ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Понятие и основные характеристики нечеткого множества

Определение 1.1. ПустьX – универсальное множество.Нечетким множеством A на множествеX (нечетким подмножествомA множестваX ) называется совокупность пар

A = {<μ A (x ),x >}, (1.1)

где x X ,μ A (x ) .X называетсяобластью определения нечеткого множестваA , аμ A –функцией принадлежности этого множества. Значение функции принадлежностиμ A (x ) для конкретного элементаx X называетсястепенью принадлежности этого элемента нечеткому множествуA .

Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько элемент x X соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множествомA . При этом значение, равное 1, означает полное (абсолютное) соответствие, значение, равное 0 – полное (абсолютное) несоответствие.

Определение 1.2. Нечеткие множества с дискретной областью определения называютдискретными нечеткими множествами , не-

четкие множества с непрерывной областью определения – непрерыв-

ными нечеткими множествами.

Обычные (четкие) множества можно также рассматривать в нечетком контексте. Функция принадлежности обычного множества может принимать только два значения: 0, если элемент не принадлежит множеству, и 1, если элемент ему принадлежит.

В литературе можно встретить различные формы записи нечетких множеств. Для дискретной области определения X ={x 1 ,x 2 , …,x n } (возможен также случайn = ∞) существуют следующие формы:

j = 1

где знак интеграла имеет смысл поточечного объединения наX . Кроме того, как для дискретного, так и для непрерывного случаев применяется обобщенная форма записи:

B = {x x ≈ 2} – множество вещественных чисел,приблизительно равных 2, иC = {x x >> 1} – множество вещественных чисел,на-

много бóльших 1. Возможные формы функций принадлежности этих множеств схематически представлены на рис.1.1 и рис.1.2 соответственно.

В качестве примера дискретного нечеткого множества можно рассмотреть D = {n n ≈ 1} – множество целых чисел,близких к 1,

возможная форма задания которого следующая:

N = {0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5} (остальные точки имеют нулевую степень принадлежности).

Конкретный вид функции принадлежности зависит от смысла, вкладываемого в формализуемое понятие в условиях конкретной задачи, и часто имеет субъективную природу. Большинство методов построения функций принадлежности в той или иной мере основано на обработке информации, получаемой экспертным путем.

Примечание 1. Здесь sup (супремум) – точная верхняя грань функции принадлежности. Если множествоX (область определения) является замкнутым, то супремум функции совпадает с ее максимумом.

Определение 1.5. Еслиh A = 1, то нечеткое множествоA называ-

ется нормальным, иначе (hA < 1) – субнормальным.

Определение 1.6. Носителем нечеткого множестваA называется множество

элементы области определения, хоть в какой-то степени соответствующие формализуемому понятию.

Примечание 2. Не следует путать обозначения sup и Supp. Первое является сокращением отsupremum , второе – отsupport .

Определение 1.7. Множеством уровняα (α -срезом) нечеткого

Ядро нечеткого множества, тем самым, содержит все элементы области определения, полностью соответствующие формализуемому понятию.

откуда следует, что элемент, принадлежащий множеству уровня α , принадлежит также всем множествам меньших уровнейβ ≤α .

Определение 1.9. ПустьA иB – нечеткие множества на множествеX с функциями принадлежностиμ A иμ B соответственно. Гово-

рят, что Aявляется нечетким подмножеством B(B включает в себя

A ), если выполнено следующее условие:

Среди нечетких множеств с числовой областью определения выделяют также класс нечетких чисел инечетких интервалов . Для определения этого класса вводится понятие выпуклости нечетких множеств.

Определение 1.11. Нечеткое подмножествоA вещественной оси называетсявыпуклым , если выполняется следующее условие:

На рис. 1.3 показаны примеры выпуклого (слева) и невыпуклого (справа) нечетких множеств.

Рис. 1.3. К определению выпуклости нечеткого множества

Определение 1.12. Нечетким интерваломназывается выпуклое нормальное нечеткое множество на числовой области определения, имеющее непрерывную функцию принадлежности и непустое ядро. Нечетким числомназывается нечеткий интервал, ядро которого содержит в точности один элемент.

Для нечетких интервалов и чисел существует теорема представления, согласно которой нечеткое подмножество A вещественной оси является нечетким интервалом тогда и только тогда, когда его функция принадлежности представима в виде:

Функции L A иR A называются соответственно левой и правой ветвью функции принадлежности нечеткого числа. Эти функции непрерывны, при этомL A на отрезке возрастает отL A (a 0 ) = 0 до

L A (a 1 ) = 1, аR A на отрезке убывает отR A (b 1 ) = 1 доR A (b 0 ) = 0 (рис. 1.4).

Рис. 1.4. К определению нечеткого интервала

Определение 1.13. ПустьA = {A 1 ,A 2 ,… ,A n } – семейство нечетких множеств, заданных на области определенияX .Ã называетсянечетким разбиением X с параметромα (0 <α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(т.е. любой элемент области определения принадлежит хотя бы одному из множеств семейства Ã со степенью, не меньшейα – рис. 1.5).

Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.

1. Нечеткие множества

2. Методы оптимизации

Нечеткие множества

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).

Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.

Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.

Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удов­летворяет свойству R , и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим не­четкое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М назы­вают множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .

Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функ­ции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, дав­ление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности использу­ются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые опре­деляется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попар­ных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить мат­рицей отношений , где (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .

Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширен­ным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значе­ние лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую перемен­ную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее зна­чений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Современную науку и технику невозможно представить без широкого применения математического моделирования, поскольку далеко не всегда могут быть поставлены натурные эксперименты, зачастую они слишком дороги и требуют значительного времени, во многих случаях они связаны с риском и большими материальными или моральными издержками. Сущность математического моделирования состоит в замене реального объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшим изучением модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Важнейшим требованием, предъявляемым к математической модели, является условие ее адекватность (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту относительно выбранной системы его свойств. Под этим, прежде всего, понимается правильное количественное описание рассматриваемых свойств объекта. Построение таких количественных моделей возможно для простых систем.

Иначе дело обстоит со сложными системами. Для получения существенных выводов о поведении сложных систем необходимо отказаться от высокой точности и строгости при построении модели и привлекать при ее построении подходы, которые являются приближенными по своей природе. Один из таких подходов связан с введением лингвистических переменных, описывающих нечеткое отражение человеком окружающего мира. Для того чтобы лингвистическая переменная стала полноправным математическим объектом, было введено понятие нечеткого множества.

В теории четких множеств была рассмотрена характеристическая функция четкого множества в универсальном пространстве , равная 1, если элемент удовлетворяет свойству и, следовательно, принадлежит множеству , и равная 0 в противном случае. Таким образом, речь шла о четком мире (булевой алгебре), в котором наличие или отсутствие заданного свойства определяется значениями 0 или 1 («нет» или «да»).

Однако в мире нельзя все разделить только на белое и черное, истину и лож. Так, еще Будда видел мир, заполненный противоречиями, вещи могли быть истинны в некоторой степени и, в некоторой степени, ложны в то же самое время. Платон положил основу того, что станет нечеткой логикой, указывая, что имелась третья область (вне Истины и Лжи) где эти противоречия относительны.

Профессор Калифорнийского университета Заде опубликовал в 1965 статью «Нечеткие множества», в которой он расширил двузначную оценку 0 или 1 до неограниченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1 в замкнутом интервале и впервые ввел понятие «нечеткого множества». Вместо термина «характеристическая функция» Заде использовал термин «функция принадлежности». Нечеткое множество (оставлено то же обозначение, что и для четкого множества) в универсальном пространстве
через функцию принадлежности (то же обозначение, что и для характеристической функции) определяется следующим образом

Функция принадлежности чаще всего интерпретируется следующим образом: величина означает субъективную оценку степени принадлежности элемента нечеткому множеству , например, означает, что на 80% принадлежит . Следовательно, должны существовать «моя функция принадлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежности специалиста» и т. п. Графическое представление нечеткого множества диаграмма Венна представляет собой концентрические окружности рис. 1. Функция принадлежности нечеткого множества имеет колоколообразный график в отличие от прямоугольного характеристической функции четкого множества рис. 1.

Следует обратить внимание на связь четкого и нечеткого множеств. Два значения {0,1} характеристической функции принадлежат замкнутому интервалу значений функции принадлежности. Следовательно, четкое множество является частным случаем нечеткого множества, а понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватывающим и понятие четкого множества. Другими словами четкое множество является и нечетким множеством.

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности и не содержит какой-либо нечеткости. Дело в том, что нечеткое множество строго определяется с помощью оценочных значений замкнутого интервала , а это и есть функция принадлежности. В случае если универсальное множество состоит из дискретного конечного набора элементов, то исходя из практических соображений, указывают значение функции принадлежности и соответствующий элемент, используя знаки разделения / и +. Например, пусть универсальное множество состоит из целых чисел меньших 10, тогда нечеткое множество «малые числа» можно представить в виде

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Здесь, например, 0,8/2 означает . Знак + обозначает объединение. При написании нечеткого множества в приведенном выше виде опускаются элементы универсального множества со значениями функции принадлежности, равными нулю. Обычно записывают все элементы универсального множества с соответствующими значениями функции принадлежности. Используется запись нечеткого множества, как в теории вероятностей,

Определение. В общем случае нечеткое подмножество универсального множества определяется как множество упорядоченных пар

Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать – принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех, или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству»

Для построения нечетких моделей систем само понятие нечеткого множества следует определить строго, чтобы исключить неоднозначность толкования тех или иных его свойств. Наиболее естественным и интуитивно понятным является задание области значений подобной функции как интервал действительных чисел, заключенных между 0 и 1 (включая и сами эти значения).

Математическое определение нечеткого множества. Формально нечеткое множество определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида:, гдеявляется элементом некоторого универсального множества, или универсума, а– функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементовнекоторое действительное число из интервала, т.е. данная функция определяется в форме отображения:

При этом значение для некоторогоозначает, что элементопределенно принадлежит нечеткому множеству, а значениеозначает, что элементопределенно не принадлежит нечеткому множеству.

Формально конечное нечеткое множество в общем случае имеет вид:

Универсум - это множество, содержащее в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально удобно считать, что функция принадлежности универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения элементов:.

Пустое нечеткое множество , или множество, которое не содержит ни одного элемента, обозначаетсяи формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов:

Формальное определение нечеткого множества не накладывает никаких ограничений на выбор конкретной функции принадлежности для его представления. Однако на практике удобно использовать те из них, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Это упрощает не только соответствующие численные расчеты, но и сокращает вычислительные ресурсы, необходимые для хранения отдельных значений этих функций принадлежности.

Функция принадлежности – математическая функция, определяющая степень, с которой элементы некоторого множества принадлежат заданному нечеткому множеству. Данная функция ставит в соответствие каждому элементу нечеткого множества действительное число из интервалаЗадать конкретное нечеткое множество означает определить соответствующую ему функцию принадлежности.

При построении функций принадлежности для нечетких множеств следует придерживаться некоторых правил, которые предопределяются характером неопределенности, имеющей место при построении конкретных нечетких моделей.

С практической точки зрения с каждым нечетким множеством удобно ассоциировать некоторое свойство, которое характеризует рассматриваемую совокупность объектов универсума. При этом по аналогии с классическими множествами рассматриваемое свойство может порождать некоторый предикат, который вполне естественно назвать нечетким предикатом. Данный нечеткий предикат может принимать не одно из двух значений истинности («истина» или «ложь»), а целый континуум значений истинности, которые для удобства выбираются из интервала При этом значению «истина» по-прежнему соответствует число 1, а значению «ложь» - число 0.

