Отношения между числами урок. Выявление места и причины затруднений. Создание проблемной ситуации

Приложение № 1 Работа в парах с использованием метода кооперативного взаимообучения:

1) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 2) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 3) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 4) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде?

1) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 2) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 3) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 4) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде?

1) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 2) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 3) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 4) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде?

1) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 2) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 3) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 4) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде?

1) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 2) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 3) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 4) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде?

Приложение № 1 Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Задача 1. 2.

Задача 1. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Сколько процентов деревьев обработано? 2. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар?

Задача 1. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Сколько процентов деревьев обработано? 2. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар?

Задача 1. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Сколько процентов деревьев обработано? 2. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар?

Задача

Задача 1) В школьном актовом зале 220 мест. Вовремя представления было занято 209 мест. Какой процент мест был занят? 2) Найдите процент содержания соли в растворе, если в 500 г раствора содержится 16 г соли.

Задача 1) В школьном актовом зале 220 мест. Вовремя представления было занято 209 мест. Какой процент мест был занят? 2) Найдите процент содержания соли в растворе, если в 500 г раствора содержится 16 г соли.

Задача 1) В школьном актовом зале 220 мест. Вовремя представления было занято 209 мест. Какой процент мест был занят? 2) Найдите процент содержания соли в растворе, если в 500 г раствора содержится 16 г соли.

Задача 1. Найдите отношение 35 к 7 Задача 2. Найдите отношение 3 к 18 Задача

Задача 1. Найдите отношение 35 к 7 Задача 2. Найдите отношение 3 к 18 Задача 3. В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни?

Задача 1. Найдите отношение 35 к 7 Задача 2. Найдите отношение 3 к 18 Задача 3. В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни?

Задача 1. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Сколько процентов деревьев обработано?

Решение:

всего 12 яблонь - это 100%, тогда

4 яблони – х %. Составим отношение количества обработанных яблонь к общему количеству яблонь.

Ответ: 33,(3)% процентов деревьев обработано

2. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар?

Решение:

Старая цена 520 руб - 100%

Новая цена 364 руб. - х %. Составим отношение новой цены к старой цене.

(новая цена)

100% - 70% = 30% (произошло снижение)

Ответ: товар подешевел на 30%.

Задача 1) В школьном актовом зале 220 мест. Вовремя представления было занято 209 мест. Какой процент мест был занят?

Решение: Найдем процентное отношение количества занятых мест к общему количеству мест

Ответ: было занято 95% мест.

2) Найдите процент содержания соли в растворе, если в 500 г раствора содержится 16 г соли.

Решение: Найдем процентное отношение количества соли к общему объему раствора

Ответ: раствор содержит 3,2% соли.

Просмотр содержимого документа
«Урок к недели математики Декабрь 2017»

Технологическая карта урока по математике в 6 классе Дата проведения: 5 декабря 2017 года

Тема: Процентное отношение двух чисел.

Тип урока: урок отработки умений и рефлексии.

Цели урока

Личностные: создание педагогических условий для формирования у обучающихся положительной мотивации к учению, умения преодолевать

посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, аккуратности,

развитие навыка самостоятельной работы, анализа своей работы.

Метапредметные: формировать устойчивый познавательный интерес к изучению математики, способам решения учебных задач;

Предметные: сформировать навык применения процентного отношения для решения задач.

Методы обучения : наглядный, словесный, практический, частично-поисковый, репродуктивный.

Формы организации учебной деятельности : фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Учебное оборудование : мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал.

Основные понятия: отношения двух чисел, процентное отношение, что показывает отношение чисел.

Ресурсы урока: мультимедийный проектор, экран, презентация «Отношения», карточки для работы в парах, карточки с практическими заданиями по новой теме, карточки для рефлексии.

Методы организации работы:

Словесные методы (эвристическая беседа, чтение),

Наглядные (демонстрация презентации),

Проблемно-поисковый;

Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод).

Формы организации работы:

- индивидуальная, -парная, -коллективная (фронтальная).

