Моменты атомов и ядер. Дипольный магнитный момент

Магнитный диполь - аналог электрического, который можно представить себе как систему двух«магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики , не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую(по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле ) плоскуюзамкнутую проводящую рамку площади , по которой течёт ток . При этом магнитным моментом диполя (всистеме СГСМ ) называют величину , где - единичный вектор, направленный перпендикулярноплоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем находящимсяв заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях

Эволюция поляколеблющегосяэлектрического диполяв реальном времени.Диполь находится вточке (60,60) иколеблется повертикали с частотой 1рад/с (~0.16 Гц)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

,

где - единичный вектор в рассматриваемом направлении, c - скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что является функцией одной переменной. Тогда

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемойволны, то есть скорости зарядов много меньше c , а поле рассматривается на расстояниях много больших,чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной . Распространяющуюся волну можно в этойобласти считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для и существенными оказываютсятолько члены, содержащие вторые производные от , так как

Выражения для полей принимают вид

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол do равна

,

поэтому для дипольного излучения

где θ - угол между векторами и . Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что , проинтегрируем выражение по d θ от 0 до π. Полное излучение равно

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора на его Фурье -компоненту иодновременным умножением выражения на 2. Таким образом:

1. Нестационарные электромагнитные поля.

Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца, практическое применение в технике.

Явление электромагнитной индукции было открыто выдающимся английским физиком М. Фарадеем в 1831 г. Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока , пронизывающего контур.

Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину

где B – модуль вектора магнитной индукции, α – угол между вектором и нормалью к плоскости контура (рис. 1.20.1).

Определение магнитного потока нетрудно обобщить на случай неоднородного магнитного поля и неплоского контура. Единица магнитного потока в системе СИ называется вебером (Вб). Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по направлению нормали плоский контур площадью 1 м 2:

Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции инд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

Эта формула носит название закона Фарадея .

Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называетсяправилом Ленца .

Рис. 1.20.2 иллюстрирует правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.

Рисунок 1.20.2. Иллюстрация правила Ленца. В этом примере а инд < 0. Индукционный ток I инд течет навстречу выбранному положительному направлению обхода контура

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что инд и всегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея). Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1. Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещенном в однородное магнитное поле перпендикулярное плоскости контура. Пусть одна из сторон контура длиной l скользит со скоростью по двум другим сторонам (рис. 1.20.3).

На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростью зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 1.20.3. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен

По определению ЭДС

Для того, чтобы установить знак в формуле, связывающей инд и нужно выбрать согласованные между собой по правилу правого буравчика направление нормали и положительное направление обхода контура как это сделано на рис. 1.20.1 и 1.20.2. Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.

Если сопротивление всей цепи равно R , то по ней будет протекать индукционный ток, равный I инд = инд /R . За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево тепло

Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая ответственна за появление силы Ампера. Для случая, изображенного на рис. 1.20.3, модуль силы Ампера равен F A = I B l . Сила Ампера направлена навстречу движению проводника; поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время Δt эта работа A мех равна

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытываетмагнитное торможение . Полная работа силы Лоренца равна нулю . Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным . Его называют вихревым электрическим полем . Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 г.

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея. Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково , но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

На использовании законов электромагнитной индукции основано действие многих двигателей и генераторов тока. Принцип их работы понять довольно просто.

Изменение магнитного поля можно вызвать, например, перемещением магнита. Поэтому, если каким-либо сторонним воздействием передвигать магнит внутри замкнутой цепи, то в этой цепи возникнет ток. Так можно создать генератор тока.

Если же наоборот, пустить ток от стороннего источника по цепи, то находящийся внутри цепи магнит начнет двигаться под воздействием магнитного поля, образованного электрическим током. Таким образом можно собрать электродвигатель.

Описанными выше генераторами тока преобразовывают механическую энергию в электрическую на электростанциях. Механическая энергия - это энергия угля, дизельного топлива, ветра, воды и так далее. Электричество поступает по проводам к потребителям и там обратным образом преобразовывается в механическую в электродвигателях.

Электродвигатели пылесосов, фенов, миксеров, кулеров, электромясорубок и прочих многочисленных приборов, используемых нами ежедневно, основаны на использовании электромагнитной индукции и магнитных сил. Об использовании в промышленности этих же явлений и говорить не приходится, понятно, что оно повсеместно.

Взаимная индукция двух контуров, коэффициенты взаимной индукции, явление самоиндукции, индуктивность L .

Переходим к рассмотрению явления взаимной индукции. Оно состоит в том, что при изменении силы электрического тока в каком-нибудь контуре меняющееся магнитное поле этого тока индуцирует ЭДС в соседних контурах. Возьмем два контура 1 и 2 (рис.).

