а + Ь = Ь + а. Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения). Например: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). В общем виде: (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Часто в примерах для вычислений используются сразу оба закона сложения.Например: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.

Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Теорема о его существовании и единственности с доказательством. Таблица умножения.

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (∀a є N)a∙1 = a; 2. (∀ а,b є N) а∙b" = а∙b + а. Число a∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb– множителями. Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1×1=1; 2×1=2; 3×1=3; 4×1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1×2=1×1’=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1’= 2×1+1= 2+1=3; 3×2=3×1’= 3×1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (∀a,b,с є N)(а+b)∙с = а∙с + b∙c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а∙с + b∙c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)∙1 = а∙1 + b∙1 Действительно, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с,т.е.равенство (а+b)∙с = а∙с + b∙c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)∙с" = а∙с" + b∙c" для числа с". Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)∙с" = (а + b)∙c + (а + b)=(а∙с+b∙с)+ (а+b)= (а∙с+а)+(b∙с+b)= а∙с’+b∙c’. Данное равенство (а + b)∙с = а∙с + b∙c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙b+а∙с. Теорема 3. (∀ а,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциативна. Теорема 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон). Таблица умножения - таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а ячейки таблицы содержат их произведение. Таблица применяется для обучения умножению.

На этом уроке вы познакомитесь с сложением натуральных чисел и законами, которым оно подчиняется. Выясните, что, используя эти законы, гораздо удобнее складывать числа. А также решите несколько примеров.

БАН + КА = БАНКА

Но иногда делают и наоборот: КА + БАН = КАБАН

Лена и Ваня наливают воду в ведро. У Лены есть двухлитровая банка с водой, а у Вани - трехлитровая. Есть разница, в какой последовательности они выльют воду? Нет. В любом случае там окажется одинаковое количество воды (5 литров).

В обоих примерах складывали две части. Но в первом случае порядок был важен, и если мы переставляли слагаемые местами, то менялся результат. Во втором случае порядок был не важен, слагаемые можно было менять местами.

Вычислите: .

Вычислите: .

То есть .

Все эти три записи означают одно и то же количество.

Вспоминая примеры со слогами и водой, приходим к предположению, что математическое сложение похоже на второй пример с водой, где менять местами слагаемые было можно.

Чтобы понять, что можно делать при сложении, а чего нельзя, нужно выяснить, что это такое. Что значит сложить 5 и 3? Это значит, что надо сложить 5 единиц и 3 единицы. Можно представить их палочками (см. рис. 1).

Рис. 1. Представление сложения

Слово «сложить» значит сложить в одну кучу. А потом посчитать, сколько там всего. Получится восемь (см. рис. 2).

Количество единиц, палочек в большой куче всегда можно посчитать. То есть любые две группы палочек можно сложить в одну большую. И там будет конкретное количество палочек.

На языке математики это можно сказать следующим образом: два любых натуральных числа и можно сложить. В результате получится новое натуральное число .

Числа и называются слагаемыми. Число называют суммой чисел и . Саму запись тоже называют суммой.

Складывая две группы единиц в одну большую, можно поступить двумя способами:

1) к первой группе добавить вторую,

2) ко второй добавить первую.

Неважно, в какой последовательности это делать. Взять сначала пять единиц и к ним добавить три или наоборот. То есть мы просто внутри большой кучки поменяли местами несколько элементов. Но от этого их количество не изменится. Результат всегда будет одинаков. Единиц, палочек в общей кучке всегда будет одно и то же количество. В данном случае восемь.

На языке математики это можно сказать следующим образом: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Так , потому что и та, и другая сумма равны 8.

С большими числами этот закон тоже работает: . Эти две суммы равны друг другу. Чтобы это понять, не нужно считать. Мы знаем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Пусть теперь у нас три числа (три группы единиц) и их нужно сложить. То есть сложить в одну кучу. Есть два варианта:

1) добавить к первой сначала вторую, потом третью,

2) добавить к первой уже сложенные заранее вторую и третью.

Нет никакой разницы. Мы всегда будем получать одно и то же множество единиц, палочек. Ниоткуда новые не возьмутся, и имеющиеся не потеряются.

Если записать это с помощью чисел:

Если складывать любые три числа , то можно сложить сначала первые два числа, а можно начать с последних двух. Последовательность действий при сложении нескольких слагаемых не важна.

Эти законы очень сильно могут облегчить вычисления.

Мы можем складывать в любой последовательности. Выберем такую последовательность, чтобы было удобно. Смотрим на последние цифры. Если они дают в сумме 10, то лучше попробовать начать с них, их проще сложить. У второго слагаемого в конце 6, а у третьего 4, в сумме они дают 10, поэтому сложим сначала их, а затем прибавим первое слагаемое.

Первое и последнее числа заканчиваются на пять, значит, сумма будет заканчиваться на ноль, это удобно. Но они стоят не подряд. Поменяем местами 39 и 295.

Идея проста: если надо сложить сразу несколько чисел, мы можем переставлять их, как хотим, и выполнять действия в любом порядке.

Первое число удобно сложить с последним, а второе - с третьим.

Пусть у нас несколько ваз, в каждой какое-то количество яблок. Нужно узнать, сколько яблок всего. Не нужно ссыпать все яблоки в одну кучу и пересчитывать их. Просто выпишем на бумагу, сколько в каждой вазе яблок, и сложим эти числа. Например, .

Если какая-то ваза окажется пустой, то мы напишем, что в ней ноль яблок, и общий подсчет будет выглядеть так: .

Пустая ваза не влияет на общее количество яблок. То есть добавления нуля не меняет исходное количество: .

Сложением натуральных чисел называется бинарная операция, удовлетворяющая следующим двум аксиомам:

С1: а + 1 = а /

С2: а + b / = (a + b) /

Пример. Найдём на основании определения сумму 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1 / = (2 + 1) / = (2 /) / = 3 / = 4.

Теорема 1 (о существовании и единственности сложения ). Каждой паре натуральных чисел а и b соответствует однозначно определённая сумма а + b, удовлетворяющая определению сложения (аксиомам С1 и С2).

Доказательство. Единственность. Предположим, что наряду с операцией +, удовлетворяющей условиям С1 и С2, существует также другая операция , удовлетворяющая условиям С1 / и С2 / :

С1 / : а  1 = а /

С2 / : а  b / = (a  b) /

Тогда для любых натуральных чисел справедливо равенство: а + b = a  b.

Доказательство проведём методом математической индукции по переменной b. При b = 1 на основании С1 и С1 / получаем:

a + 1 = a / = a  1

Таким образом, при b = 1 данное свойство справедливо.

Индукционное предположение: a + k = a  k

Докажем данное утверждение при b = k / :

На основании С2 a + k / = (a +k) /

Из индукционного предположения на основании аксиомы А 2 из определения натуральных чисел a + k = a  k => (a + k) / = (a  k) / , откуда по условиям С2 и С2 / имеем:

a + k / = (a +k) / = (a  k) / = a  k / ,

что и требовалось.

Существование. Введённое индуктивное определение позволяет найти сумму для любого второго слагаемого (элемента b). Выясним, можно ли найти сумму для любого первого слагаемого (элемента а). Для этого сами введём операцию, удовлетворяющую условиям (*) и (**)

(**) а / + b = (a +b) / .

Докажем, что введённая нами операция является сложением, то есть удовлетворяет условиям С1 и С2. Доказательство будем проводить индукцией по а.

Начнем с доказательства С1. База индукции: Для а = 1

1 + 1 = 1 / (на основании условия (*)).

Индукционное предположение: k + 1 = k /

Шаг индукции: Для а = k / требуется доказать, что k / + 1 = (k /) / .

На основании условия (**) k / + 1 = (k+1) / = (k /) / (по индукционному предположению). Таким образом, условие С1 выполняется для всех натуральных а.

С2: Для а = 1 по условию (*) 1 + b / = (b /) / = (1 + b) / .

Индукционное предположение (и.п.): k + b / = (k +b) / .

Для а = k / требуется доказать, что k / + b / = (k / + b) / .

Здесь над каждым равенством указано обоснование – свойство, на основании которого данное равенство выполняется. Таким образом, условие С2 также выполняется для всех натуральных а. Теорема полностью доказана.

Теорема 2 . Для любых натуральных чисел а, b, c выполняется ассоциативный закон сложения (а.з.с.): (a + b) + c = a + (b +c)

Доказательство (индукцией по с): При с = 1 имеем:

Индукционное предположение: (a+b)+k = a+(b+k).

Согласно принципу индукции теперь требуется доказать, что

(a+b)+k / = a+(b+k /). Докажем это.

Таким образом, для k / утверждение справедливо, следовательно, согласно теореме индукции, ассоциативный закон справедлив для любых натуральных чисел.

Теорема 3. Для любых натуральных чисел выполняется коммутативный закон сложения (к.з.с.) a + b = b + a

Доказательству теоремы предпошлём лемму.

Лемма 1 . a + 1 = 1 + a (Л1)

Докажем её индукцией по а. База индукции: 1 + 1 = 1 + 1 (справедливо)

Индукционное предположение: k + 1 = 1 + k.

Шаг индукции: Докажем, что k / + 1 = 1 + k / .

Лемма доказана.

Теперь докажем саму теорему индукцией по b. Для b = 1 утверждение теоремы истинно по лемме 1.

Индукционное предположение: a + k = k + a.

Шаг индукции:

Теорема 4. Сумма двух чисел не равна ни одному из слагаемых:

Доказательство индукцией по b: Для b = 1 утверждение теоремы истинно по аксиоме 1 из определения натуральных чисел (a /  1).

Индукционное предположение: a + k  k.

Из индукционного предположения и теоремы 1 пункта 1.2 следует, что (а + k) /  k / . Применяя С2, получаем:

а + k / = (а + k) /  k / .

Теорема 5. а = b => a + c = b + c.

Доказательство (индукцией по с):

а = b => (по А 2) a / = b / => (по С1) а + 1 = b +1.

Индукционное предположение: a = b => a + k = b+k.

Докажем, что a = b влечёт за собой a + k / = b + k / .

Таким образом, для k / утверждение справедливо, следовательно, согласно теореме индукции, теорема справедлива для любых натуральных чисел.

Следствие 1. a + с  b + с = > a  b (доказательство проводится методом от противного и предоставляется читателю).

Теорема 6. a + c = b + c => а = b.

Доказательство (индукцией по с):

а + 1 = b + 1 => a / = b / => а = b (по С1 и А 3).

Индукционное предположение: a + k = b + k => a = b.

Докажем, что a + k / = b + k / влечёт за собой a = b.

Отсюда, утверждение справедливо и для k / , что доказывает нашу теорему.

Следствие 2. a  b = > a + с  b + с (доказательство методом от противного).

Решением уравнения а + х = b (а, b – натуральные числа, х – переменная) называется такое натуральное число с, при подстановке которого вместо х в уравнение, получается верное числовое равенство а + с = b

Теорема 7. Если уравнение а + х = b имеет решение, то это решение единственно.

Доказательство : Предположим, что существуют два решения с 1 и с 2 . Тогда а + с 1 = b и а + с 2 = b, откуда а + с 1 = а + с 2 , а по теореме 6 и коммутативному закону это означает, что с 1 = с 2 (то есть решение единственно).

Задания для самостоятельного решения

№ 1.2. Сложить на основании определения сложения натуральных чисел 5 + 3. Выполнить то же действие в представленных ниже моделях натуральных чисел

а) {3, 4, 5 …}; n / = n +1

б) {n  –2, n  Z }; n / = n +1

в) нечётные натуральные числа, n / = n +2

г) Целые числа,

№ 1.3. Докажите равенства для любого натурального n:

а) 1 + 2 + …+ n =
;

б) 1 2 + 2 2 + … + n 2 =
;

в) 1 3 + 2 3 + … + n 3 =
;

г) 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1) 2 ;

д) 1 2 + 3 2 + … + (2n – 1) 2 =
;

e) 12 + 23 + … + (n – 1)n =
;

ж)
;

з)
.

