Отрицательные числа. Положительное число

Как особое число не имеет знака.

Примеры записи чисел: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. {\displaystyle +36{,}6;\ -273;\ 142.} Последнее число не имеет знака и поэтому положительно.

Следует отметить, что плюс и минус указывают знак для чисел, но не для буквенных переменных или алгебраических выражений. Например, в формулах − t ; a + b ; − (a 2 + b 2) {\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^{2}+b^{2})} символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными - например, электрические заряды , положительная и отрицательная обратная связь , разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Нулю не присвоен никакой знак, то есть + 0 {\displaystyle +0} и − 0 {\displaystyle -0} - это в арифметике одно и то же число . В математическом анализе смысл символов + 0 {\displaystyle +0} и − 0 {\displaystyle -0} может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль ; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код .

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

• Число неотрицательно , если оно больше или равно нулю.
• Число неположительно , если оно меньше или равно нулю.
• Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют ""строго положительными" и "строго отрицательными" соответственно.

Та же терминология иногда используется для вещественных функций . Например, функция называется положительной , если все её значения положительны, неотрицательной , если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа .

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x {\displaystyle x} отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x {\displaystyle x} , оно обозначается | x | . {\displaystyle |x|.} Примеры: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. {\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.}

Для любых вещественных чисел a , b {\displaystyle a,b} имеют место следующие свойства.

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе - отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения :

• вращение на плоскости - например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
• поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика », иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Для представления знака целого числа большинство компьютеров используют

Сейчас мы разберем положительные и отрицательные числа . Сначала дадим определения, введем обозначения, после чего приведем примеры положительных и отрицательных чисел. Также остановимся на смысловой нагрузке, которую несут в себе положительные и отрицательные числа.

Навигация по странице.

Положительные и отрицательные числа – определения и примеры

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет . Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными .

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными .

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел . Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330 , да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных рациональных чисел являются числа , 4,67 и 0,(12)=0,121212... , а отрицательных – числа , −11 , −51,51 и −3,(3) . В качестве примеров положительных иррациональных чисел можно привести число пи, число e , и бесконечную непериодическую десятичную дробь 809,030030003… , а примерами отрицательных иррациональных чисел являются числа минус пи, минус e и число, равное . Следует отметить, что в последнем примере отнюдь не очевидно, что значение выражения является отрицательным числом. Чтобы это узнать наверняка, нужно получить значение этого выражения в виде десятичной дроби, а как это делается, мы расскажем в статье сравнение действительных чисел .

Иногда перед положительными числами записывается знак плюс, также как перед отрицательными числами записывается знак минус. В этих случаях следует знать, что +5=5 , и т.п. То есть, +5 и 5 и т.п. – это одно и то же число, но по-разному обозначенное. Более того, можно встретить определение положительных и отрицательных чисел, на основании знака плюс или минус.

Определение.

Числа со знаком плюс называют положительными , а со знаком минус – отрицательными .

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Определение.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а - как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Интерпретация положительных и отрицательных чисел

Мы уже достаточно долго описываем положительные и отрицательные числа. Однако неплохо было бы знать, какой смысл они несут в себе? Давайте разберемся с этим вопросом.

Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины и тому подобное. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины и т.п. Разберемся с этим на примерах.

Можно сказать, что мы обладаем 3 предметами. Здесь положительное число 3 указывает количество находящихся у нас предметов. А как можно интерпретировать отрицательное число −3 ? Например, число −3 может означать, что мы должны кому-нибудь отдать 3 предмета, которых у нас даже нет в наличии. Аналогично можно сказать, что в кассе нам выдали 3,45 тысяч рублей. То есть, число 3,45 связано с нашим приходом. В свою очередь отрицательное число −3,45 будет указывать на уменьшение денег в кассе, выдавшей эти деньги нам. То есть, −3,45 – это расход. Еще пример: повышение температуры на 17,3 градуса можно описать положительным числом +17,3 , а понижение температуры на 2,4 можно описать с помощью отрицательного числа, как изменение температуры на −2,4 градуса.

