Построение угла равного данному с доказательством. Как построить угол, равный данному углу

математика геометрия навык урок

Конспект урока «Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла»

обучающая: познакомить учащихся с задачами на построение, при решении которых, используются только циркуль и линейка; научить выполнять построение угла, равного данному, строить биссектрису угла;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Оборудование: таблицы с порядком решения задач на построение; циркуль и линейка.

Ход урока:

1. Актуализация основных теоретических понятий (5 мин).

Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:

• 1. Какая фигура называется треугольником?
• 2. Какие треугольники называются равными?
• 3. Сформулируйте признаки равенства треугольников.
• 4. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?
• 5. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

Для повторения признаков равенства треугольников можно предложить.

Задание : укажите на каком из рисунков (рис. 1) есть равные треугольники.

Рис. 1

Повторение понятия окружности и ее элементов можно организовать, предложив классу следующее задание , с выполнением его одним учеником на доске: дана прямая а и точка А, лежащая на прямой и точка В, не лежащая на прямой. Провести окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Отметьте точки пересечения окружности с прямой а. Назовите радиусы окружности.

2. Изучение нового материала (практическая работа) (20 мин)

Построение угла, равного данному

Для рассмотрения нового материала учителю полезно иметь таблицу (таблица №1 приложения 4). Работу с таблицей можно организовать по-разному: она может иллюстрировать рассказ учителя или образец записи решения; можно предложить учащимся, пользуясь таблицей, рассказать о решении задачи, а затем самостоятельно его выполнить в тетрадях. Таблица может быть использована при опросе учащихся и при повторении материала.

Задача. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Рис. 2

Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из сторон совпала с лучом ОМ. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис. 3, а). Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (Рис. 3, б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ - искомый.

Рассмотрим треугольники АВС и ОDЕ. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а ОD и ОЕ - радиусами окружности с центром О. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ=ОD, АС=ОЕ. Также по построению ВС= DЕ. Следовательно, АВС= ОDЕ по трем сторонам. Поэтому DОЕ=ВАС, т.е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

Рис. 3

Построение биссектрисы данного угла

Задача . Построить биссектрису данного угла.

Решение . Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересечет стороны угла в точках В и С. Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке 4 изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла.

Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трем сторонам. В самом деле, АЕ - общая сторона; АС и АВ равны, как радиусы одной и той окружности; СЕ=ВЕ по построению. Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что САЕ=ВАЕ, т.е. луч АЕ - биссектриса данного угла.

Рис. 4

Учитель может предложить учащимся по данной таблице (таблица №2 приложения 4) построить биссектрису угла.

Ученик у доски выполняет построение, обосновывая каждый шаг выполняемых действий.

Доказательство показывает учитель, необходимо подробно остановиться на доказательстве того факта, что в результате построения действительно получатся равные углы.

3. Закрепление (10 мин)

Полезно предложить учащимся следующее задание для закрепления пройденного материала:

Задача. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Задача. Построить с помощью циркуля и линейки углы в 30є и 60є.

Задача. Постройте треугольник по стороне, углу, прилежащему к его стороне, и биссектрисе треугольника, исходящей из вершины данного угла.

• 4. Подведение итога (3 мин)
• 1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:
  • а) строить угол, равный данному;
  • б) строить биссектрису угла.
• 2. В ходе решения этих задач:
  • а) вспомнили признаки равенства треугольников;
  • б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.
• 5. На дом (2 мин): №150-152 (см. приложение 1).

Построение угла, равного данному. Дано: угол А. А Построили угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и ОDE. 1.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. 2.АВ=ОD, как радиусы одной окружности. 3.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О

Докажем, что луч АВ – биссектриса А П Л А Н 1.Дополнительное построение. 2.Докажем равенство треугольников АСВ и АDB. 3. Выводы А В С D 1.АС=АD, как радиусы одной окружности. 2.СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3.АВ – общая сторона. АСВ = АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса Построение биссектрисы угла.

