Платоновы тела в жизни. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек

Правильные многогранники называются Платоновыми телами, они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре, которые можно было бы сопоставить со стихиями.

Какими соображениями руководствовался при этом Платон? Прежде всего тем, что некоторые элементы, как он считал, могли перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников в другие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Но для этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которые были бы для них общими. Из внешнего вида правильных многогранников явствует, что грани трех многогранников - тетраэдра, октаэдра, икосаэдра - имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника - куб и додекаэдр - построены: первый - из квадратов, а второй - из правильных пятиугольников, поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела. Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода.

Что касается пятого многогранника - додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платон ограничивается в «Тимее» замечанием, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

Возникает вопрос «какими соображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра, частицам земли - форму куба и т.д.?». Здесь он учитывает чувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь - наиболее подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались.

Какие частицы могли бы обусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкие частицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырех многогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяет тетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня, наоборот, земля выступает в нашем опыте как самая неподвижная и устойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством в максимальной мере обладает куб. Поэтому мы не нарушим правдоподобия, если припишем частицам земли кубическую форму. Аналогичным образом с двумя прочими стихиями мы соотнесем частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр - частицу воздуха.

Пятый многогранник - додекаэдр - воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Мы видим, каким образом принцип правдоподобия сочетается у Платона с использованием данных повседневного опыта. Любопытно, что Платон почти не касается других, чисто спекулятивных, мотивов (например, связанных с теорией пропорций), которые играли решающую роль в построении его космологической концепции и которые могли оказать влияние и на некоторые аспекты его теории строения вещества.

Правда, сам Тимей, выступающий в данном случае в качестве профессора, читающего лекцию об устройстве мира, является, по всем данным, представителем пифагорейской школы. Однако до сих пор не ясно, существовал ли Тимей как историческая личность или же был фиктивным персонажем, придуманным Платоном для того, чтобы не делать автором космологических и физических теорий его обычного героя - Сократа, ибо это слишком не вязалось бы с образом последнего.

Платон «правдоподобно» систематизировал картину мира. Это была одна из первых попыток ввести в науку саму идею систематизации, которая оказалась очень плодотворной. Она помогла отделить одни области знаний от других, сделав научные исследования более целенаправленными.

ГЕОМЕТРИЯ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

изм. от 24.06.2013 г - (дополнено)

К основным пяти Платоновым телам относятся: октаэдр, звездный тетраэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр.

Каждый из геометрических паттернов, будь то атомное ядро, микрокластеры, глобальная решетка или расстояния между планетами , звездами, галактиками, является одним из пяти основных “Платоновых Твердых Тел”.

Почему подобные паттерны так часто возникают в природе? Один из первых намеков: математики знали, что эти формы обладают большей “симметрией”, чем любая трехмерная геометрия, которую мы можем создавать.

Из книги Роберта Лолора "Сакральная геометрия" мы можем узнать, что индусы сводили геометрии Платоновых Тел в структуру октавы, которую мы видим для звука и света (ноты и цвета). Греческий математик и философ Пифагор, посредством процесса последовательного деления частоты на пять, впервые разработал восемь “чистых” тонов октавы, известных как диатоническая шкала. Он взял однострунный “монохорд”, и измерил точные длины волны при проигрывании разных нот. Пифагор показал, что частоту (или скорость вибрации) каждой ноты можно представить в виде отношения между двумя частями струны, или двумя числами, отсюда и термин “диатонические отношения”.

Нижеприведенная таблица перечисляет геометрию в определенном порядке, увязав ее с числом спирали фи (). Это дает полную и законченную картину, как работают вместе различные вибрации. Она основана на присвоении ребрам куба длины, равной “1 ”. Затем мы сравниваем с этой величиной ребра всех других форм, больше они или меньше. Мы знаем, что в Платоновых Телах каждая грань имеет одинаковую форму, каждый угол идентичен, каждый узел находится на одинаковом расстоянии от всех других узлов, и каждая линия имеет одинаковую длину.