Положительные и отрицательные числа часто используются для описания значений каких-либо величин в различных измерительных приборах. Самым доступным примером является прибор для измерения температур – термометр - со шкалой, на которой записаны и положительные и отрицательные числа. Часто отрицательные числа изображают синим цветом (он символизирует снег, лед, а при температуре ниже нуля градусов Цельсия начинает замерзать вода), а положительные числа записывают красным цветом (цвет огня, солнца, при температуре выше нуля градусов начинает таять лед). Запись положительных и отрицательных чисел красным и синим цветом используют и в других случаях, когда нужно особо выделить знак чисел.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Чалина Ирина

Презентация об истории возникновения отрицательных чисел.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Отрицательные числа Чалина Ирина

Математика – виват! Слава, слава, слава! Не поют ей серенад, Не кричат ей браво. Жили-были 2 числа, Жили, не тужили. Один – минус, другой – плюс, Весело дружили. Знаки разные во всем, Но поставить можно, Чтоб сложилося число, Которое быть должно. Плюс на плюс – получим плюс, Плюс на минус – будет минус. Ну а если (-20) прибавим (-8), То в итоге мы получим число (-28).

Отрицательное число Отрица́тельное число́ - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля. Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Историческая справка История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них смысла. Положительные числа трактовали как «прибыль», а отрицательные – как «долг», «убыток». В Древнем Египт е, Вавилон е и Древней Греции не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Но знаков + или – в древности не было ни для чисел, ни для действий. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Греки тоже поначалу знаки не использовали, пока Диофант Александрийский в III веке стал использовать знак « - » при решении линейных уравнений. Знак « + » появился как результат противоположного действия знаку « - » путем перечеркивания минуса. Было очень похоже на тот плюс, который мы используем сейчас. Он уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия. В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 - в ней первый член слева больше второго, а справа - наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом.

Свойства отрицательных чисел Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми - положительно. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 −10. При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Для каждого натурального числа (n) существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое (-n), которое дополняет n до нуля: Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа (a) из другого целого числа (b) равносильно сложению b с противоположным для a знаком: (b)+ (-а)

Основные правила Правило 1. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, равное сумме модулей этих чисел. Пример - Сумма чисел (-3) и (-8) равно минус 11. Правило 2 . Произведение двух чисел с разными знаками есть отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей. Пример - Произведение минус трех и пяти равно минус пятнадцати, потому что при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, а его модуль равен произведению модулей сомножителей, то есть трех и пяти. Правило 3 . Чтобы отметить отрицательные числа, надо координатный луч дополнить противоположным ему лучом и нанести на него соответствующие координаты. Пример. Числа, расположенные на координатной прямой справа от нуля, называются положительными, а слева – отрицательными.

Модуль отрицательного числа Расстояние от точки А(а) до начала отсчета, т.е. до точки О(о), называют модулем числа а и обозначают /а/ Модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному. Модуль, ничего не делая с положительными числами и нулем, отнимает у отрицательных чисел знак "минус". Модуль обозначается вертикальными черточками, которые пишутся с двух сторон от числа. Например / -3 / = 3; / -2,3 / = 2,3 ; / -526/7 / = 526/7. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и, меньше то, модуль которого больше. (По этому поводу обычно шутят, что у отрицательных чисел все не как у людей, наоборот)

вывод Отрицательные числа в наши дни вещь обыденная: их используют, например, для того, чтобы представить температуру ниже нуля. Поэтому кажется удивительным, что еще несколько столетий назад какой-либо конкретной интерпретации отрицательных чисел не было, а возникающие по ходу вычислений отрицательные числа назывались «воображаемыми». Отрицательные числа нужны не только при измерении температуры. Например, если предприятие получило доход на 1 млн.руб., или, наоборот, потерпело убытки на 1 млн.руб., как это отразить в финансовых документах? В первом случае записывают 1000 000 руб. или + 1000000 руб. А во втором, соответственно, (- 1 000 000 руб.).

Спасибо за внимание! -

Мы знаем, что если сложить два или несколько натуральных чисел, то в результате получим натуральное число. Если перемножать натуральные числа между собой, то в результате всегда получаются натуральные числа. А какие числа будут в результате, если из одного натурального числа вычесть другое натуральное число? Если из большего натурального числа вычесть меньшее, то результат тоже будет натуральным числом. А какое число будет, если из меньшего числа вычесть большее? Например, если из 5 вычесть 7. Результат такого действия уже не будет натуральным числом, а будет числом меньше нуля, которое мы напишем как натуральное, но со знаком «минус», так называемым, отрицательным натуральным числом. На этом уроке мы познакомимся с отрицательными числами. Поэтому мы расширяем множество натуральных чисел, добавляя к нему «0» и целые отрицательные числа. Новое расширенное множество будет состоять из чисел:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Эти числа называются целыми. Следовательно, результат нашего примера 5 -7 = -2 будет целым числом.