A N B A C 1 = 2 12 В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой. Тогда, а МN. М Докажем, что а MN Посмотрим на расположение циркулей. АМ=АN=MB=BN, как равные радиусы. МN-общая сторона. MВN= MAN, по трем сторонам Построение перпендикулярных прямых. М a

Q P ВА АРQ = BPQ, по трем сторонам = 2 Треугольник АРВ р/б. Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой. Тогда, точка О – середина АВ. О Докажем, что О – середина отрезка АВ. Построение середины отрезка

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Угол hk h 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному. 4.Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя I признак. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 а k

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Угол h 1 k 1 h2h2 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим угол, равный данному h 1 k 1. 4.Построим угол, равный h 2 k 2. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя II признак. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N

С 1.Построим луч а. 2.Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1. 3.Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2. 4.Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3. В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак. Дано: отрезки Р 1 Q 1, Р 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 а P2P2 Q3Q3 Построение треугольника по трем сторонам.

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам. Все в школе…

Сопряжение представляет собой плавный переход одной линии в другую. Для поиска сопряжения необходимо определить его точки и центр, после чего начертить соответствующее пересечение. Для решения подобной задачи необходимо вооружиться линейкой,…

Сопряжение - это плавные переход одной линии в другую. Сопряжение очень часто применяются на разнообразных чертежах при соединении углов, окружностей и дуг, прямых линий. Построение сечения - довольно непростая задача, для выполнения которой от вас…

При проведении построений различных геометрических фигур иногда требуется определить их характеристики: длину, ширину, высоту и так далее. Если речь идет о круге или окружности, то часто приходится определять их диаметр. Диаметр представляет собой…

Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую напротив этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, называются катетами. Если известна длина гипотенузы…

Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже…

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису, нужно найти середину угла. Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно…

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол, равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии. Инструкция 1Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка…

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Поэтому задача построения медианы с помощью циркуля и линейки сводится к задаче нахождения середины отрезка. Вам понадобится-…

Медиана - это отрезок, проведенный из некоторого угла многоугольника к одной из его сторон таким образом, что точка пересечения медианы и стороны является серединой этой стороны. Вам понадобится- циркуль- линейка- карандашИнструкция1Пусть задан…

Эта статья расскажет вам, как при помощи циркуля провести перпендикуляр к данному отрезку через определенную точку, лежащую на этом отрезке. Шаги 1Посмотрите на данный вам отрезок (прямую) и точку (обозначим как А), лежащую на нем.2Установите иглу…

Эта статья расскажет вам, как провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку. ШагиМетод 1 из 3: По перпендикулярным прямым 1Обозначьте данную прямую как «m», а данную точку как А.2Через точку А проведите…

Эта статья расскажет вам, как построить биссектрису данного угла (биссектриса – луч, делящий угол пополам). Шаги 1Посмотрите на данный вам угол.2Найдите вершину угла.3Установите иглу циркуля в вершине угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла…

Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN (черт. 60 и 61) требуется построить у точки K угол, равный углу B . Это значит, что надо из точки K провести прямую, составляющую с MN угол, равный B .

Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С , и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС . Построим теперь на прямой MN этот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К : тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В . Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС ; получим точку L ; вокруг K , как около центра, описываем окружность радиусом ВА , а вокруг L – радиусом СА . Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC ; в нем угол К = уг. В .

Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.

Как разделить угол пополам

Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.

От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.

Объясним, почему это. Если точку D соединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADC и ADB, у которых есть общая сторона AD ; сторона АВ равна стороне АС , а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BAD и DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD . Следовательно, прямая AD делит угол ВАС пополам.

Применения

12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.

Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.

Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.

Как это сделать?

Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С , откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам AC и ВС и углу С между ними, построим треугольник ABC где-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС , строят при ней у точки С угол С ; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.

Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и.