Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат  центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями
. Уравнение проекции такой линии на плоскость
получается из уравнения (3.32), если положить в нем
. Имеем:

. (3.33)

Так как всегда
, то можно ввести обозначения

,
, (3.34)

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

, (3.35)

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями и. Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосями
и
получается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью
, т. е. координатной плоскостью
. Этот эллипс называетсягорловым .

С увеличением размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями
и
, параллельными координатным плоскостям
и
. Проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

и
. (3.36)

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости
.

Если
, то в проекции на плоскость
получается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениями
и проходящих через начало координат.

Если
, то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси
(
) или
(
), причем полуоси этих гипербол увеличивается с удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости
. В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостями
и
получаем гиперболы

и
. (3.37)

Величины ,,называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

. (3.38)

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат  его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями
. Уравнение проекции линии пересечения на плоскость
получается из (3.38), если в нем положить
. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.39)

Если
, то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью
нет, т. е. в слое между плоскостями
и
не содержится точек рассматриваемой поверхности. Если
, то линия (3.39) вырождается в точки, т. е. плоскости
касаются двуполостного гиперболоида в точках
и
. Если
, то
и можно ввести обозначения

,
. (3.40)

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

, (3.41)

т. е. проекция на плоскость
линии пересечения двуполостного гиперболоида и плоскости
представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль оси
происходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости
рассматриваемая поверхность содержит две полости.

При сечении плоскостями
, параллельными
, получаются кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

. (3.42)

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси
, причем с увеличением абсолютной величиныувеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости
.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

Величины ,,называются полуосями двуполостного гиперболоида.

Почти 94 года назад началось широкое радиовещание с одного из инженерных шедевров того времени - радиобашни, построенной в Москве по проекту Владимира Григорьевича Шухова. Талантливейший инженер, к тому времени уже ставший академиком, возведший множество сложных сооружений по всей стране, Владимир Григорьевич воплотил в своей башне замечательную идею - выполнил несущую конструкцию в виде гиперболоида вращения. Высокая прочность, ветровая устойчивость, дешевизна производства и простота возведения, помноженные на визуальную легкость и изящество башни, по праву сделали ее одним из символов инженерно-архитектурного мастерства. И хотя Шухов спроектировал и построил немало более сложных и совершенных объектов, именно башня стала самым известным его творением.

Инженер по призванию

Башня на Шаболовке - далеко не первая гиперболоидная конструкция, возведенная Владимиром Григорьевичем. Еще в январе 1896 года он подал заявку на получение патента на устройство подобных сооружений. Эта гениальная в своей простоте и эффективности идея родилась у него благодаря анализу… плетеных крестьянских корзин. И впервые она была воплощена в металле на Нижегородской промышленно-художественной выставке 1896 года, где Шухов возвел водонапорную башню высотой 25 м. Резервуар вмещал 10 тыс. ведер воды, а сверху располагалась смотровая площадка, куда вела винтовая лестница.

Эта водонапорная башня сохранилась до наших дней. Она представляет собой однополостной гиперболоид вращения, созданный из 80 прямых стальных профилированных балок. Для повышения прочности были добавлены восемь стальных колец, стягивающих конструкцию.

Стоит отметить, что на этой выставке гиперболоидная башня была не единственным уникальным сооружением Шухова. По его проектам в Нижнем Новгороде впервые в мире возвели стальные сетчатые висячие своды, образующие выставочные павильоны, включая так называемую ротонду Шухова .

После выставки Шухов создал множество ажурных металлических сводов для самых разных объектов. Одними из самых ярких примеров являются своды Киевского вокзала и ГУМа в Москве.

Гиперболоидные и висячие сетчатые конструкции воплощались на сотнях объектов: на заводах, на водонапорных башнях, в общественных зданиях. А под Херсоном был возведен 80-метровый маяк.

Шухов проектировал и более «традиционные» объекты - мосты, цеха, подъемные краны, баржи, нефтеперегонные установки, промышленные котлы, резервуары, трубопроводы и многое другое. Огромное внимание он уделял технологичности своих конструкций, удобству серийного производства и унификации.