1 Сфера (нет граней) 2 Центральный икосаэдр 1/фи 2 3 Октаэдр 1/√2 4 Звездный тетраэдр √2 5 Куб 1 6 Додекаэдр 1/фи 7 Икосаэдр фи 8 Сфера (нет граней)

Это поможет понять, как при помощи вибраций спирали фи платоновы тела постепенно перетекают одно в другое.

МНОГОМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ

Cама концепция связи Платоновых геометрий с более высокими планами возникает потому, что ученые знают: там должна быть геометрия; они обнаружили это в уравнениях. Чтобы обеспечить “большее пространство” для появления невидимых дополнительных осей в “скрытых” 90° поворотах, требуется наличие Платоновых геометрий . В способе анализа данных, каждая грань геометрической формы представляет собой разную ось или план, в котором она могла бы вращаться. Когда мы начинаем рассматривать работы Фуллера и Дженни, мы видим, что идея других планов, существующих в “скрытых” 90° поворотах, - просто некорректное объяснение, основанное на отсутствии знания о “сакральных” связях между геометрией и вибрацией.

Весьма похоже на то, что традиционные ученые так и не поймут, что древние культуры могли иметь “упущенную связь”, существенно упрощающую и объединяющую все современные теории физики пространства. Хотя может показаться невероятным, что у “примитивной” культуры имелся доступ к такому виду информации, доказательство налицо. Почитайте классическую книгу Прасада , ибо сейчас можно видеть, что ведической космологии присуще научное мастерство.

Думаете что вы видите? - это взрывающаяся звезда с выбрасывающейся из нее пылью… Но здесь явно имеется и некий вид энергетического поля, структурирующего пыль по мере ее расширения в очень точный геометрический паттерн:

Проблема в том, что типичные магнитные поля в традиционных физических моделях просто не позволяют такую геометрическую точность. Ученые действительно не знают, как понимать такие вещи!

Нижеприведенное изображение – это НОВАЯ туманность, являющаяся совершенным “квадратом”. Однако это все еще двумерное мышление. Что такое квадрат в трех измерениях?
Конечно, куб!

Наблюдаемая в инфракрасном диапазоне туманность напоминает гигантскую сияющую коробку в небе с ярким белым внутренним ядром. Умирающая звезда MWC 922 находится в центре системы и извергает в пространство внутренности из противоположных полюсов. После того, как MWC 922 испустит в пространство большую часть материала, она будет сжиматься в плотное звездное тело, известное как белый карлик, спрятанный в облаках своих остатков.

Хотя отдаленно возможно, что взрыв звезды распространяется лишь в одном направлении, создавая больше пирамидальную форму, то, что вы видите, - это совершенный куб, находящийся в пространстве. Поскольку все четыре стороны куба имеют одинаковую длину и совершенные 90° углы друг с другом, и вновь, куб обладает структурированными “ступеньками”, которые мы видели на предыдущем изображении, ученые полностью сбиты с толку. Куб обладает еще БОЛЬШЕЙ СИММЕТРИЕЙ, чем “прямоугольная” туманность!

Такие паттерны появляются не только в безбрежности пространства. Они возникают и на самом крошечном уровне атомов и молекул, например, в кубической структуре обычной поваренной соли или хлористого натрия. Ан Панг Цая (Япония) сфотографировал квазикристаллы сплава алюминий-медь-железо в форме додекаэдра и сплава алюминий-никель-кобальт в форме декагональной (десятисторонней) призмы (см.фото). Проблема в том, что вы не можете создать такие кристаллы, пользуясь единичными связанными вместе атомами .

Другой пример – конденсат Бозе-Эйнштейна. Кратко говоря, конденсат Бозе-Эйнштейна – это большая группа атомов, ведущая себя как отдельная “частица”, в которой каждый составляющий ее атом одновременно занимает все пространство и все время во всей структуре . Измерено, что все атомы вибрируют на одной и той же частоте, движутся с одинаковой скоростью и расположены в одной и той же области пространства. Парадоксально, но разные части системы действуют как единое целое, теряя все признаки индивидуальности . Именно такое свойство требуется для “сверхпроводника”. Обычно конденсат Бозе-Эйнштейна может формироваться при крайне низких температурах. Однако именно такие процессы мы наблюдаем в микрокластерах и квазикристаллах, лишенных индивидуальной атомной идентичности.

