Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180° Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир).

Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.

В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если. то...», «из... сле- дус:- ..» и т.д. В этих случаях для сокращения записи используют знак.=> Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка М, одинаково удаленная от двух точек А и В, принадлежит оси симметрии этих точек (1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек А, В, М) (MA - MB) => (М принадлежит оси симметрии точек А и В).

Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем два утверждения, соединенные знаком =>. Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком => .называется условием теоремы, второе, стоящее после знака => .называется заключением теоремы.

Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек А, В, М) (точка М принадлежит оси симметрии точек А и В)=>(МА - МВ). Короче: если точка М принадлежит оси симметрии точек А и В, то точка М одинаково удалена от точек А и В. В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.

Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна.

Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение х" + -t-atx"-1+а2хв~2 + ...I с действительными коэффициентами имеет при нечетном п хотя бы один действительный корень, т, е. существует число x0eR, являющееся корнем этого уравнения.

Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.

Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» , утверждающая, что уравнение х* + у" = z* не имеет целых положительных решений при п > 2, пока не доказана.

Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем.

Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы . Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.

Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.

Грандиозное событие

Как-то в новогоднем выпуске рассылки о том, как произносить тосты, я вскользь упомянул, что в конце ХХ века произошло одно грандиозное событие, которого многие не заметили - была, наконец-то доказана так называемая Великая теорема Ферма . По этому поводу среди полученных писем я обнаружил два отклика от девушек (одна из них, насколько помню - девятиклассница Вика из Зеленограда), которых удивил данный факт.

А меня удивило то, насколько живо девочки интересуются проблемами современной математики. Поэтому, думаю, что не только девочкам, но и мальчикам всех возрастов - от старшеклассников до пенсионеров, тоже будет интересно узнать историю Великой теоремы.

Доказательство теоремы Ферма - великое событие. А т.к. со словом "великий" не принято шутить, то знать историю теоремы, мне кажется, каждый уважающий себя оратор (а все мы, когда говорим - ораторы) просто обязан.

Если так получилось, что вы не любите математику так, как люблю ее я, то некоторые углубления в детали просматривайте беглым взором. Понимая, что не всем читателям нашей рассылки интересно блуждать в математических дебрях, я постарался не приводить никаких формул (кроме самого уравнения теоремы Ферма) и максимально упростить освещение некоторых специфических вопросов.

Как Ферма заварил кашу

Французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:

"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях".

Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.

Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?

История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида Хn+Yn=Zn не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность.

Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром Великой теоремы

Кто только не пытался доказать теорему Ферма. Любой свежеоперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее всё никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу что ли?" и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Сколько бы теорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичного программиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясь найти хотя бы одно ее решение методом перебора целых чисел с использованием быстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил в успех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянет сенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количество такого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. И никакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смогли бы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр - для степени 5; Дирихле - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

В начале XX века (1907) состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Начался ажиотаж. Математические кафедры были завалены тысячами доказательств, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в некоторых университетах Германии, в которые в большом количестве поступали "доказательства" теоремы Ферма, были заготовлены бланки примерно такого содержания:

Уважаемый __________________________!

В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
в формуле:__________________________ обнаружена следующая ошибка:,

Которые рассылались незадачливым соискателям премии.

В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист. Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.

(Фермисты, как ни странно, существуют и ныне. Один из них хоть и не считал, что доказал теорему, как классический фермист, но до недавних пор предпринимал попытки - отказался верить мне, когда я сообщил ему, что теорема Ферма уже доказана).

Наиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокому авторитету.

К тому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n

На следующий вечер портье Гильберт столкнулся с гораздо более трудной проблемой. Как и накануне, отель был переполнен, когда прибыл бесконечно длинный лимузин, из которого высадилось бесконечно много новых гостей. Но Гильберта это нисколько не смутило, и он только радостно потирал руки при мысли о бесконечно многих счетах, которые оплатят вновь прибывшие. Всех, кто уже обосновался в отеле, Гильберт попросил переселиться, соблюдая следующее правило: обитателя первого номера - во второй номер, обитателя второго номера-в четвертый номер, и т. д., то есть каждого постояльца Гильберт попросил перейти в новый номер с вдвое большим «адресом». Все, кто жил в отеле до прибытия новых гостей, остался в отеле, но при этом освободилось бесконечно много номеров (все те, «адреса» которых нечетны), в которых находчивый портье расселил новых гостей. Этот пример показывает, что удвоенная бесконечность также равна бесконечности.

Возможно, отель Гильберта наведет кого-нибудь на мысль, что все бесконечности одинаково велики, равны друг другу, и что любые различные бесконечности можно втиснуть в номера одного и того же бесконечного отеля, как это делал находчивый портье. Но в действительности одни бесконечности больше других. Например, любая попытка найти в пару каждому рациональному числу иррациональное число так, чтобы ни одно иррациональное число не осталось без своей рациональной пары, непременно заканчивается неудачей. И действительно, можно доказать, что бесконечное множество иррациональных чисел больше бесконечного множества рациональных чисел. Математикам пришлось создать целую систему обозначений и названий с бесконечной шкалой бесконечностей, и манипулирование с этими понятиями - одна из наиболее острых проблем нашего времени.

Хотя бесконечность количества простых чисел навсегда разрушила надежды на скорое доказательство Великой теоремы Ферма, такой большой запас простых чисел пригодился, например, в таких областях как шпионаж или исследование жизни насекомых. Прежде чем мы вернемся к повествованию о поиске доказательства Великой теоремы Ферма, уместно немного отвлечься и познакомиться с тем, как правильно и неправильно используются простые числа.