Вклад Владимира Григорьевича в индустриализацию Российской империи и Советского Союза неоценим. С его участием возводились такие гиганты промышленности, как Магнитка, Челябинский тракторный завод, Белорецкий, Выксунский, Ижевский и Нижнетагильский заводы, Азовсталь, кавказские нефтепроводы, снабжавшие страну стратегически важным ресурсом. Спустя годы все эти предприятия позволят нашей стране выстоять в жесточайшей войне.

Рождение башни

В 1919 г. Владимир Григорьевич Шухов создал проект 350-метровой гиперболоидной радиобашни - именно она должна была возвышаться сегодня на Шаболовке.

Когда-то Эйфель прославился на весь мир, возведя в центре Парижа 324-метровую башню. Но проект В. Шухова затмил бы конструкцию француза по целому ряду параметров. На создание Эйфелевой башни потребовалось 7,3 тыс. тонн металла, а масса гиперболоидной башни должна была составить всего 2,2 тыс. тонн, при этом она оказалась бы выше на 26 м.

Увы, этот уникальный проект не был реализован. Шел 1919 год, в стране царила гражданская война и разруха.

Металл был в большом дефиците, и Шухову отказали в возведении башни. Тогда неутомимый инженер создал новый проект - высотой около 150 м и весом 240 т. Он был одобрен Лениным, начались работы по возведению.

Постановление Совета рабоче-крестьянской Обороны.

1. Для обеспечения надежной и постоянной связи центра Республики с западными государствами и окраинами Республики поручается Народному Комиссариату Почт и Телеграфов установить в чрезвычайно срочном порядке в г. Москве радиостанцию, оборудованную приборами и машинами наиболее совершенными и обладающими мощностью, достаточной для выполнения указанной задачи.
2. Всем государственным учреждениям и организациям предлагается оказывать Народному Комиссариату Почт и Телеграфов в выполнении этой задачи самое деятельное и энергичное содействие по части снабжения всеми необходимыми материалами, транспорта ж. дорожного, водного и гужевого и по привлечению к этой работе квалифицированных и не квалифицированных рабочих, обеспечив их продовольствием и жилищем.
3. Работающих по установке радиостанции считать мобилизованными на месте и потому не подлежащими к призыву /независимо от возраста/ до тех пор, пока радиостанция не будет закончена.
4. Всем рабочим квалифицированным и не квалифицированным, работающим по установке радиостанции, выдавать красноармейский паек до тех пор, пока радиостанция не будет закончена.
5. Для наблюдения за выполнением этой задачи в кратчайший срок и правильностью производимых работ учредить распоряжением Компочтеля особую комиссию из работников Компочтеля и представителей от В.С.Н.Х. Государственного контроля и от Радио-секции Пролетарского Производственного Союза Народной связи; членам комиссии установить особое вознаграждение в пределах норм, предусмотренных постановлениями С.Н.К. о совместительстве.

Председатель Совета Обороны В. Ульянов /Ленин/
Москва, Кремль,
30-го июля 1919 г.

Радиобашня Шухова состоит из шести ярусов (высота каждого - 25 м). Каждый ярус представляет собой гиперболоид вращения - объемную конструкцию из прямых стальных балок, концы которых скреплены стальными кольцами.

Первый ярус опирается на бетонный фундамент диаметром 40 м и глубиной 3 м. Башня возводилась без использования лесов или подъемных кранов - каждый следующий ярус собирался внутри башни, и с помощью блоков и лебедок поднимался наверх. То есть башня вырастала телескопически.

Снабжение стройки металлом осуществлялось по личному распоряжению Ленина, но перебои все равно возникали. Да и качество металла тоже не всегда было удовлетворительным. При подъеме четвертого яруса оборвался стальной трос, и упавшая конструкция повредила уже возведенные ярусы. Это происшествие едва не стоило жизни самому Шухову, поскольку комиссия ЧК изначально расценила это как саботаж.