Этапы урока. Цель этапа.	Формируемые УУД
1. Мотивация к учебной деятельности. Цель: обеспечить благоприятный климат для работы на уроке, создание психологического комфорта, психологическая готовность учащихся к общению УЧИТЕЛЬ: Здравствуйте ребята. Я рада снова видеть вас на уроке. Один мудрец однажды сказал: « Не для школы, а для жизни мы учимся!» А для чего Вы изучаете такую сложную науку как математика? (Высказывания детей.) УЧИТЕЛЬ: «Вы – талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению» УЧИТЕЛЬ : Я желаю вам сегодня на уроке убедиться в справедливости этих слов великого французского философа Ж.- Ж. Руссо. УЧИТЕЛЬ: Ребята, чтобы нам легко работалось на уроке, давайте дадим себе установку. Читают с листа на доске: Я умный, Я всё знаю, Я всё умею, Я буду стараться, У меня всё получится .	Личностные: Самоопределение, регулятивные: Волевая саморегуляция
2.Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии. Цель: Актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала; Актуализировать мыслительные операции, сравнение, анализ, обобщение; мотивирование учащихся к пробному учебному действию и его самостоятельное осуществление; Зафиксировать индивидуальное затруднение в выполнении пробного учебного действия или его обосновании. Мы продолжаем изучение очень важного раздела? Какого? (слайд № 2). Откройте тетради, запишите число, классная работа. Проведем блиц-опрос. Игра Данетка. Если утверждение верное, вы в тетради ставите ДА, если неверное, то – НЕТ (Запись выражений на доске) В выражении 25:10 25 это делитель НЕТ В выражении 25*10 25 это множитель ДА В выражении 75:5 5 это делитель ДА Частное двух чисел называют отношением. ДА Отношение двух чисел показывает во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго ДА. Равенство двух отношений называют пропорцией. ДА. Числа составляющие пропорцию называют пропорциональными НЕТ Средние члены пропорции 100:200=4:8 это 4 и 8 НЕТ Крайние члены пропорции 100:200=4:8 это 100 и 8 ДА. Произведение крайних членов равно частному его средних членов. НЕТ 3) Решим устно: (слайд № 3). а) Прочитай пропорцию: 4). Перейдите от процентов к десятичным дробям (Прием «Лови ошибку») (слайд № 4). (Самопроверка) 7 % = 60 % = 39 % = 125% = 0,8 % 5). Перейдите от десятичных дробей к процентам (Самопроверка) 0,24 = 0,09 = 0,8 = 0,003 = 2,06 = Вопросы к классу: Найти сколько процентов одно число составляет от другого? а) 17 от 100 б) 23 от 46 (найти их отношение, умножить на сто) Что вы находили в последнем задании? (процентное отношение двух чисел) Вам нужно еще поработать над задачами на процентное отношение? (да). Хорошо, значит, тема урока…? (Процентное отношение двух чисел) Что показывает процентное отношение? (Сколько процентов одно число составляет от другого.) Как найти процентное отношение? (Надо найти отношение и потом выразить его в процентах.) 21-22 «+» - «5»; 17-20 «+» - «4» 11 – 16 «+» - «3», меньше 11 «+» - «2» Рефлексия: · Кто думает, что материал предыдущего уроков усвоил хорошо? · Кто считает, что надо еще поработать над пройденным материалом?	Познавательные: Коммуникативные: Достаточно точное и полное выражение своих мыслей, учет разных мнений учащихся Регулятивные: Фиксация индивидуального затруднения, волевая саморегуляция в ситуации затруднения
3.Выявление места и причины затруднений. Цель: организовать деятельность, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности; Ну, а мы вернемся к последнему примеру. (слайд №8). Задача1 . (слайд № 7). Задача2 . (слайд № 8). Ребята, скажите, может ли в жизни встретится такая ситуация? Итак, перед нами возникла проблема! Как можно решить данные задачи? Так как у нас урок математики, то мы будем говорить с вами о процентах в математике.	Познавательные: Анализ, сравнение, постановка и формулировка проблемы, построение речевого высказывания Регулятивные: Волевая саморегуляция в ситуации затруднения Коммуникативные: Выражение своих мыслей, аргументация Учет разных мнений, координирование в сотрудничестве разных позиций
4.Построение проекта выхода из ситуации затруднения. Цель: построить проект выхода из затруднения, т. е. постановка целей учебной деятельности и на этой основе – выбор способа и средств их реализации. Вопросы: Какую же цель вы поставите для себя на сегодняшний урок?(слайд № 6). Уметь применять знания при………. решении текстовых задач, Уметь составлять ……….. пропорции, Учиться работать ……….. самостоятельно, Честно оценивать ……….. свою работу, Уметь анализировать полученные результаты и делать выводы, Я буду очень рада, если к концу урока мы сможем ответить, хотя бы на ряд вопросов. Это и будет целью нашего урока. Решение задачи. Сделано 50 бросков. 5 дротиков пролетели мимо мишени. Определите процент попаданий. (слайд № 7). Процент попаданий = Задача2 . Посадили 900 семян. Из них взошло 720 семян. Каков процент всхожести семян? (слайд № 8). Процент всхожести = =	Познавательные: Умение структурировать знания Использование знаково-символических средств Смысловое чтение, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме Коммуникативные: На основе выбранного метода выдвинуть и обосновать гипотезу; учет разных мнений учащихся Регулятивные: Применение нового способа действий для решения задачи, вызвавшей затруднение