Еще один подобный процесс – действие света лазера, известного как “когерентный” свет. В пространстве и времени весь лазерный луч ведет себя как единичный “фотон” , то есть, в лазерном луче невозможно выделение индивидуальных фотонов.

Более того, в конце 1960-х годов английский физик Герберт Фрёлих предположил, что живые системы часто ведут себя как конденсаты Бозе-Эйнштейна , только в крупном масштабе.

Фотографии туманности предлагают ошеломляющее видимое доказательство того, что геометрия играет бо льшую роль в силах Вселенной, чем может поверить большинство людей. Наши ученые могут лишь сражаться за понимание этого феномена в рамках существующих традиционных моделей.

Еще в далекой древности люди заметили, что некоторые объемные фигуры обладают особыми свойствами. Это так называемые правильные многогранники - все грани у них одинаковые, все углы при вершинах равны. Каждая из этих фигур обладает устойчивостью и может быть вписана в сферу. При всем многообразии различных форм существуют всего лишь 5 видов правильных многогранников (рис. 1).

Тетраэдр - правильный четырехгранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1а).

Куб - правильный шестигранник, грани представляют собой квадраты (рис. 1б).

Октаэдр - правильный восьмигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1в).

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, грани представляют собой правильные пятиугольники (рис. 1г).

Икосаэдр - правильный двадцатигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1д).

Древнегреческий философ Платон полагал, что каждый из правильных многогранников соответствует одному из 5 первичных элементов. Согласно Платону, куб соответствует земле, тетраэдр - огню, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, додекаэдр - эфиру. Кроме этого греческие философы выделяли еще один первоэлемент - пустоту. Ему соответствует геометрическая форма сферы, в которую могут быть вписаны все платоновы тела.

Все шесть первоэлементов являются строительными блоками Вселенной. Некоторые из них встречаются часто - земля, вода, огонь и воздух. Сегодня доподлинно известно, что правильные многогранники, или платоновы тела, составляют основу строения кристаллов, молекул различных химических веществ.

Энергетическая оболочка человека также представляет собой пространственную конфигурацию. Внешняя граница энергетического поля человека - сфера, самая близкая к ней фигура додекаэдр. Затем фигуры энергетического поля сменяют друг друга в определенном порядке, повторяясь в разных циклах. Например, в молекуле ДНК чередуются икосаэдры и додекаэдры.

Обнаружено, что платоновы тела способны оказывать благотворное воздействие на человека. Эти формы обладают свойством видоизменять, организовывать энергию в чакрах человеческого тела. Причем каждая кристаллическая форма благотворно воздействует на ту чакру, первоэлементу которой она соответствует.

Дисбаланс энергий в Муладхаре исчезает при использовании куба (элемент земля), Свадхистхана реагирует на воздействие икосаэдра (элемент вода), на Манипуру благотворно влияет тетраэдр (элемент огонь), функции Анахаты восстанавливаются с помощью октаэдра (элемент воздух). Эта же фигура способствует нормальной работе Вишудхи. Обе верхние чакры - Адж-на и Сахасрара - поддаются коррекции додекаэдром.

Для того чтобы использовать свойства платоновых тел, необходимо изготовить из медной проволоки эти фигуры (размер от 10 до 30 см в поперечнике). Можно нарисовать их на бумаге или склеить из картона, но каркасы из медной проволоки действуют эффективнее. Модели платоновых тел нужно прикрепить на проекции соответствующих чакр и полежать немного в глубоком расслаблении.