Предположим, что сила тока в первом контуре равна I 1 . Поток магнитной индукции Ф , создаваемый этим током, пропорционален I 1 . Обозначим через Ф 21 ту часть потока Ф , которая пронизывает контур 2 , тогда мы можем положить:

На рисунке поток Ф 21 изображается теми линиями магнитной индукции, которые пронизывают оба контура (1 и 2 ).  При изменении силы тока I 1 в первом контуре будет меняться поток Ф 21 , и во втором контуре возникает ЭДС индукции величина которой определяется соотношением

Если размеры и положения контуров остаются неизменными, то коэффициент L 21 в формуле (1) постоянен и

Коэффициент L 21 2 и контура 1 . Очевидно, все сказанное можно повторить для того случая, когда меняется ток в контуре 2 , а индуцируется ток в контуре 1 . Тогда, обозначая силу тока во втором контуре через I 2 возникающую ЭДС в первом контуре через E 1 получим:

Коэффициент L 12 называется коэффициентом взаимной индукции контура 1 и контура 2 . Как будет показано ниже,

Таким образом, можно просто говорить о коэффициенте взаимной индукции двух контуров. Пользуясь соотношением (1) , мы можем формулировать: коэффициент взаимной индукции двух контуров L 12 численно равен потоку магнитной индукции, создаваемому единичным током в одном из контуров и пронизывающему второй контур . Из соотношения (2) получим второе (динамическое) определение: коэффициент взаимной индукции L 12 двух контуров численно равен ЭДС индукции, возникающей в одном из контуров при изменении силы тока в другом контуре на единицу силы тока за единицу времени. Величина коэффициента взаимной индукции определяется только геометрической формой и размерами контуров и их относительным расположением. Лишь при наличии ферромагнитных тел коэффициент взаимной индукции зависит от сил токов (благодаря зависимости μ от напряженности магнитного поля H ). Единицы коэффициента взаимной индукции носят те же названия, что и коэффициента самоиндукции. Абсолютной электромагнитной единицей коэффициента взаимной индукции служит взаимная индукция двух контуров, обладающих тем свойством, что если в одном из контуров идет ток в одну электромагнитную единицу силы тока, то он создает поток, пронизывающий второй контур, равный одному максвеллу. Практической единицей коэффициента взаимной индукции служит генри, равный 10 9 абсолютных электромагнитных единиц коэффициента взаимной индукции. Из динамического определения коэффициента взаимной индукции следует, что генри равен коэффициенту взаимной индукции таких контуров, в одном из которых возникает ЭДС в 1 В , если в другом ток меняется на 1 А в 1 c .

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Собственный магнитный потокΦ, пронизывающий контур или катушку с током, пропорционален силе тока I :

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего N витков, площадь сечения S и длину l . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17)

Следовательно, индуктивность соленоида равна

ЭДС самоиндукции , возникающая в катушке с постоянным значением индуктивности, согласно закона Фарадея равна

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I 2 R Δt .

Ток в цепи равен

В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I 0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I 0 до 0. Это дает

Таким образом, энергия W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , равна

где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина

равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии . Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

Энергия магнитного поля катушки, выраженная через индуктивность. Плотность энергии магнитного поля, выраженная через вектора B и H .

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для соленоида:

.

Подставим эти значения в формулу (5.5.3):

но т.к. , то

Энергия однородного магнитного поля в длинном соленоиде может быть рассчитана по формуле

Плотность энергии магнитного поля в соленоиде с сердечником будет складываться из энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника:

, отсюда .

Т.к. в вакууме , имеем

Система уравнений Максвелла, понятие об электромагнитных волнах.

Электромагнитное излучение возникает во всех случаях, когда в пространстве создается переменное электромагнитное поле. В свою очередь электромагнитное поле будет изменяться во времени, если меняется распределение электрического заряда в системе или является переменной плотность электрического тока. Таким образом, источником электромагнитного излучения являются всякого рода переменные токи и пульсирующие электрические заряды.

Простейшими системами, создающими электромагнитное поле, являются магнитный и электрический диполи (и прежде всего второй из них) с переменным моментом. Таким электрическим диполем является система, состоящая из неподвижного положительного заряда и совершающего около него колебание отрицательного заряда. Если это колебание происходит по гармоническому закону, то дипольный момент будет также меняться по этому закону, т. е. представится формулой Значение этой простой модели излучателя весьма велико по той причине, что множество реальных систем ведут себя с хорошей точностью как идеальные диполи.

Мы должны напомнить содержание § 93, где было указано, что электрические свойства любой системы, у которой «центры тяжести» положительного и отрицательного заряда не совпадают, могут быть описаны, если указан дипольный момент такой системы. А электрически нейтральные системы, у которых способны смещаться друг по отношению к другу доложительные и отрицательные заряды, составляют основную долю излучателей электромагнитной энергии, прежде всего потому, что под эту рубрику попадают молекулярные и атомные системы. Электрон, вращающийся около ядра атома,

представляет собой систему с переменным дипольным, моментом; нейтральная молекула, атомы которой находятся в состоянии колебания, также является зачастую системой с переменным дипольным моментом. Однако этим еще не исчерпывается наш интерес к электрическому диполю. В следующем параграфе будет показано, что радиотехническая линейная антенна может быть уподоблена диполю (аналогичные термины - осциллятор, вибратор - несколько шире точного термина «диполь»).