5.Реализация построенного проекта. Цель: организация самостоятельной исследовательской деятельности устраняющего причину выявленного затруднения Работа в парах с использованием метода кооперативного взаимообучения: 1) Чему равно отношение чисел 8 и 16 ?. 2) В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? 3) Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 4) В книге 300 страниц. Прочитано 75 страниц. Сколько процентов книги осталось прочитать? 5) В огороде росло 800 овощей, из них помидоров было 240. Сколько % помидоров росло в огороде? Те, кто сделал первыми, после проверки учителя могут помочь другим парам. Физкультминутка Быстро встали, улыбнулись. Выше-выше потянулись. Ну-ка плечи распрямите, Поднимите, опустите. Вправо, влево повернитесь, Рук коленями коснитесь. Сели, встали. Сели, встали. И на месте побежали. Молодцы. Садитесь.	Коммуникативные: Планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации, умение выражать свои мысли Познавательные: построение логической цепи рассуждений, обоснование Регулятивные: Познавательная инициатива
6.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи. Цель: з афиксировать изученное учебное содержание во внешней речи Задача: (слайд № 9) В цветочный магазин привезли 180 гвоздик. Из них 60 гвоздик белые, а остальные красные. Сколько % составляет: количество белых гвоздик от количества красных (60:120*100= 50%). (120:60*100=200%) (120:180*100=66,7%) (180:60*100=300%) Можно ли ответить на этот вопрос, каких гвоздик больше, белых или красных, опираясь не на условие задачи, а на значение отношения: отношение числа белых гвоздик к красным равно 0,5, отношение числа красных гвоздик к белым равно 2? (Если значение отношение больше 1, то первое число больше второго, если меньше, то первое число меньше второго) Закончи выражение: Приведи примеры	Познавательные: самостоятельный учет установленных ориентиров действия в новом учебном материале. Регулятивные: контроль, коррекция
7.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону Цель: проверить свое умение применять правило сравнения чисел на основе сопоставления с эталоном для проверки, выявить качество усвоения и способы действия А сейчас каждый проверит себя, насколько он понял, что такое отношение двух чисел. Кто желает поработать самостоятельно? (4 человека) (Самостоятельная работа с проверкой по эталону)(слайд № 10) Задача 1. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Сколько процентов деревьев обработано? Задача 2. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар? Кто желает поработать в паре? (4 пары. Самостоятельная работа с проверкой по эталону) 1) В школьном актовом зале 220 мест. Вовремя представления было занято 209 мест. Какой процент мест был занят? 2) Найдите процент содержания соли в растворе, если в 500 г раствора содержится 16 г соли. Остальные будем работать вместе со мной в группе. 1) Найдите отношение 35 к 7 2) Найдите отношение 3 к 18 3) В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни?	Регулятивные: Самостоятельный учет выделенных ориентиров действия в новом учебном материале, Самостоятельная адекватная оценка правильности результатов действия, внесение необходимых корректив Познавательные: Анализ, синтез, использование общих правил
8.Включение в систему знаний, повторение (резерв) Решение заданий в парах с самопроверкой по образцу Цель: показать необходимость изученного материала в ходе решения задач по математике Задача №1 (слайд 10) . Из 15 срезанных цветов 9 завяло. Сколько процентов срезанных цветов завяло? Задача №2 (слайд 11). Раствор соли массой 350 г содержит 14 г соли. Определите концентрацию (процентное содержание) соли в растворе.. Задача № 3 (слайд 12). Для приготовления компота смешали 2,5 кг яблок, 2 кг груш и 0,5 кг вишен. Найдите процентное содержание каждого вида фруктов, взятых для приготовления компота. Зачем нужно изучать проценты? (слайд 13). ПРОЦЕНТЫ Позволяют выражать количественную связь между величинами Наглядно представлять информацию о связи величин Проценты широко применяются в большинстве областей науки и жизни: Физика, Химия, Биология, Экология, Экономика, Генетика, Фармакология, Статистика, Бизнес, Криминалистика Какую цель мы поставили в начале урока? Достигли ли вы цели? (Дать полный ответ на вопрос о практическом применении, вы сможете, по окончании изучения темы «Отношение»). Как узнать, сколько процентов одно число составляет от второго? (слайд 14).	Познавательные: Анализ, синтез, сравнение Поиск и выделение необходимой информации Умение структурировать знания Личностные: Осознание ответственности за общее дело Коммуникативные: формулирование и аргументация своего мнения и позиции
9.Рефлексия учебной деятельности на уроке. Цель: зафиксировать новое содержание, изученное на уроке; правило сравнения рациональных чисел; оценить собственную деятельность на уроке; зафиксировать неразрешенные затруднения как направления будущей учебной деятельности; обсудить и записать домашнее задание Обучающиеся осуществляют рефлексию. . (слайд 15). РАДУГА: красный – Теперь я могу Оранжевый – Я научился… Желтый - Мне было трудно… Зеленый - у меня получилось Голубой - мне было интересно.. Синий - меня удивило Фиолетовый - сегодня на уроке я узнал… Поставьте себе оценку за урок. Задание на самооценку: Закончите предложения: 1.Я доволен (льна)…..(вполне, средне, не доволен) своей работой на уроке. 2.Я оцениваю свою работу на уроке на ………… (отлично, хорошо, удовлетворительно), потому что ………………………………. Вы талантливые дети, так как самостоятельно определили тему урока, делали выводы, отстаивали свое мнение. Я рада, что все цели нами достигнуты. Спасибо за урок. Домашнее задание: П. 21, № 639, 641 Дополнительное задание: Найти отношение собственного роста к расстоянию от подошвы до поясницы.	Познавательные: Рефлексия способ и условий действия Контроль и оценка процесса и результатов деятельности Личностные: Адекватное понимание причин успеха или неуспеха, Внутренняя позиция ученика Коммуникативные: Аргументация своего мнения, планирование учебного сотрудничества