Содержательно это означает следующее: чем в большей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем более близко к 1 должно быть значение истинности соответствующего нечеткого предиката. И наоборот, чем в меньшей степени элементобладает рассматриваемым свойством, тем более близко к 0 должно быть значение истинности этого нечеткого предиката. Если элементопределенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующий нечеткий предикат принимает значение «ложь» (или число 0). Если же элементопределенно обладает рассматриваемым свойством, то соответствующий нечеткий предикат принимает значение «истина» (или число 1).

Тогда в общем случае задание нечеткого множества с использованием специального свойства эквивалентно заданию такой функции принадлежности, которая содержательно представляет степень истинности соответствующего одноместного нечеткого предиката.

Понятие нечеткого отношения наряду с понятием самого нечеткого множества следует отнести к фундаментальным основам всей теории нечетких множеств. На основе нечетких отношений определяется целый ряд дополнительных понятий, используемых для построения нечетких моделей сложных систем.

В общем случае нечетким отношением, заданном на множествах (универсумах) , называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Другими словами, если обозначить произвольное нечеткое отношение через, то по определению, где- функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение. Черезобозначен кортеж изэлементов, каждый из которых выбирается из своего универсума:

Нечеткая логика, которая служит основой для реализации методов нечеткого управления, более естественно описывает характер человеческого мышления и ход его рассуждений, чем традиционные формально-логические системы. Именно поэтому изучение и использование математических средств, для представления нечеткой исходной информации позволяет строить модели, которые наиболее адекватно отражают различные аспекты неопределенности, постоянно присутствующей в окружающей нас реальности.

Нечеткая логика предназначена для формализации человеческих способностей к неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекватно описывать ситуации с неопределенностью. Классическая логика по своей сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и рассуждения в формальных логических системах могут иметь только значение «истина» (И ,1) или значение «ложь» (Л ,0). В отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличныезначения. Нечеткая логика использует основные понятия теории нечетких множеств для формализации неточных знаний и выполнения приближенных рассуждений в той или иной предметной области.

В предложенной Л.Заде варианте нечеткой логики множество истинностных значений высказываний обобщается до интервала действительных значений , что позволяет высказыванию принимать любое значение истинности из этого интервала. Это численное значение является количественной оценкой степени истинности высказывания, относительно которого нельзя с полной уверенностью заключить о его истинности или ложности. Использование в качестве множества истинностных значений интервалапозволяет построить логическую систему, в рамках которой оказалось возможным выполнять рассуждения с неопределенностью и оценивать истинность высказываний.

Исходным понятием нечеткой логики является понятие элементарного нечеткого высказывания.

Элементарное нечеткое высказывание – это повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности. В нечеткой логикестепень истинности элементарного нечеткого высказывания принимает значение из замкнутого интервала, причем 0 и 1 являются предельными значениями степени истинности и совпадают со значениями «ложь» и «истина» соответственно.

Нечеткая импликация или импликация нечетких высказываний А и В (читается – «ЕСЛИ А, ТО В») – называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого может принимать значение, например, определяемое формулой предложенной Э.Мамдани:

Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Мамдани или нечеткой импликациейминимума корреляции.

Классическая нечеткая импликация, предложенная Л.Заде:

Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам искусственного интеллекта и нашли широкое применение для представления знаний и вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах. Поскольку нечеткий вывод реализуется на основе нечетких продукционных правил, рассмотрение базового формализма нечетких продукционных моделей приобретает самостоятельное значение. При этом нечеткие правила продукций не только во многом близки к логическим моделям, но и, что наиболее важно, позволяют адекватно представить практические знания экспертов в той или иной проблемной области.

Правило нечеткой продукции – под этим правилом понимается выражение вида:

где () – имя нечеткой продукции;- сфера применения нечеткой продукции;- условие применимости ядра нечеткой продукции;- ядро нечеткой продукции, в котором- условие ядра (или антецедент);- заключение ядра (или консеквент);- знак логической секвенции (или следования);- метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра;- коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции;- постусловия продукции.

Ядро продукции записывается в виде: , где А, В – некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний.

Продукционная нечеткая система представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций в форме.