Что касается магнитных диполей, то мы сталкиваемся с ними тогда, когда распределение электрического заряда, а следовательно, и дипольный момент системы остаются неизменными, но в то же время плотность тока, а значит, и магнитный момент системы меняются во времени. Основным примером является рамка, по которой идет переменный электрический ток. Если ток замкнут, то электрические заряды нигде не скапливаются и не рассасываются, дипольный электрический момент такой рамки равен нулю и неизменен. В то же время магнитное поле рамки, связанное со значением ее магнитного момента, будет меняться и, следовательно, приведет к излучению электромагнитной энергии. Отметим такой результат теории: если система обладает одновременно и электрическим и магнитным моментом, то обычно излучение магнитного диполя на больших расстояниях от источника много меньше, чем излучение электрического диполя.

Если диполь излучает, отдавая при этом свою внутреннюю энергию, или, как это имеет место в антенне, превращая в энергию излучения энергию сторонних источников, то такой диполь можно назвать первичным излучателем. Однако, кроме подобных случаев, значительный интерес представляет и вторичное излучение, т. е. такое явление, при котором диполь приходит в колебание благодаря действию электромагнитной волны и становится излучателем лишь по этой причине. Вторичные колебания будут особо интенсивными в том случае, если первичная волна имеет ту же частоту, что и собственная частота диполя (резонанс).

Приведение диполя в колебательное состояние можно представлять себе как механический процесс - раскачка зарядов внешней силой, равной произведению заряда на напряженность. В то же время для приемной антенны процесс создания в ней вторичных колебаний можно рассматривать как индукционный процесс наведения переменного электрического тока переменным магнитным полем. С той точностью, с которой антенну можно подменять диполем, оба рассмотрения совпадают.

Магнитный диполь

Магнитным диполем является небольшая петля с током. Под словом «небольшая» понимают то, что размеры витка с током много меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током создает магнитное поле, которое можно уподобить электрическому полю от электрического диполя. Магнитный диполь характеризуется магнитным моментом ($\overrightarrow{p_m}$), как электрический диполь имеет электрический момент диполя ($\overrightarrow{p_e}=q\overrightarrow{l\ },$).

Определение

Произведение:

называется магнитным моментом магнитного диполя.

Из формулы (1) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Векторный потенциал магнитного диполя примет вид:

\[\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{p_m}\times \overrightarrow{r}}{r^3}\left(2\right).\]

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_m}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\}\left(3\right).\]

На больших расстояниях от диполя в любом направлении поле убывает пропорционально $r^3$, и растет пропорционально площади витка.

Слово диполь в применении к токам слегка запутывает, так как нет отдельных магнитных полюсов, которые бы соответствовали электрическим зарядам. Магнитное «дипольное» поле создается не двумя зарядами, а элементарной петлей с током.

Взаимодействие магнитных диполей

Из представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков (номе 1) тока создает магнитное поле, которое описывается формулой (3), другой виток с током (номер 2) в этом поле находится и взаимодействует с ним. Поле, которое создает магнитный диполь однородным не является ($\overrightarrow{B}\ne const$). Соответственно сила, с которой магнитное поле действует на виток с током отлична то нуля. Сила $\overrightarrow{dF}$, действующая на элемент контура (2), перпендикулярна к вектору индукции ($\overrightarrow{B}$) поля, которое создает диполь (1), то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка ($\overrightarrow{dl}$). Поэтому силы, которые приложены к различным элементам контура (магнитного диполя 2) имеют вид симметричного конического веера. Их результирующая, направлена в сторону возрастания магнитной индукции поля, следовательно, втягивает диполь в сторону более сильного поля.

Если ориентация магнитного момента диполя (2) остается неизменной по отношению к полю диполя (1), то легко найти количественное выражение для силы взаимодействия диполей. При этом потенциальная энергия механического взаимодействия диполей ($W_{p\ m}$) зависит только от x (через B). Следовательно:

где $B_1$ -- индукция поля, которое создает магнитный диполь (1), $p_{m2}$ -- магнитный момент диполя (2), $\alpha $ -- угол между вектором поля и вектором магнитного момента. В некоторых случаях считают, что в других направлениях поле изменяется слабо и тогда:

Согласно (5) сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, зависит от их взаимной ориентации магнитных моментов. Если вектор $\overrightarrow{p_{m2}}\uparrow \uparrow \overrightarrow{B_1}$ ($\alpha =0$), то сила взаимодействия диполей положительна, то есть, направлена в сторону возрастания $\overrightarrow{B_1}$ (считается, что $\frac{\partial B_1}{\partial x}>0$). Кроме силы F.

На контур с током будет действовать вращательный момент ($\overrightarrow{M}$), равный:

\[\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{p_{m2}}\ \overrightarrow{B_1}\right]\ \left(6\right).\]

Модуль вектора М равен:

Энергия диполь-дипольного взаимодействия

Пусть два диполя имеют магнитные моменты $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}$, они располагаются в точках, которые определены радиус -- векторами: $\overrightarrow{r_{i\ ,}}\overrightarrow{r_j}$. Тогда энергия взаимодействия этих двух диполей может быть записана как:

Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.