Просмотр содержимого презентации
«5.12.2017»

• НЕТ 6. ДА.
• ДА 7. НЕТ

3. ДА 8. НЕТ

4. ДА 9. ДА.

5. ДА. 10. НЕТ

• а) Прочитай пропорцию:

1) 18: 6 = 24: 8 2) 30: 5 = 42: 7

3) 36: 9 = 50: 10 4) 6,3: 0,9=2,8: 0,4

• б) Назовите крайние и средние члены пропорции.
• в) Верно ли составлены пропорции?

Выполните задания

• Перейдите от процентов к десятичным дробям

• Перейдите от десятичных дробей к процентам

Отношения

Оцени свою работу

Кол-во правильных ответов

оценка

21 – 22

Меньше 11

Цели урока

уметь применять знания при

решении текстовых задач

уметь составлять …

пропорции

честно оценивать …

свою работу

уметь анализировать….

полученные результаты и делать выводы

учиться работать …

самостоятельно

Подсказка

Сделано 50 бросков. 5 дротиков пролетели мимо мишени. Определите процент попаданий.

Математика 6 класс. Н.Я. Виленкин. № 756.

5 промахов

50 выстрелов

Посадили 900 семян. Из них взошло 720 семян. Каков процент всхожести семян?

Подсказка

В цветочный магазин привезли 180 гвоздик. Из них 60 гвоздик белые, а остальные красные. Найдите сколько % составляет :

• количество белых гвоздик от количества красных.
• количество красных гвоздик от количества белых
• количество красных гвоздик от общего количества гвоздик
• общее количество гвоздик от количества белых

Из 15 срезанных цветов 9 завяло.

Сколько процентов срезанных цветов завяло?

1). Найдём, какую часть 9 составляет от 15:

2). Обратим дробь

0,6 в проценты,

для этого умножим

её на 100%

0,6 ∙ 100% =

Ответ: 60 %

Раствор соли массой 350 г содержит 14 г соли. Определите концентрацию (процентное содержание) соли в растворе.

1). Найдём, какую часть 14 г составляют от

2). Обратим дробь 0,04 в проценты,

для этого умножим её на 100%

0,04 ∙ 100% =

Ответ: 4 %

Для приготовления компота смешали 2,5 кг яблок,

2 кг груш и 0,5 кг вишен. Найдите процентное содержание каждого вида фруктов, взятых для приготовления компота.

2,5 кг

1) 2,5 + 2 + 0,5 = 5 (кг ) масса

фруктов в компоте

0,5 кг

2) 2,5: 5 ∙ 100% = 50%

Ответ: 50%;

40%; 10%

яблок в компоте

3) 2: 5 ∙ 100% = 40%

груш в компоте

4) 0,5: 5 ∙ 100% = 10%

вишен в компоте

100% - 50% - 40% = 10%

Зачем нужны проценты?