К счастью, подтвердилась настоящая причина обрыва - усталость металла, поэтому строительство было возобновлено.

Вот цитата из рабочей тетради Шухова, датированная 28 февраля 1919 г., в которой описывается методика расчета радиуса опорных колец каждого гиперболоидного яруса:

«Внешний обвод контура башни. Основной размер. Конус с переменным r набегающим постоянное приращение; в нашем случае r, 2r, 3r, 4r… или вообще r, r + f, r + 2f, r + 3f и т.д. и переменное приращение с непрерывным увеличением уклона от вертикали α. Т.е. приращение уклона выражается формулой α * n * (n – 1)/2, где n - номер этажа башни, считая от верха. Таким образом, получается следующий ряд: 1) f, 2) 2f + α, 3) 3f + 3α, 4) 4f + 6α, 5) 5f + 10α, 6) 6f + 15α, 7) 7f + 21α, 8) 8f + 28α и т.д., причем задаются размеры r, f и α. В данном случае r = 2,75 м, f = 2,75 м = r, α = 0,25 м, и потому радиусы получаются 2.75, 5.75, 9, 12.5, 16.25, 20.25 (уклоны 3→3,25→3,5→3,75→4)».

Исходя из этих данных, радиус опорного кольца яруса n выражается формулой:

R = 2,75 * n + 0,25 * n * (n – 1)/2.

А поскольку высота каждой секции составляет 25 м, то расстояние от вершины башни до опорного кольца секции n равно H = 25 * n. Тогда вышеприведенную формулу можно выразить так:

R = H * H/5000 + H * 21/200

Хотя надо отметить, что фактические размеры опорных колец совпадают с расчетными лишь у четырех нижних ярусов. То есть Шухов внес изменения в проект уже на стадии строительства. Также результаты современных обмеров показывают, что узлы соединения балок разных ярусов совершенно не совпадают с чертежами 1919 года. То есть можно предположить, что после начала возведения Владимир Григорьевич продолжал совершенствовать конструкцию башни, внеся немало изменений по сравнению с исходным проектом.

В 1922 году строительство башни завершилось, и 19 марта началось регулярное радиовещание. В марте 1939 года Шуховская башня стала главным источником и символом телевещания в СССР, сохранив эту роль до ввода в строй Останкинской телебашни.

Детище Шухова вскоре прославилось на всю страну, а затем сетчатые стальные оболочки начали массово применяться и по всему миру. За прошедшие почти 100 лет в мире построено несколько высотных гиперболоидных башен , включая 600-метровую телебашню в Китае . К слову, именно Шуховская башня вдохновила Алексея Толстого на написание фантастического романа «Гиперболоид инженера Гарина ».

Гиперболоидная конструкция оказалась очень экономичной с точки зрения металлоемкости, но при этом достаточно прочной. А ее ажурность позволяет эффективно противостоять ветровой нагрузке, главному врагу высотных сооружений. Элементы конструкции просты в производстве, следовательно, стоимость их невысокая. При строительстве не требуется применения сложных или трудоемких технологий, так как соединения выполнялись методом клепки. Устойчивость башни обеспечивается не только за счет взаиморасположения балок, составляющих гиперболоиды, но и благодаря некоторой доле подвижности клепаных соединений, в отличие от сварных или болтовых.

Хотя Шуховская башня в 2 раза ниже Эйфелевой, все же интересно провести поверхностное сравнение данных проектов. О металлоемкости уже упоминалось выше: при сравнимой высоте на конструкцию Шухова требуется в 3 раза меньше металла. Кроме того, башня на Шаболовке более технологична с точки зрения разнообразия номенклатуры деталей и соединительных узлов.

Вот копия чертежа 1919 года:

Башня состоит из прямых балок и кольцевых опор, простых и недорогих в изготовлении. Узловые соединения также имеют простую конфигурацию. Несмотря на то, что фактические конфигурации узлов не совпадают с проектом, они остаются столь же простыми и технологичными.