Аннотация

Выдающийся русский философ Алексей Лосев, исследователь эстетики античности и эпохи Возрождения, в следующих словах сформулировал «золотую» парадигму древних греков: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения». Новейшие открытия современной науки, основанные на Платоновых телах, золотом сечении, числах Фибоначчи: фуллерены, Нобелевская Премия - 1996; квазикристаллы, Нобелевская Премия - 2011; экспериментальное доказательство существования гармонии «золотого сечения» в квантовом мире; обнаружение фибоначчиевой закономерности в таблице Менделеева; «гипотеза Прокла» и новый взгляд на «Начала» Евклида и историю развития математики, начиная с Евклида; гиперболические фунции Фибоначчи и новая геометрическая теория филлотаксиса; треугольник Паскаля и обобщенные числа Фибоначчи; обобщенные золотые пропорции и закон структурной гармонии систем; лямбда-числа Фибоначчи как новый класс целочисленных последовательностей, обладающих уникальными математическими свойствами; «металлические пропорции» и общая теория гармонических гиперболических функций; решение четвертой проблемы Гильберта и поиск гармонических гиперболических миров Природы; "золотые" матрицы, преобразования Фибоначчи-Лоренца и «золотая» интерпретация специальной теории относительности; «золотые» геноматрицы; алгоритмическая теории измерений, коды и компьютеры Фибоначчи; системы счисления с иррациональными основаниями, троичная зеркально-симметричная арифметика и "золотая" теория чисел как новое направление в теории чисел; обобщенные матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования; наконец, «математика гармонии» как новое междисциплинарное направление, восходящее к «Началам» Евклида, - все это «лики божественной пропорции» в современной науке, которые создают общую картину ее движения к "Золотой" Научной Революции, что в совокупности отражает одну из важнейших тенденций в развитии современной науки - возврат к Пифагору, Платону и Евклиду.

Часть III

«Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Бертран Рассел

Предисловие

Каждому из нас не раз приходилось задумываться над тем, почему Природа способна создавать такие удивительные эстетические структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие? В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? Что такое «гармония»? И имеет ли она математическое выражение? Для моделирования «мира гармонии» в античном мире, прежде всего в Древней Греции, была создана математика гармонии, элементы которой возрождены в современной науке во многих книгах , включая книгу Alexey Stakhov “ The Mathematics of Harmony . From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science ” , опубликованной в 2009 г. одним из наиболее престижных научных издательств мира “World Scientific” .

Цель настоящей публикации, предназначенной для широкой аудитории, состоит в том, чтобы популярно объяснить понятие «гармонии», которое было введено в науку на заре развития человеческой цивилизации, рассказать об истории этого направления в античный период, эпоху средневековья, эпоху Возрождения, в 19 и 20 веках, а также ввести в круг идей и приложений современной «математики гармонии», автивно развивающейся в 21 в. . Конечно, «математика гармонии» - это раздел математики; поэтому полностю избежать математических формул в статье, посвященной этой математической дисциплине, авторам не удалось. Однако, «математика гармонии» - это достаточно простая (можно сказать, «элементарная») математика, в которой используются математические формулы, доступные школьникам старших классов. И авторы надеются на снисхождение наших читателей.

Статья состоит из 4-х частей:

Часть III. Платоновы тела, «гипотеза Прокла», новый взгляд на «Начала» Евклида, фуллерены и квазикристаллы

Часть IV. Роль «математики гармонии» в развитии современной науки

Часть III . Платоновы тела, «гипотеза Прокла», новый взгляд на «Начала» Евклида, фуллерены и квазикристаллы

7. Платоновы тела

Правильные многоугольники и многогранники

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Что же такое многоугольник и многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником . Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались идеальными или правильными многоугольниками, то есть, многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник , поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть, число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник ? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Правильные многогранники в «Началах» Евклида

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Веннинджера «Модели многогранников» . Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников , то есть, многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами , названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники (Рис.21).

Рис.21 . Платоновы тела: тетраэдр (tetrahedron), октаэдр (octahedron), куб (cube) додекаэдр (dodecaedron), икосаэдр (icosahedron)

Первым (и простейшим) среди правильных многогранников является тетраэдр (tetrahedron) . В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (octahedron) . В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями - октаэдр (octahedron) .

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями - икосаэдр (icosahedron) .

Следующая правильная форма многоугольника - квадрат . Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (cube) .

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника - пентагона . Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (dodecahedron) .

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник . Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим плоскость, то есть, из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. По существу мы повторили рассуждения, которые провел Евклид в Книге XIII своих «Начал». Именно эта книга посвящена изложению завершенной геометрической теории Платоновых тел. И именно из этих рассуждений вытекает, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Числовые характеристики Платоновых тел. Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней n, сходящихся в каждой вершине, число граней Г , число вершин В , число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу:

В - Р + Г = 2 ,

Связывающую число вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл.2.

Таблица 2 . Числовые характеристики Платоновых тел

Уместно обратить внимание на свойство дуальности, которое связывет Платоноваы тела. Из Табл.2 вытекает, что для гексаэдра (куба) и октаэдра число ребер Р=12 и число плоских углов на поверхности У=24 совпадают. Но число граней Г=6 куба совпадает с числом вершин В=6 октаэдра, а число вершин куба В=8 совпадает с числом граней Г=8 октаэдра. Кроме того, число сторон грани куба m = 4 совпадает с числом граней октаэдра, сходяшимся в вершине, n =4, при этом число граней куба, сходящимся в n =3, совпадает с числом сторон грани октаэдра m = 3. Подобная же сиуация наблюдается и в случае икосаэдра и додкаэдра. В таких случаях говорят о дуальности соответствующих Платновых тепл, то есть, куб дуален октаэдру, а икосаэдр дуален додекаэдру. Заметим, что в свойстве дуальности отражена «скрытая» гармония Платоновых тел.

Золотое сечение в додекаэдре и икосаэдре . Додекаэдр (dodecahedron) и дуальный ему икосаэдр (icosahedron) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотым сечением. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть, правильные пятиугольники, основанные на золотом сечении. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотое сечение играет определяющую роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие подтверждения глубокой математической связи золотого сечения с икосаэдром и додекаэдром. И эта связь приводит к тому, что додекаэдр и икосаэдр выражают в «скрытой» форме гармонию золотого сечения.

9. Гипотеза Прокла: новый взгляд на «Начала» Евклида и историю развития математики

С какой целью Евклид написал свои «Начала»?

На первый взгляд, кажется, что ответ на этот вопрос очень простой: главная цель Евклида состояла в том, чтобы изложить основные достижения греческой математики за 300 лет, предшествующих Евклиду, используя «аксиоматический метод» изложения материала. Действительно, «Начала» Евклида являются главным трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии и математики. Такой взгляд на «Начала» наиболее распространен в современной математике.

Однако, кроме «аксиоматической» точки зрения существует и другая точка зрения на мотивы, которыми руководствовался Евклид при написании «Начал». Эта точка зрения высказана греческим философом и математиком Проклом Диадохом (412-485), одним из первых комментаторов «Начал».

Прежде всего, несколько слов о Прокле. Прокл родился в Византии в семье богатого адвоката из Ликии. Намереваясь пойти по стопам отца, подростком уехал в Александрию, где учился сначала риторике, затем заинтересовался философией и стал учеником александрийского неоплатоника Олимпиодора Младшего. Именно у него Прокл начал изучать логические трактаты Аристотеля. В возрасте 20 лет Прокл переезжает в Афины, где Платоновскую Академию в то время возглавлял Плутарх Афинский. Уже к 28-летнему возрасту Прокл написал одну из своих главнейших работ, комментарий на платоновского «Тимея». Около 450 г. Прокл становится главой Платоновской Академии.

Среди математических сочинений Прокла наиболее известным является его «Комментарий к первой книге «Начал» Евклида». В этом Комментарии он выдвигает следующую необычную гипотезу, которую называют “гипотезой Прокла”. Суть ее состоит в следующем. Как известно, XIII-я, то есть, заключительная книга «Начал», посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые играли главенствующую роль в «Космологии Платона» и в современной науке известны под названием Платоновых тел. Именно на это обстоятельство и обращает внимание Прокл. Как подчеркивает Эдуард Сороко , по мнению Прокла, Евклид «создавал «Начала» якобы не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики».

Значение гипотезы Прокла для развития математики . Главный вывод из «гипотезы Прокла» состоит в том, что «Начала» Евклида, величайшее греческое математическое сочинение, было написано Евклидом под непосредственным влиянием греческой «идеи Гармонии», которая была связана с Платоновыми телами. Таким образом, «гипотеза Прокла» позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке "Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» и «Космология Платона», основанная на правильных многогранниках, были воплощены в величайшем математическом сочинении греческой математики, “Началах” Евклида. С этой точки зрения мы можем рассматривать “Начала” Евклида как первую попытку создать «Математическую теорию гармонии мироздания», которая ассоциировалась в античной науке с Платоновыми телами. И это было главной идеей греческой науки! Это и есть главная тайна «Начал» Евклида, которая приводит к пересмотру истории возникновения математики, начиная с Евклида.

К сожалению, оригинальная гипотеза Прокла, касающаяся истинных целей, которые преследовал Евклид при написании Начал, проигнорирована многими современными историками математики, что привело к искаженному взгляду на структуру математики и всего математического образования. И это является одной из главных «стратегических ошибок» в развитии математики.

«Гипотеза Прокла» и «ключевые» проблемы античной математики . Как известно, академик Колмогоров в книге выделил две главные, то есть, «ключевые» проблемы, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения - проблему счета и проблему измерения . Однако, из «гипотезы Прокла» вытекает еще одна «ключевая» проблема - проблема гармонии , которая была связана с «Платоновыми телами» и «золотым сечением» - одним из важнейших математических открытий античной математики (Предложение II.11 «Начал» Евклида). Именно эта проблема была положена Евклидом в основу «Начал», главной целью которых было создание геометрической теории «Платоновых тел», которые в «космологии Платона» выражали гармонию Мироздания. Эта идея приводит к новому взгляду на историю математики, представленному на Рис.22.

Рис. 22 . «Ключевые» проблемы античной математики и новые направления в математике, теоретической физике и информатике

Подход, демонстрируемый с помощью Рис.22, впервые был изложен в работе . Он основан на следующих рассуждениях. Уже на этапе зарождения математики было сделано ряд важных математических открытий, которые фундаментально повлияли на развитие математики и всей науки в целом. Важнейшими из них являются:

1. Позиционный принцип представления чисел , сделанный вавилонскими математиками во 2-м тысячелетии до н.э. и воплощенный ими в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Это важное математическое открытие лежит в основе всех последующих позиционных систем счисления, в частности, десятичной системы и двоичной системы - основы современных компьютеров. Это открытие, в конечном итоге, привело к формированию понятия натурального числа - важнейшего понятия, лежащего в основе математики.

2. Доказательство существования несоизмеримых отрезков . Это открытие, сделанное в научной школе Пифагора, привело к переосмысливанию ранней пифагорейской математики, в основе которой лежал «принцип соизмеримости величин», и к введению иррациональных чисел - второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. В конечном итоге, эти два понятия (натуральные и иррациональные числа) и были положены в основу «Классической Математики».

3. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение») . Описание этого математического открытия дано в «Началах» Евклида (Предложение II.11). Это предложение было введена Евклидом с целью создания полной геометрической теории «Платоновых тел» (в частности, додекаэдра), изложению которых посвящена заключительная (XIII-я) книга «Начал» Евклида.

Сформулированный выше подход (Рис.22) приводит к выводу, который может оказаться неожиданным для многих математиков. Оказывается, что параллельно с «Классической Математикой» в науке, начиная с древних греков, начало развиваться еще одно математическое направление - «Математика Гармонии», которая, как и классическая математика, восходит к «Началам» Евклида, но акцентирует свое внимание не на «аксиоматическом подходе», а на геометрической «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (Предложение II.11) и на теории правильных многогранников, изложенной в Книге XIII «Начал» Евклида. В развитии «математики гармонии» в течение нескольких тысячелетий принимали участие выдающиеся мыслители, ученые и математики: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Кеплер, Кассини, Бине, Люка, Клейн, а в 20-м веке - известные математики Коксетер, Воробьев, Хоггатт и Вайда. И мы никак не можем игнорировать этот исторический факт.

Истоки доктрины

Согласно замечанию комментатора последнего издания сочинений Платона, у него «вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции». Как упоминалось, космология Платона основывается на правильных многогранниках, называемых телами Платона. Представление о «сквозной» гармонии мироздания неизменно ассоциировалось с ее воплощением в этих пяти правильных многогранниках, выражавших идею повсеместного совершенства мира. И то, что главная «космическая» фигура - додекаэдр, символизировавший тело мира и вселенской души, был основан на золотом сечении, придавало последнему особое очарование, смысл главной пропорции мироздания.