Определение. Целые числа – это натуральные, отрицательные натуральные и число «0».

Изображение этого множества мы видим на градуснике для измерения температуры на улице.

Температура может быть с «минусом», т.е. отрицательной, может быть с «плюсом» т.е. положительной. Температура 0 градусов не положительная не отрицательная, число 0 – граница, которая отделяет положительные числа от отрицательных.

Изобразим целые числа на числовой оси.

Рисунок оси

Мы видим, что на числовой оси существует бесконечное множество чисел. Положительные и отрицательные числа разделены между собой нулем. Отрицательные целые числа, например -1, читаются как «минус единица» или «отрицательная единица».

Положительные целые числа, например «+3» читается как положительная 3 или просто «три», то есть у положительных (натуральных) чисел знак «+» не пишется и слово «положительное» не произносится.

Примеры: отметь на числовой оси +5, +6, -7, -3, -1, 0 и т.д.

При движении вправо по числовой оси числа увеличиваются, а при движении влево - уменьшаются. Если мы хотим увеличить число на 2, мы движемся вправо по координатной оси на 2 единицы. Пример: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 и т. д. И наоборот, если мы хотим уменьшить число на 3 мы будем двигаться влево на 3 единицы. Например: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; и т.д.

1. Попробуй увеличить число (-4) за 3 шага, увеличивая каждый раз на 2 единицы.

Двигаясь по числовой оси, как показано на рисунке, мы получим в результате 2.

2. Уменьши число 6 за шесть шагов, уменьшая его за каждый шаг на 2 единицы.

3. Увеличь число (-1) за три шага, увеличивая его на 4 единицы на каждом шаге.

С помощью координатной прямой легко сравнивать целые числа: из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, что стоит левее.

4. Сравни числа, поставив знак > или < , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 и 2; 0 и -5; -34 и -67; -72 и 0 и т.д.

5. Вспомни, как мы отмечали на координатном луче точки с натуральными координатами. Точки принято называть заглавными латинскими буквами. Нарисуй координатную прямую, и взяв удобный единичный отрезок, изобрази точки с координатами:

А) А(10),В(20),С(30),М(-10),N(-20)
Б) С(100),В(200),К(300),F(-100)
В) U(1000),Е(2000),R(-3000)

6. Запиши все целые числа, расположенные между -8 и 5, между -15 и -7, между -1 и 1.

Сравнивая числа, мы должны уметь ответить на сколько единиц одно число больше или меньше другого.

Нарисуем координатную прямую. Изобразим на ней точки с координатами от -5 до 5. Число 3 на две единицы меньше 5, на единицу меньше 4, на 3 единица больше нуля. Число -1 на единицу меньше нуля, на 2 единицы больше -3.

7. Ответь, на сколько единиц:

3 меньше 4; -2 меньше 3; -5 меньше -4; 2 больше -1; 0 больше -5; 4 больше -1

8. Нарисуй координатную прямую. Выпиши 7 чисел, каждое из которых на 2 единицы меньше предыдущего, начиная с 6. Какое у этого ряда последнее число? Сколько может быть всего таких чисел, если количество выписываемых чисел не ограничивать?

9. Выпиши 10 чисел, каждое из которых на 3 единицы больше предыдущего начиная с (-6). Сколько таких чисел может существовать, если ряд не ограничивать десятью?

Противоположные числа.

На числовой оси для каждого положительного числа (или натурального) существует отрицательное число, расположенное слева от нуля на таком же расстоянии. Например: 3 и -3; 7 и -7; 11 и -11.

Говорят, что число -3 является противоположным числу 3, и наоборот, -3 противоположно 3.

Определение: Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком называются противоположными.

Мы знаем, что если умножить число на +1, то число не изменится. А если число умножить на (-1), что будет? У такого числа поменяется знак. Например, если 7 умножить на (-1) или отрицательную единицу, то результат будет (-7), число становится отрицательным. Если (-10) умножить на (-1), то получим (+10), т. е. получаем уже положительное число. Таким образом, мы видим, что противоположные числа получаются простым умножением исходного числа на (-1). Мы видим на числовой оси, что у каждого числа существует только одно противоположное число. Например, у (4) противоположное будет (-4), у числа (-10) – противоположное будет (+10). Попробуем найти противоположное число у нуля. Его нет. Т.е. 0 – противоположен самому себе.