А вот чертежи Эйфелевой башни, ее соединений и некоторых элементов:

Как говорится, почувствуйте разницу. В отличие от парижского «конкурента», даже первоначальный 350-метровый вариант Шуховской башни требовал бы в разы меньшей номенклатуры деталей и был бы гораздо дешевле в постройке.

Кто-то может возразить, что Эйфелева башня обладает более высокой ветровой устойчивостью. Действительно, за всю историю наблюдений максимальное отклонение верхушки символа Парижа от действия ветра достигло 12 см . Любопытно, что на массивную металлическую конструкцию куда большее воздействие оказывает… солнечный свет. В яркий летний день, когда светило нагревает одну из сторон Эйфелевой башни, ее верхушка может отклоняться на 18 см из-за неравномерности теплового расширения элементов.

Надо сказать, что на момент начала строительства Шуховской радиобашни методика расчета прочности гиперболоидных конструкций была далека от совершенства. В последующие десятилетия ее продолжали развивать и углублять, однако башня на Шаболовке построена на основании расчетов, характерных для своего времени. В частности, использовались упрощенные модели распределения нагрузок, не учитывался ряд характерных особенностей вроде скручивания опорных колец, закрутки балок и продольные деформации. Использовались различные эмпирические и полуэмпирические формулы и коэффициенты, а недостаточная точность расчетов компенсировалась закладкой избыточной прочности. Тем не менее проведенные в последующие десятилетия исследования прочности Шуховской башни, в которых применялись более совершенные и точные методики расчета, показали результаты, близкие к расчетам самого Шухова.

Об устойчивости конструкции Шуховской башни говорят два случая. После ее возведения не демонтировали стальной трос, соединявший башню с одной из лебедок на земле. В 1930-е годы почтовый самолет задел этот трос крылом и упал неподалеку. Лебедку сорвало с фундамента, а башня получила сильный удар. Однако осмотр конструкции показал, что гиперболоид вышел из этой передряги без каких-либо повреждений или деформаций.

Второй случай связан с другой башней Шухова - гиперболоидной опорой ЛЭП высотой 128 м, установленной на берегу Оки. На самом деле, опор было две, но одну из них в 2005 году уничтожили вандалы - ради металла.

А несколько лет спустя из нижнего яруса второй башни была вырезана треть балок. В таком виде башня простояла еще несколько лет, неся несколько тонн тросов и подвергаясь давлению воды и льдов во время половодий. Впоследствии утраченные элементы конструкции восстановили, и башня стоит до сих пор. Что уж говорить о ветровой устойчивости московской радиобашни.

К сожалению, за 94 года Шуховскую башню на Шаболовке лишь трижды покрывали антикоррозионной краской. То есть бóльшую часть времени она провела без какой-либо защиты. Стальная конструкция ржавела и разрушалась, накапливалась усталость металла. Недавно внутри башни установили поддерживающие конструкции, снимающие часть нагрузки. У той же Эйфелевой башни ежегодно заменяют порядка 3% элементов на аналогичные, изготовленные по тем же технологиям, что и при возведении. А Шуховская башня уже век стоит практически без какого-либо ухода. К счастью, ее разрушение можно остановить, сохранив этот уникальный памятник отечественной инженерной мысли.

- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка

гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas

- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов

Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия

Книги

• , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
• Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…

Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.

Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).

Определитель однополостного гиперболоида S (l , i ^ П 1)

Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям

S (l, i ^ П 1 , l ° i) (рис. 2-91).

Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.

Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).

Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):

1. Разбить горловую (А,В,С ...) и нижнюю (1,2,3 ,..) параллели на 12 равных частей;

2. Из точки 4 1 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В 1 и Е 1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р 1 , которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П 2 пройдут через те же точки (4 2 , В 2 , Е 2 ).

3. Для остальных точек построение повторить.

Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:

1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;

2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;

3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются

(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0

Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.

Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.

При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями будут получаться окружности

В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями

в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение

т. е. уравнение однополостного гиперболоида.

Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где - произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.

Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.

Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы