Однополостный гиперболоид вращения. Гиперболоиды

Я уже писала про такую красивую штуку, как гиперболоид вращения. Давно хотела сделать мастер-класс по ним для детей, чтобы показать вживую, как они устроены, что состоят из прямых элементов, а выглядят вогнутыми.
Можно делать окружности, размечать, хорошим клеем приклеивать на какой то жесткий стержень. Можно, но требует старательности и аккуратности.
(В Икее всякие оформительские ленты продаются в картонных больших катушках – можно для демонстации использовать их, но у меня в доме не оказалось такой нужной вещи, поэтому пришлось придумывать)

А тут мне в голову пришла идея как это сделать быстро и довольно легко.
Нужно для основы взять тонкую бобину скотча. Обычного, строительного.
Точнее – две.

Берем два бобины строительного скотча и размечаем их на одинаковое количество частей. Любое. 12 размечать просто и меньше делать нет смысла. Но можно сделать и 16 и 20 делений, будет только симпатичнее. Количество делений на двух бобинах должно быть одинаковым (бобины по размерам могут быть разные).

Теперь нужно соединить их в жесткую систему. Для этого используем палочки (можно шашлычные, у меня тут спицы – в спицах плюс оба заточенных конца, но это тоже не проблема, просто облегчение процесса).
Вставляем в две спицы друг на против друга и соединяем на них бобины. Поворачиваем на четверть оборота. Вставляем вторую пару спиц так, чтобы они были наклонены в другую сторону и тоже в четверть оборота. Словами трудно объяснить, и в принципе можно ставить их как угодно. И сдвиг может быть не на четверть оборота а больше (меньше хуже – почти не будет заметен изгиб). Но для простоты и крепости наверняка – вот так:

Теперь берем большую иголку и прочную нитку и начинаем добавлять отсутствующие палочки. Скотч легко протыкается иголкой близко от края. Не стоит пытаться проткнуть толщу скотча. Если хочется сделать не одинаковый с двух сторон гиперболоид – то нужно изначально брать разные катушки или одну взять использованную до 3-4 мм скотча. Тут главное соблюдать соединяемые точки, чтобы они наклонялись одинаково (у меня – на четверть поворота)
Сначала в одну сторону

Потом в другую

Бусинки для того чтобы нитка не проскальзывала вниз. Но можно закрепить аккуратнее и без выступов. Бусинки проще будут детям. Главное чтобы они все в одной стороны оказались и гиперболоид мог стоять.
Сбоку отлично видна изгибающаяся как талия поверхность.

Можно сделать гиперболоид из прочных палок. Это будет ближе к реальности. Но на нем плохо получается повернуть конструкцию – и плохо виден этот изгиб.

Я использовала шпажки – и одну бобину протыкала насквозь, чтобы не втыкать тупым концом.

Далее поворачиваем (скручиваем) эту конструкцию насколько получится. Скотч держит крепко, скручивается увы мало. Возможно нужны более тонкие палочки или более тонкий скотч, чтобы так хорошо не держал – для большей похожести на настоящий гиперболоид

И снова сложный период – вставить палочки в другом направлении. Проследить, чтобы смещение было одинаковым. При вставке держать крепко обе бобины, чтобы изгибалась палочка, а не вся конструкция (а то распадется). Проще сначала вставлять несколько палочек, потом их закреплять.

На таком гиперболоиде (из палочек) хоть и не видно изгиба – зато можно увидеть что эта конструкци очень прочная. Она может выдерживать вес на порядок больше своего собственного. И это еще был не предел по весу, можно было еще книжек навалить:)

Практического применения такой штуке, кроме демонстрации конструкции и эпатажного хранения книжек, я пока не придумала. давайте идеи!

Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.

Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.

При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями будут получаться окружности

В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями

в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение

т. е. уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где - произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.

Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.

Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

(краткая информация)

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.

Поверхности, образуемые вращением прямой линии:

1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;

2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;

3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;

Параллелями поверхности являются окружности.

Меридианом поверхности является гипербола.

Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

где a, b, c – положительные числа.

Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.

Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.

Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида

Уравнения этих линий:

Первое уравнение преобразуем к виду

Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).

Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.

Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения

Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.

Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).

Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,

- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

Книги

• , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
• Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…

однополосный гиперболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; Пересек. координатные осиплоскостями x=0,y=0,z=0 по гиперболам y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 и эллипсоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 соответственно. В сечениях однополосного гиперболоида плоскостями z=h всегда получаются эллипсы x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 с полуосями и .

Каноническое уравнение:

a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .

Горловой эллипс:

Асимптотический конус:

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Прямолинейные образующие

Через произвольную точку проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:

В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе то уравнениями прямолинейных образующих будут:

Двуполостный гиперболоид, его каноническое уравнение.

двуполостный гиперболоид x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h получается эллипс x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 с полуосями b*Корень(h 2 /a 2 -1) и с*Корень(h 2 /a 2 -1). При h=a получим в сечении точки (±а,0,0) – вершины двуполостного. В сечениях координ пл. z=0 и y=0 получим гиперболы x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 и x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 соответсвенно.

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .

Асимптотический конус:

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

Эллиптический параболоид, его каноническое уравнение.

эллиптический параболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

Каноническое уравнение:

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz .

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .

Гиперболический параболоид, его каноническое уравнение. Семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

гиперболический параболоид x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

Каноническое уравнение:

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие

Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:

Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M 1 с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Цилиндры.

цилиндры второго порядка: эллиптический цилиндр x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; гиперболический цилиндр x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; параболический цилиндр y 2 =2px; пара пересекающихся плоскостей a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 пара параллельных или совпадающих плоскостей x-a=0 a>=0; прямая x 2 +y 2 =0

Конусы.

конус второго порядка x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0; Пересекая пл. z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. В сечении плоскостями x=0 y=0 имеем пары пересек прямых y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 соотв.

Линейные пространства

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12