Космология Платона стала началом так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины , которая с античных пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Форма Земли

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Сократ писал:

«Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

Эта гипотеза Сократа нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин, также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. Более подробная информация об этой гипотезе изложена в книге .

Тайна Египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский , созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическим данным. И тогда египтяне добавили к календарному году еще 5 дней, которые, однако, не считались днями месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую структуру: 365=12 х 30+5. Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу системы измерения времени, которая, воможно, была сформирована в более поздние времена. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2 х 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360°, то есть, почему 2p=360°=12 х 30°? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание - число 60?

Анализируя египетский календарь, а также системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12´30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетском календаре и системах?

Обратимся к додекаэдру (Рис.21). Из Табл.1 вытекает, что додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности. Каково же было удивление древних египтян, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр , и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания . Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30°, египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360°. Позже эта же научная идея была использована создателями системы измерения времени. Разделение каждой половины суток на 12 частей (12 граней додекаэдра ) привело к введению часа - важнейшей единицы времени. Разделение часа на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра ) привело к введению минуты - следующей важной единицы времени. Точно также была введена секунда (1 минута = 60 секунд).

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, ученым удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком «золотого сечения» (которое лежит в основе додкаэдра)! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению , сами того не подозревая! Видимо, такая гипотеза Египетского календаря касается некоторой «скрытой» тайны Солнечной системы, связнной с «золотым сечением».

Иоганн Кеплер и Феликс Клейн

“Misterium Cosmographiсum”. Свою научную деятельность Иоганн Кеплер начал в небольшом австрийском городе Граце, куда после окончания Тюбингенской академии он был направлен преподавателем математики в гимназию.

Сделаем одно «лирическое отступение». С 15-го по 19-е июля 1996 года в Граце состоялась 7-я Международная конференция по числам Фибоначчи и их приложениям. На этой конференции Алексей Стахов сделал доклад “ The Golden Section and Modern Harmony Mathematics ” , с которого, по существу, и началось развитите современной «математики гармонии» как нового междисциплинарного направления современной науки . Доклад вызвал большой интерес математиков-фибоначчистам и был отобран для публикации в сборнике «Applications of Fibonacci Numbers» (1998) . В период пребывания в Граце проф. Алексей Стахов сфотографировался возле памятника Иоганну Кеплеру, установленному в одном из парков Граца.

Алексей Стахов рядом с памятником Иоганну Кеплеру

(Грац, июль 1996)

Первым астрономическим сочинением Кеплера, написанным в Граце, была небольшая книжка со следующим названием: «Предвестник космографических исследований, содержащий тайну мироздания относительно чудесных пропорций между небесными кругами и истинных причин, числа и размеров небесных сфер, а также периодических движений, изложенных с помощью пяти правильных тел Иоганном Кеплером из Вюртемберга, математиком из достославной провинции Штирии». Сам он называл эту книгу, опубликованную в 1597 г., «Misterium Cosmographicum» («Тайна космографии»).

Читая первое сочинение Кеплера «Misterium Cosmographicum» («Тайна космографии»), не устаешь удивляться его фантазии. Глубокое убеждение в существовании гармонии мира наложило отпечаток на все мышление Кеплера. Цель своих исследований, изложенных в «Тайне космографии», Кеплер сформулировал в предисловии:

«Любезный читатель! В этой книжке я вознамерился доказать, что всеблагой и всемогущий Бог при сотворении нашего движущегося мира и при расположении небесных орбит избрал за основу пять правильных тел, которые со времен Пифагора и Платона и до наших дней снискали столь громкую славу, выбрал число и пропорции небесных орбит, а также отношения между движениями выбрал в соответствии с природой правильных тел. Сущность трех вещей - почему они устроены так, а не иначе - особенно интересовали меня, а именно: число, размеры и движения небесных орбит».