* * *

Теория простых чисел - одна из немногих областей чистой математики, которые нашли непосредственное приложение в реальном мире, а именно в криптографии. Криптография занимается кодированием секретных посланий с таким расчетом, чтобы декодировать их мог только получатель, а перехватчик расшифровать бы их не мог. Процесс кодирования требует использования ключа к шифру, и по традиции для дешифровки необходимо снабдить получателя этим ключом. При такой процедуре ключ - самое слабое звено в цепи обеспечения безопасности. Во-первых, получатель и отправитель должны условиться о деталях ключа, и обмен информацией на этом этапе сопряжен с определенным риском. Если противнику удастся перехватить ключ при обмене информацией, то он сможет дешифровывать все последующие послания. Во-вторых, для поддержания безопасности ключи необходимо регулярно менять, и при каждой замене ключа существует риск перехвата нового ключа противником.

Проблема ключа вращается вокруг того факта, что применение ключа в одну сторону приводит к шифровке послания, а применение того же ключа в обратную сторону дешифрует послание - дешифровка производится столь же легко, как и шифровка. Но из опыта нам известно, что ныне существуют многие ситуации, когда дешифровка гораздо сложнее, чем шифровка: приготовить яичницу-болтунью несравненно легче, чем вернуть яичницу-болтунью в исходное состояние, разделив белки и желтки.

В 70-е годы XX века Уитфилд Диффи и Мартин Хеллман занялись поиском математического процесса, который было бы легко выполнить в одну сторону, но невероятно трудно - в противоположную сторону. Такой процесс дал бы идеальный ключ. Например, у меня мог бы быть мой собственный ключ из двух частей, и его шифровальную часть я мог бы опубликовать в общедоступном месте. После этого любой желающий мог бы посылать мне зашифрованные послания, но дешифровальная часть ключа была бы известна только мне. И хотя шифровальная часть ключа была бы доступна всем, к дешифровальной части она не имела бы никакого отношения.

В 1977 году Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман - группа математиков и специалистов по компьютерам из Массачусеттского технологического института - выяснили, что простые числа являются идеальным базисом для процесса легкой шифровки и трудной дешифровки. Чтобы изготовить мой собственный персональный ключ, я мог бы взять два огромных простых числа, каждое из которых содержит до 80 знаков, и, умножив одно число на другое, получить еще большее составное число. Все, что требуется для кодирования посланий, - это знать большое составное число, тогда как для дешифровки послания необходимо знать два исходных простых числа, которые мы перемножили, т. е. простые множители составного числа. Я могу позволить себе опубликовать большое составное число - шифровальную половину ключа, и сохранить в тайне два простых множителя - дешифровальную половину ключа. Очень важно, что хотя любому известно большое составное число, разложить его на два простых множителя чрезвычайно трудно.

Рассмотрим более простой пример. Предположим, что я выбрал и сообщил всем желающим составное число 589, позволяющее каждому посылать мне шифрованные послания. Два простых множителя числа 589 я сохранил бы в тайне, поэтому расшифровать послания никто, кроме меня, не может. Если бы кому-нибудь удалось найти два простых множителя числа 589, то такой человек также смог бы дешифровывать адресованные мне послания. Но сколь ни мало число 589, найти его простые множители не так-то просто. В данном случае на настольном компьютере в несколько минут можно было бы обнаружить, что простые множители числа 589 равны 31 и 19 (31·19 = 589), поэтому мой ключ не мог бы гарантировать безопасность переписки особенно долго.

Но если бы составное число, которое я опубликовал, содержало более сотни знаков, это делало бы поиск простых множителей практически неразрешимой задачей. Даже если для разложения огромного составного числа (шифровального ключа) на два простых множителя (дешифровального ключа) использовать самые мощные компьютеры, которые только существуют в мире, то и тогда, чтобы найти эти множители, понадобилось бы несколько лет. Следовательно, чтобы сорвать коварные планы иностранных шпионов, мне необходимо всего лишь ежегодно менять ключ. Раз в год я довожу до всеобщего сведения свое новое гигантское составное число, и тогда всякий, кто пожелает попытать счастья и расшифровать мои послания, будет вынужден приступать заново к разложению опубликованного числа на два простых множителя.

* * *

Простые числа встречаются и в мире живой природы. У периодических цикад, известных как Magicicada septendecim, самый длинный жизненный цикл из всех насекомых. Их жизнь начинается под землей, где личинки терпеливо сосут соки из корней деревьев. И лишь через 17 лет ожидания взрослые цикады появляются из-под земли, собираются в огромные рои и на какое-то время заполоняют все вокруг. За несколько недель они спариваются, откладывают яйца, а затем умирают.

Вопрос, который не давал биологам покоя, - почему жизненный цикл у цикад такой длинный? Имеет ли какое-нибудь значение для жизненного цикла то, что продолжительность его выражается простым числом лет? Другой вид - Magicicada tredecim - роится через каждые 13 лет. Это наводит на мысль, что продолжительность жизненного цикла, выражающаяся простым числом лет, дает виду определенные эволюционные преимущества.

Месье Леблан

К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва, осуществленного Эйлером, не было ни малейшего продвижения, пока сенсационное заявление одной юной француженки не вдохнуло новые надежды. Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой. Софи Жермен выпало жить в эпоху шовинизма и предрассудков, и для того, чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей пришлось принять псевдоним, работать в ужасных условиях и творить в интеллектуальной изоляции.

На протяжении веков занятия математикой считались неженским делом, но, несмотря на дискриминацию, нашлось несколько женщин-математиков, выступивших против сложившихся обычаев и порядков и запечатлевших свои имена в анналах математики. Первой женщиной, оставившей след в истории математики, была Теано (VI век до н. э.), учившаяся у Пифагора, ставшая одним из его самых близких последователей и вышедшая за него замуж. Пифагора иногда называют «философом-феминистом» за то, что он всячески поощрял женщин-ученых. Теано была лишь одной из двадцати восьми сестер в пифагорейском братстве.

В более поздние времена сторонники и последователи Сократа и Платона продолжали приглашать женщин в свои школы, но только в IV веке н. э. женщина-математик основала свою собственную влиятельную школу. Ипатия, дочь профессора математики Александрийской академии, прославилась на весь известный тогда мир своими диспутами и умением решать различные задачи. Математики, на протяжении долгих месяцев ломавшие головы над решением какой-нибудь задачи, обращались к Ипатии с просьбой о помощи, и та редко разочаровывала своих поклонников. Математика и процесс логического доказательства целиком захватили ее, и на вопрос, почему она не выходит замуж, Ипатия отвечала, что обручена с Истиной. Именно безграничная вера Ипатии в человеческий разум стала причиной ее смерти, когда Кирилл, патриарх Александрийский, начал преследовать философов, естествоиспытателей и математиков, которых он называл еретиками. Историк Эдвард Гиббон оставил яркое описание событий, происшедших после того, как Кирилл организовал заговор против Ипатии и натравил на нее толпу.

«В тот роковой день, в священный сезон Лента, Ипатию вытащили из колесницы, на которой она ехала, раздели донага, поволокли к церкви и бесчеловечно разрубили ее на части руками Петра Чтеца и толпы диких и безжалостных фанатиков; ее плоть содрали с костей острыми устричными раковинами, а ее трепещущие конечности были сожжены на костре».

После смерти Ипатии в математике наступил период застоя. Вторая женщина, заставившая говорить о себе как о математике, появилась только после Возрождения. Мария Аньези родилась в Милане в 1718 году. Как и Ипатия, она была дочерью математика. Аньези была признана одним из лучших математиков Европы. Особую известность ей принесли труды, посвященные касательным к кривым. В Италии кривые назывались «versiera» (от латинского «поворачивать»), но это же слово считалось сокращением слова «avversiera» - «жена дьявола». Кривые, исследованные Аньези (versiera Agnesi) были неправильно переведены на английский язык как «ведьма Аньези», и со временем Марию Аньези стали величать так же.

Хотя математики по всей Европе признавали математический талант Аньези, многие академические учреждения, в частности Французская Академия, отказались предоставить ей пост, позволяющий заниматься исследованиями. Политика недопущения женщин на академические посты продолжалась и в XX веке, когда Эмми Нётер, о которой Эйнштейн отзывался как о «наиболее значительном творческом математическом гении из числа появившихся с тех пор, как началось высшее образование для женщин», отказали в предоставлении права чтения лекций в Гёттингенском университете. Большинство профессоров рассуждало так: «Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Ведь если она станет приват-доцентом, то со временем может стать профессором и членом университетского сената… Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и узнают, что должны будут учиться у ног женщины?» Давид Гильберт, друг и наставник Эмми Нётер, возразил на это так: «Господа! Я не понимаю, почему пол кандидата препятствует принятию ее в качестве приват-доцента. В конце концов университетский сенат - не мужские бани».

Позднее у Эдмунда Ландау, коллеги Нётер, спросили, действительно ли Нётер великая женщина-математик, на что он ответил: «Я могу поклясться, что она великий математик, но в том, что она женщина, я поклясться не могу».

Помимо того, что Эмми Нётер так же, как и женщины-математики прошлых веков, страдала от дискриминации, она имела с ними еще много общего: например, была дочерью математика. Вообще, многие математики происходили из математических семейств, и это породило лишенные всякого основания слухи об особом математическом гене, но среди женщин-математиков процент выходцев из математических семей особенно велик. Объяснение заключается, по-видимому, в том, что даже самые одаренные женщины не решились бы изучать математику или не получили бы поддержку своим намерениям, если бы их семья не была бы причастна науке. Подобно Ипатии, Аньези и большинству других женщин-математиков, Нётер не была замужем. Столь массовое безбрачие среди женщин-математиков объясняется тем, что выбор женщиной профессии математика встречал неодобрительное отношение со стороны общества, и лишь немногие мужчины осмеливались предложить руку и сердце женщинам с такой «сомнительной» репутацией. Исключением из общего правила стала великая женщина-математик из России Софья Васильевна Ковалевская. Она вступила в фиктивный брак с палеонтологом Владимиром Онуфриевичем Ковалевским. Для обоих брак был спасением, позволив им вырваться из-под опеки семей и сосредоточиться на научных исследованиях. Что же касается Ковалевской, то путешествовать в одиночку ей было гораздо удобнее под видом респектабельной замужней дамы.

Из всех европейских стран наиболее непримиримую позицию по отношению к образованным женщинам занимала Франция, провозгласившая, что математика - неподходящее занятие для женщин и лежит за пределами их умственных способностей! И хотя салоны Парижа доминировали в математическом мире XVIII и XIX веков, только одной женщине удалось вырваться из пут французского общественного мнения и утвердить за собой репутацию крупного специалиста по теории чисел. Софи Жермен революционизировала поиски Доказательства Великой теоремы Ферма и внесла вклад, значительно превосходящий все, что сделали ее предшественники-мужчины.

Софи Жермен родилась 1 апреля 1776 года в семье торговца Амбруаза Франсуа Жермен. Помимо увлечения математикой на ее жизнь глубокое влияние оказали бури и невзгоды Великой французской революции. В тот самый год, когда она открыла для себя свою любовь к числам, народ взял штурмом Бастилию, а на то время, когда она занималась изучением математического анализа, пала тень царства террора. Хотя отец Софи был вполне состоятельным человеком, Жермены не принадлежали к аристократии.

Девушек, стоявших на той же ступени социальной лестницы, что и Софи, не особенно поощряли к изучению математики, тем не менее предполагалось, что они должны обладать достаточным знанием этого предмета, чтобы иметь возможность поддержать светский разговор, если он коснется какого-нибудь математического вопроса. Для этого была написана серия учебников, призванных ознакомить их с последними достижениями математики и естествознания. Так, перу Франческо Альгаротти принадлежал учебник «Философия сэра Исаака Ньютона, объясненная для пользы дам». Поскольку Альгаротти был убежден в том, что дам могут интересовать только романы, открытия Ньютона он попытался изложить в виде диалога маркизы, флиртующей с собеседником. Например, собеседник излагает маркизе закон всемирного тяготения, в ответ на что маркиза высказывает собственную интерпретацию этого фундаментального закона физики: «Я не могу отделаться от мысли, что… то же соотношение, обратная пропорциональность квадрату расстояния… наблюдается и в любви. Например, если влюбленные не видятся восемь дней, то любовь становится в шестьдесят четыре раза слабее, чем в день разлуки».

Неудивительно, что интерес Софи Жермен к науке возник не под влиянием книг такого галантного жанра. Событие, изменившее всю ее жизнь, произошло в тот день, когда она, перебирая книги в отцовской библиотеке, случайно наткнулась на «Историю математики» Жана Этьена Монтуклы. Ее внимание привлекла глава, в которой Монтукла рассказывает о жизни Архимеда. Перечень открытий Архимеда в изложении Монтуклы, несомненно, вызывал интерес, но особенно воображение Софи захватил эпизод, в котором речь шла о смерти Архимеда.

По преданию, Архимед провел всю свою жизнь в Сиракузах, где в сравнительно спокойной обстановке занимался математикой. Но когда ему было далеко за семьдесят, покой был нарушен вторжением римской армии. Согласно легенде, именно во время этого вторжения Архимед, глубоко погруженный в созерцание геометрической фигуры, начертанной на песке, не расслышал обращенный к нему вопрос римского солдата, и, пронзенный копьем, погиб.

Жермен рассудила, что если геометрическая задача может настолько захватить кого-то, что это привело к его смерти, то математика должна быть самым удивительным предметом в мире. Софи немедленно принялась за самостоятельное изучение основ теории чисел и математического анализа, и вскоре засиживалась допоздна, читая труды Эйлера и Ньютона. Внезапный интерес к столь «неженскому» предмету, как математика, встревожил родителей Софи. Друг семьи граф Гульельмо Либри-Каруччи далла Соммайя рассказывал, что отец Софи отобрал у дочери свечи, одежду и унес жаровню, обогревавшую ее комнату, чтобы помешать ей заниматься математикой. Несколькими годами позднее в Британии отец молодой девушки-математика Мэри Сомервилл также отнял у дочери свечи, заявив: «Этому нужно положить конец, если мы не хотим увидеть Мэри в смирительной рубашке».

Но в ответ Софи Жермен завела тайное хранилище для свечей и спасалась от холода, кутаясь в простыни. По сообщению Либри-Каруччи, ночи зимой бывали такими холодными, что чернила замерзали в чернильнице, но Софи продолжала заниматься математикой, невзирая ни на что. Некоторые из знавших ее в юности утверждали, что она была застенчивой и неуклюжей, но решимости ей было не занимать, и в конце концов родители уступили и дали Софи благословение на занятия математикой. Жермен никогда не была замужем, и на протяжении всей ее карьеры исследования Софи финансировал отец. Долгие годы Жермен проводила свои исследования в полном одиночестве, потому что в семье не было математиков, которые могли бы познакомить ее с новейшими идеями, а учителя Софи отказывались признать ее всерьез.

Жермен обретала все большую уверенность в своих силах и перешла от решения задач в учебных заданиях к изучению еще неисследованных областей математики. Но самое важное для нашего повествования заключается в том, что Софи заинтересовалась теорией чисел и, естественно, не могла не услышать о Великой теореме Ферма. Несколько лет Жермен проработала над ее доказательством и, наконец, достигла такого этапа, когда ей показалось, что она смогла продвинуться к желанной цели. Возникла насущная необходимость обсудить полученные результаты с коллегой, специалистом по теории чисел, и Жермен решилась обратиться к самому большому специалисту по теории чисел - немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу.

По всеобщему признанию Гаусс - самый блестящий из когда-либо живших на свете математиков. Э.Т. Белл называл Ферма «князем любителей», а Гаусса - «князем математиков». Впервые Жермен по достоинству оценила талант Гаусса, встретив его шедевр «Арифметические исследования» - наиболее важный и необычайно широкий по охвату проблем трактат из написанных со времен «Начал» Евклида. Труды Гаусса оказали влияние на все разделы математики, но, как ни странно, он никогда ничего не опубликовал о Великой теореме Ферма. В одном письме Гаусс высказал даже пренебрежительное отношение к проблеме Ферма. Друг Гаусса, немецкий астроном Генрих Ольберс, написал ему письмо, настоятельно советуя принять участие в конкурсе на соискание премии Парижской Академии за решение проблемы Ферма: «Мне кажется, дорогой Гаусс, что Вам следовало бы озаботиться этим». Двумя неделями позже Гаусс ответил: «Весьма обязан за вести относительно Парижской премии. Но признаюсь, что Великая теорема Ферма как некое отдельное предложение представляет для меня весьма малый интерес, поскольку я мог бы привести множество таких предложений, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть». Гаусс имел право придерживаться своего мнения, однако Ферма ясно заявил, что доказательство существовало, и даже предпринятые впоследствии неудачные попытки найти доказательство породили новые и оригинальные методы, такие, как доказательство методом бесконечного спуска и использование мнимых чисел. Возможно, Гаусс также пытался найти доказательство и потерпел неудачу, а его ответ Ольберсу - всего лишь вариант заявления «зелен виноград». Тем не менее, успех, достигнутый Жермен, о котором Гаусс узнал из ее писем, произвел на него столь сильное впечатление, что Гаусс на время забыл о своем пренебрежительном отношении к Великой теореме Ферма.

Семьюдесятью пятью годами ранее Эйлер опубликовал найденное им доказательство для n =3, и с тех пор все математики тщетно пытались доказать Великую теорему Ферма в других частных случаях. Но Жермен избрала новую стратегию и в письмах к Гауссу изложила так называемый общий подход к проблеме Ферма. Иначе говоря, ее непосредственной целью было не доказательство отдельного случая - Жермен вознамерилась сказать нечто о многих частных случаях сразу. В письмах к Гауссу она изложила общий ход вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что числа 2p +1 - также простые. В составленный Жермен перечень таких простых чисел входит число 5, поскольку 11 = 2·5 + 1 - также простое, но число 13 в него не входит, так как 27 = 2·13 + 1 не простое.

В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если уравнение x n + y n = z n имеет решения для таких простых n , что 2n +1 также простое число, то либо x, y , либо z делится n .

В 1825 году метод Софи Жермен был успешно применен Густавом Леженом Дирихле и Адриеном Мари Лежандром. Этих ученых разделяло целое поколение. Лежандр был семидесятилетним старцем, пережившим политические бури Великой французской революции. За отказ поддержать правительственного кандидата в Национальный Институт он был лишен пенсии, и к тому времени, когда он внес свою лепту в доказательство Великой теоремы Ферма, Лежандр испытывал сильнейшую нужду. Дирихле же был молодым и исполненным честолюбивых замыслов специалистом по теории чисел, которому едва исполнилось двадцать лет. И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n =5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и именно ей были обязаны своим успехом.

Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес некоторые остроумные усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n =7. Жермен показала специалистам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с простыми значениями n , и теперь объединенными усилиями ее коллеги продолжали доказывать теорему для одного простого значения n за другим. Работа Жермен над Великой теоремой Ферма стала ее величайшим достижением в математике, хотя и не сразу оцененным по достоинству. Когда Жермен впервые написала Гауссу, ей не было еще и тридцати лет, и хотя ее имя приобрело известность в Париже, она опасалась, что великий математик не воспримет письмо от женщины всерьез. Чтобы защитить себя, Жермен снова укрылась за псевдонимом, подписав письмо именем месье Леблана.

Софи не скрывала своего благоговения перед Гауссом. Вот фраза из ее письма: «К сожалению, глубина моего интеллекта уступает ненасытности моего аппетита, и я сознаю все безрассудство своего поступка, когда беру на себя смелость побеспокоить гениального человека, не имея ни малейшего права на его внимание, кроме восхищения, которое неизбежно охватывает всех его читателей». Гаусс, не подозревая о том, кто в действительности его корреспондент, попытался успокоить «месье Леблана». В ответном письме Гаусса говорилось: «Я восхищен тем, что арифметика нашла в Вас столь способного друга».

Результаты, полученные Жермен, могли бы навсегда остаться ошибочно приписанными месье Леблану, если бы не император Наполеон. В 1806 году Наполеон захватил Пруссию, и французская армия штурмовала одну германскую столицу за другой. Жермен стала опасаться, как бы судьбу Архимеда не разделил ее второй великий герой - Гаусс. Софи написала своему другу - генералу Жозефу Мари Пернети, командовавшему наступавшими войсками. В письме она просила генерала обеспечить Гауссу безопасность. Генерал предпринял соответствующие меры, позаботился о немецком математике и объяснил ему, что тот обязан своей жизнью мадемуазель Жермен. Гаусс выразил свою признательность, но был удивлен, так как никогда не слышал о Софи Жермен.

Игра была проиграна. В следующем же письме Гауссу Жермен неохотно открыла свое подлинное имя. Ничуть не рассердившись за обман, Гаусс с восторгом ответил ей: «Как описать Вам тот восторг и то изумление, которые охватили меня при виде того, как мой высокочтимый корреспондент месье Леблан претерпел метаморфозу, превратившись в замечательную особу, подающую столь блестящий пример, что мне трудно в это поверить. Вкус к абстрактным наукам вообще, и прежде всего ко всем таинствам чисел, встречается крайне редко, и это не удивительно: прельстительные чары этой тонкой науки открываются только тем, кто имеет смелость глубоко проникнуть в нее. Но когда представительница того пола, который в соответствии с нашими обычаями и предрассудками, должен встретиться с бесконечно большими трудностями, чем мужчины, при ознакомлении с тернистыми исследованиями, умудряется успешно преодолеть все эти препятствия и проникнуть в их самые темные части, то, несомненно, она обладает благородным мужеством, совершенно необыкновенными талантами и высшей одаренностью. Ничто не смогло бы убедить меня столь лестным и несомненным образом в том, что привлекательные стороны этой науки, обогатившей мою жизнь таким количеством радостей, не являются плодом фантазии, как та преданность, которой Вы почтили ее».

Переписка с Карлом Гауссом, ставшая для Софи Жермен источником вдохновения в работе, внезапно оборвалась в 1808 году. Гаусс был назначен профессором астрономии в Гёттингенском университете, его интересы переместились от теории чисел к более прикладной математике, и он перестал отвечать на письма Жермен. Лишившись поддержки такого наставника, Жермен потеряла уверенность в своих силах и через год оставила занятия чистой математикой. Хотя ей не удалось продвинуться дальше в доказательстве Великой теоремы Ферма, она занялась весьма плодотворной деятельностью в области физики - научной дисциплины, в которой она снова могла бы занять выдающееся положение, если бы не предрассудки истеблишмента. Наивысшим достижением Софи Жермен в физике стал «Мемуар о колебаниях упругих пластин» - блестящая, полная новых идей работа, заложившая основы современной теории упругости. За эту работу и работы по Великой теореме Ферма она была удостоена медали Института Франции и стала первой женщиной, которая посещала лекции в Академии Наук, не будучи женой члена Академии. К концу жизни Софи Жермен восстановила отношения с Карлом Гауссом, убедившим Гёттингенский университет присудить ей почетную ученую степень. К сожалению, Софи Жермен умерла от рака груди прежде, чем университет смог оказать ей заслуженную почесть.

«Учитывая все сказанное, можно сказать, что Софи Жермен, по-видимому, обладала наиболее глубоким умом среди женщин, которых когда-либо производила Франция. Может показаться странным, но когда пришел чиновник, чтобы выдать свидетельство о смерти этой знаменитой коллеги и сотрудницы самых знаменитых членов Французской Академии Наук, в графе «род занятий» он обозначил ее как «одинокая женщина без профессии», а не «математик». Но это еще не все. При строительстве Эйфелевой башни инженеры уделяли особое внимание упругости используемых материалов, и на этом гигантском сооружении были начертаны имена семидесяти двух ученых, внесших особенно большой вклад в развитие теории упругости. Но тщетно мы стали бы искать в этом списке имя гениальной дочери Франции, чьи исследования во многом способствовали становлению теории упругости металлов - Софи Жермен. Была ли она исключена из этого списка по той же причине, по которой Мария Аньези не была удостоена членства в Французской Академии, - потому, что была женщиной? По-видимому, дело обстояло именно так. Но если это действительно так, то тем больший позор для тех, кто ответствен за такую вопиющую неблагодарность по отношению к человеку, имевшему столь большие заслуги перед наукой, - человеку, обеспечившему себе достойное место в зале славы». (А.Ж. Мозанс, 1913.)