ПРОЦЕНТЫ

• Позволяют выражать количественную связь между величинами
• Наглядно представлять информацию о связи величин
• Проценты широко применяются в большинстве областей науки и жизни

• Физика
• Химия
• Статистика
• Бизнес
• Экономика

• Биология
• Экология
• Генетика
• Фармакология
• Криминалистика

Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы узнать, сколько процентов одно число

составляет от второго, надо первое число

разделить на второе и результат умножить

на 100%.

Сколько процентов составляют 200 м от 500 м?

1). Найдём, какую часть 200м составляют от

2). Обратим дробь 0,4 в проценты,

для этого умножим её на 100%

0,4 ∙ 100% =

Ответ: 40 %

Нахождение процентного отношения

Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, надо отношение этих чисел выразить в процентах.

Задача. Цена на товар снизилось с 520 руб. до 364 руб. На сколько процентов подешевел товар?

Решение . 520-364=156 (руб) произошло снижение

156: 520 * 100 = 30 %

p=а:А ·100

В шестом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки?

В классе учеников 30.

Девочек - 18

1 8 ,

1 8

Сколько % от всех учащихся составляют девочки?

1 8 0

0,6 ∙ 100% =

Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
Так с помощью букв записывают отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член. (Напоминание: дробная черта означает знак деления).

Процентное отношение.
Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.
Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.
По правилу: 52: 400 × 100 - 13 (%).
Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).
Решения задач на процентное отношение двух чисел редко предполагают только одно действие. Чаше решение таких задач состоит из 2-3 действий.

Примеры
Задача 1.
Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?
1-й вариант
Решение:
1 200 изделий - это план завода, или 100% плана.
1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?

2 300 - 1 200 = 1 100 (изд.)
2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?
1 100 от 1 200 => 1 100: 1 200 × 100 = 91,7 (%).

2-й вариант
Решение:
1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?
2 300 от 1 200 => 2 300: 1 200 ×100 = 191,7 (%).
2) На сколько процентов перевыполнен план?
191,7 - 100 = 91,7 (%)
Ответ: на 91,7%.

Задача 2.
Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?
Решение
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:
150/500 = 3/10 = 0,3 = 30 %
Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).

Задача 3.
Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?
Решение
Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах:
45: 36 = 1,25 = 125 %.

Задача 4.
В семенах сои содержится 20 % масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение.
В задаче требуется найти указанную часть (20 %) от известной величины (700 кг). Такие задачи можно решать способом приведения к единице. Основное значение величины – 700 кг. Её мы можем принять за условную единицу. А условная единица и есть 100 %. Так как пропорциональная зависимость прямая Кратко условия задачи можно записать так:

Составим пропорцию и найдем неизвестный член пропорции:

Ответ: 140кг.

Нахождение числа по его процентам.
Задача 1.
Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?
Решение
480 кг волокна составляют 24 % от некоторой массы хлопка-сырца, которую примем за Х кг. Будем считать, что Х кг составляют 100 %. Теперь кратко условие задачи можно записать так:

Ответ: 2000кг = 2т.
Эту задачу можно решить и иначе.
Если в условии этой задачи вместо 24 % написать равное ему число 0,24, то получим задачу на нахождение числа по известной его части (дроби). А такие задачи решают делением. Отсюда вытекает ещё один способ решения:
1) 24 % = 0,24; 2) 480: 0,24 = 2000 (кг) = 2 (т).
Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.

Вопросы к конспектам

В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду. Сколько кустов роз в саду?

Приведите отношение к отношению натуральных чисел:

Чтобы доехать до базы отдыха, турист проехал 80км, что составляет 40% всего пути. Какое расстояние осталось проехать, чтобы доехать до базы?

На этом уроке мы узнаем, как находить отношения двух и более чисел, научимся сравнивать объекты по их отношениям. Попрактикуем решение задач на отношения во всех их формах, включая задачи на проценты и отношения без конкретных величин.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

У натуральных чисел есть разное применение:

1. Обозначать количество. Пять яблок. Три автомобиля.

2. Задавать порядок. Пятый дом идет после третьего, но раньше девятого.

3. Давать имя. Номер на футболке спортсмена, номер телефона - это аналог имени.

Точно так же и дробь имеет разное назначение.

1. Обозначать количество . Пол-литра молока, четверть часа, две трети пути.