Раскрыть тайну мироздания значило, по Кеплеру, ответить на вопрос, который он сам же себе и поставил впервые в истории астрономии. Именно в книжке «Тайна космографии» Кеплеру удалось, как ему казалось, раскрыть эту тайну. Ее сущность, по мнению Кеплера, состоит в следующем:

«Земля (орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия».

Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Русский перевод: Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.)

Татаренко А.А. Золотые T m - гармонии и D m - фракталы — суть солитоно-подобного Тm - cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005

Аракелян Грант. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989.

Шенягин В.П. «Пифагор, или Каждый создает свой миф» - четырнадцать лет с момента первой публикации о квадратичных мантиссовых s-пропорциях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17031, 27.11.2011

Falcon Sergio, Plaza Angel. On the Fibonacci k-numbers Chaos, Solitons & Fractals, Volume 32, Issue 5, June 2007: 1615-1624.

A.P. Stakhov, On the general theory of hyperbolic functions based on the hyperbolic Fibonacci and Lucas functions and on Hilbert’s Fourth Problem. Visual Mathematics, Vol. 15, No.1, 2013. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/2013stakhov/hyp.pdf

A. Stakhov, S. Aranson, “Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem.” Applied Mathematics, 2011, No.1 (January), No.2 (February), No.3 (March).

Стахов, А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М.,Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006

Стахов А.П., Теория λ -чисел Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17407, 05.04.2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321250.htm

A.P. Stakhov, The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics // Congressus Numerantium, 193, 2008, 5-48.

Stakhov, “The “golden” matrices and a new kind of cryptography.” Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.

A. Stakhov, S. Aranson. “Golden” Fibonacci Goniometry. Fibonacci-Lorentz Transformations, and Hilbert’s Fourth Problem. Congressus Numerantium, 193 (2008), 119-156.

A.P. Stakhov, “The Golden Section and Modern Harmony Mathematics.” Applications of Fibonacci Numbers, Kluwer Academic Publishing, Volume 7, 1998: 393-399.

Стахов А. П., Ткаченко И. С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи // Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993.

Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function // Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Vol. 23, Issue 2, 379-389.

Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. // Украинский математический журнал, 2004, Vol. 56, No. 8, 1143-1150.

Правильные многогранники с древних времен привлекали внимание философов, строителей, архитекторов, художников, математиков. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Правильный многогранник – объёмная выпуклая геометрическая фигура, все грани которой - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой. Существует множество правильных многоугольников, но правильных многогранников всего пять. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число («тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20) граней («эдра»).

Эти правильные многогранники получили название платоновых тел по имени древнегреческого философа Платона, который придавал им мистический смысл, но были известны они и до Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр – воздух. Додекаэдр отождествлялся со всей Вселенной и почитался главнейшим.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Кристалл пирита (сернистого колчедана, FeS2) имеет форму додекаэдра.

Тетраэдр – правильная треугольная пирамида, и гексаэдр – куб – фигуры, с которыми мы постоянно встречаем в реальной жизни. Чтобы лучше почувствовать форму других платоновых тел, стоит самому создать их из плотной бумаги или картона. Сделать плоскую развёртку фигур несложно. Создание правильных многогранников чрезвычайно занимательно самим процессом формообразования.

Завершенные и причудливые формы правильных многогранников широко используются в декоративном искусстве. Объёмные фигуры можно сделать более занимательными, если плоские правильные многоугольники представить другими фигурами, вписывающимися в многоугольник. Например: правильный пятиугольник можно заменить звездой. Такая объёмная фигура не будет иметь рёбер. Собрать её можно, связывая концы лучей звёзд. И 10 звёзд собирается плоская развёртка. Объёмной фигура получается после закрепления оставшихся 2 звёзд.

Если ваш ребёнок любит делать поделки своими умелыми руками, предложите ему собрать объёмную фигуру многогранник додекаэдр из плоских пластиковых звёзд. Результат работы обрадует вашего ребёнка: он изготовит своими руками оригинальную декоративную конструкцию, которой можно украсить детскую комнату. Но, самое замечательное – ажурный шар светится в темноте. Пластиковые звёзды изготовлены с добавлением современного безвредного вещества - люминофора.