А теперь посмотрим на числовой оси, что получится, если сложить 2 противоположных числа. Мы получаем, что сумма противоположных чисел равна 0.

1. Игра: пусть игровое поле разделено пополам на два поля: левое и правое. Между ними проходит разделительная черта. На поле находятся числа. Переход через черту означает умножение на (-1), иначе при переходе через разделительную черту число становится противоположным.

Пусть в левом поле находится число (5). В какое число превратится (5), если пятерка перейдет разделительную полосу 1 раз? 2 раза? 3 раза?

2. Заполни следующую таблицу:

3. Из множества пар выбери пары противоположных. Сколько таких пар ты получил?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Сложение и вычитание целых чисел.

Сложение (или знак «+») означает движение вправо на числовой оси.

1. 1+3 = 4

1. -1 + 4 = 3
2. -3 + 2 = -1

Вычитание(или знак»-«) означает движение влево на числовой оси

1. 3 – 2 = 1
2. 2 – 4 = -2
3. 3 – 6 = -3
4. -3 + 5 = 2
5. -2 – 5 = -7
6. -1 + 6 = 5
7. 1 – 4 = -3

Реши следующие примеры с помощью числовой оси:

1. -3+1=
2. 2)-4-1=
3. -5-1=
4. -2-7=
5. -1+3=
6. -1-4=
7. -6+7=

В Древнем Китае при составлении уравнений коэффициенты уменьшаемых и вычитаемых записывались цифрами разного цвета. Прибыль –обозначали красной краской, а убытки – синей. Пример, продали 3 быка и купили 2 лошади. Рассмотрим другой пример: хозяйка принесла на рынок картошку и продала ее за 300 рублей, эти деньги мы прибавим к имуществу хозяйки и напишем их как +300(красное), а затем она потратила 100 рублей (эти деньги мы запишем как(-100)(синие). Таким образом, получилось, что хозяйка вернулась с рынка с прибылью в 200рублей(или +200). Иначе, числа, записанные красной краской всегда складывали, а записанные синей краской вычитали. По аналогии, будем синей краской обозначать отрицательные числа.

Таким образом, мы можем все положительные числа считать выигрышем, а отрицательные проигрышем или долгом или потерей.

Пример: -4 + 9 = +5 результат (+5) можно рассматривать как выигрыш в какой-либо игре; после того, как сначала было проиграно 4 очка, а затем выиграно 9 очков, то в результате останется выигрыш в 5 очков. Реши следующие задачи:

11. В игре в лото Петя сначала выиграл 6 очков, затем проиграл 3 очка, затем опять выиграл 2 очка, затем проиграл 5 очков. Каков результат игры у Пети?

12 (*). Мама пожила конфеты в вазочку. Маша съела 4 конфеты, Миша съел 5 конфет, Оля съела 3 конфеты. Мама положила еще в вазочку 10 конфет, и в вазочке стало 12конфет. Сколько конфет было сначала в вазочке?

13. В доме одна лестница ведет из подвала на второй этаж. Лестница состоит из двух пролетов по 15 ступенек каждый (один из подвала на первый этаж, а второй с первого этажа на второй). Петя был на первом этаже. Сначала он поднялся по лестнице на 7ступенек вверх, а затем спустился на 13 ступенек вниз. Где оказался Петя?

14. Кузнечик прыгает вдоль числовой оси. Один прыжок кузнечика составляет 3 деления на оси. Кузнечик сначала делает 3 прыжка вправо, а затем 5 прыжков влево. Где окажется кузнечик после этих прыжков, если первоначально он находился в 1)«+1»;2) «-6»;3) «0»;4) «+5»;5) «-2»;6) «+3»;7) «-1».

До сих пор мы привыкли к тому, что рассматриваемые числа отвечали на вопрос «сколько». Но отрицательные числа не могут быть ответом на вопрос «сколько». В житейском смысле отрицательные числа связаны с долгом, проигрышем, с такими действиями, как недолил, недопрыгнул, недовесил и т.д. Во всех этих случаях мы просто вычитаем долг, проигрыш, недовес. Например,

1. На вопрос « Сколько будет «тысяча без 100»?», мы из 1000 должны вычесть 100 и получим 900.
2. Выражение «3 часа без четверти» – означает, что мы должны вычесть 15 мин из 3 часов. Получим, таким образом, 2часа 45 мин.

А теперь реши следующие задачи:

15. Саша покупал 200гр. масла, но недобросовестный продавец недовесил 5 гр. Какую массу масла купил Саша?

16.На беговой дистанции в 5 км. Володя сошел с дистанции, не добежав до финиша 200м. Какое расстояние Володя пробежал?

17. Заполняя трехлитровую банку соком мама не долила 100мл сока. Сколько сока получилось в банке?

18. Кино должно начаться без двадцати минут восемь. сколько минут Во сколько часов и во сколько минут должно начаться кино?

19.У Тани было 200руб. и она должна Пете 50 руб. После того, как она отдала долг, сколько денег осталось у Тани?

20. Петя с Ваней пошли в магазин. Петя захотел купить книгу за 5 рублей. Но у него оказалось только 3 рубля, и он занял у Вани 2 рубля и купил книгу. Сколько денег оказалось после покупки у Пети?

3 - 5= -2 (из того, что у него было до покупки вычтем стоимость покупки, получим -2 рубля, то есть два рубля долга).

21. Днем температура воздуха была 3°тепла или +3°, а ночью 4° мороза или -4°. На сколько градусов понизилась температура? И на сколько градусов ночная температура меньше, чем дневная?

22. Таня договорилась встретиться с Володей без четверти семь. Во сколько часов и во сколько минут они договорились встретиться?

23. Тима с приятелем пошел в магазин покупать книгу, которая стоила 97 рублей. Но когда они пришли в магазин, то выяснилось, что книга подорожала, и стала стоить 105 рублей. Тима занял приятеля недостающую сумму, и все-таки купил книгу. Сколько денег Тима стал должен приятелю?

ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4. Задачи измерения длин, площадей и т. п. , а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв.

Впервые отрицательные числа встречаются в одной из книг древнекитайского трактата « Математика в девяти главах » (Джан Цань – 1 век до нашей эры). Отрицательное число понималось как долг, а положительное – как имущество. Сложение и вычитание отрицательных чисел производилось на основе рассуждений о долге. Например, правило сложения формулировалось так: « Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество ». Знака минус тогда не было, а чтобы отличать положительные и отрицательные числа, Джан Цань писал их разными по цвету чернилами.

Идея отрицательных чисел с трудом завоевывала себе место в математике. Эти числа казались математикам древности непонятными и даже ложными, действия с ними – неясными и не имеющими реального смысла.

Использование отрицательных чисел индийскими математиками.

В 6 – 7 веках нашей эры индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, по-прежнему понимая их как долг. Начиная с 7 века индийские математики пользовались отрицательными числами. Положительные числа они называли « дхана » или « сва » (« имущество »), а отрицательные – « рина » или « кшайя » («долг »). Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598 – 660 гг.).

Например, правило деления он формулировал так:« Положительное, делённое на положительное, или отрицательное, делённое на отрицательное, становится положительным. Но положительное, делённое на отрицательное, и отрицательное, делённое на положительное, остаётся отрицательным ».

(Брахмагупта (598 – 660 гг.) – индийский математик и астроном. До нас дошло сочинение Брахмагупта « Пересмотр системы Брахмы » (628), значительная часть, которого посвящена арифметике и алгебре. Важнейшим здесь является учение об арифметической прогрессии и решение квадратных уравнений, с которыми Брахмагупта справлялся во всех случаях, когда они имели действительные решения. Брахмагупта допускал и рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях. Кроме того Брахмагупта решал некоторые неопределённые уравнения в целых числах; он дал правило составления прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и др. Брахмагупту было известно обратное тройное правило, у него встречается приближение П,самая ранняя интерполяционная формула 2 – го порядка. Его интерполяционное правило для синуса и обратного синуса при равных интервалах являются частным случаем интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга. В более поздней работе Брахмагупта приводит интерполяционное правило при неравных промежутках. Его работы были в 8 веке переведены на арабский язык.)

Понимание отрицательных чисел Леонардом Фибоначчи Пизанским.

Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел как противоположности положительных пришёл итальянский математик Леонардо Фибоначчи Пизанский (13 в.). Но понадобилось ещё около 400 лет, прежде чем « абсурдные » (бессмысленные) отрицательные числа получили полное признание математиков, а отрицательные решения в задачах перестали отбрасываться как невозможные.