Запечатанные конверты

После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта 1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.

В протоколах заседания подробно описывается, как Габриель Ламе, семью годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n =7, взошел на трибуну перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.

Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши. Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.

И Коши, и Ламе сознавали, что решающее значение имеет время. Тому, кто сумеет первым представить полное доказательство, достанется самая престижная и ценная награда в математике. Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством, оба соперника страстно желали подкрепить свои заявления, и три недели спустя оба представили в Академию запечатанные конверты. В то время так было принято. Это позволяло математикам отстаивать свои приоритет, не раскрывая детали своей работы. Если впоследствии возникал спор относительности оригинальности идей, то в запечатанном конверте хранились убедительные подтверждения, необходимые для установления приоритета.

В апреле, когда Коши и Ламе наконец опубликовали некоторые детали своих доказательств в Трудах Академии, напряжение усилилось. Все математическое сообщество отчаянно жаждало ознакомиться с полным доказательством, причем многие математики втайне надеялись, что состязание выиграет Ламе, а не Коши. Судя по всем отзывам, Коши был самодовольным существом и религиозным фанатиком. К тому же он был весьма непопулярен среди своих коллег. В Академии его терпели только за блестящий ум.

Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным специалистом по теории чисел, но горячий патриотизм, питаемый искренней ненавистью к Наполеону, на протяжении многих лет не позволял ему отдаться своему истинному призванию. Когда Куммер был еще ребенком, французская армия вторглась в его родной город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Отец Куммера был городским врачом и через несколько недель болезнь унесла его. Потрясенный происшедшим, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, чтобы избавить родину от нового вражеского вторжения, - и по окончании университета направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.

Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и того же логического тупика, - и свои соображения он изложил в письме к Лиувиллю.

По мнению Куммера, основная проблема заключалась в том, что доказательства Коши и Ламе опирались на использование свойства целых чисел, известного под названием единственности разложения на простые множители. Это свойство означает, что существует только одна возможная комбинация простых чисел, произведение которых дает данное целое число. Например, единственная комбинация простых чисел, произведение которых дает число 18, имеет вид

18 = 2·3·3 .

Аналогично, числа 35, 180 и 106260 могут быть единственным образом разложены на простые числа, и их разложения имеют вид

35 = 5·7, 180 = 2·2·3·3·5, 106260 = 2·2·3·5·7·11·23 .

Единственность факторизации была обнаружена в IV веке до н. э. Евклидом, который в книге IX своих «Начал» доказал, что это верно для всех натуральных чисел. Единственность разложения на простые множители для всех натуральных чисел - жизненно важный элемент доказательств многих различных теорем и ныне называется основной теоремой арифметики.

На первый взгляд не должно быть никаких причин, по которым Коши и Ламе не могли бы использовать единственность разложения на множители в своих рассуждениях, как это делали сотни математиков до них. Однако, оба представленных Академии доказательства использовали мнимые числа. Куммер обратил внимание Лиувилля на то, что, хотя теорема о единственности разложения на множители выполняется для целых чисел, она не обязательно должна выполняться, если используются мнимые числа. По мнению Куммера, это была роковая ошибка.

Например, если мы ограничимся целыми числами, то число 12 допускает единственное разложение 2·2·3. Но стоит нам допустить в доказательстве мнимые числа, как число 12 можно разложить на множители и так:

12 = (1 + v–11)·(1 + v–11) .

Здесь 1 + v–11 - комплексное число, представляющее собой комбинацию действительного и мнимого числа. Хотя умножение комплексных чисел производится по более сложным правилам, чем умножение действительных чисел, существование комплексных чисел порождает дополнительные способы разложения числа 12 на множители. Приведем еще один способ разложения числа 12:

12 = (2 + v–8)·(2 + v–8) .

Следовательно, при использовании в доказательстве мнимых чисел речь идет не о единственности разложения, а о выборе одного из вариантов разложения на множители.

Таким образом, утрата единственности разложения на множители нанесла тяжелый урон доказательствам Коши и Ламе, но не уничтожила их полностью. Предполагалось, что доказательства должны продемонстрировать несуществование решений в целых числах у уравнения x n + y n = z n , где n - любое целое число, бoльшее 2. Как мы уже упоминали в этой главе, в действительности Великую теорему Ферма достаточно доказать только для простых значений n . Куммер показал, что, используя дополнительные ухищрения, можно восстановить единственность разложения на множители при некоторых значениях n . Например, проблему единственности разложения можно обойти для всех простых чисел, не превышающих n = 31 (включая само значение n = 31). Но при n = 37 избавиться от трудностей не так просто. Среди других, прочих чисел, меньших 100, особенно трудно доказать Великую теорему Ферма при n = 59 и n = 67. Это так называемые нерегулярные простые числа, разбросанные среди остальных чисел, стали камнем преткновения на пути к полному доказательству.

Куммер отметил, что не существует известных математических методов, которые позволили бы единым махом рассмотреть все нерегулярные простые числа. Но он полагал, что, тщательно подгоняя существующие методы к каждому нерегулярному простому числу в отдельности, удастся справиться с ними «по одиночке». Разработка таких выполненных по индивидуальному заказу методов было бы делом медленным и чрезвычайно трудным, и, что еще хуже, множество нерегулярных простых чисел было бесконечным. Рассмотрение нерегулярных простых чисел по одному силами всего мирового математического сообщества растянулось бы до конца веков.

Письмо Куммера произвело на Ламе ошеломляющее действие. Упустить из виду предположение о единственности факторизации! В лучшем случае такое можно было бы назвать чрезмерным оптимизмом, в худшем - непростительной глупостью. Ламе сознавал, что если бы он не стремился держать подробности своей работы в тайне, то смог бы обнаружить пробел гораздо раньше. В письме к своему коллеге Дирихле в Берлин он признавался: «Если бы только Вы были в Париже, или я был в Берлине, все это никогда бы не произошло». Если Ламе испытывал чувство унижения, то Коши отказывался признать поражение. По его мнению, по сравнению с доказательством Ламе, его собственное доказательство в меньшей степени опиралось на единственность разложения на множители, и до тех пор, пока проведенный Куммером анализ не будет полностью проверен, существует возможность, что в рассуждения немецкого математика где-то вкралась ошибка. В течение нескольких недель Коши продолжал публиковать статью за статьей о доказательстве Великой теоремы Ферма, но к исходу лета замолчал и он.

Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую трудную в мире математическую проблему.

Резюме подвел Коши, который в 1857 году писал в заключительном отчете, представленном Академии, по поводу премии, назначенной за доказательство Великой теоремы Ферма: «Отчет о конкурсе на премию по математическим наукам. Конкурс был назначен на 1853 год и затем продлен до 1856 года. Секретарю были представлены одиннадцать мемуаров. Ни в одном из них поставленный вопрос решен не был. Таким образом, несмотря на многократную постановку, вопрос остается там, где его оставил г-н Куммер. Однако математические науки вознаграждены трудами, предпринятыми геометрами в их стремлении решить вопрос, особенно г-на Куммера, и члены Комиссии считают, что Академия приняла бы достаточное и полезное решение, если бы, изъяв вопрос из конкурса, присудила бы медаль г-ну Куммеру за его прекрасные исследования по комплексным числам, состоящим из корней из единицы и целых чисел».

* * *

Более двух столетий любая попытка открыть заново доказательство Великой теоремы Ферма заканчивалась неудачей. В юношеские годы Эндрю Уайлс изучил труды Эйлера, Жермен, Коши, Ламе и, наконец, Куммера. Уайлс надеялся, что ему удастся извлечь уроки из ошибок, допущенных великими предшественниками, но к тому времени, когда он стал старшекурсником Оксфордского университета, на его пути встала та же каменная стена, перед которой остановился Куммер.

Некоторые из современников Уайлса начали подозревать, что проблема Ферма может оказаться неразрешимой. Не исключено, что Ферма заблуждался, и поэтому причина, по которой никому не удалось восстановить доказательство Ферма, заключается просто в том, что такого доказательства вообще не существовало. Уайлса вдохновляло то, что в прошлом, после упорных усилий на протяжении столетий, для некоторых значений n доказательство Великой теоремы Ферма все же было обнаружено. И в некоторых из этих случаев удачные идеи, позволившие решить проблему, не опирались на новые достижения математики; наоборот, это были доказательства, которые могли быть давно быть обнаружены.

Одним из примеров задачи, упорно не поддававшейся решению на протяжении десятилетий, может служить гипотеза о точках. В ней речь идет о нескольких точках, каждая из которых соединена с другими точками прямыми, как показано на рис. 13. Гипотеза утверждает, что невозможно нарисовать диаграмму такого рода так, чтобы на каждой прямой лежали по крайней мере три точки (диаграмму, на которой все точки лежат на одной и той же прямой, мы исключаем из рассмотрения). Экспериментируя с несколькими диаграммами, мы можем убедиться в том, что гипотеза о точках, по-видимому, верна. На рис. 13а пять точек связаны шестью прямыми. На четырех из этих линий не наберется по три точки, и поэтому ясно, что такое расположение точек не удовлетворяет требованию задачи, согласно которому каждой прямой принадлежит по три точки.

а ) б )

Рис. 13. На этих диаграммах каждая точка связана с каждой из остальных точек прямыми. Можно ли построить такую диаграмму, на которой каждая прямая проходит по крайней мере через три точки?

Добавив одну точку и одну проходящую через нее прямую, мы снизили число прямых, на которых не лежат по три точки, до трех. Но дальнейшее приведение диаграммы к условиям гипотезы (такая перестройка диаграммы, в результате которой на каждой прямой оказалось бы по три точки), по-видимому, невозможна. Разумеется, это не доказывает, что такой диаграммы не существует.

Поколения математиков пытались найти доказательство, казалось бы, нехитрой гипотезы о точках - и потерпели неудачу. Эта гипотеза вызывает еще большее раздражение потому, что когда решение в конце концов было найдено, выяснилось, что для него необходимы лишь минимальные познания в математике и один неординарный поворот в рассуждениях. Ход доказательства намечен в Приложении 6.

Вполне возможно, что все методы, необходимые для доказательства Великой теоремы Ферма, уже имелись в распоряжении математиков, и что единственным недостающим ингредиентом был какой-то остроумный ход. Уайлс не собирался сдаваться: детская мечта о доказательстве Великой теоремы Ферма превратилась в глубокое и серьезное увлечение. Ознакомившись со всем, что можно было узнать о математике XIX века, Уайлс решил взять на вооружение методы XX века.

Примечания:

Вспомнилась тут фраза Титчмарша: «Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из неё».:) - E.G.A.

Приведу иллюстрацию с вселением нового клиента в отель Гильберта. Она позаимствована из книги «Proofs from THE BOOK», выпущенной издательством Springer в 1998 году и переизданной в 2001 году. Авторы: Martin Aigner и Gunter M. Ziegler. Мелкая цитата из предисловия авторов к этой книге: "Paul Erdos liked to talk about The Book, in which God maintains the perfect proofs for mathematical theorems, following the dictum of G. H. Hardy that there is no permanent place for ugly mathematics. Erdos also said that you need not believe in God but, as mathematician, you should believe in The Book. We have no definition or characterization of what constitutes a proof from The Book: all we offer here is the examples that we have selected, hoping that our readers will share our enthusiasm about brilliant ideas, clever insights and wonderful observations. We also hope that our readers will enjoy this despite the imperfections of our exposition. The selection is to a great extent influenced by Paul Erdos himself." Вот главу "Множества, функции и гипотеза континуума" эта иллюстрация и открывает. - E.G.A.