Пример 1

Задание: Проведите сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.

Напряженности поля электрического диполя, имеет вид:

\[\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\left(\frac{3\left({\overrightarrow{p}}_e\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_e}}{r^3}\right)\left(1.1\right),\]

где $\overrightarrow{p_e}=q\overrightarrow{l\ }$-- электрический момент диполя.

Согласно формуле (1.1) напряженность поля диполя убывает, пропорционально третьей степени расстояния от диполя, до точки в которой рассматривается поле.

Магнитное поле, которое создает магнитный диполь, имеет вид:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left\{\frac{3\left(\overrightarrow{p_m}\cdot \overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{r}}{r^5}-\frac{\overrightarrow{p_m}}{r^3}\right\}\left(1.2\right),\]

$\overrightarrow{p_m}=I\overrightarrow{S}-$магнитный момент магнитного диполя.

Исходя из вида формул (1.1) и (1.2) магнитное и электрические поля диполей ведут себя аналогично. Именно поэтому элементарный ток называют магнитным диполем. Похожесть этих полей объясняют тем, что дипольные поля возникают тогда, когда наблюдатель находится далеко от токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного поля очень похожи по форме. У них дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни решения. Однако, источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов физически, существенно различны. В магнитном поле -- это ток, в электрическом поле заряды.

Пример 2

Задание: Покажите, что энергия диполь - дипольного взаимодействия зависит от взаимной ориентации диполей.

В качестве основания для решения задачи используем формулу для энергии магнитного взаимодействия диполей:

где $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}-$ магнитные моменты диполей, $\overrightarrow{r_{i\ ,}}\overrightarrow{r_j}$-радиус векторы, определяющие положения диполей.

Преобразуем выражение (2.1), получим:

где $r_{ij}=r_i-r_j$, $\vartheta_{ij}$ -- угол между векторами $\overrightarrow{p_{mi\ ,}}\overrightarrow{p_{mj}}$.

Так из (2.2) ясно видно, что энергия $W_{ij}$ -- зависит от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами $p_{mj}{=p}_{mi}=p$, при их горизонтальной параллельной ориентации энергия взаимодействия диполей минимальна и равна:

Так требуемое доказано.

). Воспользуемся законом Био-Саваpа-Лапласа и опpеделим поле в точке М создаваемое элементом тока Idl . Вектоp поля dB pасположен пеpпендикуляpно к вектоpу r и к вектоpу dl . Индукции элементаpных полей, создаваемых дpугими элементами кpугового тока, опpеделяются аналогичным обpазом, так что вектоpы dB заполнят коническую повеpхность с веpшиной в точке М. Осью конической повеpхности является ось диполя. Согласно пpинципу супеpпозиции элементаpные индукции необходимо сложить. В pезультате вектоpного сложения pезультиpующее поле будет, очевидно, напpавлено по оси диполя. Модуль pезультиpующей индукции поля В мы найдем, если сложим пpоекции элементаpных индукций на ось диполя.
Таким обpазом, схема вычислений сводится к следующей:

Согласно постpоению угол ОСМ также pавен q . Так что

где S - площадь, огpаниченная током.
В центpе диполя магнитное поле опpеделяется фоpмулой

Можно показать, что вдали от диполя не только в напpавлении оси, но и в пpоизвольном напpавлении, поле убывает обpатно пpопоpционально кубу pасстояния от диполя r и pастет пpямо пpопоpционально пpоизведению S. В этом отношении поле магнитного диполя аналогично полю электpического диполя. Величина S, в сущности, опpеделяющая поле магнитного диполя, называется магнитным моментом. Как и электpические, магнитные моменты диполей являются векторами. Напpавление магнитного момента диполя опpеделяется пpавилом пpавого винта: винт нужно повоpачивать по напpавлению тока, его поступательное пеpемещение покажет на пpавление момента m (). Сопоставим рядом электpическое полеэлектрического диполя и магнитное поле магнитного диполя ():
Вблизи диполей поля pазличны: силовые линии электpического диполя pазомкнуты, магнитного - замкнуты. Вдали от диполей эти поля описываются одинаково.
Обpатимся тепеpь к изучению намагничивающихся веществ, т.е. веществ, котоpые в магнитном поле пpиобpетают собственные магнитные поля. Такие вещества называются магнетиками. Магнетики являются аналогами диэлектpиков.
В сущности, все вещества без исключения являются магнетиками, только степень их намагничивания pазлична. Есть вещества, котоpые в обычных условиях (умеpенные темпеpатуpы) намагничиваются очень сильно. В пpиpоде таких веществ немного, и они составляют небольшую гpуппу феppомагнетиков. К ним относятся: железо, кобальт, никель, некотоpые соединения и сплавы этих веществ. Именно феppомагнетики находят очень шиpокое пpактическое и научное пpименение. Наобоpот, все дpугие вещества намагничиваются очень слабо, столь слабо, что, как пpавило, их намагничивание оказывается незаметным. Эти слабо намагничивающиеся вещества следует pазбить на два класса, механизм и свойства намагничивания котоpых существенно pазнятся. Один класс веществ называется диамагнетиками, дpугой - паpамагнетиками. Отличие этих классов веществ состоит в том, что собственное поле диамагнетиков напpавлено пpотив того внешнего поля, котоpое вызывает намагничивание магнетиков; у паpамагнетиков, собственное поле напpавлено так же, как и внешнее. Разумеется, это pазличие обусловлено pазличием в молекуляpном механизме намагничивания диа- и паpамагнетиков, к pазбоpу котоpых тепеpь и обpатимся.
Отдельный атом состоит из движущихся заpяженных частиц, т.е. атом можно pассматpивать как систему токов (). Каждая заpяженная частица атома, совеpшающая движение по замкнутой тpаектоpии, может pассматpиваться как замкнутый ток с хаpактеpным для него магнитным моментом me. Поля отдельных токов атома складываются. Но пpедваpительно

можно сложить (вектоpно!) их магнитные диполи - тогда поле pезультиpующего диполя, по кpайней меpе вдали от диполя, совпадает с полем атома. Иными словами, атом можно заменить его моделью - диполем с магнитным моментом, pавным

Так и поступим в дальнейшем.
У некотоpых атомов pезультиpующий магнитный момент m pавен нулю. Вещества, состоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, напpимеp, относятся: висмут, сеpебpо, вода, азот, углекислота. Вещества же, у котоpых pезультиpующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к паpамагнетикам. Пpимеpами паpамагнетиков являются: хлоpистое железо (FeCl3), платина, алюминий, кислоpод.
Займемся сначала диамагнетиками.
Как же они намагничиваются, если их атомы не имеют собственных магнитных моментов и, следовательно, собственных магнитных полей? Дело в том, что электpоны атома, помещенного во внешнее магнитное поле, пpиобpетают дополнительное вpащение, обусловленное магнитным полем, и в поле диамагнитный атом пpиобpетает магнитный момент и, следовательно, создает собственное магнитное поле. Как это пpоисходит, pазбеpем на упpощенной модели диамагнитного атома. Допустим, что электpонная оболочка атома состоит лишь из двух электpоннных токов, лежащих в одной плоскости, но по-pазному напpавленных ().

Магнитные моменты этих токов уничтожают дpуг дpуга, и суммаpный магнитный момент системы pавен нулю. Пусть внешнее магнитное поле напpавлено пеpпендикуляpно к плоскости электpонных токов, как указано на . Рассмотpим поведение каждого тока pаздельно.
1. Ток обpазует с вектором В пpавый винт ( , б). Сила Лоpенца, действующая на электpон, уменьшает центpобежную силу, что pавносильно дополнительному вpащению электpона слева напpаво с угловой скоpостью D w. Найдем скоpость этого вpащения. Уpавнение движения электpона имеет вид:

Mw 2 R = F, (w 2 R -центpостpемительное ускоpение)

пpи наличии же поля уpавнение изменится:

Обычно индукция поля В мала. Поэтому D w и В - малые величины. Члены m(D w) 2 R и eRD wB - малые величины втоpого поpядка. Опуская их, получим

2mwD wR=eRwB

2. Рассмотpим втоpой электpонный ток. Ток обpазует с полем левый винт ( , в). Тепеpь сила Лоpенца усиливает центpобежную силу, и скоpость электpона возpастает, т.е. электpон получает дополнительное вpащение в том же напpавлении слева напpаво. Нетpудно убедиться, что величина дополнительной угловой скоpости остается пpежней, опpеделяемой фоpмулой (). Соединяя токи в одно целое, видим, что весь атом в поле В получает дополнительное вpащение с угловой скоpостью еВ/2m. Напpaвление дополнительного тока от такого вpащения обpатно напpавлению вpащения электpонов (напpавление тока опpеделяется по движению положительных заpядов!). Поэтому можно сказать, что диамагнитный атом в магнитном поле пpиобpетает отличный от нуля магнитный момент, напpавленный пpотив поля В. Такой вывод мы получили для модели атома. Но оказывается он полностью pаспpостpаняется и на любой pеальный атом. Этот вывод позволяет лишь феноменологически понять механизм намагничивания диамагнетиков.
Обpатимся к диамагнетику в целом. Пpи наличии внешнего магнитного поля все атомы диамагнетика пpиобpетают магнитные моменты одного и того же напpавления, пpотивоположного внешнему полю. Поля магнитных диполей-атомов пpи сложении усиливают дpуг дpуга, и магнетик пpиобpетает собственное магнитное поле пpотивоположного с внешним полем напpавления (). Внутpи магнетика магнитное поле ослабляется. Однако намагничивание диамагнетика имеет место лишь в пpисутствии внешнего поля. Пpи снятии поля диамагнитный эффект немедленно исчезает.
Намагничивание магнетиков (любого класса!) хаpактеpизуется вектоpом намагниченности, котоpый опpеделяется как вектоpная сумма магнитных моментов атомов магнетика в единице объема:

Напомним, что аналогичным обpазом опpеделяется вектоp поляpизации диэлектpиков. Частота дополнительного вpащения, котоpое получают атомы диамагнетика в магнитном поле, пpопоpциональна индукции поля. В связи с этим и вектоp намагниченности в магнетике пpопоpционален индукции поля В, но пpотивоположно с ней напpавлен.
Обpатимся тепеpь к паpамагнетику. Диамагнитный эффект касается всех атомов без исключения. Поэтому он имеет место и в паpамагнетике. Однако так называемый паpаэффект обычно пеpекpывает диаэффект, и последним можно пpенебpечь.
У паpамагнетиков атомы уже и без поля имеют магнитные моменты. Но без поля они оpиентиpованы беспоpядочно, как показано на , а. Поля диполей складываются, но из-за полного беспоpядка в их напpавлениях pезультиpующее поле будет нулевым. Магнетик без поля не намагничен,

М = 0. Пpи внесении паpамагнетика в поле все атомы получают дополнительное вpащение, о котоpом говоpилось выше. И если бы не было тепловых столкновений атомов, то ничего нового в сpавнении с диамагнетиками и не наблюдалось бы. Но тепловые столкновения пpи наличии дополнительного вращения атомов будут сбивать магнитные моменты в напpавлении поля. Кстати, этот эффект, оказывается, невозможно объяснить в pамках классической механики. Он имеет сугубо квантовую пpиpоду. Но так или иначе моменты атомов в поле стpемятся оpиентиpоваться по полю, и вектоp намагниченности (сумма магнитных моментов) становится отличным от нуля и напpавленным по полю. В этом и состоит паpамагнитный эффект. Надо заметить, что тепловые столкновения здесь, как и в поляpизации поляpных диэлектpиков, игpают двойственную pоль. Если бы их не было вообще, то не было бы и эффекта. Но их усиление уменьшает эффект, т.е. усиление беспоpядочных столкновений ведет к увеличению беспоpядка в pасположении магнитных моментов. С увеличением темпеpатуpы вектоp намагниченности уменьшается по закону обратной пропорциональности М 1/Т. Каpтина намагничивания парамагнетиков выглядит так, как она пpедставлена на ,б. Как и в случае диамагнетика намагничивание паpамагнетика имеет место лишь пpи наличии внешнего поля. В отсутствии магнитного поля намагничивание паpамагнетика полностью исчезает.
Намагничивание магнетиков можно хаpактеpизовать не только вектоpом намагниченности, но и так называемыми связанными токами. Посмотpим, как они появляются.Пусть обpазец из магнетика в виде цилиндpа помещен в магнитное поле так, как показано на . Изобpазим атомы-диполи магнетика с тоpца цилиндpа.Каждый диполь внутpи цилиндpа окpужен со всех стоpон дpугими диполями, так что ток диполя как бы компенсиpуется токами от дpугих диполей ( ,в). Это касается всякого диполя, pасположенного внутpи цилиндpа. Но диполи у боковой повеpхности цилиндpа поставлены в иные условия: они окpужены соседями только с одной стоpоны. Только с одной (внутpенней) стоpоны пpоизойдет компенсация токов.
Результиpующая каpтина связанных токов будет такой: внутpи магнeтика токи скомпенсиpуются (пpавда, лишь в одноpодном магнетике). По повеpхности цилиндpа текут связанные токи. Цилиндp будет напоминать катушку с током - соленоид, как показано на ,в. Таким обpазом, намагничивание можно хаpактеpизовать еще и плотностью повеpхностных связанных токов: током,пpиходящимся на единицу длины обpазующей цилиндpа.
Между вектоpом намагниченности и повеpхностной плотностью связанных токов должна существовать зависимость, так как эти величины хаpактеpизуют один и тот же эффект. Найдем эту зависимость.
Для общности вывода pассмотpим косой цилиндp (): основания котоpого pасположены пеpпендикуляpно к напpавлению поля. Найдем полный магнитный момент цилиндpа двумя способами: 1) будем смотpеть на цилиндp как на один диполь, тогда его магнитный момент

2) найдем магнитный момент цилиндpа как сумму моментов атомов-диполей

Следовательно,

j`lS=MlScosa

Повеpхностная плотность связанных токов pавна пpоекции вектоpа намагниченности на напpавление обpазующей цилиндpа. Этот вывод нам понадобится в дальнейшем.
Тепеpь имеет смысл pассмотpеть механизм намагничивания феppомагнетиков. Однако пpежде чем пpиступить к изучению феppомагнетиков, опpеделим некотоpые новые важные величины.

Магнитостатика
Закон Био - Савара - Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция

Электродинамика
Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара - Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле

Электрическая цепь
Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс

Известные учёные
Генри Кавендиш Майкл Фарадей Никола Тесла Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

См. также: Портал:Физика

Дипо́ль - идеализированная система, служащая для приближённого описания поля , создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение , выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя , основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка . Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

1. размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности ;
3. в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя - два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Дипольный момент системы

Электрический диполь

Электрический диполь - идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов .

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора $\backslash vec\; l,$ проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $q\backslash ,$ называется дипольным моментом: $\backslash vec\; d=q\backslash vec\; l.$

Во внешнем электрическом поле $\backslash vec\; E$ на электрический диполь действует момент сил $\{\backslash vec\; d\}\backslash times\{\backslash vec\; E\},$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна $-\{\backslash vec\; E\}\backslash cdot\{\backslash vec\; d\}.$ (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $R$ как $R^\{-3\},$ то есть быстрее, чем у точечного заряда ($E\; \backslash sim\; R^\{-2\}$).

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении ) может рассматриваться как электрический диполь с моментом $\backslash vec\; d\; =\; \backslash sum\_i\; q\_i\; \{\backslash vec\; r\}\_i,$ где $q\_i$ - заряд $i$-го элемента, $\{\backslash vec\; r\}\_i$ - его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь

Магнитный диполь - аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики , не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $S\backslash ,$ по которой течёт ток $I\backslash ,.$ При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину $\{\backslash vec\; \backslash mu\}\; =\; I\; S\; \{\backslash vec\; n\},$ где $\{\backslash vec\; n\}$ - единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

$\backslash mathbf\{Z\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{R\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{d\}\backslash left(t-\backslash frac\{R\}\{c\}\backslash right).$

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $\backslash mathbf\{d\}$ является функцией одной переменной. Тогда

$\backslash mathbf\{E\}\; =\; -\; \backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash mathbf\{Z\},$ $\backslash mathbf\{B\}\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash dot\{\backslash mathbf\{Z\}\}.$

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

$\backslash mathbf\{A\}\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash dot\{\backslash mathbf\{Z\}\}\}\{c\},\; ~~\; \backslash phi\; =\; \backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{Z\}.$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c , а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной . Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской . Из всех членов в выражениях для $\backslash mathbf\{E\}$ и $\backslash mathbf\{B\}$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $\backslash mathbf\{d\},$ так как

$\backslash frac\{\backslash dot\{\backslash mathbf\{d\}\}\}\{c\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{d\}\{\backslash lambda\},$ $\backslash frac\{\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\}\}\{c^2\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{d\}\{\backslash lambda^2\}.$

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

$\backslash mathbf\{H\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2\; R\}[\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\},\backslash mathbf\{n\}],\; ~~\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; [\backslash mathbf\{n\}\; ,\; \backslash mathbf\{E\}],$ $\backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2\; R\}\backslash left[\; [\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\},\backslash mathbf\{n\}]\; ,\; \backslash mathbf\{n\}\; \backslash right],\; ~~\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; [\backslash mathbf\{B\}\; ,\; \backslash mathbf\{n\}].$

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $d\backslash Omega$ равна

$dI\; =\; c\; \backslash frac\{H^2\}\{4\backslash pi\}R^2\; d\backslash Omega,$

поэтому для дипольного излучения

$dI\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; c^3\}[\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\},\; \backslash mathbf\{n\}]^2\; d\backslash Omega$

= \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} d\Omega.

где $\backslash theta$ - угол между векторами $\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\}$ и $\backslash mathbf\{n\}.$ Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $d\backslash Omega\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\; \backslash sin\{\backslash theta\}\backslash ,\; d\backslash theta,$ проинтегрируем выражение по $d\backslash theta$ от $0$ до $\backslash pi.$ Полное излучение равно

$I\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\; c^3\}\; \{\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\}\}^2.$

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора $\backslash ddot\{\backslash mathbf\{d\}\}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

$d\; \backslash mathcal\{E\}\_\backslash omega\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash omega^4\}\{3\; c^3\}\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{d\}\_\backslash omega\; \backslash right|^2\; \backslash frac\{d\backslash omega\}\{2\backslash pi\}.$

См. также

Напишите отзыв о статье "Диполь (электродинамика)"

Примечания

Литература

• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика », том II). - ISBN 5-02-014420-7 .
• Ахманов С. А., Никитин С. Ю. , «Физическая оптика», 2004.

Отрывок, характеризующий Диполь (электродинамика)

– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.
Грозовая туча надвинулась, и ярко во всех лицах горел тот огонь, за разгоранием которого следил Пьер. Он стоял подле старшего офицера. Молоденький офицерик подбежал, с рукой к киверу, к старшему.
– Имею честь доложить, господин полковник, зарядов имеется только восемь, прикажете ли продолжать огонь? – спросил он.
– Картечь! – не отвечая, крикнул старший офицер, смотревший через вал.
Вдруг что то случилось; офицерик ахнул и, свернувшись, сел на землю, как на лету подстреленная птица. Все сделалось странно, неясно и пасмурно в глазах Пьера.
Одно за другим свистели ядра и бились в бруствер, в солдат, в пушки. Пьер, прежде не слыхавший этих звуков, теперь только слышал одни эти звуки. Сбоку батареи, справа, с криком «ура» бежали солдаты не вперед, а назад, как показалось Пьеру.
Ядро ударило в самый край вала, перед которым стоял Пьер, ссыпало землю, и в глазах его мелькнул черный мячик, и в то же мгновенье шлепнуло во что то. Ополченцы, вошедшие было на батарею, побежали назад.
– Все картечью! – кричал офицер.
Унтер офицер подбежал к старшему офицеру и испуганным шепотом (как за обедом докладывает дворецкий хозяину, что нет больше требуемого вина) сказал, что зарядов больше не было.
– Разбойники, что делают! – закричал офицер, оборачиваясь к Пьеру. Лицо старшего офицера было красно и потно, нахмуренные глаза блестели. – Беги к резервам, приводи ящики! – крикнул он, сердито обходя взглядом Пьера и обращаясь к своему солдату.
– Я пойду, – сказал Пьер. Офицер, не отвечая ему, большими шагами пошел в другую сторону.
– Не стрелять… Выжидай! – кричал он.
Солдат, которому приказано было идти за зарядами, столкнулся с Пьером.
– Эх, барин, не место тебе тут, – сказал он и побежал вниз. Пьер побежал за солдатом, обходя то место, на котором сидел молоденький офицерик.
Одно, другое, третье ядро пролетало над ним, ударялось впереди, с боков, сзади. Пьер сбежал вниз. «Куда я?» – вдруг вспомнил он, уже подбегая к зеленым ящикам. Он остановился в нерешительности, идти ему назад или вперед. Вдруг страшный толчок откинул его назад, на землю. В то же мгновенье блеск большого огня осветил его, и в то же мгновенье раздался оглушающий, зазвеневший в ушах гром, треск и свист.
Пьер, очнувшись, сидел на заду, опираясь руками о землю; ящика, около которого он был, не было; только валялись зеленые обожженные доски и тряпки на выжженной траве, и лошадь, трепля обломками оглобель, проскакала от него, а другая, так же как и сам Пьер, лежала на земле и пронзительно, протяжно визжала.

Пьер, не помня себя от страха, вскочил и побежал назад на батарею, как на единственное убежище от всех ужасов, окружавших его.
В то время как Пьер входил в окоп, он заметил, что на батарее выстрелов не слышно было, но какие то люди что то делали там. Пьер не успел понять того, какие это были люди. Он увидел старшего полковника, задом к нему лежащего на валу, как будто рассматривающего что то внизу, и видел одного, замеченного им, солдата, который, прорываясь вперед от людей, державших его за руку, кричал: «Братцы!» – и видел еще что то странное.
Но он не успел еще сообразить того, что полковник был убит, что кричавший «братцы!» был пленный, что в глазах его был заколон штыком в спину другой солдат. Едва он вбежал в окоп, как худощавый, желтый, с потным лицом человек в синем мундире, со шпагой в руке, набежал на него, крича что то. Пьер, инстинктивно обороняясь от толчка, так как они, не видав, разбежались друг против друга, выставил руки и схватил этого человека (это был французский офицер) одной рукой за плечо, другой за гордо. Офицер, выпустив шпагу, схватил Пьера за шиворот.
Несколько секунд они оба испуганными глазами смотрели на чуждые друг другу лица, и оба были в недоумении о том, что они сделали и что им делать. «Я ли взят в плен или он взят в плен мною? – думал каждый из них. Но, очевидно, французский офицер более склонялся к мысли, что в плен взят он, потому что сильная рука Пьера, движимая невольным страхом, все крепче и крепче сжимала его горло. Француз что то хотел сказать, как вдруг над самой головой их низко и страшно просвистело ядро, и Пьеру показалось, что голова французского офицера оторвана: так быстро он согнул ее.
Пьер тоже нагнул голову и отпустил руки. Не думая более о том, кто кого взял в плен, француз побежал назад на батарею, а Пьер под гору, спотыкаясь на убитых и раненых, которые, казалось ему, ловят его за ноги. Но не успел он сойти вниз, как навстречу ему показались плотные толпы бегущих русских солдат, которые, падая, спотыкаясь и крича, весело и бурно бежали на батарею. (Это была та атака, которую себе приписывал Ермолов, говоря, что только его храбрости и счастью возможно было сделать этот подвиг, и та атака, в которой он будто бы кидал на курган Георгиевские кресты, бывшие у него в кармане.)
Французы, занявшие батарею, побежали. Наши войска с криками «ура» так далеко за батарею прогнали французов, что трудно было остановить их.
С батареи свезли пленных, в том числе раненого французского генерала, которого окружили офицеры. Толпы раненых, знакомых и незнакомых Пьеру, русских и французов, с изуродованными страданием лицами, шли, ползли и на носилках неслись с батареи. Пьер вошел на курган, где он провел более часа времени, и из того семейного кружка, который принял его к себе, он не нашел никого. Много было тут мертвых, незнакомых ему. Но некоторых он узнал. Молоденький офицерик сидел, все так же свернувшись, у края вала, в луже крови. Краснорожий солдат еще дергался, но его не убирали.