2. Сравнивать два числа. Брату 5 лет, а сестре 3 года. Брат старше в раза. Эта дробь не обозначает никакого количества. Она сравнивает одно число с другим. Такое сравнение называется отношением . Во сколько раз одно число больше другого (или меньше).

Рассмотрим такую ситуацию. Художник, глядя на дом, нарисовал его на бумаге. Мы понимаем, что это тот самый дом. Но ведь на бумаге он во много раз меньше. Что же осталось неизменным? Без изменения осталось отношение высоты дома к его ширине. То есть, если у реального дома высота в три раза больше ширины, то и на картинке то же самое. Если у дома высота 15 метров, а ширина 5 метров, то на картинке высота и ширина могут быть 15 и 5 см, или 30 и 10 см, но не могут быть 10 и 5, иначе изображенный дом будет не похож на настоящий (см. Рис. 1).

Рис. 1. Отношения сторон дома

Если разделить высоту на ширину дома, то мы получим их отношение.

Отношение везде было одинаковым.

Отношение может рассматриваться не только для двух, но и для любого количества величин.

Лотерейный билет стоил 100 рублей. Маша внесла 10 рублей, Петя - 20 рублей, Вася - 30 рублей и Вика - 40 рублей. Всего 100 рублей. Билет выиграл. Выигрыш 1000 рублей. Как справедливо разделить выигрыш?

Справедливо будет разделить в таком же отношении. Запишем отношения взносов.

В таком отношении у нас разделено 100 рублей.

Понятно, что, чтобы в таком же отношении разделить 1000 рублей, нужно все увеличить в 10 раз.

Это и будет справедливым.

В случае отношения двух чисел можно использовать и двоеточие, и дробную черту:

В случае трех и более чисел используем только двоеточие:

Обычно отношение двух чисел используют в двух случаях:

1. Отношение двух различных величин

Отношение высоты дома к его ширине.

Отношение роста или возраста двух человек.

2. Отношение частей или части и целого

Высота основной части дома 5 метров, крыши - 3 метра (см. Рис. 2).

Рис. 2. Отношение частей или части целого на примере дома

Можем записать различные отношения частей или частей и целого.

Крыша к основной части: 3:5

Крыша ко всему дому: 3:8

Основная часть ко всему дому: 5:8

Масса слона - 5 т, масса кита - 80 т. Найти отношение их масс.

Чтобы найти отношение, нужно одну величину разделить на другую. Отношение массы слона к массе кита составляет 5:80. В принципе, задача уже решена. Но это отношение можно упростить. Разделим обе части на 5. Получим отношение 1:16.

То же самое можно записать в виде дроби.

Можно было поступить наоборот: разделить массу кита на массу слона.

1:16 - отношение массы слона к массе кита

16:1 - отношение массы кита к массе слона

Такие отношения называют взаимно-обратными.

Оба отношения показывают нам одно и то же. Кит в 16 раз тяжелее слона.

Ответ:1:16, 16:1.

Весь путь составляет 30 км. Пройдено 6 км.

Каково отношение пройденного пути ко всему пути; к оставшемуся? (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Разделим пройденный путь на весь путь.

Отношение 1:5. Это означает, что пройденный путь в 5 раз меньше всего пути. Чаще мы в такой ситуации говорим, что пройденный путь составляет от всего пути, и используем дробь.

Отношение пройденного пути к оставшемуся говорит нам, что осталось в 4 раза больше, чем пройдено.

Сколько процентов составляет 3 минуты от 1 часа?

Задачи на проценты тоже являются задачами на отношение двух величин.

Найдем отношение 3 минут к часу.

Переведем часы в минуты, чтобы у нас были одинаковые единицы измерения (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

3 мин: 60 мин

Так как единицы измерения одинаковые, то различие только в количестве, значит, можно рассмотреть только отношение чисел.

Сократим на 3. Получаем:

Мы можем сказать, что 3 мин относятся к 1 ч, как 1: 20.

Или: 1 час в 20 раз больше, чем 3 мин.

Или: 3 минуты составляет от часа.

Так как в условии просили дать ответ в процентах, то надо дробь перевести в проценты. Проценты - это сотые. Переведем нашу дробь в сотые. Домножим числитель и знаменатель на 5. Получим .

Три минуты - это 5 % часа

Ответ: 5 %.

Не обязательно знать, чему равны две величины, чтобы найти их отношение.

В самом деле, если пройдена пути, то каково отношение пройденного пути к оставшемуся?

Пройдена , осталась . Оставшийся путь в два раза больше.