Хм… Я где-то читал, что он поплатился жизнью, когда крикнул: «Осторожно! Не наступи на мои чертежи!», но римский солдат, к которому был обращен этот возглас, не обратил внимания, что перед ним безоружный старик. :(А в упомянутой мною раньше книге «Proofs from THE BOOK» главу "Теория чисел" предваряет рисунок, на котором никакого копья нет. Видать, художник тоже не знал подробностей смерти Архимеда. - E.G.A.

Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: "Что можно нового открыть в математике?" А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

Думаю, что этот материал, опубликованный в блоге интересен не только студентам, но и школьникам, серьёзно занимающимся математикой. Есть над чем подумать, выбирая темы и направления исследовательских работ. Copyright сайт - Олег "Solid" Булыгин

Многие люди путаются в непонятных математических символах и строгих математических правилах, всегда избегая решения тех проблем, в которых встречаются не только буквы, но и цифры. Безусловно, математика бывает очень сложной, но те результаты, которые можно с помощью нее получить, могут быть достаточно неожиданны, красивы и просто поразительны.

Проблема четырех красок

Проблема четырех красок – это математическая задача, которая была сформулирована в 1852 году Фрэнсисом Гутри, который в то время пытался раскрасить карту графств Англии (тогда интернета еще не было, так что делать было особо нечего). Он обнаружил кое-что интересное – нужно было всего 4 цвета, чтобы любые две области, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета. Гутри заинтересовался, работает ли это правило для любой другой карты, и этот вопрос стал математической задачей, которую многие годы не могли решить.

Только в 1976 году эта задача была решена Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном. Для доказательства был применен компьютер, и оно оказалось достаточно сложным. Но было доказано, что абсолютно любую карту (например, политическую карту мира) можно раскрасить, используя только 4 цвета так, чтобы ни одно государство не соприкасалось с другим, раскрашенным в такой же цвет.

Теорема Брауэра о неподвижной точки

Это теорема из такого раздела математики как топология, была доказана Лёйтзеном Брауэром. Ее чисто математическое выражение является достаточно абстрактным, но ее можно неожиданным способом применить к разным реальным событиям. Допустим, что у нас есть какая-нибудь картина (к примеру Мона Лиза), и мы можем сделать ее копию. Потом мы можем делать с этой копией что захотим – увеличивать, уменьшать, вращать, сминать, все что угодно. Терема Брауэра о неподвижной точке гласит, что если эту деформированную копию положить на оригинал, то всегда найдется хотя бы одна точка на копии, которая будет находиться ровно над этой же самой точкой изображения на оригинале. Это может быть кусочек уха, рта или глаза Моны, но обязательно такая точка найдется.

Теорема работает и в трехмерном пространстве. Представьте, что у нас есть стакан воды, в который мы положили ложку и размешивали воду столько, сколько захотим. По теореме Брауэра, всегда будет хотя бы одна молекула воды, которая в итоге окажется ровно на том же самом месте, что и до размешивания.

Парадокс Рассела

На рубеже 20-го века многие ученые были увлечены новым разделом математики – теорией множеств. В принципе, множество – это совокупность каких-либо объектов. В те времена, считалось, что любой набор объектов можно считать множеством – множество всех фруктов, множество всех президентов США, и все это считалось верным. Стоит добавить, что одно множество может включать в себя другие множества. В 1901 году известный математик Бертран Рассел сделал нашумевшее открытие, когда понял, что такой способ мышления ошибочен – на самом деле не все совокупности объектов можно назвать множеством.

Решив разобраться в этом вопросе, Рассел описал множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своих элементов. Множество всех фруктов не содержит в себе само себя, так что его можно включить во множество Рассела, как и огромное количество других множеств. Но что насчет самого множества Рассела? Оно не содержит в себе само себя, так что его тоже надо включить в это множество. Погодите ка… теперь оно содержит себя в самом себе, так что нам нужно его исключить. Но теперь его нужно включить в себя снова, так как на этот момент, оно не содержит себя в самом себе. Ну и так далее. Этот логический парадокс привел к пересмотру теории множеств, одному из самых важных направлений в современной математике.

Великая теорема Ферма

Помните со школы теорему Пифагора? Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (x2 + y2 = z2). Самая известная теорема Пьера Ферма говорит о том, что это же выражение не имеет натуральных решений x, y и z, если в степенях находится любое натуральное число больше двух.

Как писал сам Ферма: «…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Проблема в том, что Ферма написал это в 1637 году, а недоказанной она оставалась еще долгие годы. И только в 1995 году (спустя 358 лет) теорема была доказана Эндрю Уайлсом.

Теорема о конце света

Скорее всего, большинство читателей этой статьи являются человеческими существами. Нас, людей, это отрезвит – математика может быть использована для определения того, когда наш вид полностью вымрет. Используя вероятности, но тем не менее.
Это теорема (которая существует уже примерно 30 лет и была открыта и переоткрыта уже несколько раз) говорит о том, что время человечества уже на исходе. Одно из доказательств (которые принадлежит астрофизику Ричарду Готту) на удивление простое: если рассматривать все время существования человеческого вида как процесс жизни отдельного организма, то можно определить на каком этапе жизни наш вид находится.

Исходя из предположения, что живущие сейчас люди находятся в случайном месте всей хронологии человеческой истории, мы можем утверждать с 95% уверенностью, что мы находимся среди последних 95% когда-либо родившихся людей. Кроме того, Готт пытается дать интервал 95% уверенности между минимальным и максимальным временем выживания. Поскольку он даёт шансы в 2,5% на недооценку минимального времени, то только 2,5% остаётся на переоценку максимального. Согласно Готту, человечество вымрет в интервале от 5100 лет до 7,8 миллионов лет от текущего времени. Итак, человечество, тебе пора писать завещание.