Давайте разберемся, как ее использовать для сложения десятков с десятками, сотен с сотнями и т.д.

Сложим 8 десятков и 9 десятков. Из таблицы сложения находим, что 8+9=10+7 . Следовательно, если сложить 8 десятков и 9 десятков, то получим сумму 10 десятков и 7 десятков, то есть, сумму 100 и 70 . Таким образом, 80+90=100+70 . Сумма 100+70 представляет собой сумму разрядных слагаемых числа 170 . Все эти рассуждения удобно записывать в виде последовательной цепочки равенств: 80+90=100+70=170 . Подобные записи означают, что значения всех выражений, которые разделены знаками равенства, равны.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера. Выполним сложение 4 000+7 000 . Таблица сложения дает нам равенство 4+7=10+1 . Таким образом, сложить 4 тысячи и 7 тысяч это все равно, что сложить 10 тысяч и 1 тысячу. Следовательно, 4 000+7 000=10 000+1 000 . Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам натурального числа 11 000 . Имеем 4 000+7 000=10 000+1 000=11 000 .

Сложение произвольных натуральных чисел.

Прежде чем перейти к сложению произвольных натуральных чисел, рекомендуем досконально изучить материал статьи сумма разрядных слагаемых , чтобы Вы не задумываясь могли раскладывать любое натуральное число по разрядам, и также не задумываясь по известному разложению сразу могли записать разложенное натуральное число. От этого напрямую будет зависеть, насколько легко Вам будет выполнять сложение произвольных натуральных чисел.

Опишем последовательность действий:

• заменяем слагаемые их разложениями по разрядам;
• переставляем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки - с десятками, сотни - с сотнями и так далее;
• выполняем сложение единиц с единицами, затем - десятков с десятками, затем – сотен с сотнями и т.д.;
• все предыдущие действия нас приводят к сумме, которая представляет собой разложение по разрядам натурального числа;
• наконец, записываем искомое число по его разложению.

Разберем сложение двух натуральных чисел на примерах.

Пример.

Выполните сложение 36+2 .

Решение.

Разложение числа 36 по разрядам имеет вид 30+6 , а числа 2 – вид 2 . Тогда 36+2=30+6+2 .

В этом примере нам не нужно переставлять слагаемые, так как они и так находятся в нужном нам порядке.

Теперь складываем единицы: 6+2=8 . Следовательно, 30+6+2=30+8 .

Пришли к сумме 30+8 , которая равна 38 .

Таким образом, решение можно записать так: 36+2=30+6+2=30+8=38 .

Ответ:

36+2=38 .

Пример.

Сложите числа 57 и 17 .

Решение.

Так как 57=50+7 , а 17=10+7 , то 57+17=50+7+10+7 .

После перестановки слагаемых сумма примет следующий вид: 50+10+7+7 .

Теперь складываем единицы (если не помните наизусть, то обращайтесь к таблице сложения): 7+7=10+4 .

Таким образом, 50+10+7+7=50+10+10+4 .

Переходим к сложению десятков, то есть, к нахождению суммы трех слагаемых 50 , 10 и 10 . Сложим сначала 50 и 10 , после чего к полученному результату прибавим оставшееся число 10 . Поехали: 50+10=60 , так как 5+1=6 , тогда 50+10+10=60+10=70 , так как 6+1=7 .

Имеем, 50+10+10+4=70+4 . Последняя сумма представляет собой разложение по разрядам числа 74 .

Итак, 57+17=50+7+10+7=50+10+7+7= 50+10+10+4=70+4=74 .

Ответ:

57+17=74 .

Пример.

Вычислите сумму чисел 3 007 и 200 .

Решение.

Разложение числа 3 007 по разрядам имеет вид 3 000+7 , а числа 200 – вид 200 . Тогда 3 007+200=3 000+7+200=3 000+200+7 . Мы получили разложение по разрядам числа 3 207 . Таким образом, 3 007+200=3 207 .