То есть отношение пройденного к оставшемуся равно 1:2.

Технически это получить не сложно.

Разделим на .

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

После сокращения получаем или отношение 1:2.

Итак, подведем итог.

• Чтобы найти отношение двух величин, нужно одну разделить на другую. Это можно записать с помощью знака деления или дробной черты.

Отношение к :

• Величины должны быть выражены в одних единицах

• Величины сами могут быть дробями или процентами

Отношения трех и более чисел

Задача 1

Треугольник, у которого стороны относятся как 3:4:5, обязательно имеет прямой угол. Его использовали древние египтяне, чтобы начертить на земле прямой угол. Треугольник так и называется - египетский.

Размеры могут быть разные, но отношение одно и то же (см. Рис. 5).

Рис. 5. Египетский треугольник

Задача 2

Коробка имеет размеры: 1,2 м, 60 см, 90 см.

Дом имеет размеры: 8 м, 4 м, 6 м.

Можно ли сказать, что у коробки и дома одинаковая форма (или, еще говорят, одинаковые пропорции)?

Запишем отношения размеров:

Кажется, что они разные.

Но для отношений выполняется такое же свойство, как и для дробей: все числа можно умножить или разделить на одно и то же число.

Разделим в первом отношении все на 10:

Теперь второе соотношение:

Разделим все на два.

Соотношения оказались одинаковыми.

Ответ: коробка и дом имеют одинаковую форму, одинаковые пропорции.

Задача 3

Отношения возрастов сестры, брата, мамы и папы составляет: 2:5:18:19.

Сестре 4 года. Сколько лет всем остальным?

Все члены отношения можно умножить или разделить на любое число. Чтобы первый член отношения стал 4, умножим все члены отношения на 2.

Все, мы решили задачу.

Сестре - 4 года, брату - 10 лет, маме - 36 лет, папе - 38 лет.

Ответ: 10, 36, 38.

Задача 4

В бригаде первый рабочий работал 3 дня, второй - 5 дней, третий - 6. Бригада получила оплату 35 000 рублей. Необходимо разделить деньги между рабочими в отношении потраченного времени.

Отношение потраченных дней равно 3:5:6. Значит, и гонорар нужно разделить в таком же отношении. Справедливо, если каждый работник получает одинаковую плату за один день работы.

Обозначим ее . Тогда первый получит , второй , а третий . В сумме это должно быть 35 000.

Отношением в математике называют действие деления или результат этого действия Скажем, отношение чисел 8 и 16 равно 0,5 или 50%. 8,8, 16 0,). Обратим дробь 0,5 в проценты, для этого умножим её на 100% 0,5 100% =050% Ответ: 50 %

В пятом классе 30 учеников. Девочек –18. Сколько процентов от числа всех учащихся составляют девочки? В классе учеников 30. Девочек,18, 30 0,6 100% =060% Ответ: 60 % Сколько % от всех учащихся составляют девочки?

Сколько процентов составляют 200 м от 500 м? 1). Найдём, какую часть 200 м составляют от 500 м: 200, 500 0,). Обратим дробь 0,4 в проценты, для этого умножим её на 100% 0,4 100% =040% Ответ: 40 %

1). Найдём, какую часть 9 составляет от 15: 9, 15 0,). Обратим дробь 0,6 в проценты, для этого умножим её на 100% 0,6 100% =060% Ответ: 60 % Из 15 срезанных цветов 9 завяло. Сколько процентов срезанных цветов завяло?

Подсказка Посадили 900 семян. Из них взошло 720 семян. Каков процент всхожести семян?

Для приготовления компота смешали 2,5 кг яблок, 2 кг груш и 0,5 кг вишен. Найдите процентное содержание каждого вида фруктов, взятых для приготовления компота. 2,5 кг 2 кг 0,5 кг 1) 2,5 = 5 (кг) масса фруктов в компоте 2) 2,5: 5 100% = 50% яблок в компоте 3) 2: 5 100% = 40% груш в компоте 4) 0,5: 5 100% = 10% вишен в компоте Ответ: 50%; 40%; 10% или 100% - 50% - 40% = 10%

Раствор соли массой 350 г содержит 14 г соли. Определите концентрацию (процентное содержание) соли в растворе. 1). Найдём, какую часть 14 г составляют от 350 г: 14, 350 0,). Обратим дробь 0,04 в проценты, для этого умножим её на 100% 0,04 100% = 4% Ответ: 4 % 0 4

Конспект урока по теме: «Процентное отношение двух чисел».

Токарева В.Н.,

учитель математики МБОУ «СОШ «№20 с УИОП»

г.Старый Оскол

Цели урока:

Общеобразовательные: повторить понятие «процент»; закрепить основные приемы и методы решения задач;

Развивающие: формирование качеств мышления, необходимых для математической деятельности и интеллектуального развития учащихся: самоопределения, логики, рефлексии, алгоритмизации.

Воспитательные : создание условий для развития коммуникативных умений, организации сотрудничества, сотворчества.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Девиз: «Чтобы дойти до цели, нужно прежде всего идти» О.Д.Бальзак.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Создание проблемной ситуации

Учитель: если вы правильно выполните вычисления, то узнаете тему сегодняшнего урока.

п

р

о

ц

е

н

т

ы

Учащиеся дают ответы, на экране буквы встают на место чисел в клеточки. Появляется тема урока.(Проценты)

2. Устный опрос

Что называется процентом? (сотая часть числа)

Что называется отношением?(частное двух чисел называют отношением этих чисел)

Что означает буквально перевод с латинского языка «pro zentum »?(за сто)

Как найти % от числа? (надо проценты выразить дробью, а затем найти дробь от данного числа)

Как выразить число в процентах?(достаточно это число умножить на сто и поставить знак %)

а) 10% от 190; (15)

б) 7 % от 50 км?

Как найти число по %? (надо выразить проценты в виде дроби найти число по данной дроби)

Найдите число:

а) 3 % которого равны 30;

б) 30 % составляет 27?

Переведите в проценты дроби?

а) 27/100 (27% ) г) 1/8 (0,125 – 12,5%)

б) 0,69; (69%) д) 4/5 (0,8 – 80%)

в) 0,4; (4 0 % ) е) 0,47 (47%)

Как выразить проценты в виде десятичной дроби?(число % разделить на сто)

Переведите проценты в десятичную дробь?

а) 1%; (0,01) д) 64 % (0,64)

б) 40%; (04) е) 5,7 % (0,057)

в) 95%; (0,95) ж) 0,7 % (0,007)

г) 139%; (1,39) з) 7 % (0,07)

4. Изучение нового материала.

1)) Проект ученика «Проценты в нашей жизни»

2)Учитель:Итак, ребята, тема сегодняшнего урока – «Процентное отношение двух чисел».

Процент - это универсальная величина, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин. Она очень важная в курсе математики.– Ребята, как вы думаете, в повседневной жизни, где встречаются проценты? Примерные ответы учащихся:

– В банках, на вкладах с разной процентной ставкой, при получении кредитов.

Верно, в современных условиях формирования рыночных отношений, мы правильно должны уметь обращаться деньгами, выбирать сберегательные банки, где нам будут предоставлять вклады по более высоким процентным ставкам.

А также в повседневной жизни встречается очень много задач на нахождение процентного отношения чисел, и не только денежных. Полученные знания на уроках математики вам помогут в дальнейшем при решении задач по химии, физике. При сдаче ЕГЭ часто дают текстовые задачи на проценты. Поэтому, наша цель, научиться решать их уже сейчас, и в дальнейшем уметь применять полученные знания.

3)Изучим правило нахождения процентного отношения двух чисел и вспомним известные нам задачи на проценты.

1.Нахождение процентного отношения чисел

Чтобы найти процентное отношение чисел надо отношение этих чисел умножить на 100%.

Пример: сколько процентов составляют 4 розы от 20 роз?

4:20*100%=20%(роз).

2.Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти а% от в, надо в*0,01а.

Пример: найти 20% от 20 роз.

20*0,2=4 (розы)

3. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а % числа х равно в, то х = в:0,01а.

Пример: 4 розы-20%. Сколько всего роз было?

4:0,2=20 (роз).

Решить № 647.

Вывод:

Чтобы найти a% от числа b, надо умножить в на 0,01a: X = b 0,01a .

Если a% числа x равно b, то x = b:0,01 a .

Чтобы найти процентное отношение этих чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.: a\b 100 %.

Историческая справка.

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3% ,уровень инфляции составляет 8%в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира и т.д.

Слово процент происходит от латинского слова pro cent, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шетидесятиричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

5. Физкультминутка для глаз.

6. Закрепление нового материала.

1)Проект ученика «Семейная математика»

Решить № 648, 650 (1, 2, 3).

7. Самостоятельная работа.

Решить № 650.

8. Итоги урока. Д/з.

Выучить п.21, решить № 637, 639 (1, 2), 653 (1).

Рефлексия.

Что изучили?

Что учились делать?