(Леонардо Фибоначчи Пизанский (ок. 1170 – после 1228) – итальянский математик. Родился в Пизе (Италия). Начальное образование получил в Буше (Алжир) под руководством местного учителя. Тут он овладел арифметикой и алгеброй арабов. Посетил многие страны Европы и Востока и всюду пополнял свои знания по математике.

Издал две книги: « Книгу об абаке » (1202), где абак рассматривался не столько как прибор, сколько, как исчисление вообще, и « Практическую геометрию » (1220). По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления. Изложение материала в ней было оригинальным и изящным. Учёному принадлежат и собственные открытия, в частности он положил начало разработке вопросов, связанных с Т. Н. числами Фибоначчи, и дал оригинальный приём извлечения кубического корня. Его труды получили распространение только в конце 15 века, когда Лука Пачоли переработал их и опубликовал в своей книге « Сумма » .

Рассмотрение отрицательных чисел Михаилом Штифелем по - новому.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. (Штифель Михаил (19. 04. 1487 – 19. 06. 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключён в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель полностью посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Один из первых в Европе после Н. Шюке начал оперировать отрицательными числами; ввёл дробный и нулевой показатели степени, а также термин « показатель » ; в работе « Полная арифметика » (1544) дал правило деления на дробь как умножения на дробь, обратную делителю; сделал первый шаг в развитии приёмов, упрощающих вычисления с большими числами, для чего сопоставлял две прогрессии: геометрическую и арифметическую. Позднее это помогло И. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.)

Современное истолкование отрицательных чисел Жираром и Рене Декартом.

Современное истолкование отрицательных чисел, основанное на откладывании единичных отрезков на числовой оси влево от нуля, было дано в 17 веке, в основном в работах голландского математика Жирара (1595 – 1634 гг.) и знаменитого французского математика и философа Рене Декарта (1596–1650гг.) (Жирар Альберт (1595 – 1632) – бельгийский математик. Жирар родился во Франции, но бежал в Голландию от преследований католической церкви, так как был протестантом. Альберт Жирар внёс большой вклад в развитие алгебры. Основным его сочинением была книга « Новое открытие в алгебре». Впервые высказал основную теорему алгебры о наличии корня у алгебраического уравнения с одним неизвестным. Хотя строгое доказательство впервые дал Гаусс. Жирару принадлежит вывод формулы площади сферического треугольника.) С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы. Автор теории, объясняющей образование и движение небесных тел вихревым движением частиц материи (вихри Декарта). Ввел представление о рефлексе (дуга Декарта). В основе философии Декарта - дуализм души и тела, «мыслящей» и «протяженной» субстанции. Материю отождествлял с протяжением (или пространством), движение сводил к перемещению тел. Общая причина движения, по Декарту, - Бог, который сотворил материю, движение и покой. Человек - связь безжизненного телесного механизма с душой, обладающей мышлением и волей. Безусловное основоположение всего знания, по Декарту, - непосредственная достоверность сознания («мыслю, следовательно, существую»). Существование Бога рассматривал как источник объективной значимости человеческого мышления. В учении о познании Декарт - родоначальник рационализма и сторонник учения о врожденных идеях. Основные сочинения: «Геометрия» (1637), «Рассуждение о методе. » (1637), «Начала философии» (1644).

ДЕКАРТ (Descartes) Рене (латинизированное - Картезий; Cartesius) (31 марта 1596, Лаэ, Турень, Франция - 11 февраля 1650, Стокгольм), французский философ, математик, физик и физиолог, основатель новоевропейского рационализма и один из влиятельнейших метафизиков Нового времени.

Жизнь и сочинения

Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, напр. , разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

В 1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

В 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.

В 1641 появляется главное философское сочинение Декарта «Размышления о первой философии» (на латинском языке), а в 1644 «Первоначала философии», работа, замышлявшаяся Декартом как компендий, суммирующий наиболее важные метафизические и натурфилософские теории автора.

Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он умер от пневмонии.

Философия Декарта ярко иллюстрирует стремление европейской культуры к освобождению от старых догм и построению новой науки и самой жизни «с чистого листа». Критерием истины, считает Декарт, может быть только «естественный свет» нашего разума. Декарт не отрицает и познавательной ценности опыта, но он видит его функцию исключительно в том, чтобы он приходил на помощь разуму там, где собственных сил последнего недостаточно для познания. Размышляя над условиями достижения достоверного знания, Декарт формулирует «правила метода», с помощью которого можно прийти к истине. Первоначально мыслившиеся Декартом весьма многочисленными, в «Рассуждении о методе», они сводятся им к четырем основным положениям, составляющим «квинтэссенцию» европейского рационализма: 1) начинать с несомненного и самоочевидного, т. е. с того, противоположное чему нельзя помыслить, 2) разделять любую проблему на столько частей, сколько необходимо для ее эффективного решения, 3) начинать с простого и постепенно продвигаться к сложному, 4) постоянно перепроверять правильность умозаключений. Самоочевидное схватывается разумом в интеллектуальной интуиции, которую нельзя смешивать с чувственным наблюдением и которая дает нам «ясное и отчетливое» постижение истины. Разделение проблемы на части позволяет выявить в ней «абсолютные», т. е. самоочевидные элементы, от которых можно отталкиваться в последующих дедукциях. Дедукцией Декарт называет «движение мысли», в котором происходит сцепление интуитивных истин. Слабость человеческого интеллекта требует проверять корректность сделанных шагов на предмет отсутствия пробелов в рассуждениях. Такую проверку Декарт называет «энумерацией» или «индукцией». Итогом последовательной и разветвленной дедукции должно стать построение системы всеобщего знания, «универсальной науки». Декарт сравнивает эту науку с деревом. Корнем его является метафизика, ствол составляет физика, а плодоносные ветви образуют конкретные науки, этика, медицина и механика, приносящие непосредственную пользу. Из этой схемы видно, что залогом эффективности всех этих наук является правильная метафизика.

От метода открытия истин Декарт отличает метод изложения уже разработанного материала. Его можно излагать «аналитически» и «синтетически». Аналитический метод проблемен, он менее систематичен, но больше способствует пониманию. Синтетический, как бы «геометризирующий» материал, более строг. Декарт все же отдает предпочтение аналитическому методу.

Сомнение и несомненное

Исходной проблемой метафизики как науки о самых общих родах сущего является, как и в любых других дисциплинах, вопрос о самоочевидных основаниях. Метафизика должна начинаться с несомненной констатации какого-либо существования. Декарт «пробует» на самоочевидность тезисы о бытии мира, Бога и нашего «Я». Мир можно представить несуществующим, если вообразить, что наша жизнь есть долгое сновидение. В бытии Бога тоже можно усомниться. А вот наше «Я», считает Декарт, нельзя подвергнуть сомнению, так как само сомнение в своем бытии доказывает существование сомнения, а значит и сомневающегося Я. «Сомневаюсь, следовательно существую» - так Декарт формулирует эту важнейшую истину, обозначающую субъективистский поворот европейской философии Нового времени. В более общем виде этот тезис звучит так: «мыслю, следовательно существую» - cogito, ergo sum. Сомнение составляет лишь один из «модусов мышления», наряду с желанием, рассудочным постижением, воображением, памятью и даже ощущением. Основой мышления является сознание. Поэтому Декарт отрицает существование бессознательных идей. Мышление является неотъемлемым свойством души. Душа не может не мыслить, она - «мыслящая вещь», res cogitans. Признание несомненным тезиса о собственном существовании не означает, однако, что Декарт считает вообще невозможным несуществование души: она не может не существовать, лишь пока мыслит. В остальном же душа - случайная вещь, т. е. может как быть, так и не быть, ибо она несовершенна. Все случайные вещи черпают свое бытие извне. Декарт утверждает, что душа ежесекундно поддерживается в своем существовании Богом. Тем не менее ее можно назвать субстанцией, так как она может существовать отдельно от тела. Впрочем, на деле душа и тело тесно взаимодействуют. Однако принципиальная независимость души от тела является для Декарта залогом вероятного бессмертия души.

Учение о Боге

От философской психологии Декарт переходит к учению о Боге. Он дает несколько доказательств существования высшего существа. Наиболее известным является так называемый «онтологический аргумент»: Бог есть всесовершенное существо, поэтому в понятии о нем не может отсутствовать предикат внешнего существования, что означает невозможность отрицать бытие Бога, не впадая в противоречие. Другое доказательство, предлагаемое Декартом, более оригинально (первое было хорошо известно в средневековой философии): в нашем уме есть идея Бога, у этой идеи должна быть причина, но причиной может быть только сам Бог, так как в противном случае идея высшей реальности была бы порождена тем, что этой реальностью не обладает, т. е. в действии было бы больше реальности, чем в причине, что нелепо. Третий аргумент основан на необходимости существования Бога для поддержания человеческого существования. Декарт полагал, что Бог, не будучи сам по себе связан законами человеческой истины, является тем не менее источником «врожденного знания» человека, в которое входит сама идея Бога, а также логические и математические аксиомы. От Бога, считает Декарт, исходит и наша вера в существование внешнего материального мира. Бог не может быть обманщиком, а поэтому эта вера истинна, и материальный мир действительно существует.

Философия природы

Убедившись в существовании материального мира, Декарт приступает к исследованию его свойств. Главным свойством материальных вещей оказывается протяжение, которое может выступать в различных модификациях. Декарт отрицает существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяжение, имеется и «протяженная вещь», res extensa. Другие качества материи мыслятся смутно и, возможно, считает Декарт, существуют только в восприятии, а в самих предметах отсутствуют. Материя состоит из элементов огня, воздуха и земли, все различие которых состоит только в величине. Элементы не являются неделимыми и могут превращаться друг в друга. Пытаясь согласовать концепцию дискретности материи с тезисом об отсутствии пустоты, Декарт выдвигает любопытнейший тезис о нестабильности и отсутствии определенной формы у мельчайших частиц вещества. Единственным способом передачи взаимодействий между элементами и состоящими из их смешения вещами Декарт признает соударение. Оно происходит по законам постоянства, вытекающим из неизменной сущности Бога. При отсутствии внешних воздействий вещи не меняют свое состояние и двигаются по прямой, являющейся символом постоянства. Кроме того, Декарт говорит о сохранении исходного количества движения в мире. Само движение, однако, изначально не свойственно материи, а привносится в нее Богом. Но уже одного первотолчка достаточно, чтобы из хаоса материи постепенно самостоятельно собрался правильный и гармоничный космос.

Тело и душа

Много времени Декарт уделял изучению законов функционирования животных организмов. Он считал их тонкими машинами, способными самостоятельно адаптироваться к окружающей среде и адекватно реагировать на внешние воздействия. Испытанное воздействие передается в мозг, являющийся резервуаром «животных духов», мельчайших частиц, попадание которых в мышцы через поры, открывающиеся вследствие отклонений мозговой «шишковидной железы» (являющейся седалищем души), приводит к сокращениям этих мышц. Движение тела составляется последовательностью таких сокращений. Животные лишены душ и не нуждаются в них. Декарт говорил, что его больше удивляет наличие души у человека, чем ее отсутствие у животных. Наличие души у человека, однако, не бесполезно, так как душа может корректировать естественные реакции тела.

Декарт-физиолог

Декарт изучал строение различных органов у животных, исследовал строение зародышей на различных стадиях развития. Его учение о «произвольных» и «непроизвольных» движениях заложило основы современного учения о рефлексах. В работах Декарта представлены схемы рефлекторных реакций с центростремительной и центробежной частью рефлекторной дуги.

Значение работ Декарта в математике и физике

Естественно-научные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единыго метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z.), коэффициентов (a, b, c.), обозначение степеней (a2, x-1.).

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с П. Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своим движением кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) - линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. Трансцендентные кривые (сам Декарт называет их «механическими») он исключил из своей геометрии. В связи с исследованиями линз (см. ниже) в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.

«Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному (хотя саму формулировку дал позднее И. Ньютон). В переписке Декарта содержатся и другие его открытия.

В оптике он открыл закон преломления световых лучей на границе двух различных сред (изложены в «Диоптрике», 1637). Декарт внес серьезный вклад в физику, дав четкую формулировку закона инерции.

Влияние Декарта

Декарт оказал громадное влияние на последующую науку и философию. Европейские мыслители восприняли от него призывы к созданию философии как точной науки (Б. Спиноза), к построению метафизики на базе учения о душе (Дж. Локк, Д. Юм). Декарт активизировал и теологические споры в вопросе о возможности доказательств бытия Бога. Огромный резонанс имело обсуждение Декартом вопроса о взаимодействии души и тела, на которое откликнулись Н. Мальбранш, Г. Лейбниц и др. , а также его космогонические построения. Многие мыслители делали попытки формализовать методологию Декарта (А. Арно, Н. Николь, Б. Паскаль). В 20 веке к философии Декарта часто обращаются участники многочисленных дискуссий по проблемам философии сознания и когнитивной психологии.

Для того чтобы разработать этот понятный и естественный сейчас для нас подход, понадобились усилия многих учёных на протяжении восемнадцати веков от Джан Цаня до Декарта.