Ответ:

3 007+200=3 207 .

Пример.

Сложите числа 28 301 и 73 745 .

Решение.

Разложим данные числа по разрядам: 28 301=20 000+8 000+300+1 и 73 745=70 000+3 000+700+40+5 .

Тогда
28 301+73 745= 20 000+8 000+300+1+70 000+ 3 000+700+40+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5 .
(При переносе равенств на следующую строку знак «=» записывают еще раз).

Складываем единицы: 1+5=6 . После этого имеем 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+1+5= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6 .

Десятки складывать не нужно.

Складываем сотни: 300+700=1 000 , так как 3+7=10 . На этом этапе имеем 20 000+70 000+8 000+ 3 000+300+700+40+6= 20 000+70 000+8 000+ 3 000+1000+40+6 .

Складываем тысячи. Так как 8+3=10+1 , то 8 000+3 000+1 000= 10 000+1 000+1 000= 10 000+2 000 . На этом этапе получаем
20 000+70 000+8 000+ 3 000+1 000+40+6= 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6 .

Складываем десятки тысяч: 20 000+70 000+10 000= 90 000+10 000=100 000 . Тогда 20 000+70 000+10 000+2 000+40+6= 100 000+2 000+40+6 .

Сумма 100 000+2 000+40+6 равна числу 102 046 .

Ответ:

28 301+73 745=102 046 .

В заключение этого пункта отметим, что сложение многозначных натуральных чисел удобно проводить в столбик, поэтому рекомендуем изучить материал статьи сложение натуральных чисел столбиком .

Сложение натуральных чисел на координатном луче.

Целью этого пункта является представление геометрической интерпретации операции сложения натуральных чисел. Достигнуть этой цели нам поможет . Будем считать, что координатный луч расположен горизонтально и вправо.

На координатном луче сложение двух натуральных чисел a и b представляет собой последовательность следующих действий. Сначала мы находим точку с координатой a . Из этой точки последовательно друг за другом откладываем b единичных отрезков так, чтобы происходило удаление от начала отсчета. Это нас приведет в точку на координатном луче, координатой которой является натуральное число, равное сумме a+b . Иными словами мы из точки с координатой a перемещаемся вправо на расстояние b , при этом попадаем в точку, координата которой равна сумме чисел a и b .

Для наглядности приведем пример. Покажем, что представляет собой сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче (смотрите рисунок ниже). Из точки с координатой 2 мы откладываем 4 единичных отрезка. После этого мы попадаем в точку, координатой которой является число 6 . Таким образом, 2+4=6 .

Проверка результата сложения натуральных чисел вычитанием.

Проверка результата сложения натуральных чисел с помощью вычитания основана на достаточно очевидной связи между сложением и вычитанием. Проследить эту связь легко, обратившись к следующему примеру.

Пусть у нас есть 7 яблок и 2 груши. Сложим эти фрукты вместе, тогда сумма 7+2=9 в силу смысла сложения натуральных чисел определяет общее количество фруктов. Понятно, что если из сложенных вместе фруктов (всего их 9 ) отложить в сторону 7 яблок, то в другой стороне останутся 2 груши. Описанному действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство 9−7=2 . Аналогично, если из сложенных вместе фруктов в сторону отложить 2 груши, то в другой стороне останутся 7 яблок. Этому действию отвечает равенство 9−2=7 .

Рассмотренный пример приводит нас к правилу, формулировка которого такова: если из суммы двух натуральных чисел вычесть одно из слагаемых, то результатом будет другое слагаемое . Это правило с помощью букв записывается следующим образом: если a+b=c вычитание натуральных чисел.

Выполним проверку результата сложения. Для этого вычтем из полученной суммы 163 слагаемое 106 и посмотрим, получится ли число, равное второму слагаемому 57 . Имеем 163−106=57 . Таким образом, проверка прошла успешно, и можно утверждать, что сложение было выполнено правильно.

Ответ:

106+57=163 .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.